Matemática, Armonía y Proporcionalidad de Belleza en el Entorno, a

Matemática,
Armonía y Proporcionalidad
de Belleza en el Entorno,
a través del Número de Oro
Resumen
El número de oro fue estudiado desde antaño y hasta la
actualidad por sobresalientes matemáticos. Su relación con la
armonía y la belleza de nuestro entorno, así como también las
propiedades que posee como número irracional motivó la
curiosidad de un grupo de estudiantes, de segundo año medio,
para realizar la presente investigación.
Se consultó, en libros e internet, estudios que abarcaban
diferentes áreas: matemática, botánica, arquitectura, anatomía,
arte, y la naturaleza. Donde se encontró que por diversas razones,
casi
inconscientemente, los investigadores y creadores se
encuentran con este patrón numérico, (el número de oro).
Este estudio es impulsado con la idea de acercar, desde visiones
no imaginadas, a la matemática con otras áreas. Para lo cual se
comprobaron y verificaron propiedades del número de oro,
utilizando conocimientos básicos de geometría, álgebra y
trigonometría. Durante todo el proceso se recogió, clasificó y
registró información.
13
Investigadores Escolares
Bárbara Rocío Carrasco Carrasco (16 años)
Ángela Natalia Lagos Pincheira (16 años)
Camila Yanira Sáez Elgueta (16 años)
Scarlet Margarita Sáez Elgueta (16 años)
Javier Ignacio Sepúlveda Campos (16 años)
Hoy en día, cuando las matemáticas se nos
hacen más familiares, hablamos de un número
que ha cautivado desde tiempos remotos por
su armonía y belleza de sus aplicaciones. Este
es un número áureo, también llamado: “el
número de oro”; se conoce como Phi y su símbolo
es
.
Para realizar este estudio se consultaron
Profesora Guía
fuentes de internet con el fin de investigar hechos
Sandra Margarita Mamani Elgueta
del entorno que tuvieran relación con las
matemáticas. En las páginas de Explora se
Establecimiento
encontró información sobre el centro del girasol
Colegio Concepción de San Carlos
y su relación con la sucesión Fibonacci, hecho
que finalmente capturó la atención y guió este
Asesores Científicos
estudio hacia el número de oro, “Phi”, en todos
los ámbitos.
José Sánchez, Doctor en Matemática, Decano
Phi es un número irracional de valor
Facultad Ciencias Físicas y Matemáticas,
1.61803398… ; Se puede encontrar desde tiempos
Universidad de Concepción.
antiguos en arquitectura, pintura, esculturas,
Monitor:
Ricardo Oyarzúa, Licenciado en Matemática,
Universidad de Concepción.
Introducción
“Un matemático, como un pintor o un poeta,
música, geometría, en objetos cotidianos, en la
sucesión de Fibonacci y más increíblemente en
las proporciones de seres vivos, incluyendo por
supuesto al ser humano.
El propósito de este proyecto es demostrar
las propiedades de
. descubiertas y aplicadas
en el pasado. Para ello, se estudiaron fórmulas,
es un fabricante de modelos. Si sus modelos son
establecieron
más duraderos que los de estos últimos, es debido
teoremas en el área de la geometría y álgebra,
a que están hechos de ideas. Los modelos del
lo que permitió acercar a Phi con sus
matemático, como los del pintor o los del poeta
aplicaciones. Además, se espera transmitir y
deben ser hermosos. La belleza es la primera
enseñar en forma amigable conceptos
prueba; no hay lugar permanente en el mundo
matemáticos correspondientes al nivel de
para unas matemáticas feas” (G.H. Ardí).
enseñanza media, dando respuestas a
¿Por qué se habla de belleza y de
interrogantes como: ¿Qué es Phi?, ¿De dónde
matemática a la vez? Buscando respuesta a
se obtiene?, ¿Cuál es su relación con la belleza
esta pregunta se encontraron los siguientes
y armonía?, ¿Cuáles son sus aplicaciones?.
proporciones, se utilizaron
conceptos: divina proporción, número áureo,
estética de las proporciones, la sucesión de
Fibonacci, sección áurea y número de oro,
entre otros. Lo que llevó a preguntarse qué
motivación tuvo Kepler para señalar que“ La
Geometría tiene dos grandes tesoros : el Teorema
de Pitágoras; división de una línea en una
proporción extrema y una media”
14
Materiales
•
Libros, revistas científicas,
•
Sitios de internet
•
Programas computacionales matemáticos:
Cabri y Mathype.
