Colisiones - Aula Virtual FCEQyN

9 – MECANICA Y FLUIDOS: Colisiones
CONTENIDOS
Conservación de cantidad de movimiento y de la energía. Colisiones elásticas e inelásticas.
Coeficiente de restitución. Trabajo de Fuerzas conservativas y no conservativas. Trabajo de
Fricción. Energía cinética y potencial. Expresión del coeficiente de restitución. Cálculo de
errores.
OBJETIVOS
Interpretar los conceptos de colisión, colisión elástica y colisión inelástica.
Aplicar el principio de conservación de energía para calcular el coeficiente de
restitución.
Calcular las correcciones y los errores experimentales.
IX.1
FUNDAMENTOS TEORICOS
Una colisión ocurre cuando dos cuerpos se aproximan entre sí y su interacción
mutua altera el movimiento, produciendo un intercambio de cantidad de movimiento
(momentum) y energía en un intervalo de tiempo relativamente pequeño.
Como solamente entran en acción fuerzas internas durante una colisión, tanto
el momentum como la energía son conservadas; siendo esta última la suma de la energía
cinética (Ek) más la energía potencial interna (Ep12) que, por reagrupaciones internas, puede
variar después de la interacción.
Conservación del momentum:
p1 + p2 = p1’ + p2’
Conservación de la energía:
Ek + Ep12 = Ek’ + Ep12’
Reordenando esta última ecuación e introduciendo un término Q:
Ek’ – Ek = Ep12 – Ep12’ = Q
Cuando Q = 0, la energía cinética permanece constante (caso ideal) y la
colisión es perfectamente elástica. En este caso no se pierde energía por calor o deformación
durante la colisión (ejemplo: la colisión de acero contra mármol)
Cuando Q ≠ 0, la colisión es inelástica y puede darse de dos maneras:
1. Si Q < 0 hay disminución de la energía cinética con un aumento de la
energía potencial interna (colisión inelástica de primera clase o
endoérgica)
2.
Si Q > 0, aumenta la energía cinética con disminución de la energía
potencial interna(colisión inelástica de segunda clase o exoérgica)
La mayoría de las colisiones caen entre estos extremos.
68
En una colisión perfectamente elástica entre dos masas m1 y m2, la energía
cinética y la cantidad de movimiento permanece sin cambios.
Energía:
½ m1v12 + ½ m2v22 = ½ m1v1’ 2 + ½ m2v2’ 2
Momentum:
m1v1 + m2v2 = m1v1’ + m2v2’
2
2
2
reordenando las dos ecuaciones tenemos:
2
m1(v1 – v1’ ) = m2(v2’ – v2 ) es decir que:
m1(v1 – v1’) = m2(v2’ – v2)
Dividiendo estas dos últimas y factorizando, resulta:
v1+v1’ = v2’ + v2
Que puede ser reordenado como
v1’ – v2’ = v2 – v1 = - (v1 – v2)
En el caso ideal de una colisión perfectamente elástica, la velocidad relativa
después de la colisión (v1’ – v2’), es igual al negativo de la velocidad relativa antes de la
colisión (v1 – v2). Cuanto más iguales sean estas cantidades mas elástica será la colisión.
Un medio de medir la elasticidad de una colisión se obtiene a través del
coeficiente de restitución (e) que es la relación negativa de la velocidad relativa después de la
colisión con la velocidad relativa antes de la misma
e = - (v1’ – v2’) / ( v1 - v2)
Si la colisión es perfectamente elástica e = 1; si es perfectamente inelástica e =
0. En general tiene un valor entre 0 y 1 y se lo puede calcular midiendo de alguna manera las
velocidades antes y después de una colisión.
Determinación del coeficiente de restitución
En este método se procede al análisis energético del sistema constituido por un
péndulo y un cuerpo apoyado sobre una superficie horizontal tal como se observa en la figura.
Para ello se separa el péndulo (cuerpo: m1) de su posición de equilibrio un
ángulo α de tal manera que se encuentre en el punto A .
