Estadística

08/04/11
Estadística
Análisis de la varianza de un factor
(ANOVA)
Tests a posteriori
Prof, Dr. Jose Jacobo Zubcoff
Departamento de Ciencias del Mar y Biología Aplicada
Estadística
ANOVA
Ejemplo de problema a resolver:
Uno de los focos de contaminación del agua en la Laguna del Mar
Menor lo constituyen los vertidos agrícolas procedentes de las cuencas
vertientes, ricos en fósforo.
Se espera que comparando los niveles de esta laguna con la de otras
tres con parecidas características el hecho resultará evidente.
Hipótesis:
H 0 : No existen diferencias entre las k lagunas
H 1 : Hipótesis nula no cierta (al menos alguna laguna es diferente al resto)
1
08/04/11
Estadística
ANOVA
¿Qué es y para que sirve?
Compara la distribución de una variable continua
normal en dos o más poblaciones
(niveles o categorías)
Pruebas de contraste para dos o más grupos
independientes (ANOVA entre sujetos): un factor
completamente aleatorizado.
Estadística
ANOVA
• En el tema anterior vimos el empleo de la prueba t para
efectuar pruebas de contraste de medias para dos grupos, ya
fueran tales grupos relacionados o no relacionados.
• El problema es que la prueba t se puede emplear únicamente
para el caso de comparar las medias dos grupos. Sin
embargo, en muchos casos queremos comparar
simultáneamente dos o más grupos.
• La solución es el empleo del Análisis de Varianza (ANOVA:
ANalysis Of VAriance). El ANOVA sirve para el caso de dos,
tres, cuatro,..., grupos, ya sean éstos grupos relacionados o
grupos no relacionados.
2
08/04/11
Estadística
ANOVA
H0: No existen diferencias entre los k niveles
H1: La hipótesis nula no es cierta
Hipótesis nula: (todas las medias poblacionales de los “k" grupos son
iguales)
H0: µ1=µ2=µ3...=µa=µ
Hipótesis alternativa: (al menos una media poblacional difiere)
H1: No es cierto H0
•  Parte de un conjunto de observaciones muestrales
•  K niveles o categorías
Estadística
ANOVA
Supongamos un universo de notas de 9 alumnos
de 3 grupos distintos
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3
No hay diferencia ENTRE grupos
Ni DENTRO de los grupos
5
5
5
5
5
5
5
5
5
Xi,j = µ
3
08/04/11
Estadística
ANOVA
Supongamos que aplicamos un método de enseñanza
(factor) que afecta:
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3
5+1=6
5+2=7
5+0=5
5+1=6
5+2=7
5+0=5
5+1=6
5+2=7 5+0=5
Xi,j = µ + αi
Donde αi = {1,2,0} efecto del factor
El factor influye en establecer diferencias ENTRE grupos
Pero NO DENTRO
Estadística
ANOVA
•  Por razones ALEATORIAS algunos alumnos rinden mas
que otros
Grupo 1
Grupo 2
Grupo 3
5+1-1 = 5 5+2+2 = 9 5+0+3 = 8
5+1-2 = 4 5+2+0 = 7 5+0+4 = 9
5+1+0 = 6 5+2+1 = 8 5+0+0 = 5
Xi,j = µ + αi + εi,j
Donde εi,j= {-1,-2,0,2,0,1,3,4,0} efecto aleatoriedad
La ALEATORIEDAD influye en la variabilidad DENTRO de los
grupos
4
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ANOVA
Grupo 1
5+1-1 = 5
5+1-2 = 4
5+1+0 = 6
X1.= 5
Grupo 2
5+2+2 = 9
5+2+0 = 7
5+2+1 = 8
X2. = 8
Grupo 3
5+0+3 = 8
5+0+4 = 9
5+0+0 = 5
X3. = 7.33
X = 6.78
..
Calculamos las medias por grupo y la media global
ANOVA
Grupo 1
5
4
6
X1.= 5
Grupo 2
9
7
8
X2. = 8
Grupo 3
8
9
5
X3. = 7.33
X = 6.78
..
Para calcular el efecto aleatorio: diferencias DENTRO
"" (
)
2
k
ni
(
)
2
k
(
)
X ij # X.. = " " X ij # X i. + " n i X i. # X..
i=1 j=1
i=1
2
!
