Torsión de barras Circulares Elásticas - U

Torsión de Barras Circulares.
Introducción
Este capítulo está dedicado al estudio de las tensiones y deformaciones tangenciales en
la sección transversal de un elemento (miembro) debido a la acción de un momento de
torsión (momento en torno al eje longitudinal del elemento). Este estudio estará
restringido a secciones circulares macizas y huecas.
Hipótesis Básicas para Miembros Circulares
Considerar miembros de sección transversal circular maciza o tubular.
Una sección circular plana, perpendicular al eje del miembro, permanece plana
después de aplicada la torsión. En otras palabras, no tiene lugar el alabeo o
distorsión de planas normales al eje del miembro.
En un miembro de sección circular sometido a torsión, las deformaciones
unitarias de corte γ varían linealmente desde el eje central, alcanzando su
máximo valor γmax en la periferia de la sección (Fig. 1).
Se considera un material homogéneo y linealmente elástico.
Deformación de un miembro circular sometido a torsión.
Considerar la rotación relativa de dos secciones circulares maciza adyacentes de radio c
de un elemento de longitud L, tal como lo muestra la Fig. 1.
x
r=c
x+∆x
x
∆x
γmax = γ(c)
Fig. 1. Rotación relativa de dos secciones circulares adyacentes debido a torsión
1
De la geometría de la Fig. 1 se obtiene la siguiente relación
dφ
 r∆φ 
γ = lim 
=r
∆x → 0 ∆x
dx


(1)
La expresión anterior, debido a la hipótesis de la geometría de deformación, es válida
para cualquier valor de r tal que r ≤ c. Además, de la geometría de deformación
presentada en la Fig. 1, se tiene que un plano paralelo al eje longitudinal x rota en forma
relativa en un ángulo γ debido al ángulo ∆φ. Por lo tanto, si el plano tenía forma de
rectángulo, luego de la rotación relativa ∆φ de la sección transversal tiene forma de
rombo.
Si la expresión de la Ec. (1) se discretiza, para pequeños valores de la deformación γ se
cumple
γ =r
∆φ
∆x
(2)
donde ∆φ y γ están expresados en radianes.
De la Ec. (2) se puede concluir lo siguiente:
La deformación de corte γ es proporcional al ángulo ∆φ
La deformación de corte γ es proporcional a la distancia r medida desde el eje
del elemento circular hasta el punto en consideración.
La deformación de corte γ varía linealmente con la distancia medida desde el
eje del elemento circular
La deformación de corte γ máxima se da en la superficie del elemento (r = c)
γ max = c
∆φ
∆x
(3a)
r
γ = γ max
c
(3b)
2
Tensiones debido a la Torsión en el Rango Elástico.
Considerar la ley de Hooke para la tensión de corte τ
τ = Gγ
(4)
donde G es el módulo de rigidez o módulo de corte del material. Utilizando las Ecs. (3)
y (4), se obtiene
r
τ = τ max
c
(5)
lo que indica que la tensión de corte τ varía linealmente con la distancia r medida desde
el eje longitudinal del elemento circular. Para el caso de una sección anular, se cumple
la siguiente relación (Fig. 2)
τ min =
c1
τ max
c2
(6)
(a)
(b)
y
τmax
Mt
z
z
c
τmin
c1
c2
Fig. 2. (a) Distribución de tensiones tangenciales debido a la torsión en una
sección maciza y (b) en una sección anular
3
Momento de Torsión Interno: Mt
y
τxy
z
τ
τxz
r
y
Mt
z
Fig. 3. Equilibrio en la sección transversal debido a un momento de torsión
Considerar las tensiones que actúan en la sección transversal mostrada en la Fig. 3. Por
equilibrio, se deben cumplir las siguientes relaciones
∫τ
∫τ
xz
dA = 0
(7a)
xy
dA = 0
(7b)
A
M t = ∫ (τ xz y + τ xy z )dA
A
(7c)
M t = ∫ rτdA
A
(7d)
A
r
 τ
M t = ∫ r  τ max dA  = max ∫ r 2dA
c
c A

A 
Mt =
(7e)
τ max
J
c
(7f)
donde J es el momento polar de inercia con respecto a O (Fig. 2a). Utilizando Ecs. (5) y
(7f), se obtiene
τ (r ) =
r
Mt
J
(8)
Las Ecs. (7) y (8) se conocen como las fórmulas de la torsión elástica. Suponer que la
seccion circular transversal está compuesta por dos materiales diferentes. Se asume que
4
en la interacción de ambos materiales existe una compatibilidad de deformación por
corte γ (Fig. 4).