•
Instrumentos de geometría.
Método
1. Estudio bibliográfico del número de oro, en diferentes áreas.
2. Estudio algebraico y geométrico del número de oro y sus propiedades, utilizando demostraciones
por inducción para dar validez a las propiedades encontradas.
3. Selección de información de las aplicaciones del número de oro.
4. Presentación de la información.
Resultados
El número de oro se estudió geométricamente dividiendo un segmento en media y extrema razón.
Fue Euclides, quien introdujo la división de un segmento cumpliendo estas condiciones, y lo definió
así: "Se dice que un segmento está dividido en media y extrema razón cuando el segmento total es a
la parte mayor como la parte mayor es a la menor". Si C , es el punto que divide armónicamente al
segmento AB , se obtiene de esta división la siguiente proporción.
a
b
A
B
C
Considerando x =
x2 – x -1=0 ,
a
b
a
a+b
=
b
a
, se da origen a la ecuación de segundo grado.
donde una de sus soluciones es
=
1+ 5
2
Más tarde esta división armónica pasó a llamarse la divina proporción. Luego, en el siglo XV, desde
Leonardo da Vinci, la sección áurea.
Para contextualizar
, realizamos la siguiente construcción:
Dado AB segmento, se levanta una perpendicular
E
en B, que mide la mitad de AB, obteniéndose el
punto E. Después, se une A con E , con centro
en E y radio EB, se traza un arco sobre AE,
determinando D. Luego, con centro en A y radio
D
AD, se traza un arco que determina C, sobre AB,
obteniendo el punto C que divide
C
A
AE =
B
armónicamente a AB, la cual se utilizó para
obtener
.
AB( 5 - 1), entonces AB 1+ 5
AB 5
; AD = AC =
=
=
2
2
AC
2
divide armónicamente a
AB
2
siendo el punto C, quien
AB
15
También, se construyó y estudió el rectángulo áureo, el más bello y armónico en el que se cumple
que cuociente del lado mayor entre el menor, es el número
.
Este rectángulo se inicia de un cuadrado, en la figura, de lado AR y longitud a, se une el punto
medio P del lado AR con el vértice S, luego se traza un arco con centro en P, y radio PS, obteniéndose
en la prolongación de AR , el punto B. Finalmente se obtiene el rectángulo dorado ABCD.
D
a
d = a2 +
2
2
2
2
= a +
S
C
R
B
2
a
5a
5a
=
=
4
2
4
a
d
5a
a 1+ 5
; base =
2
2
d=
AB =
A
a
+ d ; PB = d ; BC = a
2
P
AB = 1,618...
BC
Por su construcción posee una curiosa propiedad: si se le quita un cuadrado, el mayor posible, se
obtiene otro rectángulo semejante al primero.
8
13
13
21
2
3
5
2
8
3
1
1
5
Uniendo los arcos de circunferencia se obtiene la espiral
Los seguidores de Pitágoras pensaban que el mundo estaba configurado según un orden numérico
donde sólo tenían cabida los números racionales. El azar hizo que en su propio símbolo la estrella
pentagonal o pentágono estrellado, se encontrara el número de oro.
2
Como phi es solución de la ecuación x –x-1 =0, nos interesó estudiar algunas curiosidades algebraicas
de phi como, por ejemplo:
=
1
16
=
1+ 5
= 1.618...
2
-1
- 1 = 0.618...
2
=1+
Continuando con ese análisis nos interesó estudiar las potencias, las cuales tenían una estrecha relación
con los términos de la sucesión de Fibonacci.
