File - Educación Matemática.

Prof. Enrique Mateus Nieves
Doctorando en Educación Matemática.
NOTA: En este PDF encontrará los siguientes temas que debe estudiar para la clase: Aplicaciones de la Derivada a
Funciones Económicas, Razón de Cambio Promedio, Razón de Cambio Instantánea, Razones Relacionadas,
Funciones Marginales Económicas y ejercicios de práctica.
Aplicaciones de la Derivada a Funciones Económicas
En la economía, la variación de alguna cantidad con respecto a otra puede ser descrita por un
concepto promedio o por un concepto marginal. El concepto de promedio expresa la variación de
una cantidad sobre un rango específico de valores de una segunda cantidad. Mientras que el
concepto marginal es el cambio instantáneo en la primera cantidad que resulta de un cambio
muy pequeño en la segunda cantidad.
La derivada como razón de cambio: En el mundo, todo está sujeto a cambios y por lo tanto
interesa saber cuál es la razón de estos cambios. La velocidad con que se realizan los cambios
no siempre es uniforme, especialmente cuando se relacionan entre sí dos o más cantidades.
Razón de Cambio Promedio:
Considere f : I  IR , y f ( x )  y , una función continua en el intervalo real I  IR . Cuando x cambia de
un valor inicial 1x a un valor final 2 x , la diferencia 2 x  1x se llama incremento de la variable en
x1 , x2 .
La diferencia f x2   f x1  se llama incremento de la función en x1 , x2 . Al cociente del
incremento de la función y el incremento de la variable se le llama razón de cambio promedio de
la función f con respecto a x. y se nota:
f
f x2   f x1  A éste cociente también se le conoce

x
x2  x1
como cociente de diferencias
Ejemplo: Si C x   0.5 x 2  x  2 denota la función de costo total de x unidades de un producto,
encontrar la razón de cambio promedio del costo total con respecto a x, al cambiar la producción de 5 a
10 unidades.
Solución:
Aquí
tenemos
que
 C c10  c 5 62  19.5


 8.5
x
10  5
5
x1  5,
x2  10,
y
la
función
es
C(x),
calculamos
entonces
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El concepto de razón de cambio promedio se aplica en muchos modelos donde interesa saber
velocidades ya sean de móviles, crecimiento, etc.
Razón de Cambio Instantánea: Igual que antes sea f : I  IR , y f ( x )  y , una función continua en el
intervalo real I. La razón de cambio instantánea (razón de cambio) de f con respecto a x en el instante a,
con
aI ,
corresponde con el siguiente límite, si existe: d f a   lim f x   f a  .
dx
xa
xa
El anterior límite
representa la derivada en un punto de f , f a  , por lo tanto se puede utilizar la derivada de una función
en un punto para calcular la razón de cambio instantánea en ese punto.
Razones Relacionadas: En muchos problemas prácticos, se da una cantidad como una función de
una variable y ésta a su vez puede escribirse como una función de una segunda variable. Usando la
regla de la cadena, podemos calcular la razón de cambio de la cantidad original con respecto a la
segunda.
Ejemplo 1: En cierta fábrica, el costo total de fabricación de x artículos diariamente es de
C(x) = 0.2x2 + x + 900. Según la experiencia, se ha determinado que durante las primeras t
horas del trabajo de producción diario se fabrican aproximadamente ( t 2  100t ) artículos.
a) Encuentre una fórmula para la tasa de cambio del costo total con respecto al tiempo
b) ¿Cuál es la tasa de cambio una hora después de que empiece la producción?
Solución: a). La tasa de cambio del costo con respecto al tiempo es d c , aplicando la regla de la cadena tenemos
dt
d C dC dx

  0.4 x  12t  100  Como x representa el número de artículos producidos y la producción
dt
dx dt
durante las primeras t horas es exactamente para expresar en términos de t se sustituye x por ( t 2  100t )
de ahí que: d C  0.42t  100   12t  100   0.8t 3  120t 2  4002t  100
dt
b). Tomando t = 1 tenemos d C  0.8  120  4002  100  4222.8 Así que después de una hora el costo
dt
total estará creciendo a una tasa de 4222.8 unidades monetarias por hora.
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Ejemplo 2: Un fabricante determina que m empleados producirán un total de x unidades por día,
donde x  100m . Si la ecuación de demanda para el producto es p  4500
x  10
m 2  19
a) Determine una fórmula para la razón de cambio del ingreso total con respecto a los trabajadores.
b) ¿Cuál es la tasa de cambio del ingreso cuando se cuenta con nueve trabajadores?
Solución: a) El ingreso total está dado por I x   x px   4500 La tasa de cambio del ingreso con respecto a los
x  10
trabajadores es dI , aplicando la regla de la cadena tenemos:
dm
2m