5
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ANOVA
Grupo 1
5
4
6
X1.= 5
Grupo 2
9
7
8
X2. = 8
Grupo 3
8
9
5
X3. = 7.33
X = 6.78
..
Para calcular el efecto del factor: diferencias ENTRE
"" ( X
)
2
k
ni
(
)
2
k
(
)
+ " n i X i. # X..
ij # X.. = " " X ij # X i.
i=1 j=1
i=1
2
!
Estadística
ANOVA
Tenemos dos tipos de variabilidad:
–  ENTRE grupos (debida al factor)
–  DENTRO grupos (debida a la aleatoriedad)
Para poder afirmar que el factor produce efectos:
La variabilidad ENTRE grupos debe ser significativamente
grande respecto a la DENTRO grupos
6
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Estadística
ANOVA
µ
ε
Xi,j =
+ αi + i,j
Asumiendo las hipótesis previas:
H0: α1= α2= … = αk
O bien si consideramos
H 0: µ 1= µ 2= … = µ k
Xi,j = µ + αi
Se quiere comprobar la NO INFLUENCIA del factor α
v  Todas las muestras proceden de la misma población
Estadística
ANOVA: Análisis de la varianza de un factor:
Modelo lineal:
Xij = µi + eij
eij es función de la varianza de la población:
f(X)
µ
Xij
0
eij
X
f(e)
e = X - µi
7
08/04/11
Estadística
ANOVA
f(X1j)
f(X1j)
µ1
X1j
X1j
µ1 A
1
f(X2j)
f(X2j)
µ2
X2j
f(Xaj)
A2 µ2
X2j
f(Xaj)
µa
Xaj
Xaj
µa Aa
µ
µ
Estadística
Análisis de la varianza de un factor:
Si H0 es falsa è las medias de cada población difieren en un valor Ai
Modelo lineal:
Xij = µ + Ai + eij
La H0 es entonces la siguiente:
H0 = A1 = A2 = … = Ai = … = Aa = 0
H0 = ∑ Ai2 = 0
Se quiere comprobar la INFLUENCIA del factor A
**Todas las muestras proceden de la misma
población
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Estadística
ANOVA
SCTotal
Q
= SCDentro + SCEntre
=
QD
+
QE
Estimación insesgada de σi2
= Q/(n-1)
Estimación de la variabilidad ENTRE = QE/(k-1)
Estimación de la variabilidad DENTRO = QD/(n-k)
Estimación de la variabilidad TOTAL
Por simplicidad usamos:
Suma de cuadrados DENTRO QD =
Estadística
ANOVA
H0: µ1=
µ2= … = µ
k
H1: Al menos una igualdad no es cierta
•  Según la Hipótesis fijada =>
modelo probabilístico
NO se rechaza H0 si:
9
08/04/11
Estadística
Análisis de la varianza de un factor:
Construcción del estadístico de contraste:
MCENTRE / MCDENTRO sigue una distribución F
Solo hay un valor crítico. La variable F es
una t al cuadrado, de ahí que sólo haya
una cola.
Probabilidad p
1
Si el Fcalc > Fcrit para (a-1) y a(n-1) g.l., se rechaza H0:
al menos una de las medias Xi es significativamente diferente de las demás
Estadística
ANOVA
Fuentes de Sumas de cuadrados
variación
QE = ∑ ni ( X i. − X .. )
k–1
i =1
ni
k
F
i =1 j =1
k
∑ (n − 1)S
QE / k − 1 = S
2
E
QE
F=
2
QD = ∑∑ (X ij − X i. ) =
DENTRO
Cuadrados
Medios
2
k
ENTRE
G.L.
n–k
QD / n − k = S D2
n–1
Q / n −1 = S 2
2
i
QD
Signif.