τc
G1 < G2
τb
b
c
Fig. 4. Comportamiento elástico de un miembro circular en torsión con núcleo
interior de material “blando”
Para el estudio de la torsión en miembro de sección transversal circular, tres conceptos
básicos de la mecánica de sólidos fueron aplicados, que pueden resumirse de la
siguiente manera:
Las ecuaciones de equilibrio se usan para determinar los pares de torsión
resistentes internos en una sección.
La geometría de deformación se postula de manera que las deformaciones varían
linealmente desde el eje del miembro.
Las leyes constitutivas del material se usan para relacionar las deformaciones
unitarias cortantes con las tensiones de corte.
Considerar un elemento circular sometido a un momento de torsión Mt = M, tal como
muestra la Fig. 5. Si se aísla un elemento infinitesimal del sólido sometido a torsión
(Fig. 5a), existe una tensión tangencial τx (actúa en el plano definido por x) que genera
el momento de torsión resultante en la sección. Como se ha visto anteriormente, existe
una tensión tangencial numéricamente igual a τx que actúa en un plano perpendicular
(plano definido por y). Por equilibrio de fuerzas, existen tensiones tangenciales que
actúan en los planos definidos por –x y –y del elemento infinitesimal (Fig. 5a). El
estado de tensiones estudiado es de corte puro. Sin embargo, las tensiones principales
actúan en planos orientados a 45º con respecto al eje del elemento circular (Fig. 5b).
Estas tensiones son iguales en valor absoluto pero de signo contrario entre sí, e iguales
en valor absoluto a las tensiones tangenciales (estado de corte puro).
5
Plano yz
(b)
(a)
Fig. 5. (a) Estado de tensiones de un elemento diferencial su un sólido
sometido a torsión; (b) tensiones principales
Observaciones:
Cuando el análisis se limita al estudio de elementos diferenciales orientados de tal
forma que sus superficies son paralelas o perpendiculares al eje longitudinal del
elemento, en estas superficies se desarrolla un estado de tensiones de corte puro.
Si el elemento diferencial se rota en 45º, se encuentra un estado de tensiones que
corresponden a tensiones de tracción y compresión en las superficies del elemento
diferencial rotado.
Los materiales dúctiles generalmente fallan a corte. Fallan en un plano
perpendicular al eje longitudinal del elemento por efecto de la torsión.
Los materiales frágiles presentan una menor capacidad a tracción que la corte. Por lo
tanto, fallan en planos perpendiculares a la dirección de máxima tensión de tracción.
Angulo de Torsión en Miembros Circulares
El ángulo de torsión en elementos sometidos a torsión tiene interés en su determinación
para estudiar efectos tales como:
Control de deformaciones
Análisis de vibraciones torsionales
Estudio de problemas indeterminados de torsión.
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Considerar el elemento diferencial de la Fig. 6 que pertenece a un elemento circular
macizo sometido a una torsión Mt .
Fig. 6. Elemento diferencial de un miembro circular sometido a torsión
Asumiendo que el material tiene un comportamiento elástico lineal y que las
deformaciones son pequeñas, se obtiene las siguientes relaciones geométricas
DD , = γ max dx = cdφ
γ max dφ
=
c
dx
Utilizando las Ecs. (4) y (8), se obtiene la relación siguiente
dφ M t
=
dx GJ
(9)
La expresión anterior permite determinar el ángulo relativo de torsión de dos secciones
adyacentes separadas por una distancia infinitesimal dx. Por lo tanto,
φ B − φ A = ∫ dφ =
B
A
∫ GJ dx
B
Mt
(10)
A
donde φB y φA son las rotaciones angulares de las secciones B y A respectivamente. En
general puede ser que torsión Mt, G y J sean función de la variable x.
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Problemas Estáticamente Indeterminados en Torsión.