Luego
de
liberarlo, se produce la
colisión en el punto B con
el cuerpo m2 y como
consecuencia del choque,
este último se deslizará
sobre la superficie hasta
detenerse en punto C, en
tanto que el péndulo m1
ascenderá a priori, hasta el
punto D formando un
ángulo β con respecto de la
posición de equilibrio.
L
A
m1
α
β
m1
D
m2
h
H
m2
m1
µκ
C
B
69
Análisis energético para el péndulo
Cuando el péndulo se encuentra en la posición A actúa sobre él su peso (m1g)
que es una fuerza conservativa (su trabajo es independiente de la trayectoria que describa el
cuerpo) por lo que:
•
Se puede obtener la energía total E como la suma de la energía cinética y
la energía potencial gravitatoria E = Ek + Ep
•
Se puede fijar un nivel de referencia arbitrario de energía potencial Ep = 0
a nivel de la superficie horizontal
•
Se aplica el principio de conservación de la energía: “cuando las fuerzas
que actúan sobre un cuerpo son conservativas, la energía mecánica total
del cuerpo permanece constante”(la energía del cuerpo se conserva E = Ek
+ Ep = constante)
La energía en el punto A, a una altura H respecto al nivel de referencia es:
siendo EkA=0 ya que antes de soltarlo la
EA = EkA + EpA
velocidad inicial será nula por lo que la energía total será igual a la energía potencial.
EA = EpA = m1gH
Donde H = Z(– cos α); Z = L+ a; L = longitud del hilo o varilla de masa
despreciable que sostiene el cuerpo m1 de tamaño a.
En el punto B, antes de la colisión, se tiene:
EB = EkB + EpB y como se encuentra en el nivel de referencia
EpB = 0 , la energía total será consecuencia de la energía cinética, por lo que:
EB = EkB = ½ m1v12
Como la energía permanece constante, se verifica para el péndulo que:
EA = EB
EpA = EkB
m1gH = ½ m1v12
de aquí se tiene que v1 es:
v1 = 2 gH
Después de la colisión en el punto B, el péndulo se moverá con una velocidad
distinta v1’ con una energía EkB’ gracias a la cual ascenderá o no dependiendo del tipo de
colisión, hasta una altura h menor que H por disminución de su energía inicial.
Se señala que en el punto D la que la energía total se deberá exclusivamente a
la energía potencial gravitatoria ya que por un instante el péndulo detiene su movimiento
siendo la velocidad vD = 0
En estas circunstancias también es posible aplicar el principio de conservación
de energía, es decir:
EB = ED
EkB’ = EpD
½ m1v1’2 = m1gh por lo que
v1’ = 2 gH
siendo h = Z(1 – cos β)
70
Análisis energético para el cuerpo
Inicialmente el cuerpo se encuentra en reposo por lo que su velocidad es nula;
por ello: v2= 0
Después de la colisión adquirirá una velocidad v2’ la que, por efecto de su
fricción con la superficie, irá disminuyendo hasta detenerse en el punto C. La fricción es una
fuerza no conservativa cuyo trabajo W’ depende la trayectoria seguida (la distancia d en este
caso que corresponde al segmento BC). En este caso la suma de la energía cinética más la
energía potencial no permanece constante, siendo EB = EC + W’
En B el cuerpo posee únicamente energía cinética ya que se encuentra en el
nivel de referencia (Ep =0):
EB = Ek2’
EB =1/2m2v2’2
En el punto C el cuerpo se detiene, su velocidad es nula y como se encuentra
en el nivel tomado como referencia, la energía total es cero (EC = 0)
El trabajo W’ de fricción se define como:
W’ = µm2gd
Siendo µ el coeficiente de fricción entre el cuerpo m2 y la superficie a lo largo
de la distancia d . De allí se tiene que:
1/2m2v2’ 2 = 0 + µm2gd
Es decir que toda la energía cinética inicial se transforma a lo largo de d, en
trabajo de rozamiento. La v2’ se calcula según la expresión:
v2’ = 2µgd
De esta manera el coeficiente de restitución (e) queda definida como:
e=−
e= −
2 µ gd )
( 2 gh −
(
2 gH
µd )
( h −
(
− 0)
H
)
Es decir que se puede conocer el coeficiente de restitución (e) determinando::
• Los ángulos antes y después de la colisión.
