tema 4 tangencias

DIBUJO TÉCNICO
BACHILLERATO
TEMA 4. TANGENCIAS
Departamento de Artes Plásticas
y Dibujo
TEMA 4. TANGENCIAS.
Los OBJETIVOS generales que se pretende logren los alumnos al acabar el tema son:
Conocer las propiedades en las que se fundan los trazados de las tangencias, así como resolver y
construir adecuadamente los problemas básicos de tangencias, valorando el método de
razonamiento y su acabado y presentación. Cuestiones básicas son: saber poner y señalar
correctamente los puntos de tangencias y los centros de las circunferencias tangentes, así como
realizar correctamente los enlaces y las uniones.
CONCEPTOS Y PROCEDIMIENTOS.
1º BACHILLERATO
Tangencias
Metodología
Propiedades
Tangencia entre rectas y circunferencias
Tangencia entre circunferencias
Nociones y aplicación de la potencia y eje radical.
Casos especiales y aplicaciones en el dibujo técnico.
Enlaces
Propiedades
Construcción de enlaces.
2º BACHILLERATO
s
Propiedades de las tangencias.
s
Enlaces, planteamiento y aplicación.
s
Trazado de circunferencias sin conocer el radio.
s
Estudio sistemático de tangencias: circunferencias que pasan o son tangentes a...
s
Tres puntos.
s
Dos puntos y una recta.
s
Dos rectas y un punto.
s
Tres rectas.
s
Dos puntos y una circunferencia.
s
Un punto, una recta y una circunferencia.
s
Dos rectas y una circunferencia.
s
Una recta y dos circunferencias.
s
Un punto y dos circunferencias.
s
Tres circunferencias.
PROPIEDADES DE LAS TANGENCIAS:
figura 1
1. Si dos circunferencias son tangentes entre sí, el punto de tangencia
se encuentra en la recta que une los centros. (figura 1)
T
Cuando queramos dibujar una circunferencia que sea tangente a otra
circunferencia y que además pase por un punto de tangencia de esta última,
lo que tenemos que hacer es unir el centro de la circunferencia con el punto
de tangencia y prolongar.
En esta recta estarán todos los centros de las circunferencias (infinitas) que
son tangentes a la primera.
figura 2
O1
O2
O1
O2
T
CIRCUNFERENCIAS
TANGENTES INTERIORES
CIRCUNFERENCIAS
TANGENTES EXTERIORES
O1O2 = r1-r2
O1O2 = r1+r2
2. Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de
tangencia es perpendicular a la tangente.
figura 3
figura 2
T
Cuando queramos hallar una circunferencia que sea tangente a una recta por
un punto de tangencia de ésta lo primero que tenemos que hacer es levantar
una perpendicular por este punto a la recta.
figura 4
O1
Se pueden hacer exteriores o interiores.
Mediatriz PT
figura 3
P
figura 5
O1
figura 7
figura 4
r
P
t
90º
t
T
O1
T
T
3. Recordemos que una mediatriz es la recta de todos los puntos que equidistan
de otros dos (extremos de un segmento). Por lo tanto el centro de cualquier
circunferencia que pase por dos punto está en la mediatriz del segmento que lo
forman.
figura 5
figura 6
4. El centro de cualquier circunferencia tangente
O1
a dos rectas se encuentra en la bisectriz del ángulo
que lo forman. figura 6
r
T
Primer paso
figura 7
Mediatriz PT
P
t
O1
T
Aplicación de los principios anteriores en un caso de tangencias:
T
- Circunferencia tangente a una circunferencia que pase por un punto T de
tangencia de ésta y pon un punto P exterior.
figura 7
1. Se aplica la propiedad 1: se une el centro O1 con el punto de tangencia T
2. Se une P con T y se halla la mediatriz de PT. Donde corte la mediatriz
con la primera recta estará el centro de la circunferencia buscada.
ENLACES: Es la unión de varias curvas tangentes entre sí o bien curvas con
rectas, creando un enlace continuo o curva continua.
