Práctica 5: Sucesiones y series numéricas

Práctica 5: Sucesiones y series numéricas
Ejemplo 1. Límites de sucesiones
El límite de la sucesión
se puede hallar directamente:
> a:=n->(1+1/n)^n;
> limit(a(n),n=infinity);
Y más formalmente:
> Limit(a(n),n=infinity)=limit(a(n),n=infinity);
La veracidad de este límite se puede comprobar construyendo las tablas adecuadas:
> evalf(seq(a(n),n=1..100));
> p1:=plot([seq([n,a(n)],n=1..100)],style=point,color=blue):
> p2:=plot(exp(1),n=1..100):
> plots[display]({p1,p2});
Ejemplo 2. Sucesiones recurrentes
La sucesión de Fibonacci es la siguiente sucesión recurrente
Para poder hallar sus términos, se necesita del siguiente procedimiento:
> restart:
> F:=proc(n)
if n=1 then 1:
elif n=2 then 1:
else F(n-2)+F(n-1)
end if:
end proc:
> F(5); F(15); F(25);
No se puede recurrir al comando limit para hallar su límite:
> Limit(F(n),n=infinity)=limit(F(n),n=infinity);
Sin embargo, las tablas nos indican que la sucesión es divergente:
> seq(F(n),n=1..30);
> plot([seq([n,F(n)],n=1..30)],style=point);
Para hallar el término general de una sucesión recurrente, se puede usar el siguiente comando:
> F(n):=rsolve({f(n)=f(n-2)+f(n-1),f(1)=1,f(2)=1},f(n));
pudiendo entonces, hallar términos más rápidamente, y también su límite:
> evalf(subs(n=100,F(n)));
> Limit(F(n),n=infinity)=limit(F(n),n=infinity);
Ejemplo 3. Convergencia y suma de series
Para estudiar la convergencia de la serie
se comienza introduciendo el término general y
comprobando su convergencia a cero (en caso contrario, la serie no sería convergente):
> a:=n->1/(n*(n+1));
> Limit(a(n),n=infinity)=limit(a(n),n=infinity);
Para intuir la convergencia de la serie, y hallar su suma, se calculan sumas parciales:
> S:=n->sum(a(i),i=1..n);
> plot(S(n),n=1..200,style=point);
> evalf(seq(S(n),n=1..200));
> Sum(1/(n*(n+1)),n=1..infinity)=limit(S(n),n=infinity);
Todo lo anterior, se podría haber resumido con la sentencia:
> Sum(1/(n*(n+1)),n=1..infinity)=sum(a(n),n=1..infinity);
Ejemplo 4. Criterios de convergencia de series
Aunque en este caso no es necesario (ya que maple es capaz de sumar la serie), si se aplican los criterios de
convergencia a la serie
se tiene que:
El criterio de comparación con la integral decide convergencia:
> Int(a(x),x=1..infinity)=int((a(x)),x=1..infinity);
El criterio de la raíz no decide:
> Limit(a(n)^(1/n),n=infinity)=limit(a(n)^(1/n),n=infinity);
El criterio del cociente tampoco decide:
> Limit(a(n+1)/a(n),n=infinity)=limit(a(n+1)/a(n),n=infinity);
El criterio de Raabe decide convergencia:
> Limit(n*(1-a(n+1)/a(n)),n=infinity)=limit(n*(1a(n+1)/a(n)),n=infinity);
Estos criterios pueden ser muy útiles cuando maple no es capaz de sumar la serie. Por ejemplo, en el caso de
la serie
, maple no suma directamente:
> a:=n->1/(n^2+sqrt(n));
> Sum(a(n),n=1..infinity)=sum(a(n),n=1..infinity);
En este caso, los criterios de la raiz y del cociente no deciden, pero los criterios de Raabe y de comparación
con la integral deciden convergencia:
> Int(a(x),x=1..infinity)=int((a(x)),x=1..infinity);
> Limit(a(n)^(1/n),n=infinity)=limit(a(n)^(1/n),n=infinity);
> Limit(a(n+1)/a(n),n=infinity)=limit(a(n+1)/a(n),n=infinity);
> Limit(n*(1-a(n+1)/a(n)),n=infinity)=limit(n*(1a(n+1)/a(n)),n=infinity);
Para hallar un valor aproximado de su suma se puede recurrir a las sumas parciales:
> S:=n->sum(a(i),i=1..n);
> plot(S(n),n=1..200,style=point);
> evalf(seq(S(n),n=1..200));
> Sum(1/(n^2+sqrt(n)),n=1..infinity)=evalf(S(200));
Ejercicio 1
Halla los límites de las siguientes sucesiones: a)
b)
c)
Comprueba, en cada caso, la veracidad de los límites obtenidos.
Ejercicio 2
Para cada una de las sucesiones recurrentes: a)
b)
Introdúcelas en maple y construye tablas adecuadas para intentar calcular su límite.
Obtén, si es posible, su término general. A partir de él, calcula el valor real del límite.
Ejercicio 3
Estudia el carácter de las siguientes series, sumando las que converjan:
a)
b)
c)
Ejercicio 4
Estudia el carácter de las series, sumando las que converjan: a)
; b)