Cálculo de desplazamientos por trabajo virtual

Análisis estructural 1
Fac. Ingeniería, U.A.Z.
Cálculo de desplazamientos por trabajo virtual
Diego Miramontes De León
Resumen
Uno de los métodos más comunes para calcular los desplazamientos en las estructuras es el de
la carga unitaria. Aunque se puede recurrir directamente a las expresiones simples propuestas
por el método, es útil identificar que el método se basa en dos principios básicos. Estos son el
concepto de energía y la ley de la conservación de la energía. En el primero se deducen los
teoremas de Castigliano y de Engesser, mientras que con el segundo se formula el método de
la carga unitaria. Este método se presenta para el caso particular de vigas en flexión y
armaduras.
Teoremas de Energía
Castigliano 1879 .- Energía de deformación elástica restringida a estructuras con diagramas
lineales de carga-desplazamiento (comportamiento elástico).
Engesser 1889 .- Energía complementaria, sin especificar que la estructura tenga un diagrama
lineal.
Asumiendo el diagrama carga-desplazamiento mostrado :
P
P
∆
A
L
P+δP
P
∆
0
Fig. 1. Estructura sujeta a carga axial
d∆
∆ ∆ + δ∆
Fig. 2. Diagrama carga-desplazamiento
El trabajo realizado para un incremento de ∆ es P•δ∆ y por definición este trabajo es igual al
incremento en la energía de deformación elástica. Entonces el incremento total de la energía
elástica U cuando la carga aumenta de 0 a P1 será :
1
U =
∫
∆1
0
Pd∆
Esta integral es igual al área bajo la curva de la línea 0A. De esa misma ecuación puede
obtenerse :
∂U
=P
∂∆
Part I del Teorema 1 de Castigliano
Si la energía total es parcialmente derivable con respecto a un desplazamiento, el resultado
da la carga debido a ese desplazamiento en su línea de acción.
Puesto que la línea 0A es una recta, las áreas arriba y bajo de ella serán iguales, entonces :
∫
∆1
0
P1
Pd∆ = ∫ ∆dP
0
de donde se deduce que :
∂U
=∆
∂P
Parte II del Teorema 1 de Castigliano
Si la energía total es parcialmente derivable con respecto a una carga aplicada, el resultado
da el desplazamiento de esa carga en su línea de acción.
El segundo teorema de la energía elástica o teorema de compatibilidad de Castigliano trata de
las relaciones entre la energía de deformación elástica y la acción de una fuerza en una
estructura estáticamente indeterminada. En este se establece que la energía elástica total
parcialmente derivable con respecto a la carga redundante es igual a la falta inicial de ajuste
de dicho elemento. Si no hay falta de ajuste la derivada parcial será igual a cero :
∂U
=0
∂R
Esta ecuación representa una condición para el valor mínimo de la energía de deformación
elástica. El incremento en tal energía es, sin embargo, igual al trabajo correspondiente al
desplazamiento de las cargas aplicadas. De esta manera, la relación implícita en la ecuación
anterior expresa también una condición para el valor mínimo del trabajo realizado (Principio
del trabajo mínimo)
Como aplicación del segundo teorema, supóngase un marco doblemente empotrado :
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Pv
Ph
A
H
B
V
M
Fig. 3. Estructura estáticamente indeterminada de 3er grado
Si las redundantes se consideran las reacciones en B (soporte completamente fijo), según la
parte II del teorema se tendrá :
∂U ∂U ∂U
=
=
=0
∂H ∂V ∂ M
Esto implica que existen tres condiciones de compatibilidad que representan tres ecuaciones
para resolver las tres incógnitas.
Primer teorema de la energía complementaria
Para una relación no lineal entre cargadesplazamiento la energía de deformación
elástica sigue siendo
∫
∆1
0
A
Pd∆
El área a la izquierda de la curva 0A y el eje P
es
P
∫
P1
0
∆dP
dP
y se conoce como energía
complementaria. Esta tiene las
dimensiones que la energía elástica.