Segundo paso
Posiciones relativas de dos circunferencias.
O2
O1
T
O2
O1
T
r2
O1
r1
r1
r
O3
O1
r2 O2
Posiciones relativas de recta y circunferencia.
t
Exteriores
Secantes
B
r
O1
r
O1
r1
r
O1
t
A
O1
r1
r2
O
r2 O2
T
Tangentes
t
Secantes
Interiores
Interiores
Exteriores
Fecha
Nombre alumno
N. lámina
Nombre lámina
Posición relativa rectas y circunferencias.
Curso:
Nota:
TANGENCIAS
TANGENCIAS: Dos o más figuras geométricas son tangentes cuando únicamente tienen UN PUNTO EN COMÚN.
Los casos que nosotros vamos a estudiar son entre circunferencias o entre circunferencias y rectas.
La construcción de tangencias sirve, básicamente, para diseñar objetos, figuras o planos donde intervengan curvas
realizadas con compás.
joyas
muebles
instrumental
Poleas
arquitectura
juguetes
encadenados
ganchos
grifos
juegos
objetos industriales
Fecha
Nombre alumno
N. lámina
Nombre lámina
Curso:
Nota:
TANGENCIAS
1.- Dibujar 2 circunferencias radio 10 mm. que sean
TANGENTES EXTERIORES a la dada y entre ellas.
2.- Dibujar 2 circunferencias radio 10 mm. que sean
TANGENTES INTERIORES a la dada y entre ellas.
R = 32 mm
O1
R = 23 mm
O1
3.- Dibujar las circunferencias de r = 12 mm.,
TANGENTES a la dada y que pase por el PUNTO P.
4.- Circunferencias tangentes a otra de r = 18 mm. dada,
que pase por un punto P exterior y por un punto de
tangencia T.
P
O1
P
T
O1
R = 18 mm
El radio de la circunferencia que se busca se sabrá cuando se acabe
el ejercicio.
5.- Hallar las circunferencias tangentes
COMUNES EXTERIORES de r= 12 mm., a las
circunferencias dadas O1 y O2.
O1= 10 mm
O2 = 15 mm
O1= 10 mm
O1-O2 = 40 mm
O2
O1
Fecha
Nombre alumno
N. lámina
Nombre lámina
6.- Hallar las circunferencias tangentes
COMUNES INTERIORES de r= 35 mm.,
a las circunferencias dadas O1 y O2. O1-O2 = 30
O2 = 15 mm
O1
O2
Curso:
Nota:
TANGENCIAS ENTRE CIRCUNFERENCIAS
mm
1.- Dibujar 2 circunferencias radio 10 mm. que sean
TANGENTES EXTERIORES a la dada y entre ellas.
2.- Dibujar 2 circunferencias radio 10 mm. que sean
TANGENTES INTERIORES a la dada y entre ellas.
R = 10 mm
O2
O3
R = 10 mm
T1
R = 32 mm
T2
T1
O2
O1
R = 23 mm
O1
O3
T2
3.- Dibujar las circunferencias de r = 12 mm.,
TANGENTES a la dada y que pase por el PUNTO P.
4.- Circunferencias tangentes a otra de r = 18 mm. dada,
que pase por un punto P exterior y por un punto de
tangencia T.
P
O2
O1
T1
P
T
O1
T2
O3
R = 18 mm
El radio de la circunferencia que se busca se sabrá cuando se acabe
el ejercicio.
5.- Hallar las circunferencias tangentes
COMUNES EXTERIORES de r= 12 mm., a las
circunferencias dadas O1 y O2.
O1= 10 mm
O2 = 15 mm
6.- Hallar las circunferencias tangentes
COMUNES INTERIORES de r= 35 mm.,
a las circunferencias dadas O1 y O2. O1-O2 = 30
O1= 10 mm
O1-O2 = 40 mm
O2 = 15 mm
O3
O3
O2
O1
O4
Fecha
Nombre alumno
N. lámina
Nombre lámina
O2
O1
O4
Curso:
Nota:
TANGENCIAS ENTRE CIRCUNFERENCIAS
mm
1.-Dibuja la recta r tangente a la circunferencia O1
por el punto dado de tangencia (T).
