2 Solucions de les activitats de cada epígraf Pàg. 1 PÀGINA 42 Fins al mes passat, Edelmir tenia 20 vaques que li donaven 2 940 litres de llet a la setmana. Va fer els comptes i... “Cada vaca em dóna 21 litres de llet al dia”. Va decidir comprar dues vaques més. Ara, amb totes, obté 3 432 litres de llet a la setmana. Per a esbrinar quant li dóna cada vaca al dia, va tornar a fer càlculs: “No obtinc un nombre enter”, es va dir. “Utilitzaré decimals (22,2857142857... litres) o, millor encara, nombres fraccionaris (22 litros + 2/7 de litre)”. 1 Comprova els càlculs d’Edelmir, abans i després d’haver comprat les dues vaques. 2 940 • 20 vacas dan 2 940 l a la semana 8 las 20 vacas dan = 420 l al día 8 7 420 8 cada vaca da = 21 l al día. 20 3 432 • 22 vacas dan 3 432 l a la semana 8 las 22 vacas dan l al día 8 7 3 432 8 cada vaca da : 22 = 22,285714 l al día. 7 2 En quin percentatge va augmentar el ramat amb les dues vaques que va comprar? Como tenía 20 vacas, las 2 que compró representan un 2 · 100 = 10%. 20 3 Amb quantes vaques va començar Edelmir si les 22 d’ara són el 200% de les que tenia al principi? Un 200% significa el doble. Por tanto, 22 son el doble de las vacas iniciales, es decir, Edelmiro empezó con 11 vacas. PÀGINA 43 ANTES DE COMENZAR, RECUERDA 1 Ordena de menor a major: 30 44 74 166 384 , , , , . 51 75 126 282 654 44 384 74 30 166 < < < < 75 654 126 51 282 Unitat 2. Els nombres i les seues utilitats II 2 Solucions de les activitats de cada epígraf Pàg. 2 2 Trunca i arredonix en la quarta xifra decimal els nombres següents: a) √2 b) √5 c) π Troba’ls, prèviament, en la calculadora. a) Truncado: 1,4142 Redondeado: 1,4142 b) Truncado: 2,2360 Redondeado: 2,2361 c) Truncado: 3,1415 Redondeado: 3,1416 3 Contesta la pregunta que se’t fa en cada frase i digues quina és la quantitat de referència: — Quanta aigua hi ha en un embassament la capacitat del qual és 60 hm3 i està ple en un 80%? — Quina és la capacitat d’un embassament on hi ha 48 hm3 d’aigua sabent que si aquesta augmentara un 25% l’embassament s’ompliria? • La cantidad de referencia es 60 hm3. 80% de 60 = 48 hm3 En el pantano hay 48 hm3. • La cantidad de referencia es 48 hm3. 48 hm3 aumentan en un 25% 8 48 · 1,25 = 60 hm3. El pantano se llena con 60 hm3. PÀGINA 45 1 Indica quin tipus de nombre decimal és cada un dels següents: ) 2, 8 2,7 3 3,5222… ) 3,52 ) 2,8 ) 1,54 √3 = 1,7320508… ) 2,73 3,5222… π – 2 = 1,1415926… 2 ) 3,52 1, 54 √3 = 1,7320508… π – 2 = 1,1415926… Decimal exacto. Decimal periódico puro. Decimal periódico puro. Decimal no exacto ni periódico. Decimal periódico mixto. Decimal periódico mixto. Decimal no exacto ni periódico. Ordena de menor a major aquests nombres: ) ) 2, 5 2,5 2,35 ) ) 2,505005… 2,35 < 2,5 < 2,505005… < 2,5 3 ) Escriu tres nombres decimals compresos entre 2,5 i 2, 5. Respuesta abierta. ) ) Ejemplo: 2,5 < 2,51 < 2,52 < 2,52 < 2,5 Unitat 2. Els nombres i les seues utilitats II 2 Solucions de les activitats de cada epígraf Pàg. 3 4 Sense efectuar la divisió, i atenent només el denominador de la fracció simplificada, digues si les fraccions següents donaran lloc a decimals exactes o periòdics: a) 44 b) 42 c) 101 d) 1 001 150 150 1 024 500 a) 44 = 22 150 75 b) 42 = 150 c) 101 1 024 d) 1 001 500 8 75 = 52 · 3 8 Decimal periódico, pues en el denominador de la fracción simplificada hay algún factor (el 3) distinto de 2 y 5. 