UTILIDAD RELATIVA DE UN SISTEMA DE MEDICIÓN G. Américo

UTILIDAD RELATIVA DE UN SISTEMA DE MEDICIÓN
G. Américo Rivas C. Prof. De la Escuela de Ingeniería Industrial. Área de Postgrado. Maestría en
Ingeniería Industrial. Universidad de Carabobo e. Mail: [email protected]
Resumen
En este artículo se plantea la necesidad de disponer de una medida de la calidad relativa de un Sistema de
Medición. Medida relativa por cuanto se hace con relación a la variación en un producto determinado de un
proceso de producción dado.
Se discute y analiza el proceso de desarrollo de los datos que se generan en un estudio del Sistema de Medición
empleado para determinada característica de calidad. Como resultado del análisis, se deriva una medida de la
utilidad relativa de una medición.
Abstract
This paper poins out the necessity of assessing the relative usefulness of a measurement for a specific product.
Before such a relative measure of usefulness can be obtained, one will have to have an estimate of the product
variation and a framework for comparing the error of measurement with product variation. This framework and
a statistic for measuring the relative usefulness of a measurement, are given in this paper
INTRODUCCIÓN.
Uno de los aspectos más importante en el área de la evaluación de un Sistema de Medición es el tema
relacionado con la capacidad de discriminación de tal sistema. El tema del presente trabajo se relaciona con la
obtención de una medida de la efectividad relativa a un producto determinado, de un sistema de medición.
UTILIDAD RELATIVA DE UNA MEDICIÓN.
El estimado de la Desviación Estándar del Sistema de Medición proporciona una medida absoluta del Error de
la Medición. Sin embargo, esto no es suficiente para calificar la utilidad relativa de esa medición para un
determinado producto o proceso. Para poder obtener esa medida relativa es necesario, en primer lugar, disponer
de un estimado de la variación del producto. Una vez que se dispone de tal estimado, entonces se debe definir la
forma en que se compararán tales estimados.
Como se establece en el Manual del curso Análisis de los Sistemas de Medición (Ing. G. Américo Rivas C, ver
referencia 2):
Varianza Obs.= Varianza del Producto + varianza del Error de Medición
Esta relación puede reflejarse bajo la figura de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el valor de σobs.
En la medida en que la desviación estándar del producto es mayor que la del sistema de medición, aquella será
la que aporte más a la desviación estándar observada. Ahora bien, si se producen mejoras continuas en el
proceso, entonces llegará un momento en que prevalecerá la desviación estándar del sistema de medición. En el
momento en que eso ocurra ya el sistema de medición no podrá detectar la variación en el producto, y entonces
es el momento en que la prioridad debe ser la mejora del sistema de medición.
Por lo que se ha expuesto, es muy importante tener una, manera de evaluar la utilidad relativa de una medición.
Para eso se necesita discutir con algún detenimiento, las características que rodean el estudio de un sistema de
medición.
Cuando se hace un estudio del sistema de medición, se selecciona una muestra aleatoria del proceso de
producción. Supóngase que la misma es de P artículos. Sean xl, x2, ... xP, los valores verdaderos de cierta
característica de calidad x, en tales artículos. Estos valores son una muestra aleatoria de una población cuya
media es µ y cuya varianza es σp2. A cada uno de estos artículos se le hace "r" lecturas. Para mantener el
análisis lo más simple posible, supóngase que para cada parte i se hacen r = 2 lecturas.
Cuando se hace la j-ésima lectura sobre el i-ésimo artículo, la lectura correspondiente, yij será igual a
en donde eij es el error de medición, cuya mediase asume que es iguala cero y su varianza es σm2.
Los eij se consideran v.a. no correlacionadas entre sí, e independientes de los valores verdaderos de las partes,
xi, por lo tanto
Bajo estos supuestos:
1. Todas las observaciones tienen la misma media (p).
2. Las observaciones no son estadísticamente independientes.
Esta dependencia estadística es el reflejo de una realidad: las 2 lecturas hechas sobre la misma parte están
ligadas a su valor verdadero, alrededor del cual varían, de acuerdo al valor de σm2.