2.- Dibuja la circunferencia de radio 13 mm. que
sea tangente a la recta dada y que pase por el
punto T dado.
O1
T
T
3.- Dibuja las rectas tangentes a la circunferencia 01
dada y que pasen por P
O1
P
5.- Hallar las RECTAS tangentes COMUNES
EXTERIORES a las dos circunferencias dadas..
O1= 14 mm
4.- Dibuja la circunferencia de radio 15 mm. que
sea tangente a las rectas que se cortan dadas.
O2 = 23 mm
6.- Hallar las RECTAS tangentes COMUNES
INTERIORES a las dos circunferencias dadas..
O1= 10 mm
O2 = 22 mm
O2
O1
O2
O1
Fecha
Nombre alumno
Curso:
N. lámina
Nombre lámina
Nota:
TANGENCIAS ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS
1.-Dibuja la recta r tangente a la circunferencia O1
por el punto dado de tangencia (T).
2.- Dibuja la circunferencia de radio 13 mm. que
sea tangente a la recta dada y que pase por el
punto T dado.
O1
O1
T
T
3.- Dibuja las rectas tangentes a la circunferencia 01
dada y que pasen por P
4.- Dibuja la circunferencia de radio 15 mm. que
sea tangente a las rectas que se cortan dadas.
15 mm
O1
O1
P
15 mm
5.- Hallar las RECTAS tangentes COMUNES
EXTERIORES a las dos circunferencias dadas..
O1= 14 mm
O2 = 23 mm
6.- Hallar las RECTAS tangentes COMUNES
INTERIORES a las dos circunferencias dadas..
O1= 10 mm
O2 = 22 mm
T1
T1
T4
O2
T4
O1
O2
O1
T3
T3
T2
T2
Fecha
Nombre alumno
Curso:
N. lámina
Nombre lámina
Nota:
TANGENCIAS ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS
1.-Dibujar una circunferencia tangente a la recta r y que
pase por el punto P. (Circunferencia que pasa por 2
puntos)
2.- Circunferencias tangentes a una recta r dada, que
pasan por un punto P y que tiene de radio 20 mm.
P
P
r
r
T
3.- Hallar las circunferencias tangentes a una recta r
y que pasan por dos puntos dados A y B. (aplicación de
eje radical)
4.- Dibujar las circunferencias tangentes a dos rectas
r y s dado el punto de tangencia T en una de ellas.
r
T
B
t
A
r
5.- Dibujar las circunferencias tangentes a O1 por el
punto de tangencia dado T y a la recta r.
6.- Representar las circunferencias de radio 20 mm.
tangentes comunes a la circunferencia y a la recta dadas.
o
T
o
r
r
Fecha
Nombre alumno
N. lámina
Nombre lámina
Curso:
TANGENCIAS III
Nota:
1.-Dibujar una circunferencia tangente a la recta r y que
pase por el punto P. (Circunferencia que pasa por 2
puntos)
2.- Circunferencias tangentes a una recta r dada, que
pasan por un punto P y que tiene de radio 20 mm.
r= 20
o1
P
o1
o2
h=20
P
r
r
T
3.- Hallar las circunferencias tangentes a una recta r
y que pasan por dos puntos dados A y B. (aplicación de
eje radical)
4.- Dibujar las circunferencias tangentes a dos rectas
r y s dado el punto de tangencia T en una de ellas.
T2
o1
r
T
o1
T1
B
T
A
r
o2
o2
t
T
5.- Dibujar las circunferencias tangentes a O1 por el
punto de tangencia dado T y a la recta r.
6.- Representar las circunferencias de radio 20 mm.
tangentes comunes a la circunferencia y a la recta dadas.
