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CAPÍTULO I
ORIGEN Y TRASCENDENCIA DE LA GEOMETRÍA
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ORIGEN DE LA GEOMETRÍA
Hay tres problemas tan antiguos como el hombre, que dieron principio a las primeras
creaciones matemáticas. Estos problemas fueron: el problema de contar, que dio origen a la
aritmética y los de medir y construir, que dieron origen a la Geometría.
La geometría nace en Egipto cuando el rey Sesotris dividió las tierras con el objeto de
cobrar un impuesto; cuando el Río Nilo invadía una parte de alguno, este tenía que ir a él y
notificar lo que había sucedido. Enviaba entonces supervisores, quienes median en cuánto se
había reducido el terreno, para que el propietario pudiera pagar sobre lo que quedaba. Es probable
que la geometría se originó en Egipto y paso luego a Grecia.
Otra actividad que llevó al hombre a tener que ocuparse de ciertos problemas
geométricos tales como el trazado de paralelas, dibujo de rectángulos,
cuadrados, etc., fue la construcción. Es bien sabido que los Faraones de
Egipto hacían edificar sus tumbas, que eran suntuosas, en forma de
pirámide y esto obligaba a los arquitectos a estudiar propiedades
geométricas de los cuerpos que usaban en la construcción, para
lograr la belleza y la estabilidad de los monumentos.
En conclusión la geometría nació para ayudar al hombre a resolver sus problemas de
medición y construcción; después por la obra de los Griegos, se perfeccionó y se convirtió en
ciencia pura.
LOS PIONEROS DE LA GEOMETRÍA
Como se ha reseñado anteriormente la geometría fue obra de los Griegos, ellos fueron los
primeros en interesarse en las ideas abstractas, y se complacían en pensar sobre estas ideas puras
que ellos mismos habían creado, tales como las ideas de punto, recta, plano, etc.
El primer geómetra importante fue THALES DE MILETO, que vivió en el siglo VI antes
de Jesucristo. Se sabe que viajó por Egipto, donde adquirió muchos conocimientos de Geometría
y Astronomía. Fue uno de los sabios de Grecia, quien demostró importantes teoremas sobre
triángulos y sobre segmentos proporcionales por lo que se considera el fundador de las figuras
semejantes.
Pitágoras de Samos (siglo VI a. J.C.)
También viajó por Egipto a su regreso fundó en Cetona, una escuela científica, política y
religiosa, que fue llamada la Escuela Itálica y a sus miembros se les llamaba los Pitagóricos. La
escuela itálica consideraba el punto como un ente indivisible, de una sola dimensión, de aquí se
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deducía que dos segmentos tenían siempre un submúltiplo común (es decir siempre eran
conmensurables), o sea, que su relación era un número entero o un número racional Uno de los
principios fundamentales del pitagorismo, consistía en expresar que la esencia de las cosas , tanto
en la geometría como en los asuntos teóricos y prácticos del ser humano se pueden explicar en
términos de arithmos, es decir, de propiedades intrínsecas a los números naturales y de sus
razones geométricas. Pero el descubrimiento de los inconmensurables sorprendió a la comunidad
matemática griega, que prácticamente demolía las bases de la fe pitagórica en los números
enteros. Es así como dentro de la misma geometría resulta inadecuado pensar por ejemplo que la
razón geométrica entre la diagonal de un cuadrado y lado es un número racional, dado que tales
parejas de segmentos son inconmensurables, por pequeña que sea la unidad de medida elegida.
No se sabe la fecha exacta del descubrimiento de los inconmensurables, pero se suele admitir que
éste reconocimiento tuvo lugar en conexión con la aplicación del teorema de Pitágoras al triángulo
rectángulo isósceles, y enunciado en términos generales así: “En todo triángulo rectángulo el
cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de
los catetos".
Platón (Siglo IV a. J.C.)
Fundó en Atenas un centro de estudios superiores y de investigación, llamado "La
Academia". Pertenecían a esta escuela Hipócrates, Platón, Eudoxio, quienes se
concentraron en el estudio básico de tres grandes problemas a regla y compás:
La duplicación del cubo, o el problema de construir la arista de un cubo
cuyo volumen sea el doble del de un cubo dado.
La cuadratura del círculo, o el problema de construir un cuadrado que tenga un área igual a la de
un círculo dado.
La trisección de un ángulo, o problema de dividir un ángulo cualquiera en tres ángulos
congruentes.
Estos problemas fueron abordados durante muchos años y no fue sino hasta el siglo XIX
cuando se consiguieron respuestas satisfactorias a tales problemas, demostrándose que con las
limitaciones impuestas de usar solo regla y compás las tres construcciones anteriores son
imposibles.