La dependencia mencionada permite definir el llamado Coeficiente de Correlación Intraclase, ρ1, (Ver Scheffé,
Referencia 6)
Recuérdese que
De todo esto se deduce que las "r" variables aleatorias que conforman las lecturas hechas sobre la misma parte
no son independientes, y que su Coeficiente de Correlación es ρ1.
En resumen, las variables aleatorias
se pueden considerar variables aleatorias bidimensionales, cuyo Coeficiente de Correlación es ρ1.
En la metodología estadística es usual suponer que las variables aleatorias consideradas en el modelo, siguen
una distribución Normal.
Bajo este supuesto adicional, las v.a. antes mencionadas se pueden considerar Bi-variables Normales.
MODELO NORMAL B1-VARIABLE.
El modelo Normal Bi-variable tiene 5 parámetros que son , µ1 , µ2, σ1, σ2 y el Coeficiente de Correlación ρ,
que en el contexto que se está analizando es el ya definido Coeficiente de Correlación Intraclase.
La función de densidad de probabilidad de la distribución Normal Bi-variable es
Cuando esta superficie, con la forma parecida a una campana, se intercepta con un plano paralelo al eje X-Y, se
generan curvas planas, cada una de las cuales es una elipse. Estas elipses son las curvas de contorno las cuales
permiten representar de una forma más sencilla, la función de densidad de probabilidad de la distribución
Normal Bi-variable.
En las figuras que siguen, se muestra la función de densidad de la Normal Bi-Variable, con Sigmas iguales y
Coeficiente de Correlación igual a 0,80, y las curvas de contorno de esa misma función de densidad, las cuales
permiten describir de manera más sencilla dicha función.
La ecuación de cada una de estas elipses (ver Brownlee, referencia 4), es
Cuando ρ es igual a cero, se obtiene la ecuación de una elipse cuyos ejes principales son paralelos a los ejes de
coordenadas.
Sin perder generalidad y para simplificar el análisis, se considerará que
Por otra parte, los parámetros σ1 y σ2 son iguales, debido a que las lecturas que se hacen sobre cada parte
pertenecen a la misma población. Para simplificar la expresión de la ecuación de la elipse, se considerará que σ1
= σ2 = 1.
Bajo estos supuestos, la ecuación de la elipse se simplifica a la expresión
En el Apéndice se demuestra que esta ecuación corresponde a una elipse cuyo eje principal forma un ángulo de
45 ° con el eje de las abscisas. A1 girar los ejes 45°, y1 y y2 se convierten en z1 y z2, y la ecuación de la elipse
queda como
Observe que, efectivamente, el eje principal mayor de la elipse forma 45° con el eje de las abscisas.
Es conveniente destacar que cuando la variable bi-dimensional considerada se forma con las lecturas hechas
sobre la misma parte, como es el caso que se analiza, siempre será verdad que σ1 = σ2, y el ángulo será de 45°.
Si los valores de las medias µ1 y µ2 no son iguales a cero, el cambio consiste, simplemente, en una la relación
traslación de los ejes.
Al sustituir en la ecuación IX, las funciones trigonométricas por sus valores sen 45° = 1/√2, cos 45° = 1/√2, se
obtiene la ecuación de la elipse cuyos ejes principales son paralelos a los ejes de coordenadas
A1 dividir por (1 - ρ2), queda
Como esta es la ecuación de una elipse cuyos ejes son paralelos a los ejes de coordenadas, el valor de la
constante debe ser (1- ρ2).
En consecuencia, la longitud del eje mayor es 2· √ (l + ρ), mientras que la longitud del eje menor es 2· √ (l ρ).
GRÁFICO DE LA RELACIÓN DE DISCRIMINACIÓN.
Si se desea ver reflejado en un solo gráfico, la variación dentro de las lecturas repetidas sobre la misma parte y
la variación debida al proceso de producción, se puede tomar la idea de Wheeler-Lyday (ver referencia número
3), de colocar en un gráfico X-Y, los puntos que corresponden a los valores de
para cada parte, esto es, para i = 1, 2, ..., p.