100 m 2  19  100m

2
dI dI dx  4500 x  10   4500x  
2 m  19 

 


dm dx dm 
m 2  19
x  102






Como x representa el número de artículos producidos y la producción con m empleados es
x
100m
m  19
2
, para expresar
dI en términos de m sustituimos x para obtener:
,
dm


2m


  100 m 2  19  100m


2

dI 
45000
2
m

19



2
2
dm   100m
m  19

 

 10   


2


 
  m  19
Esta relación se conoce como Producto del Ingreso Marginal, pronto nos referiremos
con más detalle a las funciones marginales.
b) Aquí evaluamos dI con m=9. dI   45000   1000 - 810   4.51.9  8.55


dm
dm  90  102   100 
Concluimos que PIM = 8.55.
Funciones Marginales Económicas
Función de Costo Marginal: Si C(x) representa el costo total de producir x unidades de
cierta mercancía, entonces el costo marginal cuando se producen a unidades está dado por
C a  , si ésta existe. La función C  x  se llama la función de Costo Marginal.
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C a  puede interpretarse como la razón de cambio del costo total por cambio unitario en la
cantidad producida cuando se producen a unidades.
La curva de Costo Marginal de una
empresa guarda una relación única con su curva de Costo Medio. Cuando el Costo Medio
disminuye al aumentar la producción, el Costo Marginal será menor que el Costo Medio.
Cuando el Costo Medio aumenta al aumentar la producción, el Costo Marginal será mayor que
el Costo Medio. Se deduce que si el Costo Medio no aumentara ni disminuyera con los cambios

en la producción, el Costo Marginal C
Mg

y el Costo Medio C
tanto, cuando el Costo Medio es decreciente se tiene C
creciente C
Mg
C
Me
Mg
. De lo anterior se deduce que C
C
Mg
Me
C
Me

serían iguales. Por lo
, y cuando el Costo Medio es
Me
en el punto donde el Costo
Medio es mínimo.
Función de Ingreso Marginal. Si I x  representa la función de ingreso total obtenido
cuando se demandan x unidades de cierta mercancía, entonces el ingreso marginal cuando se
producen a unidades está dado por I  a  , si ésta existe. La función I   x  se llama la función
de Ingreso Marginal. La curva de ingreso marginal de la industria muestra en cuánto se
incrementa el ingreso total por la venta de cada unidad adicional, por unidad de tiempo. Es
siempre decreciente, dada la curvatura del ingreso total. Puede ser positiva, negativa o cero.
Función de Utilidad Marginal: La utilidad bruta de una empresa corresponde con la
diferencia existente entre ingresos totales y sus costos totales
U  x   I  x   C  x  . Si
derivamos con respecto a x: U   x   I  x   C  x  La función así obtenida se define como
utilidad marginal. Note que U   x   0  I  x   C  x , lo cual quiere decir que la ganancia es
creciente si y sólo si el ingreso marginal es mayor que el costo marginal (la tasa de cambio del
ingreso es mayor que la tasa de cambio del costo).
Para determinar qué nivel de producción es necesario para obtener la máxima utilidad, se hace
U '(x) = 0, ya que allí si U '(x) existe, U tendrá un máximo relativo. Recordemos que el dominio
de la función de utilidad es el intervalo 0, d  , donde el valor d >0 está determinado por la
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ecuación de demanda del artículo. En los extremos del intervalo no habrá ganancia, así que el
valor máximo absoluto de U ocurre en un valor de x donde U tiene un valor máximo relativo.
EJERCICIOS
1) Sea p  100 - q
2
la función de demanda del producto de un fabricante. Encuentre la
razón de cambio del precio p por unidad con respecto a la cantidad q. ¿Qué tan rápido
está cambiando el precio con respecto a q cuando q = 5 ? Suponga que p está en
dólares.
2) Un fabricante de productos químicos advierte que el costo por semana de producir x
toneladas de cierto fertilizante está dado por C(x) = 20000 + 40x dólares y el ingreso
obtenido por la venta de x toneladas está dado por R(x) = 100x - 0.01x2 . La compañía
actualmente produce 3100 toneladas por semana, pero está considerando incrementar
la producción a 3200 toneladas por semana. Determine la razón de cambio promedio de
la utilidad por las toneladas extras producidas.
3) Un fabricante descubre que el costo de producir x artículos está dado por C(x) =
0.001x3 - 0.3x2 + 40x + 1000. Determine la razón de cambio promedio por unidad
adicional si se incrementa la producción de 90 a 100 unidades.
4). Sea la función de costo C(x) = 0.001x3 - 0.3x2 + 40x + 1000. Determine el costo marginal
como una función de x. Evalúe el costo marginal cuando la producción está dada por: a)
x = 50 , b) x = 100 , c) x = 150 .
5) Calcule el costo marginal de las siguientes funciones de costo:
a) C(x) = 100 + 2x
b) C(x) = 0.0001x3 - 0.09x2 + 20x + 1200
c) C(x) = 40 + (ln 2)x2
d) C(x) = 0.000001x3 - 0.3x2 + 36x + 2000
6) Si la función de ingreso está dada por R(x) = 10x - 0.01x2 en donde x es el número de
artículos vendidos, determine el ingreso marginal. Evalúe el ingreso marginal cuando x =
200.
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7) Calcule el ingreso marginal de las siguientes funciones de Ingreso.
a) R(x) = x - 0.01x2
b) R  x   0.1x  0.001x  0.00001x
2
c) R  x   5 x  0.01x
5
5
2
2