∆
mismas
0
d∆
Fig. 4. Diagrama no lineal carga-desplaz.
Puesto que C =
∫
P1
0
∆dP ,
∂C
=∆
∂P
3
Si la energía complementaria total es parcialmente derivable con respecto a la carga
aplicada, el resultado es el desplazamiento de esa carga sobre su línea de acción.
El segundo teorema es similar al segundo teorema de Castigliano donde se remplaza la
energía elástica por la energía complementaria :
∂C
∂C
= 0 dependiendo si hay falta de ajuste o no.
= −λ ó
∂R
∂R
Teorema de la energía potencial mínima
De la parte I del teorema de Castigliano se tiene que
∂U
= P . Para todos los puntos sin carga
∂∆
∂U
= 0 . Por el segundo teorema de Castigliano se llega a un valor similar
∂∆
en el caso de que no haya carencia inicial de ajuste : La carga redundante es tal que da un
valor mínimo para la energía elástica. Esto es una condición para un valor mínimo de U y la
interpretación física es que la configuración deformada de la estructura es tal que hace
mínima la energía de deformación elástica :
esto implica que
Equilibrio Neutro
Equilibrio estable
Inestable
Fig. 5. Condiciones para el valor mínimo de la energía de deformación elástica
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Principio de Fuerzas Virtuales
Supóngase una estructura cualquiera en
equilibrio sujeta a cargas externas R y
esfuerzos internos correspondientes a σ. Bajo
estas
cargas,
la
estructura
tendrá
deformaciones externas r y deformaciones
internas ε.
r
ε
σ
R
Fig. 6. Estructura en equilibrio
Supóngase ahora que la misma estructura se
somete a un conjunto de cargas imaginarias
δR. Estas cargas virtuales producirán
esfuerzos virtuales δσ. En esta estructura un
trabajo imaginario o virtual, δW ocurrirá
fuera y dentro de la estructura.
δσ
ε
A
δR
Fig. 7. Estructura sujeta a fuerzas virtuales δR
El trabajo virtual externo está dado por las fuerzas virtuales δR desplazándose en la dirección
de las deflexiones reales r. El trabajo virtual interno está dado por los esfuerzos virtuales
internos δσ desplazándose en la dirección de las deformaciones internas reales ε. De acuerdo
con el principio de fuerzas virtuales :
Trabajo virtual externo = trabajo virtual interno : δWe = δWi
Este principio puede usarse para encontrar las
deflexiones en puntos dados de una
estructura. Supóngase por ejemplo que se
ε
quiere encontrar la deflexión hacia abajo del
σ
punto A bajo la carga real R y las
deformaciones reales correspondientes ε. Se
A
escogerá un sistema virtual de fuerzas hacia
abajo actuando en A, cuyos esfuerzos internos
R
rA
correspondientes son δσ. Ya que la única
fuerza virtual externa es una fuerza aplicada
en A, el trabajo virtual externo será Fig. 8. Deflexión en A como punto de interés
simplemente el producto de la fuerza virtual
por la deflexión real :
δWe = δR•rA
El trabajo interno virtual será la integral de los esfuerzos virtuales internos desplazándose las
deformaciones internas reales :
5
δWi =
∫
(δsij) • εij dV
v
donde cada esfuerzo virtual realizará su trabajo a través de la deformación real
correspondiente. Igualando los trabajos se tiene :
δR•rA = ∫ (δσij) • εij dV
v
Si δR es una fuerza unitaria, entonces :
rA = ∫ (δσij) • εij dV
v
Para utilizar este procedimiento en estructuras reales, se requiere calcular el trabajo virtual
interno para varios tipos de estructuras, por ejemplo :
Elemento barra .- Considérese una deformación uniforme real con el desplazamiento
correspondiente v donde A y E permanecen constantes :
P
ε=v/L
σ
L
P
La deformación real se asocia con el esfuerzo
real σ y con la carga real P por :
v
σ=P/A
ε = σ / E = P / AE
entonces v / L = P / AE, v = PL / AE
Fig. 9. Barra sujeta a carga axial
Supóngase que el elemento se somete a esfuerzos δσ correspondientes a una fuerza virtual
δP :
δP
δσ = δP / A
δσ
L
δP
El trabajo virtual será δWi = ∫ (δσ) • ε dV
v
v
Ya que el área es constante
Fig. 10. Barra sujeta a carga virtual δP
δWi = A ∫ (δσ) • ε dx
L
substituyendo δσ = δP / A y ε = v / L
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δWi = A ∫ (δP / A) • (v / L) dx = A (δP / A) (v / L)
L
∫
L
dx = (δP) v
δWi = Producto de la fuerza virtual P y la deformación real interna ε.