• El coeficiente de fricción entre el cuerpo m2 y la superficie horizontal.
• La distancia recorrida por el cuerpo m2.
Es necesario analizar algunas situaciones que pueden presentarse a fin de
corregir la ecuación general para la determinación del coeficiente de restitución:
•
Si después de la colisión el péndulo se mueve en el mismo sentido que
tenía originalmente
e = −
71
(
µd )
h −
(
H
)
•
Si lo hace en sentido inverso
e =
•
(
µd )
h +
(
H
)
Si después de la colisión el péndulo se detiene en B
e=
µd
H
Cálculo del error en la determinación del coeficiente de restitución
Si todas las magnitudes involucradas en la determinación del coeficiente se
determinan experimentalmente, el error será:
∆e = ∂ e ∆ h
∂h
∆e
=
+ ∂e ∆ µ + ∂e ∆ d + ∂e ∆z
∂µ
∂d
∂z
µ
1 ∆h +
d ∆µ +
∆d + h − µ ∆H
2H µ
2H h
2H d
2H H
donde:
∆h = (1-cosβ) ∆Z + Z sen β ∆β
∆H = (1-cosα) ∆Z + Z sen α ∆α
∆z = ∆L + ∆a
Factor de corrección del coeficiente de restitución
La expresión de la velocidad del péndulo justo antes de la colisión con el
cuerpo m2 expresada en párrafos anteriores es válida para el caso en que en el mismo sólo
actúen fuerzas del tipo conservativas sin que haya ninguna otra influencia que la afecte. Sin
embargo, en la realidad, existen fuerzas no conservativas, especialmente las que originan
fricción debidas al aire y al dispositivo utilizado para esta determinación, especialmente
relacionados con el péndulo y en el que se miden los ángulos antes y después de la colisión.
De esta manera la velocidad del péndulo en el punto B será menor que la que se determina en
forma ideal.
Todas estas fuerzas originan trabajos de fricción y que se la tomarán en forma
conjunta como Wf. Para ello se soltará al péndulo sin que colisione con ningún otro cuerpo y,
se podrá valorarlo por diferencia entre la energía potencial inicial y final; es decir
Wf = Ep0 – Epf = m1g(H0 – hf)
Por ello
v1* =
1
2 g ( Hγ − H 0 + h f )
γ
γ: ángulo total desplazado por el péndulo sin colisión.
72
MATERIALES
•
•
•
•
•
•
•
•
IX.2
Soporte universal
Semicírculo
Varilla rígida o hilo inextensible de masas despreciables
Diversos cuerpos para formar el péndulo
Cuerpos con superficies planas de diversas naturaleza
Cinta métrica
Calibre
Balanza
PROCEDIMIENTOS
1. Medir la longitud del hilo inextensible o varilla rígida:
µL = L ± ∆ L
2. Medir la longitud del cuerpo que constituye el péndulo
µa = a ± ∆a
3. Determinar las masas del péndulo y del cuerpo apoyado:
µm1 = m1 ± ∆m
µm2 = m2 ± ∆m
4. Separar el péndulo de su posición de equilibrio, medir el ángulo α0 y
determinar la altura H0
H0 = Z (1-cosα0)
5. Soltar el péndulo sin que existe ninguna colisión, medir el ángulo β0 y
determinar la altura hf
hf = Z(1-cosβ0)
6. Separar el péndulo de su posición de equilibrio, medir el ángulo α y
determinar la altura H
µα = α ± ∆α ; H = Z (1-cos α); µH = H ± ∆H
7. Soltar el péndulo y después de la colisión con m2, medir el ángulo β y
determinar la altura h
µβ = β ± ∆β ; h = Z (1-cos β); µh = h ± ∆h
8. Medir la distancia recorrida por el cuerpo m2
µ d = d ± ∆d
9. Determinar el coeficiente de restitución y su error
µe = e ± ∆e
10. Determinar el coeficiente de restitución corregido por fricción.
11. Preparar el informe de la experiencia prestando especial atención a la
discusión del resultado obtenido, debiendo sugerir mejoras razonables.
73