d) R  x   100 x  (log 5 ) x 1 
3
x

8) Si la ecuación de demanda es x + 4 p = 100, calcule el ingreso marginal R´(x)
9) Si la ecuación de demanda es x + p = 10, calcule el ingreso marginal.
10) Si la ecuación de demanda es x 2  50 p  1000 , calcule el ingreso marginal
3
cuando
p = 16 .
11) En una Sala de Belleza se fija una cuota de $4 por corte de cabello. Esto advierte que
el número de clientes que atiende en una semana es de 100, en promedio. Al elevar la
tarifa a $5, el número de clientes baja a 80. Suponiendo una ecuación de demanda
lineal entre el precio y el número de clientes, determine la función de ingreso marginal.
Encuentre entonces el precio que produce un ingreso marginal igual a cero.
12). Un fabricante determina que m empleados producirán un total de q unidades de un
producto por día, donde q 
p
10m2
m 2  19
. Si la ecuación de demanda para el producto es
900 determine el producto del ingreso marginal cando m = 9 .
q9
13) Sea q el número total de unidades producidas por día por m empleados de un
fabricante y p es el precio de venta por unidad. En cada caso encuentre el producto del
ingreso marginal para el valor dado de m.
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14) Suponga que p  100  q  20 es una ecuación de demanda para el producto de
2
un fabricante.
a) Encuentre la razón de cambio de p con respecto a q
b) Calcule la razón de cambio relativa de p con respecto a q
c) Determine la función de ingreso marginal.
15) Si la función de costo total para un fabricante está dada por C  x  
5q 2
q2  3
 5000 .
Encuentre la función de costo marginal.
16) Un empresario que emplea m trabajadores encuentra que ellos producen:
q  2m 2m  1 2 unidades de producto diariamente. El ingreso total (en dólares)
3
está dado por r 
50q
.
1000  3q
a) ¿Cuál es el precio por unidad (al centavo más cercano) cuando hay 12
trabajadores?
b) Determine el ingreso marginal cuando hay 12 trabajadores.
c) Determine el producto del ingreso marginal cuando m = 12
Bibliografía:
Este material ha sido consultado y resumido de la bibliografía anexa la cual puede consultar como ayuda
para profundizar en su curso:
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Jaramillo Betancur, Fernando. Matemática Financiera y su uso para las decisiones en un entorno
internacional. 1ª Edición. Universidad de Antioquia. 2005.
Jaramillo Vallejo, Felipe. Matemáticas Financieras Básicas Aplicadas. 1ª Edición. Alfaomega. 2004
Ramírez C. et all. (2009). Fundamentos de matemáticas financieras. Centro de investigaciones.
Universidad Libre Cartagena.
Mora Zambrano, Armando. Matemáticas Financieras. 2ª Edición. Alfaomega. 2007.
Navarro, E & Nave, J. Fundamentos de Matemáticas Financieras. 1ª Edición. A.Bosch. 2001.
Portus Govinden, Lyncoyan. Matemáticas Financieras. 4ª Edición. Mc Graw Hill. 2008.
Riggs, James L & Otros. Ingeniería Económica. 4ª Edición. Alfaomega. 2002
Ruíz, Héctor Alfonso. Matemáticas Financieras. 2ª Edición. Universidad Santo Tomás. 1998
Sánchez Vega, Jorge E. Manual de Matemáticas financieras. 1ª Edición. Ecoe.1997