7 8 25 = 52 8 Decimal exacto. 25 8 1 024 = 216 8 Decimal exacto. 8 500 = 22 · 53 8 Decimal exacto. PÀGINA 46 1 Expressa en forma de fracció els següents nombres decimals: ) ) ) a) 6,2 b) 3,5 c) 0, 23 d) 41,041 a) 62 = 31 10 5 b) 10N – N = 35 – 3 8 9N = 32 8 N = 32 9 c) 100N – N = 23 – 0 8 99N = 23 8 N = 23 99 d) 1 000N – N = 41 041 – 41 8 999N = 41 000 8 N = 41 000 999 PÀGINA 47 2 Completa el procés per expressar com a fracció el nombre donat. N= 6,21777… )° a) 6,21 7 §¢ 100N = 621,77777… § £1 000N = 6 217,7777… N= 0,0316262… )° b) 0,031 62 §¢ 1 000N = 31,626262… § £100 000N = 3 162,626262… a) 1 000N – 100N = 6 217 – 621 8 900N = 5 526 8 N = 5 526 = 1 399 900 225 b) 100 000N – 1 000N = 3 162 – 31 8 99 000N = 3 131 8 N = 3 131 99 000 Unitat 2. Els nombres i les seues utilitats II 2 Solucions de les activitats de cada epígraf Pàg. 4 3 Expressa com a fracció els decimals següents: ) ) a) 6,2 5 ) b) 0,001 c) 5,018 a) 100N – 10N = 625 – 62 8 90N = 563 8 N = 563 90 b) 1 000N – 100N = 1 – 0 8 900N = 1 8 N = 1 900 c) 1 000N – 10N = 5 018 – 50 8 990N = 4 968 8 N = 4 968 = 276 990 55 4 Quins dels nombres següents són racionals? Posa’ls en forma de fracció: ) ) a) 3,51 b) 5,202002000… c) 5, 03 d) 0,3212121… e) π = 3,141592… f) 7,4331 a) Sí es un número racional. Fracción: 351 100 b) No es un número racional, porque no es decimal periódico ni exacto. c) Sí es un número racional. Fracción: 498 = 166 99 33 d) Sí es un número racional. Fracción: 318 = 53 990 165 e) No es un número racional, porque no es decimal periódico ni exacto. f ) Sí es un número racional. Fracción: 74 257 9 990 PÀGINA 48 1 Situa cada un dels nombres següents en les caselles corresponents. Tin en compte que cada nombre pot estar en més d’una casella. (FES-HO EN EL QUADERN). ) 107; 3,95; 3, 95; – 7; √20 ; 36 ; 9 N AT U R A L S , ENTERS, N Z FRACCIONARIS RACIONALS IRRACIONALS Unitat 2. Els nombres i les seues utilitats II √ 4 7 9 ; – √36 ; 3 ; π – 3 107; 36/9 = 4 — 107; –7; 36/9 = 4; –√36 = –6 ) — 3,95; 3,95; √4/9 = 2/3; 7/3 ) 107; 3,95; 3,95; –7; 36/9 = 4; — — √4/9 = 2/3; –√36 = –6; 7/3 — √20; π – 3 2 Solucions de les activitats de cada epígraf Pàg. 5 PÀGINA 49 Càlcul mental 1 Simplifica: 3 3 3 a) 4 √5 + 7 √5 – √5 b) √4 – 5 √4 + 7 √4 a) 10√5 b) 3√4 3 Càlcul mental 2 Simplifica: 3 3 a) √5 · √20 b) √6 · √10 a) √100 = 10 b) √60 3 Càlcul mental 3 Simplifica: 3 a) √8 b) √43 a) 2 b) 23 = 8 1 Simplifica les expressions que pugues i en les restants indica per què no es poden simplificar. a) 8 √5 – 6√3 3 b) 3 √5 – 4√5 d) √5 · √5 