Conceptos Preliminares
La Ec. (9) permite determinar el giro relativo φ entre dos secciones debido a un
momento de torsión Mt. Supongamos que estas dos secciones están separadas una
distancia L, y que lo términos Mt, G y J son constantes a lo largo del eje longitudinal de
la barra. De la acuerdo a la Ec. (9), el valor de φ está dado por
φ=
MtL
GJ
Se define como rigidez a la torsión kt al término
kt =
M t GJ
=
L
φ
(11a)
La rigidez a la torsión representa el momento de torsión necesario para generar una
rotación de 1 radian. El recíproco de kt se define como la flexibilidad a la torsión ft, que
se define como la rotación que resulta al aplicar un momento de torsión unitario.
ft =
1
L
=
k t GJ
(11b)
Indeterminación Estática
En las secciones anteriores se estudió que para determinar las tensiones tangenciales en
una sección determinada, era necesario conocer el momento interno de torsión
resultante sobre dicha sección. Este momento interno se obtiene mediante las
ecuaciones de la estática (diagrama de esfuerzo interno). Hay situaciones, sin embargo,
donde el momento de torsión interno no puede determinarse únicamente con las
ecuaciones de la estática. Las ecuaciones de equilibrio deben complementarse con
relaciones que involucren las deformaciones del miembro y que se obtengan
considerando la geometría del problema. Debido a que la estática no es suficiente para
determinar los esfuerzos internos, se dice que el miembro es estáticamente
indeterminado.
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Se puede clasificar la indeterminación estática de un problema en una indeterminación
interna o una indeterminación externa. Una indeterminación externa es cuando
mediante las ecuaciones de la estática, no se pueden calcular las reacciones del
miembro. Por ejemplo un elemento sometido a un momento de torsión entre nodos
doblemente empotrados. En este caso, existe una ecuación de equilibrio y dos
incógnitas (reacciones). Para resolver este problema se puede seguir el siguiente
procedimiento (método de flexibilidad):
Reducir el problema a uno estáticamente determinado, eliminando una de las
reacciones redundantes.
Se calcula el ángulo de rotación φ0 debido a la acción de las cargas externas en el
lugar donde originalmente estaba la reacción eliminada.
Se calcula el ángulo de rotación φ1 debido a la acción de la reacción eliminada
considerada como carga externa, en el lugar donde originalmente estaba esta
reacción.
Se aplica el concepto de compatibilidad de deformaciones: φ0 + φ1 = 0. De esta
manera se obtiene una segunda ecuación, en términos, de las cargas aplicadas y de la
reacción elegida (“eliminada”) que permite encontrar los diagramas de esfuerzos
internos.
También existe una indeterminación estática, cuando a pesar que la(s) reacción(es) es
conocida, no se puede determinar la distribución interna de los esfuerzos debido a que
el elemento en estudio está compuesto por dos o más elementos o formado por dos o
más materiales. A este tipo de indeterminación se la llama indeterminación interna.
Para resolver este problema se puede seguir el siguiente procedimiento (método de
rigidez):
En la unión de ambos elementos o materiales, el ángulo de torsión es el mismo para
cada parte constituyente del miembro.
Para constituyente del miembro se cumple
(k tφ )i = (M t )i
(12a)
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donde i corresponde al i-ésimo constituyente del miembro sometido a torsión. Por lo
tanto, el momento de torsión interno resultante Mt está dado por la expresión
∑ (k t φ )
= ∑ ( M t )i = M t
n
i =1
n
(12b)
i =1
i
Considerando que el ángulo de torsión es el mismo es el mismo para cada parte
constituyente del miembro y utilizando las expresiones anteriores, se deduce que la
rigidez equivalente del miembro es la suma de las rigideces individuales de sus
constituyentes. Por lo tanto, el momento de torsión (Mt)i de cada constituyente del
miembro está dado por
( M t )i
=
(k t )i
(12c)
Mt
∑ (k φ )
n
t
i =1
i
Energía de Deformación Debido a la Torsión
Considerar un elemento de material elástico-lineal lineal, sometido a un momento de
torsión Mt en torno a su eje longitudinal, el incremento de la energía de deformación
interna dU, está dado por
1
1
dU = τdxdzγdy = τγdV
2
2
(13)
Considerando la ley de Hooke (Ec. 4) y la relación entre la tensión de corte τ y el
momento Mt dado por la Ec. (8), la energía de deformación debido a la torsión esta
dada por
1 (M t ) r 2
1 (M t )
U= ∫
dV = ∫
2
2 V GJ
2 l GJ 2
2
1 (M t )
dl
2 ∫l GJ
2
∫ r dAdl
2
(14a)
A
2
U=
(14b)
10