Aproximación funcional. Introducción Aproximación funcional

Aproximación funcional.
Introducción
Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN)
Departament de Matemàtica Aplicada III
Universitat Politècnica de Catalunya (Barcelona)
http://www-lacan.upc.es
Objetivos
Entender los diferentes criterios de aproximación
funcional y ser capaz de decidir cuál es más adecuado
en un caso concreto
Entender la diferencia entre criterio de aproximación y
tipo de aproximación.
Saber calcular el polinomio interpolador que pasa por un
conjunto de puntos.
Entender qué es la interpolación seccional y saber
plantear cómo calcular un spline.
Aprender a plantear un problema de mínimos cuadrados
y ser capaz de resolver los de mínimos cuadrados
lineales.
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Motivación
Los métodos de aproximación funcional tienen como objetivo
calcular una aproximación p(x) de una función f(x) dada.
Muchas aplicaciones en ingeniería requieren el cálculo de
aproximaciones. El método de aproximación utilizado
depende de:
• conocimiento de la función f(x)
• expresión analítica
• valores de la función en un número finito de puntos
• valores de las derivadas en un número finito de puntos
• datos que se deseen obtener
• cálculo de integrales o derivadas
• valor de la función en un punto no dado
• valor de las derivadas en un punto no dado
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Motivación: aplicaciones I
Los métodos de aproximación funcional son usados en
aplicaciones ingenieriles muy diversas.
CÁLCULO DE ÁREAS: se requiere calcular el área de una
sección de la pieza, dónde se conoce la expresión analítica
de las funciones que determinan el contorno.
Se aproxima por funciones más manejables que permitan calcular las integrales.
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Motivación: aplicaciones II
INTERPOLACIÓN: se conocen los valores de la función en un
número finito de puntos (xi,f(xi)) y se necesita determinar el
valor de la función en otros puntos.
Captura de movimiento:
describir el movimiento de los
objetos como función del
tiempo a partir de un conjunto
de mediciones de las
posiciones del objeto.
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Motivación: aplicaciones III
REGRESIÓN: determinación de parámetros materiales a partir
de experimentos físicos
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Conceptos básicos
OBJETIVO: aproximar una función f(x) por otra función
p(x) en un intervalo [a,b]
Para definir un método de aproximación hacen falta dos
ingredientes básicos:
• Tipo de aproximación: definir el espacio de funciones
donde se elige el aproximante, qué tipo de funciones p(x)
se consideran
• Criterio de aproximación: definir las propiedades de
aproximación, qué quiere decir que p(x) sea una buena
aproximación de f(x).
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Tipo de aproximación
Generalmente se consideran espacios de funciones de
dimensión finita.
El aproximante p(x) se expresa como combinación lineal
de los términos de una base
Hallar p(x) se reduce a hallar los coeficientes de la
combinación lineal ⇒ resolver un sistema de ecuaciones
lineales
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Aproximación polinómica:
es la más usada por ser fácil de calcular
derivadas e integrales también polinómicas y fáciles de calcular
Aproximación trigonométrica:
funciones periódicas
tratamiento de señales y edp’s
Aproximación exponencial:
tratamiento de señales
resolución de EDP’s
Funciones racionales:
aproximación de funciones con asíntotas
Aproximación por funciones definidas a trozos:
Generalmente se consideran funciones polinómicas (de grado bajo)
a trozos.
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Criterios de aproximación I
Interpolación pura:
• datos:
• se exige que:
También se pueden imponer
condiciones sobre derivadas.
El polinomio de Taylor es un
caso particular.
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Criterios de aproximación II
Mínimos cuadrados: se minimiza el cuadrado de la
distancia entre f(x) y p(x) en norma L2
versión continua
versión discreta
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Criterios de aproximación III
Aproximación min-max: se minimiza la distancia entre
f(x) y p(x) en norma L∞
• Interpolación pura: coincide en los puntos dados
pero en los otros puntos puede ser muy mala
(para grados de polinomio elevados)
• Mínimos cuadrados: minimiza el área entre las dos
funciones
• Min-max: minimiza la diferencia entre las dos
funciones, pero es difícil de calcular. Con unos
buenos pesos, la aproximación de mínimos
cuadrados se parece a la aproximación min-max.
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Teorema de Weierstrass I
El teorema de Weierstrass establece la “bondad” de los
polinomios como funciones de aproximación.
Cualquier función continua se puede aproximar mediante un
polinomio hasta la precisión deseada.
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Teorema de Weierstrass II
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