P-valor
k −1
n−k
i =1
k
TOTAL
ni
Q = ∑∑ (X ij − X .. )
i =1 j =1
Si H0 es falsa, MCENTRE > MCDENTRO
è MCENTRE / MCDENTRO > 1
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Estadística
ANOVA
Hipótesis necesarias para realizar un ANOVA
a)  Normalidad de la respuesta en cada nivel
b)  Homogeneidad de las varianzas
c)  Independencia de los valores obtenidos
Asumiendo los requisitos previos,
hacemos el contraste para ANOVA:
H 0: µ 1= µ 2= … = µ k
H1: Al menos una igualdad no es cierta
Estadística
ANOVA
REQUISITOS DE ANOVA: Homogeneidad de varianzas:
f(x1)
f(x2)
f(x1)
µ
f(x2)
µ
f(x3)
µ
µ
f(x3)
µ
µ
Cuando varianzas ≠, se incrementa el error Tipo I
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08/04/11
Estadística
ANOVA
REQUISITOS DE ANOVA: Homogeneidad de varianzas:
Test de heterogeneidad de varianzas:
Bartlett -> high alfa, sensible a NO normalidad
Levene -> es una ANOVA para VAR. Asume var iguales!!
Scheffe -> insensible a NO normalidad, pero no lo recomnieda …
Hartley -> problema cuando 1 var es pequeña….
… etc.
Test de Cochran
Gexpt =
mayor si2
∑ si 2
• Condición: Tamaños muestrales iguales (balanceado)
• La distribución G para (n-1) g.l. y k (tratamientos) ha sido tabulada
• No rechazamos H0 (homogeneidad de varianzas) si Gexp t < Gn −1, k ,α
Estadística
ANOVA
REQUISITOS DE ANOVA: Homogeneidad de varianzas:
Test de Bartlett:
• Pros: Tamaños de n desiguales (no balanceado)
• Contas: high alfa, sensible a NO normalidad
• Test basado en Chi-cuadrado
• Calcula una ponderación de las varianzas estimadas:
• El estadístico sería:
Siendo
C = 1+
M exp t =
1 ⎡⎛ k 1 ⎞
1 ⎤
⎟ −
⎢⎜ ∑
⎥
3(k − 1) ⎣⎜⎝ i =1 ni − 1 ⎟⎠ n − k ⎦
k
S D2 =
∑ (n − 1)S
i
2
i
i =1
n−k
k
1 ⎡
(n − k )Ln S D2 − ∑ (ni − 1)Ln Si2 ⎤⎥
⎢
C ⎣
i =1
⎦
( )
No rechazamos H0 si
( )
M exp t < χ k2−1,α
12
08/04/11
Estadística
ANOVA
REQUISITOS DE ANOVA: Homogeneidad de varianzas:
Test de
homogeneidad
Varianzas
homogéneas
Varianzas no
homogéneas
ANOVA
Transformación
de datos
Conteos (o datos que siguen una dist. de Poisson) è √ (X + 1)
Ratios, tasas, concentraciones, etc. è log (X) o log (X + 1)
Porcentajes y proporciones è sen-1 √ X (= arcsen X)
Estadística
ANOVA
REQUISITOS DE ANOVA: Homogeneidad de varianzas:
Si la transformación de datos no soluciona el problema,
y estamos ante alguna de las siguientes situaciones:
•  Situaciones biológicas que presentan varianzas
heterogéneas: gran agrupación de organismos.
•  Cuando son experimentos bien replicados: el análisis de la
varianza es suficientemente robusto.
•  Experimentos grandes y balanceados.
•  La validez del test y probabilidades asociadas con la
distribución de la F ratio no se ven muy afectadas.
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08/04/11
Estadística
ANOVA
REQUISITOS DE ANOVA: Homogeneidad de varianzas:
Test de
homogeneidad
Varianzas
homogéneas
Varianzas no
homogéneas
ANOVA
Transformación
de datos
Si se acepta H0 (p > 0,05), no hay problema
Si se rechaza H0, considerar αc = 0,01
Utilizar un test no paramétrico (p.ej. Kruskal-Wallis) no soluciona el problema
Estadística
ANOVA
REQUISITOS DE ANOVA: Normalidad de los datos
El análisis de la varianza es bastante robusto a las desviaciones de la
normalidad, sobre todo cuando:
•  hay un gran número de tratamientos y / o réplicas;
•  los datos están equilibrados.
Las transformaciones a menudo corrigen el apuntamiento, pero solo deben
hacerse cuando NO hay homogeneidad de varianzas. NUNCA ante la falta
de NORMALIDAD.
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08/04/11
Estadística
ANOVA
Ejemplo 1: Uno de los focos de contaminación del agua en la
Laguna del Mar Menor lo constituyen los vertidos agrícolas
procedentes de las cuencas vertientes, ricos en fósforo. Para
tratar de verificar esta sospecha, se han medido los niveles
diversos puntos de la laguna y en el de resto de lagunas.