Pero la deformación interna real se puede expresar en términos de la fuerza interna real :
v = PL / AE entonces δWi = (δP) (PL / AE) = (fuerzas virtuales) (desplazamientos reales)
Si se tienen varios miembros (i.e. armaduras) el trabajo virtual interno total será la suma del
trabajo hecho en cada miembro :
δWi =
∑ ( δP ) (P L / A E )
i
i
i
i
i
Elemento viga (deformación por flexión)
Considérese una rebanada de longitud dx sujeta a deformaciones reales por flexión :
ε(y)
σ
σ=My/I
y
M
y
ε = σ / E = M y / EI
dx
Fig. 11. Elemento diferencial de viga
Supóngase ahora que esta rebanada se somete a esfuerzos virtuales δσ correspondientes a un
momento virtual δM :
ε(y)
δσ
y
δM
δσ = (δM) y / I
dx
Fig. 12. Sección sujeta a momento virtual δM
δWi = ∫ (δσ) • ε dV =
v
∫
v
(δM y / I) • (M y / EI) dV
Ya que δM, M, E e I son constantes
7
δWi =
∫
(δM / I) • (M / EI) ( ∫ y2 dA) dx
δWi =
∫
(δM / I) • (M / EI) I dx
L
A
L
Para una rebanada de longitud dx
δWi = (δM) • (M / EI) dx = Producto del momento virtual interno y la curvatura real interna
Para el miembro completo, δW se obtiene integrando la cantidad anterior a lo largo de la
longitud :
δWi =
∫
(δM(x)) • (M(x) / EI(x)) dx = [fuerzas virtuales (momentos)] [deformaciones reales (φ)]
L
Para estructuras que no tienen tangentes de referencia explícitas, el principio de los trabajos
virtuales es mucho más fácil que el de área de momentos.
Estructuras planas cargadas fuera del plano (retículas)
Considérese una rebanada de long dx sujeta a deformaciones por torsión :
T
Asumiendo que la sección es libre de torcerse
θ
θ = T / GJ
G = módulo de cortante = E / 2(1 + ν)
J = Rigidez a torsión (St. Venant)
ν = Coeficiente de Poisson
dx
Fig. 13. Elemento diferencial a torsión
Supóngase ahora que esta rebanada está sujeta a una torsión virtual δT. El trabajo interno está
dado por :
δWi =
∫
L
(δT(x)) • (T(x) / GJ(x)) dx = [esfuerzos virtuales (torsión)] [deformaciones reales
(distorsión por unidad de longitud)]
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Cálculo de deflexiones en vigas por trabajo virtual
Supóngase una viga sujeta a las cargas P1 y P2 que producen esfuerzos internos y por lo tanto
una compresión S en cualquier fibra del área transversal dA.
