TEORIA ALGEBRAICA DE NUMEROS Objetivos Para resolver

TEORIA ALGEBRAICA DE NUMEROS
Objetivos Para resolver practicamente cualquier problema sobre los
números enteros uno se ve forzado a salir fuera del ámbito de Z o de
Q. Veamos dos ejemplos:
– Para probar el siguiente teorema de Fermat; Un número primo p
distinto de 2 es suma de dos cuadrados en Z si y solo si p ≡ 1 mod 4,
se considera el anillo Z[i] = {a + bi ∈ C|a, b ∈ Z} y se prueba que es
un dominio de factorización única.
– Para probar que la ecuación diofántica X 2 − 2Y 2 = 1 tiene infinitas
soluciones
(x, y)√ ∈ Z × Z} y escribirlas todas, se considera el anillo
√
Z[ 2] = {a + b 2 ∈ R|a, b ∈ Z} y se estudian sus unidades,
Cada cuerpo de números - es decir un
√ cuerpo que es extensión finita
de Q, como por ejemplo Q(i) o Q( 2)- tiene un subanillo especial
que se denomina anillo de enteros y que juega respecto del cuerpo el
mismo papel que juega Z respecto de BQ. Por ejemplo en el caso de
Q(i) el anillo de enteros es Z[i]. El conocimiento preciso de estos anillos
permite resolver problemas sobre números enteros como los citados mas
arriba.
El objetivo de esta asignatura es estudiar los anillos de enteros de los
cuerpos de números y deducir algunos teoremas muy cásicos.
El programa de la asignatura y la bibliografı́a se encuentran en la Web
de la Facultad.
Requisitos Un primer requisito para elegir esta asignatura es que a
uno le guste el álgebra. En esta asignatura se utilizan conocimientos
adquiridos en practicamente todas las asignaturas troncales u obligatorias del area de álgebra que se imparten en el primer ciclo. Sobre todo
se utiliza el álgebra conmutativa, pero también algo de álgebra lineal,
de teorı́a de grupos y de teorı́a de Galois.
Evaluación No hay examen. Los estudiantes tienen que entregar por
escrito problemas individualizados y tienen que estudiar y exponer en
clase uno o varios temas relacionados con la asignatura pero que no
están incluidos en el programa.
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