e) √6 √7 a) No se puede simplificar. b) –√5 d) No se puede simplificar. e) √42 3 c) √25 – √8 c) No se puede simplificar. PÀGINA 51 1 Què podem dir de l’error absolut i de l’error relatiu d’aquests mesuraments?: a) Volum d’una banyera, 326 litres. b) Volum d’una piscina, 326 m3. c) Volum d’un embassament, 326 hm3. a) Error absoluto < 0,5 l b) Error absoluto < 0,5 m3 = 500 l c) Error absoluto < 0,5 hm3 = 500 000 l El error relativo es el mismo en los tres casos, porque el número de cifras significativas es el mismo en todas ellas. Unitat 2. Els nombres i les seues utilitats II 2 Solucions de les activitats de cada epígraf Pàg. 6 2 Compara l’error relatiu comés en fer les pesades següents: a) Una balena, 37 tones. b) Un titot, 3 kg. c) El senyor Anselm, 87,3 kg. El menor error relativo se da al pesar a Don Anselmo, porque se usan tres cifras significativas. Y el mayor error relativo se da al pesar al pavo, porque solo tiene una cifra significativa. PÀGINA 52 Repàs: potències de base 10 I. Opera i expressa el resultat com a potència de base 10: a) 1 000 · 100 000 b) 1 000 · 0,01 c) 1 000 : 0,01 d) 1 000 : 0,000001 e) 1 000 · 0,000001 f) 0,0001 · 0,01 g) 0,0001 : 0,01 a) 108 b) 10 c) 105 d) 109 e) 10–3 f ) 10–6 g) 10–2 II.Digues el valor de n perquè es verifique cada igualtat: a) 374,2 · 105 = 3,742 · 10n b) 374,2 · 10 –7 = 3,742 · 10n c) 0,031 · 105 = 3,1 · 10n d) 0,031 · 10–7 = 3,1 · 10n a) 7 1 b) –5 c) 3 d) –9 Calcula: a) (3,25 · 107) · (9,35 · 10 – 15) b) (5,73 · 104) + (– 3,2 · 105) c) (4,8 · 1012) : (2,5 · 103) a) 3,25 · 9,35 · 107 – 15 = 30,3875 · 10–8 = 3,03875 · 10–7 b) (5,73 · 104) + (–32 + 104) = (5,73 – 32) · 104 = –26,27 · 104 = –2,627 · 105 c) (4,8 : 2,5) · 1012 – 3 = 1,92 · 109 Unitat 2. Els nombres i les seues utilitats II 2 Solucions de les activitats de cada epígraf Pàg. 7 PÀGINA 54 Càlcul mental 1 Expressa en forma decimal els percentatges següents: a) 10% b) 7% c) 1% d) 160% e) 127% f) 5% a) 0,1 f ) 0,05 b) 0,07 c) 0,01 d) 1,6 e) 1,27 Càlcul mental 2 Quin tant per cent representa cada quantitat respecte al seu total?: a) 15 respecte 30. b) 5 respecte 20. c) 2 respecte 10. d) 30 respecte 3 000. e) 3 respecte 4. a) 50% b) 25% c) 20% d) 1% e) 75% 1 2 Calcula. a) El 24% de 300. c) El 3% de 83 200. e) El 230% de 5 200. b) El 112% de 560. d) El 30% de 83 200. f) El 300% de 40. a) 300 · 0,24 = 72 c) 83 200 · 0,03 = 2 496 e) 5 200 · 2,30 = 11 960 b) 560 · 1,12 = 627,2 d) 83 200 · 0,03 = 24 960 f ) 300 · 0,4 = 120 Calcula el tant per cent que representa. a) 45 respecte 225. b) 6 160 respecte 56 000. c) 4 230 respecte 9 000. d) 1 922 respecte 1 240. e) 6 000 respecte 4 000. f) 975 respecte 32 500. a) 45 · 100 = 20 8 20% 225 b) 6 160 · 100 = 11 8 11% 56 000 c) 4 230 · 100 = 47 8 47% 9 000 d) 1 922 · 100 = 155 8 155% 1 240 e) 6 000 · 100 = 150 8 150% 4 000 f ) 975 · 100 = 3 8 3% 32 500 Unitat 2. Els nombres i les seues utilitats II 2 Solucions de les activitats de cada epígraf Pàg. 8 PÀGINA 55 