Lago 1
Lago 2
Lago 3
Lago 4
7.1
7.2
5.6
7.2
8.5
6.5
7.1
6.6
6.2
5.9
6.3
6.3
7.3
7.8
6.7
7.4
7.9
6.4
6.5
6.5
¿Es suficientemente importante esta diferencia como para concluir
que el nivel de fósforo en el Mar Menor es diferente al de los
demás?
Estadística
ANOVA
1.  Hipótesis del contraste:
H 0 : No existen diferencias entre las k lagunas
H 1 : Hipótesis nula no cierta (al menos alguna laguna es diferente al resto)
(alfa:0.05)
H 0 : µ1 = µ 2 = µ3 = µ 4
H1 : Al menos una igualdad no es cierta
2.  Verificar hipótesis del modelo (…)
•  Independencia de los valores observados (comprobar)
•  Normalidad (para cada grupo test –ej. KS-)
•  Homogeneidad de las Varianzas (Test de Cochran):
0.75
Gexpt =
= 0.408
Max(si2)
1.84
Como Gexpt < Punto Crítico
Gexpt =
∑ si 2
No se puede
mostrar la
No se puede mostrar la
imagen. Puede que su
VARIANZAS IGUALES
15
08/04/11
Estadística
ANOVA
3. Desarrolla el contraste
a) Estadísticos:
n
̅X
S²
S
No se puede mostrar la imagen. Puede que su equipo no tenga suficiente memoria para abrir la imagen o que ésta esté dañada. Reinicie el
i de nuevo. Si sigue apareciendo
i
i
equipo y, a continuación, abra el archivo
la x roja, puede que tengai que borrar la imagen e insertarla
de
nuevo.
Lago 1
Lago 2
Lago 3
Lago 4
No se puede mostrar la imagen. Puede que su equipo no tenga suficiente memoria para abrir
la imagen o que ésta esté dañada. Reinicie el equipo y, a continuación, abra el archivo de
nuevo. Si sigue apareciendo la x roja, puede que tenga que borrar la imagen e insertarla de
nuevo.
k =4
n = n1 + n2 + n3 + n4 = 20
No se puede mostrar la imagen. Puede que su equipo no tenga
suficiente memoria para abrir la imagen o que ésta esté dañada.
Reinicie el equipo y, a continuación, abra el archivo de nuevo. Si
sigue apareciendo la x roja, puede que tenga que borrar la
imagen e insertarla de nuevo.
Estadística
ANOVA
b) Tabla ANOVA:
Fuentes de Sumas de
variación cuadrados
ENTRE
2.41
DENTRO
7.34
TOTAL
9.75
4
2
QE = ∑ ni ( X i. − X .. )
i =1
4
QD = ∑ (ni − 1)Si2
Grados de
Libertad
Cuadrados
Medios
F
Signif.
QE = 5 ⋅ (7.40 − 6.85) 2 + ..... + 5 ⋅ (6.80 − 6.85) 2 = 2.41
QD = (5 −1) ⋅ 0.75 + ..... + (5 −1) ⋅ 0.23 = 7.34
i =1
4
5
Q = ∑∑ (X ij − X .. )
Q = QE + QD = 2.41 + 7.34 = 9.75
i =1 j =1
16
08/04/11
Estadística
ANOVA
b) Tabla ANOVA:
Fuentes de Sumas de
variación cuadrados
Grados de
Libertad
Cuadrados
Medios
ENTRE
2.41
3
0.802
DENTRO
7.34
16
0.459
TOTAL
9.75
19
0.513
GLE = k −1 = 4 −1 = 3
S E2 =
F
Signif.
GL = n − 1 = 20 − 1 = 19
GLD = n − k = 20 − 4 = 16
QE
2.41
Q
7.34
=
= 0.802 S D2 = D =
= 0.459
k −1
3
n−k
16
S2 =
Q
n −1
=
9.75
= 0.513
19
Estadística
ANOVA
b) Tabla ANOVA:
Fuentes de Sumas de
variación cuadrados
Grados de
Libertad
Cuadrados
Medios
ENTRE
2.41
3
0.802
DENTRO
7.34
16
0.459
TOTAL
9.75
19
0.513
QE
Fexp t =
QD
k − 1 = 0.802 = 1.747
0.459
n−k
Fc ⇒ Fk −1,n − k ,α = F3,16, 0.05
F
Signif.
1.747
0.198
NO RECHAZO
Fexp t = 1.747 < 3.24 = F3,16,0.05
p − valor = P( F3,16 > Fexp t ) = 0.1977
(Obtenido con R)
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08/04/11
Estadística
Tema 9
Test a posteriori
(para ANOVA)
Estadística
Test a posteriori
Comparaciones múltiples
•  NOTA (ANOVA): en caso de rechazar la hipótesis nula se hace
necesario efectuar hipótesis específicas.
•  Hemos de efectuar contrastes entre medias. Estos pueden ser :
•  Contrastes Simples (cuando involucran únicamente dos medias)
•  Contrastes Complejos (cuando involucran tres o más medias).
•  Empleando otro criterio, los contrastes pueden ser:
•  "a priori" (cuando se plantean antes de analizar los datos)
•  "a posteriori" (cuando se plantean una vez vistos los datos)
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08/04/11
Estadística
Test a posteriori
Comparaciones múltiples
Al hacer varias comparaciones estamos aumentando la probabilidad de
error de tipo I.
Es decir, si hacemos un ANOVA, la probabilidad de rechazar la hipótesis
nula siendo cierta es 0'05.
Pero si en cada una de los contrastes empleamos un α = 0'05, ello
quiere decir que al hacer los 3 contrastes de arriba, la probabilidad de
cometer algún error de tipo I en el experimento es mayor de 0'05. (De
manera análoga que comprar muchos billetes de lotería aumenta
nuestras posibilidades de tener premio.)
Por tanto, se precisa controlar la probabilidad de error tipo I en cada
contraste, que será menor que 0'05.
Estadística
Test a posteriori
Comparaciones múltiples
Existen varias pruebas que permiten controlar el error tipo I en el
experimento. Tales pruebas dependen de si los contrastes son "a priori" o
"a posteriori", y de si los contrastes son simples o complejos.
• Cuando todos los contrastes son simples y queremos efectuar todas las
comparaciones "a priori" (o bien algunas -o todas las- comparaciones "a
posteriori"), la prueba más popular es la prueba de Tukey, que R calcula
fácilmente.
Cuando tenemos unos pocos contrastes "a priori" (i.e., k-1 contrastes o
menos), la prueba recomendada es la de Bonferroni.
-Cuando tenemos contrastes "a posteriori" y alguno de ellos es complejo,
hemos de efectuar la prueba de Scheffé.
Hay muchas otras pruebas de comparaciones múltiples, como podéis ver en el R.
19
08/04/11
Estadística
Test a posteriori
a priori (antes de realizar el experimento)
Dos tipos de definición de HA
a posteriori (no propongo alternativas hasta
haber realizado el experimento)
Ejemplo de comparación a priori:
H 0: µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4
HA: µ3 > µ1; µ3 > µ2; µ3 > µ4
Los tests a priori son más potentes, pero están sometidos a mayor riesgo de error
Ej: Dunn Sidak
Estadística
Test a posteriori
Tests a posteriori
Comparan todos los posibles pares de medias entre sí, de tal modo
que definen la alternativa a la H0
Subconjuntos Homogéneos
• 
Únicamente podrá definirse una HA sin ambigüedad en el caso de
que se los distintos tratamientos se reúnan en grupos tales que:
1.  no haya diferencias entre las medias dentro de un grupo, y
2.  cada media en un grupo difiere de todas las medias del
otro grupo
•  Uno de los tests más utilizados es el de Student-Newman-Keuls (SNK)
•  Otros tests utilizables:
Scheffe
Tukey
LSD
Bonferroni
… etc.
20
08/04/11
Estadística
Test a posteriori
Bonferroni
Test que realiza comparaciones dos a dos basado en el contraste de diferencias de
medias, σ2 desconocidas pero iguales:
Xi − X j
Sd
1 1
+
ni n j
< tn−k ,α / K ⇒ No Re chazo
2
Siendo: S D =
QD
n−k
Como interesa mantener Alfa por debajo del nivel predeterminado, se corrige
utilizando para cada nivel K, (constante de penalización):
⎛ k ⎞
k!
K = ⎜⎜ ⎟⎟ =
2
(
k
−
2)!2!
⎝ ⎠
Nº de posibles comparaciones
OJO: Test conservador que detecta menos diferencias de las reales. No se
recomienda cuando existen muchos niveles
Estadística
Test a posteriori
Otros test:
Existen otros test basados también en comparaciones de diferencias de
medias tomadas dos a dos. Entre otros:
Fisher LSD (diferencia mínima significativa): Test aplicado cuando no es
necesario el incremento del error Tipo I (aplicación directa del test tStudent): No se aplica penalización (no conservador). Usado para pocas
comparaciones.
Tukey HSD (diferencia significativa honesta): Aplica penalización
(conservador). Utiliza el llamado estadístico de rango studerizado qk , glerror ,α
21
08/04/11
Estadística
Test a posteriori
Estadística
Test a posteriori
Tukey: Ejemplo con R
Si aplicamos Tukey con R con los datos del E.1 del T. 8 (rechazaba H1)
Lago3-Lago2
Lago3-Lago1
95% family-wise confidence level
Lago4-Lago3
OJO: ERAN MEDIAS IGUALES
-2
-1
0
1
Differences in mean levels of grupo
22
08/04/11
Estadística
Test a posteriori
H0 no se rechaza
(Test no significativo)
Se rechaza H0
(Test significativo)
95% family-wise confidence level
-2
-1
0
Lago4-Lago3
Lago4-Lago3
Lago3-Lago2
Lago3-Lago2
Lago3-Lago1
Lago3-Lago1
95% family-wise confidence level
1
-3
-2
-1
0
1
Differences in mean levels of grupo
Differences in mean levels of grupo
Estadística
ANOVA y Test a posteriori
Ejemplo 2: Si se parte del mismo supuesto del ejemplo 1, pero
con los datos que se adjuntan a continuación:
Lago 1
Lago 2
Lago 3
Lago 4
7.8
7.2
5.6
7.2
9.2
6.5
7.1
6.6
6.9
5.9
6.3
6.3
8
7.8
6.7
7.4
8.6
6.4
6.5
6.5
¿Es suficientemente importante esta diferencia como para concluir
que el nivel de fósforo en el Mar Menor (Lago1) es diferente al
de los demás?
23
08/04/11
Estadística
ANOVA y Test a posteriori
1.  Hipótesis del contraste:
H 0 : No existen diferencias entre las k lagunas
H 1 : Hipótesis nula no cierta (alguna laguna es diferente al resto)
(alfa:0.05)
H 0 : µ1 = µ 2 = µ3 = µ 4
H1 : Al menos una igualdad no es cierta
2.  Verificar hipótesis del modelo (…)
•  Independencia de los valores observados (comprobar)
•  Normalidad (para cada grupo test –ej. KS-)
•  Homogeneidad de las Varianzas (Test de Cochran):
0.75
Gexpt =
= 0.408
Max(si2)
1.84
Como Gexpt < Punto Crítico
Gexpt =
∑ si 2
No se puede
mostrar la
No se puede mostrar la
imagen. Puede que su
VARIANZAS IGUALES
Estadística
ANOVA y Test a posteriori
3. Desarrolla el contraste
a) Estadísticos:
Lago 1
Lago 2
Lago 3
Lago 4
5
5
5
5
k =4
n = n1 + n2 + n3 + n4 = 20
1 k ni
X .. = ∑∑ X ij = 7.03
n i =1 j =1
̅Xi
8.10
6.76
6.44
6.80
S²i
0.75
0.55
0.31
0.23
Si
0.87
0.74
0.55
0.47
5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0
ni
lago1
lago2
lago3
lago4
24
08/04/11
Estadística
ANOVA y Test a posteriori
b) Tabla ANOVA:
Fuentes de Sumas de
variación cuadrados
ENTRE
8.09
DENTRO
7.34
TOTAL
15.43
4
2
QE = ∑ ni ( X i. − X .. )
Grados de
Libertad
Cuadrados
Medios
F
Signif.