Así se estudió la siguiente expresión de Edouard Lucas que genera los términos de la sucesión desde n>1.
t
1+ 5
2
n=
n
n
1- 5
2
-
, la cual se utilizó para obtener las siguientes expresiones que nos
entregan potencias con exponentes positivos y negativos de
.
5
n = t
n
+ t
n-1 ; n
>1
-n =
Y
(- 1) n+1t n -1
+
(- 1)
nt
n
, n>1
De la misma forma se obtuvo otra relación para las potencias de phi.
n =
n-2 +
n-1
En los seres vivos
Desde la antigüedad se sabe que algunas partes del cuerpo humano guardan la proporción áurea.
En el libro “La Divina Proporción de Luca Pacioli” editado en 1509, se propone un hombre perfecto
en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean proporciones áureas. Por ejemplo,
en el dedo, entre la distancia entre la 1ª y la 2ª falange y entre la 2ª y la 3ª.
Hacia 1850 Zeysing constató estadísticamente que el ombligo divide al cuerpo humano según la
razón áurea. Éstas y otras relaciones se verificaron en distintas personas obteniendo la siguiente
información.
1 - 15 años
Medidas de cara
Medidas de dedos
1 - 15 años
15 - 30 años
30 - 60 años
Nº de personas
20
Nº de personas
15 - 30 años
15
10
5
0
1,5
1,6
1,7
1,8
Cuocientes
1,9
2
30 - 60 años
16
14
12
10
8
6
4
2
0
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
Cuocientes
Al parecer todos los seres humanos bien proporcionados (considerados bellos, artistas de cine
famosos), tienen aproximadamente la proporción 1.618… Del mismo modo, cuando se alcanza la
madurez física esta proporción se acerca más a 1,618…
En el campo de la odontología, se ha descubierto que la dentadura crece siguiendo proporciones
áureas, y de la misma forma lo hacen otros rasgos faciales como la sonrisa, respecto al arco dental,
la distancia entre los ojos y otras. Esta es la razón por la que el Dr. Marquardt creó una máscara áurea
que se utiliza para cirugías plásticas. Tal vez por eso los puntos básicos de acupuntura se distribuyen
en la cara en diferentes rectángulos de oro.
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Discusión
Internet:
El estudio algebraico y geométrico realizado
• Proyecto Nicolás Weinstein Crenovich,
del número de oro, ha servido para entender
Simetría y Espiral, Revisado en noviembre 2005.
los desafíos que se plantearon en el pasado
• Monográficos de divulgación, Las
algunos matemáticos como Euclides, seguidores
constantes de la Naturaleza, Revisado en octubre
de Pitágoras y otros que estudiaron y demos-
2005.
traron las propiedades y características de este
Anexos
número.
Al realizar este estudio se encontró que a lo
largo de la historia de la humanidad, el número
de oro ha sido utilizado frecuentemente por el
hombre en creaciones que se relacionan con el
concepto de belleza y proporción. Así también,
es uno de los modelos utilizados por la naturaleza
cuando se trata de orden y armonía.
No se puede afirmar que el número de oro
regula nuestro entorno, pero sí que convivimos
con él a diario.
Conclusiones
Al término de la investigación, después de
realizar el estudio algebraico y geométrico del
número de oro se encontró que este número
ha sido objeto de estudio desde siempre, por
parte de investigadores y creadores en diversas
áreas, además de la matemática.
Es un número que motiva su estudio
vinculando múltiples ámbitos con las matemáticas. Además, incentiva a los amantes de
esta ciencia a
dar sus primeros pasos en
investigaciones.
Por último, no se tienen los conocimientos
necesarios, ni los medios, para afirmar que este
patrón numérico regula la creación humana y
natural. Pero sí se puede señalar que se relaciona
con los conceptos de armonía, belleza y
proporción.
Literatura Citada
•
Ghyka Matilda C. Estética de las
proporciones en la naturaleza y en las artes,
Poseidón, 1977.
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• Más Demostraciones del Número de Oro:
www.udec.cl/pasantias