Càlcul mental 3 Quin índex de variació correspon a aquests augments percentuals?: a) 25% b) 5% c) 40% d) 80% e) 110% f) 200% a) 1,25 b) 1,05 c) 1,4 d) 1,8 e) 2,1 f) 3 Càlcul mental 4 Quin índex de variació correspon a aquestes disminucions percentuals?: a) 25% b) 5% c) 40% d) 15% e) 88% f) 1% a) 0,75 3 b) 0,95 c) 0,6 d) 0,85 e) 0,12 f ) 0,99 Unes accions que valien a principis d’any 13,70 € han pujat un 35%. Quant valen ara? Ahora valen 13,70 · 1,35 = 18,50 €. 4 En una comunitat autònoma hi havia 69 580 parats. N’han disminuït un 15%. Quants parats hi ha ara? Ahora hay 69 580 · 0,85 = 59 143 parados. PÀGINA 56 Càlcul mental 5 Digues la quantitat inicial si sabem que: a) Q. final = 1 500. Augmenta 50%. c) Q. final = 125. Augmenta 25%. e) Q. final = 400. Disminuïx 50%. a) 1 000 5 b) 2 000 c) 100 b) Q. final = 3 000. Augmenta 50%. d) Q. final = 250. Augmenta 25%. f) Q. final = 600. Disminuïx 40%. d) 200 e) 800 f ) 1 000 El preu amb IVA d’una batedora és 69,60 €. Quin n’és el preu abans de carregarli l’IVA? (L’IVA és del 16%). El precio sin IVA es 69,60 : 1,16 = 60 €. 6 En estirar una goma elàstica, la longitud augmenta un 30% i, en aquesta posició, mesura 104 cm. Quant mesura sense estirar? Sin estirar, la goma mide 104 : 1,30 = 80 cm. Unitat 2. Els nombres i les seues utilitats II 2 Solucions de les activitats de cada epígraf Pàg. 9 7 En unes rebaixes en què es fa el 30% de descompte, Robert ha comprat una càmera fotogràfica per 50,40 €. Quin n’era el preu inicial? Su precio era 50,40 : 0,70 = 72 €. 8 Un carter ha repartit el 36% de les cartes que tenia. Encara li’n queden 1 184. Quantes en tenia abans de començar el repartiment? Si ha repartido el 36%, le quedan el 64%; es decir, 1 184 : 0,64 = 1 850 cartas. PÀGINA 57 9 Un comerciant augmenta el preu dels productes un 30% i, després, pretenent deixar-los al preu inicial, els rebaixa un 30%. a) Un ordinador que inicialment costava 1 000 € quant costarà en cada pas del procés? b) Quina és la variació percentual que patixen els articles respecte al preu inicial? +30% –30% a) 1 000 € Ä8 1 300 € Ä8 910 € b) Índice de variación total: 1,3 · 0,7 = 0,91. 0,91 – 1 = –0,09 Variación porcentual: baja un 9%. 10 Un capital de 42 000 € es deposita en un banc al 5% anual. En quant s’haurà convertit en un any? I en dos? I en tres anys? 42 000 € 1.er AÑO Ä8 2.° AÑO Ä8 42 000 · 1,05 = 44 100 8 44 100 · 1,05 = 46 305 8 3.er AÑO Ä8 46 305 · 1,05 = 48 620,25 € También puede hacerse así: 1 año: 42 000 · 1,05 = 44 100 € 2 años: 42 000 · 1,052 = 46 305 € 3 años: 42 000 · 1,053 = 48 620,25 € PÀGINA 58 1 En quant es transforma un capital de 20 000 € col·locat al 3,6% anual durant 5 anys? Se transforma en 20 000 · (1,036)5 = 23 868,7 €. 2 En quant es transformen 20 000 € col·locats 5 anys al 3,6% anual, amb pagament d’interessos mensual? Un 3,6% anual significa un 3,6 : 12 = 0,3% mensual. Así: 20 000 · (1,003)60 = 23 937,9 €. Unitat 2. Els nombres i les seues utilitats II