Es de hacer notar que en la puerta de entrada de la academia había un aviso: “no entre
aquí quien no sepa Geometría”. La idea de Platón es que la educación efectiva tiene que
comenzar por crear una necesidad de saber, por medio de la crítica de la opinión, con un
principio fundamental que es aprender a pensar por sí mismo.
Euclides (Siglo III a. J.C.)
Matemático Griego, se ignora dónde nació y donde murió, sin embargo se sabe que en el reinado
de Tolomeo I, enseñó en Alejandría de Egipto, ciudad que gracias a Euclides se convirtió en un
floreciente centro de estudios matemáticos. Euclides es considerado como " El Padre
Geometría". Recopiló y organizó todos los conocimientos geométricos de su época. Su obra
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fundamental "Elementos" que constan de 13 libros, los 6 primeros se refiere a la planimetría, los
3 siguientes a la teoría elemental de números, el décimo a los números irracionales y los tres
últimos a estereometría. Es importante señalar que en los “Elementos” que comprenden cerca de
500 proposiciones, no hay una sola aplicación práctica ni un solo ejemplo numérico, es curioso
que al definir los números perfectos no indique al menos un ejemplo. Pero resulta igualmente
curioso que no se describa instrumento geométrico alguno, y auque se afirma que la geometría de
Euclides al igual que la Academia de Platón, solo admite construcciones con regla y compás, de
atenerse literalmente a su obra diríamos que no admite sino construcciones con rectas y
circunferencias.
Euclides organizó la geometría pensando en un mundo plano y utilizando el método axiomático
deductivo. La seguridad que éste método confirió a la construcción euclidea es el hecho
fundamental que ha permitido la existencia por más de 20 siglos de la obra de Euclides favorecida
por los siguientes factores:
Dedicación exclusiva implantada en el Museo de Alejandría por los Ptolomeos.
Disposición de un conjunto de teoremas geométricos de los matemáticos de tres siglos anteriores
como Pitágoras y Eudoxo.
Dispuso de la lógica aristotélica, en quien se fundamenta precisamente el método axiomático
señalado por Aristóteles como el mejor a seguir en toda ciencia deductiva y fue la lógica
aristotélica quien le dio la solidez necesaria a la obra de Euclides para resistir la oposición por
muchos siglos.
Euclides imprime a su obra los rasgos pitagóricos – platónicos, aporte que constituye uno de los
atributos permanentes.
Euclides enuncia sus cinco postulados de la siguiente manera, postúlese:
Que por cualquier punto se pueda trazar una recta que pasa por otro punto cualquiera.
Que toda recta ilimitada pueda prolongarse indefinidamente en la misma dirección.
Que con un centro dado y un radio dado se pueda trazar un círculo.
Que todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
Que por un punto de un plano fuera de una recta, se puede trazar una y solo una paralela a la
recta dada. Su versión original es: “ si una recta, al cortar a otras dos, forma ángulos internos de
un mismo lado menores de dos rectos, dichas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan
del lado en que están los ángulos menores de dos rectos”.
Además de los cinco postulados Euclides enuncia cinco definiciones:
1.-Cosas que son iguales a la misma cosa son iguales entre sí.
2.-Si iguales se suman a iguales, los resultados son iguales.
3.- Si iguales se restan de iguales, los resultados son iguales
4.- Cosas que coinciden una con otra son iguales entre si.
5.- El todo es mayor que la parte.
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Tomado de Historia de la matemática de Carl B. Boyer
Las dos figuras básicas de la geometría de Euclides son la recta y la circunferencia, si bien
en forma independiente, sin dar a conocer sus conexiones mutuas. En todas las demostraciones
Euclides usa perfectamente el método de reducción al absurdo, pero casi siempre recurre también
a los artificios lógicos capaces de llevarle a su objetivo con la mayor rapidez y seguridad. No se
puede negar el espíritu creativo de Euclides, es así como para demostrar el Teorema de Pitágoras,
utilizó una figura que se ha descrito a veces como un molino de viento, o como una cola de pavo
real, o como la silla de la novia.
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U
L
D
S
V
E
R
w
N
A
M
Sea el ? RDA, rectángulo en D. La demostración se consigue probando el área del
cuadrado construido sobre el lado RD es igual al doble del área del ? VRA, o bien al doble del
área del ? DRN, es decir igual al área del rectángulo REWN; y que el área del cuadrado
construido sobre el lado AD, es igual al doble del área del ? SRA, o bien al doble del área del
? DAM, es decir igual al área del rectángulo EWMA. Luego la suma de las área de los cuadrados
construidos sobre los catetos son iguales a la suma de las áreas de los rectángulos, o sea igual al
área del cuadrado RAMN, construido sobre la hipotenusa.
Obsérvese que aunque la Geometría Euclidiana tuvo sus fallas aun sigue siendo válida y se ha
enseñado por más de 20 siglos, entre otras razones por las siguientes:
Por el papel que desempeña en el proceso de representar el mundo y por lo tanto en la
construcción del conocimiento.
"No es posible construir conocimiento sin manejar la espacialidad y por ello cuando no se
aprende la Geometría de Euclides y los planes de estudio no la incluyen alejamos a nuestros niños
y jóvenes no solamente del saber matemático sino, del conocimiento en general". (Pérez Jesús
Hernando. 1.990)
Es una geometría fácil y de aplicación diaria.
GEOMETRÍA NO EUCLIDIANAS
Del quinto postulado, se derivan las propiedades básicas de la geometría euclidiana, tales como:
existencia y unicidad de la paralela a una recta desde un punto exterior a ésta; el valor de la suma
de los ángulos interiores de un triángulo, teoría de la semejanza... Éste postulado, fue la manzana
de la discordia desde el mismo momento de su enunciado, inclusive Euclides demuestra cerca de
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30 proposiciones sin tomarlo en cuenta, prácticamente desde Proclo construyendo otro tipo de
geometría. Los críticos
de Euclides, pasando por los matemáticos del Renacimiento y de la Edad Moderna, intentaron e
hicieron ingentes esfuerzos para deducir el quinto postulado de los demás, esfuerzos que no
lograron su propósito, sin embargo, éste trabajo dejó sus saldos positivos, estableciendo
postulados equivalentes al de Euclides aunque más simples o más intuitivos.
El padre Sacheri había impulsado otros estudios al publicar en 1773 una obra en la que
intentaba demostrar el quinto postulado de Euclides. Hacía partir sus razonamientos de lo
absurdo, con la esperanza de llegar a una contradicción lógica, de éste modo logró demostrar los
primeros teoremas de geometría no euclidiana, pero la contradicción a que llegó del quinto
postulado se debe a un error suyo; en efecto, la negación del quinto postulado de Euclides es
compatible con los restantes y permite la construcción de las geometrías llamadas precisamente
no euclidianas; cuya fecha oficial de nacimiento, aunque no de reconocimiento, se ubica en la
tercera década del siglo XIX, utilizando el método axiomático deductivo establecido por Euclides.
Sacheri, tomó como figura un cuadrilátero con dos lados opuestos e iguales y
perpendiculares a la base, adoptando como hipótesis que los otros dos ángulos, cuya igualdad
demuestra, pueden ser rectos, obtusos o agudos. Rechaza la hipótesis del ángulo obtuso,
demostrando un conjunto de teoremas que posteriormente sirvieron de base para la construcción
de la geometría elíptica. Igualmente rechaza la hipótesis del ángulo agudo, considerándola como
falsa, porque repugna la naturaleza de la línea recta. Ante éstos hechos solo queda válida la
hipótesis del ángulo recto, que es equivalente al quinto postulado, de ésta forma Euclides queda
reivindicado.
Karl Friedrich Gauss fue el primero en llegar a la conclusión que el hecho de prescindir
del quinto postulado de Euclides en la construcción de una geometría no conduce a contradicción
alguna. Aunque inicialmente no publicó nada al respecto por temor a la “gritería de los
beocios”; en 1831 redacta una geometría, que por originalidad suya la denomina no euclidiana,
pero al enterarse del trabajo de Bolyai abandonó el propósito. Es de hacer notar que Gauss hizo
importantísimos aportes a la matemática que someramente podré mencionar: representación
gráfica de los números complejos; el teorema fundamental del álgebra, “toda ecuación polinómica
de la forma f(x) = 0 tiene al menos una raíz, ya sean los coeficientes reales o complejos”; álgebra
de las congruencias, referida a la teoría de números; ley de los mínimos cuadrados y su aplicación
en astronomía, que consistía en calcular a partir de pocas observaciones registradas del asteroide,
la órbita recorrida en su movimiento.
El húngaro Janos Bolyai, escribe en 1832 un tratado de solo 26 páginas, en él habla de un
universo creado de la nada y expone la llamada geometría absoluta, señalando que sus hallazgos
son independientes del quinto postulado de Euclides y válidas en un edificio geométrico más
general donde tiene cabida la geometría euclidiana como un caso particular.
Lobachevsky realiza un trabajo semejante al de Bolyai, culminando su labor con la llamada
Pangeometría en la cual muestra un rasgo de la geometría del futuro, consiste en un estudio
analítico, sin figuras, compuesto de un conjunto de teoremas y de fórmulas, es una trigonometría
de una geometría que él llamaba imaginara.
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Finalmente el quinto postulado de Euclides quedó reemplazado por otro axioma que
según GAUSS, LOBATCHEVSKI Y BOLYAI “por un punto exterior a una recta pasan
infinitas paralelas a dicha recta”, principio sobre el cual se construyó la geometría Hiperbólica.
Georg Friedrich Bernhard RIEMANN en su obra: “ Sobre las Hipótesis en que se apoyan los
Fundamentos de la Geometría”, presenta un amplio y profundo panorama de la geometría
globalmente considerada, pero no presenta un ejemplo en concreto, sino que insistía en cambio
en una visión global de la geometría como el estudio de las variedades de cualquier número de
dimensiones en cualquier tipo de espacio. Riemann consideraba que la geometría no debería tratar
ni siquiera necesariamente de puntos o rectas o del espacio en el sentido usual, sino de conjuntos
de n – uplas ordenadas que se pueden combinar de acuerdo a ciertas leyes. Una de las reglas más
importantes según Riemann es la que nos da la distancia entre dos puntos infinitamente próximos.
En la geometría euclidea ordinaria ésta métrica viene dada por: ds2 = dx2 + dy2 + dz2. Según la
métrica utilizada se determinará las propiedades del espacio, es decir su geometría.
ds2 = g11dx 2 +g12dxdy + g13dxdz +
g21dydx +g22dy2 + g23dydz +
g31dzdx + g32dzdy + g33dz2
donde gij, son constantes o funciones de x, y, z, se conoce con el nombre de “ espacio de
Riemann”. Un espacio localmente euclídeo, no es más que un caso especial del espacio de
Riemann, en el que se verifica g11 = g22 = g33 = 1. Los demás gij, son cero.
Riemann construye su Geometría Elíptica sobre la base del siguiente postulado: “por un
punto exterior a una recta, no pasa ninguna paralela a dicha recta”.
VISIÓN GENERAL
Con la concepción de número de la escuela Itálica se entablaron largas discusiones filosóficas de
las que surgió la noción de un punto como ente geométrico carente de dimensión. A los
geómetras posteriores la idea de número les pareció un tanto engañosa, y las sustituyeron por las
nociones de dimensión y área.
El desarrollo de la geometría como ciencia se vio en parte contrarrestada por las limitaciones
artificiosas impuestas por la exclusión del concepto de número, por consiguiente de la Aritmética
y del Álgebra, además los griegos establecieron otras limitaciones no menos esenciales, debido a
su concepto estético de la geometría que les llevaba a fijar la atención en las líneas perfectas, es
decir en las que poseían una simetría particular, como la recta y el círculo, de aquí derivaba, entre
otras cosas la limitación de los instrumentos admitidos para las construcciones gráficas con regla y
compás, aspecto que contribuyó a la estabilidad o estancamiento de la geometría griega.
Posteriormente aportaron a tal estancamiento entre otros los siguientes hechos: a. No era fácil
continuar la obra de los grandes geómetras griegos, obra difícil y tema agotado; b. El nacimiento
de los métodos analíticos que mediante el uso de coordenadas y al cálculo infinitesimal permitían
resolver problemas relacionados con la geometría euclidiana y fuera de ella; c. Por razones
históricas, se descuidó la geometría en el mundo Occidental, mientras que en la India y Arabia
florecía la Aritmética y el Álgebra.
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En 1200, Leonardo Fibonacci introdujo en Occidente los procedimientos de Cálculo usados por
los Indios y los Árabes, y se ocupó también de las investigaciones geométricas. En el siglo XVI se
reanudaron en Occidente los estudios matemáticos especialmente los del Álgebra. Esta aportación
de nuevos resultados de carácter algebraico anunció la Geometría Analítica creada por René
Descartes, quien publicó en 1637 su obra la Geometría, como apéndice de su Discurso sobre el
Método, afirmando que el método algebraico era el más conveniente para estudiar cuestiones
geométricas. En el siglo XVIII, se desarrolló el análisis infinitesimal, basados en algunos
problemas planteados por la geometría como la determinación de las tangentes a una curva, el
cálculo de las áreas, etc. El siglo XVIII, fue el siglo del auge del cálculo infinitesimal, sistematizado
en los tratados de Euler y aplicado con éxito por Lagrange en su Mecánica Analítica. Los llamados
métodos infinitesimales se caracterizaban por un proceso algorítmico que justificaba el nombre de
“cálculos” y estaban constituidos por el cálculo diferencial, el integral y el de variaciones. Éstos
métodos carecían de todo fundamento riguroso, y ante las dificultades lógicas del cálculo Jean Le
Rond D’Alembert expresaba: “Allez en avant et la foi vous viendra”. (Siga adelante que la fe le
llegará)
La matemática en el siglo XVIII se convirtió en un auxiliar de la física, terreno abonado por las
ideas de la época del hombre renancista y moderno, quien al descubrir en la naturaleza una fuente
de poder, utilidad y progreso; aprovechó la ciencia para colocar ese poder a su disposición, que
luego con el método experimental y el papel que en él desempeñaba la ma temática, se llegó a
considerar los entes matemáticos como seres naturales, y las verdades matemáticas logradas por el
razonamiento y la intuición, semejantes a las verdades físicas. Teoría que heredaron los
enciclopedistas, quienes consideraban la matemática (cuyo objeto es la cantidad) encabezando la
lista de las ciencias naturales, dividida en matemática pura (aritmética, álgebra, geometría) y
matemática mixta (física, astronomía,... ).
No olvidemos que por esta época estaban vigentes los principios filosóficos de Emmanuel Kant,
según él, la ley moral presupone la libertad, la inmortalidad, la existencia de Dios, si bien la razón
no puede justificar éstas nociones primordiales. Pues bien, los principios kantianos vinculaban las
verdades matemáticas con los conceptos metafísicos de tiempo y espacio.
En la primera mitad del siglo XIX, la matemática experimentó un notable cambio, proclamó su
independencia, autonomía así como su unidad; se produjo un enorme desarrollo de la geometría
en varias direcciones. La creación de la geometría proyectiva, que desde el punto de vista de las
aplicaciones, nace con las reglas de la perspectiva entre los artistas del Renacimiento y se fortalece
gracias a los métodos de la geometría descriptiva de Gaspard Monge de fines del siglo XVIII,
toma cuerpo teórico por la obra de Gerard Desagües y se concreta a comienzos del siglo XIX con
el tratado de Jean Víctor Poncelet al distinguir las propiedades proyectivas de las métricas de las
figuras. Igualmente la Geometría Hiperespacial, es decir de los espacios de varias dimensiones,
experimentó un gran impulso por la obra de Grassmann, Jacobi, Caley y Sylvester, mientras que
Gauss y Riemann se ocuparon especialmente de la Geometría Diferencial. Además de éstos
estudios como se mencionó anteriormente, se efectuaron investigaciones geométricas en una
nueva dirección, en cierto modo revolucionaria: se trataba de investigaciones inherentes a las
geometrías no euclidianas. Lobatcheski y Bolyai publicaron un interesante tratado sistemático
sobre esta geometría y el matemático Gauss conocía perfectamente la existencia, aunque no dejo
obra alguna sobre este tema. La generalización posterior de la geometría Analítica consiste en
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permitir que las coordenadas de los puntos de un espacio varíen en sistemas numéricos más
generales del campo real o complejo.
Desde el punto de vista, las propiedades algebraicas del sistema numérico se reflejan en
propiedades geométricas del espacio construido sobre él o viceversa. De esta forma, ha surgido
una relación más profunda entre el Álgebra y la Geometría, lo que por otra parte, permite
examinar más a fondo los fundamentos mismos de esta última. Otra orientación moderna de la
geometría se ocupa del estudio topológico-diferencial de las variedades diferenciables, es decir, de
aquellos particulares espacios topológicos (localmente Euclidianos, o sea, en correspondencia
biunívoca y bicontinua 1 con un espacio Euclidiano de, n, dimensiones) que están relacionadas
con transformaciones diferenciables. Esta orientación conduce al estudio moderno de las
variedades algebraicas y de las variedades de Riemann, es decir, variedades dotadas de una métrica,
y finalmente a la teoría de la relatividad; el universo físico de la relatividad se puede considerar
como una variedad diferenciable de 4 dimensiones, dotada de una métrica que describe las
propiedades físicas del universo.
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Una correspondencia biyectiva de una figura X, en una figura Y, es aquella que asigna a todo punto de X uno y
solo uno de Y, y viceversa. Una correspondencia continua es aquella que, a puntos vecinos o cercanos situados
en X, les asigna puntos vecinos o cercanos en Y. Una correspondencia es bicontinua cuando lo es de X a Y y
viceversa.