Habrían dos resultados más al otro extremo de la
circunferencia O
o1
o
T
o2
o1
o2
o
r
r
Fecha
Nombre alumno
N. lámina
Nombre lámina
Curso:
TANGENCIAS III
Nota:
1.- Trazar tres circunferencias tangentes entre sí, dados
sus respectivos radios.
2.- Trazar tres circunferencias tangentes entre sí,
conocidos sus centros respectivos.
r1
r2
o2
r3
o1
o3
3.- Dibujar las circunferencias de igual radio y tangentes
interiores a los lados de los ángulos de los vértices del
pentágono.
3.- Dibujar las circunferencias de igual radio y tangentes
interiores a los lados de los ángulos de los vértices del
pentágono.
o3
5.- Dadas las tres rectas r, s y t que se cortan entre sí,
trazar una circunferencia tangente común a las tres.
6.- Dibuja la circunferencia que es tangente a la recta r,
pasa por el punto P que está en la recta t y además
r
tiene el centro en t.
t
r
P
t
s
Fecha
Nombre alumno
N. lámina
Nombre lámina
Curso:
TANGENCIAS IV
Nota:
1.- Trazar tres circunferencias tangentes entre sí, dados
sus respectivos radios.
2.- Trazar tres circunferencias tangentes entre sí,
conocidos sus centros respectivos.
r1
r2
r2
r3
o2
o2
T
r1
T
r2
r1
r3
T
T
o1
T
o1
r3
T
o3
3.- Dibujar las circunferencias de igual radio y tangentes
interiores a los lados de los ángulos de los vértices del
pentágono.
o3
3.- Dibujar las circunferencias de igual radio y tangentes
interiores a los lados de los ángulos de los vértices del
pentágono.
o3
o
o´
o´
5.- Dadas las tres rectas r, s y t que se cortan entre sí,
trazar una circunferencia tangente común a las tres.
6.- Dibuja la circunferencia que es tangente a la recta r,
pasa por el punto P que está en la recta t y además
r
tiene el centro en t.
t
T
r
T
o
P
T
o
t
s
T
Fecha
Nombre alumno
N. lámina
Nombre lámina
Curso:
TANGENCIAS IV
Nota:
1.- Dibujar la circunferencia tangente a dos circunferencias O1 y O2, dado el punto de tangencia de una de ellas.
T
O1
O2
2.- Dadas las rectas r y t y el punto P, dibujar las circunferencias tangentes a las rectas r y t y que pasen por P.
r
P
s
Fecha
Nombre alumno
N. lámina
Nombre lámina
Curso:
TANGENCIAS V
Nota:
1.- Dibujar la circunferencia tangente a dos circunferencias O1 y O2, dado el punto de tangencia de una de ellas.
O5
T
O1
T
O4
O6
O3
T
O2
2.- Dadas las rectas r y t y el punto P, dibujar las circunferencias tangentes a las rectas r y t y que pasen por P.
r
P
O3
O1
O2
T1
T2
P
T3
T4
s
Fecha
Nombre alumno
N. lámina
Nombre lámina
Curso:
TANGENCIAS V
Nota:
1.- Dibuja la circunferencia tangente exterior a O1 y a
la recta r por el punto de tangencia T.
1.- Dibuja la circunferencia tangente interior a O1 y a la
recta r por el punto de tangencia T.
O1
r
T
O1
r
T
1.- Dibuja las circunferencias tangentes a la circunferencia dada O y que pase por los puntos M y N
N
M
O
Fecha
Nombre alumno
N. lámina
Nombre lámina
Curso:
TANGENCIAS VI
Nota:
1.- Dibuja la circunferencia tangente exterior a O1 y a
la recta r por el punto de tangencia T.
1.- Dibuja la circunferencia tangente interior a O1 y a la
recta r por el punto de tangencia T.
O1
R
T
r
T
R
O1
R
T
R
r
T
1.- Dibuja las circunferencias tangentes a la circunferencia dada O y que pase por los puntos M y N
N
O2
P
A
M
O1
Q
O
m
K
B
Fecha
Nombre alumno
N. lámina
Nombre lámina
Curso:
TANGENCIAS VI
Nota: