Tema 4: Superficies regulares

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Superficies regulares
Una superficie en R3 se puede decir que es, de forma intuitiva, un subconjunto en R3 donde en cada punto podemos encontrar una porcin de plano
que ha sido deformada de forma suave. Por lo general, una superficie puede
definirse como la contraimagen de una aplicación de clase C ∞ bajo ciertas
propiedades.
Sea U ⊆ R3 un abierto de R2 y F : U → R una función cuyas componentes son todas de clase C ∞ en U . Consideramos c ∈ R, tal que el
conjunto
S = {(x, y, z) ∈ R3 : F (x, y, z) = c}
no es vacı́o y además verifica que para todo P = (x0 , y0 , z0 ) ∈ S,
∂F
∂F
(P ),
(P ),
(P ) 6= (0, 0, 0).
∂x
∂y
∂z
∂F
Entonces S es una superficie regular.
Ejemplo: El conjunto
S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 1}
es la superficie dada por la esfera de centro (0, 0, 0) y radio 1. Para comprobarlo, basta tener en cuenta que S no es un conjunto vacı́o pues el punto
(1, 0, 0) ∈ S. Además, si P = (x0 , y0 , z0 ) es un punto en S y llamamos
F (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 , para que ocurriera que
∂F
∂x
(P ),
∂F
∂F
(P ),
(P ) = (2x0 , 2, y0 , 2z0 ) = (0, 0, 0),
∂y
∂z
debera ser (x0 , y0 , z0 ) = (0, 0, 0), pero esto no puede ocurrir cuando P ∈ S
ya que x20 + y02 + z02 = 1.
Otra forma forma de definir una superficie es a partir de parametrizaciones. Una superficie, desde el punto de vista de las parametrizaciones, es
un conjunto S ⊆ R3 que verifica que para cada punto P ∈ S, ciertos puntos
en S que ”rodean” a P vienen dados por la imagen de una parametrización
X : U → R3 ,
(u, v) 7→ X(u, v) ∈ S
1
que cumple que X(U ) es homeomorfo a U (moldeando adecuadamente U
obtenemos X(U )) y además que si
X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)),
entonces

rango 
∂x
(u0 , v0 )
∂u
∂y
(u0 , v0 )
∂u
∂z
(u0 , v0 )
∂u
∂x
(u0 , v0 )
∂v
∂y
(u0 , v0 )
∂v
∂z
(u0 , v0 )
∂v

 = 2,
para cada punto P = X(u0 , v0 ) en S.
Ejemplo:
Los puntos en la esfera x2 + y 2 + z 2 = 1 con última coordenada positiva
pueden parametrizarse de esta forma:
X : {(u, v) ∈ R2 : u2 + v 2 < 1} → R3
√
(u, v) 7→ (u, v, + 1 − u2 − v 2 ).
Se puede comprobar que, si
x(u, v) = u ,
√
y z(u, v) = + 1 − u2 − v 2 ,
y(u, v) = v
entonces en un punto P = X(u0 , v0 ) se cumple que

 ∂x

∂x
1
(u
,
v
)
(u
,
v
)
0
0
0
0
∂u
∂v

∂y
∂y
0
rango  ∂u (u0 , v0 ) ∂v (u0 , v0 )  = rango 
−u0
∂z
∂z
√
(u0 , v0 ) ∂v (u0 , v0 )
1−u20 −v02
∂u
0
1
√ −v20 2
1−u0 −v0
(1)


 = 2.
Dada una superficie regular S y un punto P en ella, se llama plano tangente a S en P al plano que pasa por P y, si X = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) es
una parametrización que contiene al punto P = (x(u0 , v0 ), y(u0 , v0 ), z(u0 , v0 )),
entonces el plano tangente está generado por los vectores
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
(P ), (P ), (P )
y
(P ), (P ), (P ) .
∂u
∂u
∂u
∂v
∂v
∂v
Ejemplo: Considerando la parametrización dada en (1) para el hemisferio norte de la esfera, vamos a calcular el plano tangente por cada uno de
sus puntos. Sea P = X(u0 , v0 ) un punto en esta superficie. Por un lado,
∂x
∂y
∂z
−u0
(P ), (P ), (P ) = (1, 0, p
)
∂u
∂u
∂u
1 − u20 − v02
2
y por otro,
∂y
∂z
−v0
∂x
(P ), (P ), (P ) = (0, 1, p
).
∂v
∂v
∂v
1 − u20 − v02
El plano tangente a S por P viene dado, de forma paramétrica por
q
−u0
−v0
)+s(0, 1, p
),
(x, y, z) = (u0 , v0 , 1 − u20 − v02 )+t(1, 0, p
2
2
1 − u0 − v0
1 − u20 − v02
t, s ∈ R; o también:
x − u y − v z − p1 − u2 − v 2
0
0
0
0
√ −u20 2
1
0
1−u0 −v0
−u0
√
0
1
1−u20 −v02
= 0,
que, simplificando, corresponde al plano de ecuación
q
u0 x + v0 y + 1 − u20 − v02 z = 1.
Por ejemplo, para el punto (0, 0, 1) = X(0, 0) se tiene u0 = v0 = 0 y el plano
tangente es z = 1, como era esperado.
Una superficie se dice que es reglada si por cada punto de S pasa una
recta, llamada generatriz, que está toda ella contenida en S. Ejemplos de
superficies regladas son el plano, el cilindro y el cono. Una parametrización
de una superficie reglada S es la siguiente:
X(u, v) = α(u) + ve(u),
u ∈ I, v ∈ R,
siendo I el intervalo de definición de una curva alabeada (I, α) cumpliendo
que α(I) ⊆ S y que tiene un único punto en común con cada una de las
generatrices. A esta curva se le llama directriz; además, e : I → R3 es
cierta curva alabeada con e(I) contenido en la esfera de radio 1 y centro
el origen de coordenadas que indica la dirección de la recta contenida en S
desde cada punto en la generatriz.
Ejemplos:
1. α(t) = (t, 0, 0), e(t) = (0, 1, 0) produce el plano {z = 0}.
2. α(t) = (cos(t), sin(t), 0), e(t) = (0, 0, 1) produce el cilindro {x2 + y 2 =
1}.
3
3. α(t) = (0, 0, 0), e(t) =
z 2 }.
√1 (cos(t), sin(t), 1)
2
produce el cono {x2 + y 2 =
Destacamos tres tipos de superficies regladas:
1. Superficie cónica: cuando la curva α se reduce a un único punto P .
En este caso, la superficie viene dada por la parametrización X(u, v) =
P + ve(u).
2. Superficie cilı́ndrica: cuando el vector de dirección e(u) es constante, e. En este caso, la superficie viene dada por la parametrización
X(u, v) = α(u) + v ∗ e.
3. Superficie tangencial: Viene dada por X(u, v) = α(u) + vα0 (u).
Ejemplos:
• La superficie cónica de directriz el punto P = (0, 0, 1) que contiene los
puntos en la circunferencia C = {x2 + y 2 = 1, z = 0} viene dada por
las ecuaciones paramétricas
(x, y, z) = (0, 0, 1) + v ∗ e(u),
siendo e(u) la curva paramétrica dada por el vector desde P hasta la
circunferencia C, es decir, e(u) = (cos(u), sin(u), −1). Las ecuaciones
paramétricas son:
v ∈ R, u ∈ (0, 2π).
x(u, v) = v cos(u), y(u, v) = v∗sin(u), z(u, v) = 1−v,
2
• La superficie cilı́ndrica de directriz la elipse x4 +
vector de dirección e = (0, 1, 1) viene dada por
(x, y, z) = (2 cos(u), 3 sin(u), 0) + v ∗ (0, 1, 1),
y2
9
= 1,
z = 0 con
u ∈ (0, 2π), v ∈ R.
• La superficie tangencial asociada a la generatriz α(t) = (1, t, t2 ) para
t ∈ R viene dada por
X(u, v) = (1, u, u2 ) + v ∗ (0, 1, 2u) = (1, u, u2 + 2uv),
4
u ∈ R, v ∈ R.
Dadas una curva α : I → R3 , a la que llamaremos directriz, y otra
curva β : J → R3 , a la que conocemos como generatriz, de forma que
tienen un punto P = (x0 , y0 , z0 ) en común, se llama superficie de traslación
de directriz α y generatriz β a la superficie S generada por el movimiento
de la generatriz de forma paralela a sı́ misma, mientras el punto P describe
la trayectoria de la directriz. Las ecuaciones paramétricas vendrán dadas
por
(x, y, z) = α(u) + β(v) − P, (u, v) ∈ I × J.
Ejemplo: Si se considera la curva α(u) = (u, cos(u), 0), u ∈ (0, 2π)
como directriz y la curva β(v) = (0, 0, v), v ∈ (0, 1) como generatriz, el
punto en común de ambas es P = (0, 0, 0). La superficie de traslación a la
que dan lugar es
(x, y, z) = (u, cos(u), v),
4.1
u ∈ (0, 2π), v ∈ (0, 1).
Ejercicios:
1. Sea f : R2 → R3 una función verificando que sus componentes son
funciones de clase C ∞ en R2 . Comprobar que el grafo de f , es decir
Gr(f ) = {(x, y, z) ∈ R3 : z = f (x, y)}
es una superficie regular.
Nota: Toda superficie puede siempre parametrizarse a partir de grafos
de funciones.
2. Se considera la superficie helicoidal dada por
S = {(v cos(u), v sin(u), u) : v ∈ (0, 1), u ∈ (0, 2π)}.
Se pide:
- Comprobar que la helicoide es una superficie regular.
- Calcular el plano tangente en cada punto de S.
3. Hallar la ecuación de la superficie cilı́ndrica de directriz d y generatrices paralelas a la recta r, siendo
d≡
y 3 = x4
z=0
r≡
2x + y = 0
x−y+z =0
5
.
4. Hallar la ecuación de la superficie cónica, S, de vértice el punto P = (1, 1, 1)
y directriz la curva de ecuaciones
z=4
2
d≡
x2
+ y9 = 1
4
Escribir su correspondiente ecuación implı́cita.
5. Hallar la superficie tangencial asociada a la curva α(t) = (et , e−t , t), t ∈ R.
6. Hallar el paraboloide engendrado por la parábola z = by 2 , x = 0, al
trasladarse paralelamente a sı́ misma a lo largo de la parábola z = ax2 ,
y = 0.
6