QE = 5 ⋅ (8.10 − 7.03) 2 + ..... + 5 ⋅ (6.80 − 7.03) 2 = 8.09
i =1
4
QD = (5 −1) ⋅ 0.75 + ..... + (5 −1) ⋅ 0.23 = 7.34
QD = ∑ (ni − 1)Si2
i =1
4
5
Q = ∑∑ (X ij − X .. )
Q = QE + QD = 8.09 + 7.34 = 15.43
i =1 j =1
Estadística
ANOVA y Test a posteriori
b) Tabla ANOVA:
Fuentes de Sumas de
variación cuadrados
Grados de
Libertad
Cuadrados
Medios
ENTRE
8.09
3
DENTRO
7.34
16
0.459
TOTAL
15.43
19
0.812
GLE = k −1 = 4 −1 = 3
S E2 =
QE 8.09
=
= 2.70
k −1
3
Signif.
2.70
GLD = n − k = 20 − 4 = 16
S D2 =
F
QD
7.34
=
= 0.459
n−k
16
GL = n − 1 = 20 − 1 = 19
S2 =
Q
n −1
=
15.43
= 0.812
19
25
08/04/11
Estadística
ANOVA y Test a posteriori
b) Tabla ANOVA:
Fuentes de Sumas de
variación cuadrados
Grados de
Libertad
Cuadrados
Medios
F
Signif.
2.70
5.878
p<0.01
ENTRE
8.09
3
DENTRO
7.34
16
0.459
TOTAL
15.43
19
0.812
QE
Fexp t =
QD
k − 1 = 2.70 = 5.878
0.459
n−k
Fc ⇒ Fk −1,n − k ,α = F3,16, 0.05
RECHAZO
Fexp t = 5.878 > 3.24 = F3,16,0.05
p − valor = P( F3,16 > Fexp t ) = 0.006648
(Obtenido con R)
Estadística
ANOVA y Test a posteriori
c) Test a posteriori (aplicación Bonferroni):
QD
SD =
= 0.459 = 0.677
n−k
⎛ k ⎞ ⎛ 4 ⎞
4!
K = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ =
=6
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ (4 − 2)!2!
tij =
Xi − X j
SD
1 1
+
ni n j
⇒ t12 =
8.10 − 6.76
= 4.945
1 1
0.677 +
5 5
(Obtenido con R: pt(t,n-k,lower.tail=false)
Muestras
1
1
1
2
2
3
y2
y3
y4
y3
y4
y4
Dif.med.
1.34
1.66
1.30
0.32
-0.04
-0.36
tij
t16, 0. 05/6
4.945
6.126
4.797
1.181
0.148
1.328
Signif.
Signif.
Signif.
No signif.
No signif.
No signif.
p-valorij
aprox.
p<0.005
p<0.005
p<0.005
0.1<p<0.25
p>0.25
0.1<p<0.25
p-valorij
0.000073
0.000007
0.000099
0.127
0.442
0.101
Recuerda: Tanto tc como p-valor se pueden
aproximar a partir de la tabla de t.
............................................................
tc = t n − k ,α / K = t16, 0.0083 = 2.673228
(Obtenido con R: qt(1-0.00833,16)
26
08/04/11
Estadística
ANOVA y Test a posteriori
c) Test a posteriori (aplicación Tukey con R):
Lago4-Lago3
Lago3-Lago2
Lago3-Lago1
95% family-wise confidence level
-3
-2
-1
0
1
Differences in mean levels of grupo
Estadística
ANOVA y Test a posteriori
Comandos de R:
1. Contraste de bondad de ajuste a una normal:
ks.test(nivel,“pnorm”, mean=mean(nivel), sd=sd(nivel))
2. Homogeneidad de varianzas
Test de Cochran:
#Construimos una tabla con las varianzas de los grupos:
varianzas<-tapply(variable,factor,var)
gexpt <- max(varianzas)/sum(varianzas) #Estadísticio experimental
qcochran(0.95,6,4) #Punto crítico
Test Cochran alternativo: (cargar previamente librería con “library(outliers)”)
cochran.test(variable~factor,data=datos)
Test Bartlett:
bartlett.test(variable~factor)
27
08/04/11
Estadística
ANOVA y Test a posteriori
Comandos de R:
3. ANOVA:
Test ANOVA:
aov(variable~(factor))
4. Compariones múltiples:
Test de Bonferroni:
pairwise.t.test(variable, factor, p.adj="bonferroni")
Test de Tukey:
TukeyHSD(aov(variable~factor))
28