dL
dx
S
S
∆1
La energía total almacenada es :
½ Σ S dL
2)
Igualmente si se aplica una carga unitaria en
cualquier punto :
P1
P2
½ 1(δ) = ½ Σ U dL
Fig. 14a. Viga sujeta a sistema de cargas Pi
dL
½ P1 ∆1 + ½ P2 ∆2 + 1(∆)
U
U
5)
La energía interna adicional almacenada es
½ Σ S dL + Σ U dL
6)
δ2
δ
4)
Si se agrega gradualmente P1 y P2 (figura
14b), el trabajo externo es :
dx
δ1
1)
Por la ley de la conservación de la energía
(principio de trabajo virtual) :
½ P1 ∆1 + ½ P2 ∆2 = ½ Σ S dL
3)
∆2
∆
El trabajo externo es :
½ P1 ∆1 + ½ P2 ∆2
Entonces el trabajo total externo en la figura
14c) es :
½ P1 ∆1 + ½ P2 ∆2 + ½ 1(δ) + 1(∆)
1
Y la energía total interna es :
Fig. 14b. Viga bajo carga unitaria
½ Σ U dL + ½ Σ S dL + Σ U dL
δ1+∆1
8)
Nuevamente por la ley de la conservación de
la energía :
δ+∆ δ2+∆2
P1
7)
½ P1 ∆1 + ½ P2 ∆2 + ½ 1(δ) + 1(∆) = ½ Σ U dL
+ ½ Σ S dL + Σ U dL
9)
P2
restando 3) y 4) de 9) :
1
1(∆) = Σ U dL
10)
Fig. 14c. Viga sujeta a carga unitaria y Pi
9
La ecuación 10) se puede aplicar para encontrar la deflexión o rotación en cualquier punto de
una estructura, donde dL puede ser provocada por cargas aplicadas, cambios de temperatura,
errores de fabricación o asentamientos de los apoyos.
Deflexiones en vigas (∆ = Σ U dL)
Supóngase que el momento producido por las cargas es M en cualquier fibra y el momento
debido a la carga unitaria es m. El esfuerzo debido a 1 es (m y / I) y la fuerza u será :
U = (m y / I) dA
11)
además S / dA es el esfuerzo provocado por las cargas en la fibra estudiada. Por la ley de
comportamiento lineal (Hooke) : f = εE, entonces :
ε = f / E = (S / dA) (1 / E)
12)
de modo que la deformación en la fibra será :
dL = ε dx = (S / dA) (1 / E) dx
13)
además por Navier :
S = (M y / I) dA y substituyendo en la ecuación anterior :
dL = (M y / EI) dx
14)
Si se substituye 14) y 11) en 10) :
∆ = S ( m y / I) dA (M y / EI) dx =
∆=
∫
L
0
L
∫∫
0
A
0
Mmy 2 dAdx
2
EI
L Mmdx
Mmdx A 2
y dA = ∫
2 ∫0
0
EI
EI
15)
16)
Si en lugar de una carga unitaria se aplica un par unitario se obtendrá el giro :
L
θ = ∫0
Mmdx
EI
17)
donde m es el momento en cualquier sección, correspondiente a un par unitario en el punto de
la viga descargada donde se quiere determinar la rotación.
Procedimiento general para el cálculo de deformaciones en armaduras
Para el caso de una barra sujeta solo a carga axial, se dedujo que si la carga virtual es unitaria,
el trabajo interno da como resultado el desplazamiento en el punto y en la dirección en la que
se aplica dicha carga :
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rA = ∫ (δσij) • εij dV
v
entonces
di = δWi =
∑ ( δP ) (P L / A E ) = ∑ ( P ) P
i
i
i
i
i
i
i
o
(Li / AiEi)
donde Po representa las fuerzas en las barras debidas al sistema de carga real y Pi representa
las fuerzas en las barras debidas a la carga unitaria. Usualmente se disponen los cálculos en
forma tabular.
Bibliografía de referencia
Chu-Kia Wang, Statically indeterminate structures, I.S.E., 1953
Yuan-Yu Hsieh, Teoría elemental de estructuras, PHH, 1970
White, Gergely & Sexsmith, Estructuras estáticamente indeterminadas, Vol. 2, Limusa 1972
J.S. Kinney, Análisis de estructuras indeterminadas, CECSA, 1960
A. Ghali & A. Neville, Análisis estructural, Diana
11