El gráfico resultante mostrará la dispersión de los datos alrededor del diagonal. De acuerdo a lo que se
desarrollara antes, estos puntos deben ajustarse a una elipse, cuyo eje principal mayor tiene una longitud igual a
2· √ (l + ρ) y el eje principal menor tiene una, longitud igual a 2· √ (l - ρ).
En el gráfico, la variación perpendicular a la diagonal refleja la variación debida al sistema de medición
solamente, mientras que la variación a lo largo de la diagonal refleja la variación debida tanto al sistema de
medición como al producto.
El error en la medición puede representarse como un cuadrado cuyo lado es de longitud 2· √ (l - ρ). Si la elipse
se encierra dentro de un rectángulo formado por tantos cuadrados como haga falta, entonces este número de
cuadrados representa el poder o capacidad de discriminación de las mediciones hechas, relativa al producto que
se ha medido.
Esta capacidad de discriminación se puede medir mediante la relación
Esta relación representa el número de categorías diferentes en que el sistema de medición puede clasificar los
valores verdaderos del producto, x1.
RELACIÓN CON EL CRITERIO DEL %R&R
Según ese criterio, para que el sistema de medición sea aceptable, la desviación estándar del sistema de
medición, σm, debe ser menor o igual que el 10% de la desviación estándar observada, σobs
El Coeficiente de Correlación de la Normal Bi-variable es el Coeficiente de Correlación Intraclase definido en
la ecuación V como
El criterio anterior (ecuación XII) es equivalente a
En consecuencia, el Sistema de Medición es aceptable si
Con base al mismo criterio, se considera que puede usarse el equipo si la relación (σm / σobs) ó 0,30. Para este
caso, el criterio equivalente es
APÉNDICE.
En la referencia 4 se establece la ecuación de las elipses que representan las líneas de contorno de una
distribución Normal Bi-variable como
Estas elipses tienen el centro en el punto cuyas coordenadas son (µ1 , µ2). Para simplificar la expresión, se
supondrá que estos valores son iguales a cero, es decir, que la elipse tendrá su centro en el origen de las
coordenadas.
Como se ha desarrollado en el presente trabajo, en la situación que se analiza, estas elipses provienen de una
distribución Normal Bi-variable con Sigmas iguales, es decir, que σ1 es igual a σ2. Se asumirá que estos
parámetros son iguales a 1.
Estas simplificaciones conducen a una expresión de la forma
que es la ecuación de una elipse con su eje principal mayor formando un ángulo dado, 0, con el eje de las
abscisas.
Para derivar la ecuación de una elipse con ejes principales paralelos a los ejes de coordenadas, deben girarse los
ejes de coordenadas un ángulo iguala 0. Sean zl y z2, las coordenadas en este nuevo sistema de coordenadas.
Entonces, los valores de y1 y y2, expresados en función de zl y z2 son como sigue (ver Lehmann, referencia
5):
A1 hacer estas sustituciones en la ecuación II y después de agrupar términos, se obtiene
Como la elipse con ejes principales paralelos a los ejes de coordenadas no tiene término en z1 · z2, entonces se
iguala a cero tal coeficiente, en la ecuación anterior, lo cual conduce a que el ángulo 0 = 45°.
BIBLIOGRAFÍA
1. Measurement Systems Analysis Reference Manual, AIAG, Detroit, Michigan, 1995.
2. Rivas C., G. Américo (1996), Análisis de los Sistemas de Medición. Manual de Referencia. CEATE.
Universidad de Carabobo.
3. Wheeler, D. J., Lyday, R.W. (1989): Evaluating the Measurement Process.
4. K. A. Brownlee, Statistical Theory and Methodology in Science and Engineering, Tercera Edición
1969.
5. Lehmann, Charles H., Geometría Analítica, Editorial Limusa 1980.
6. Scheffé, Henry, (1959), The Analysis of Variance, Wiley.