Tema 4. Medidas de Tendencia central

Análisis de Datos I
Esquema del Tema 4
Tema 4. Medidas de Tendencia central
1. LA MEDIA ARITMÉTICA
2. LA MEDIANA
3. LA MODA
4. COMPARACIÓN ENTRE LAS MEDIDAS DE
TENDENCIA CENTRAL
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Bibliografía: Tema 3 (pág. 85-91)
Carmen Ximénez
1
Análisis de Datos I
Esquema del Tema 4
1. LA MEDIA ARITMÉTICA, X
Informa sobre la tendencia general de la variable X en una muestra de n sujetos
Fórmula: X =
∑X
i
N
Ejemplo 1: X: 4, 5, 2, 5. → X =
4+5+2+5
=4
4
Es el índice de tendencia central más utilizado.
PROPIEDADES DE LA MEDIA:
1. - Sólo puede calcularse para variables cuantitativas
- Es muy sensible a valores extremos (distribuciones marcadamente asimétricas)
2. Conocida X , las puntuaciones Xi (o puntuaciones directas) pueden expresarse
como desviaciones a la media grupal. Esto es, como las denominadas
puntuaciones diferenciales:
xi = X i − X
Con los datos del Ejemplo 1, x: 0 1 -2 1
Donde:
3.
∑(X
i
∑( X
i
− X) = 0 (o bien Σ x = 0)
− X ) 2 ≥ 0 .... (o bien Σ x2 ≥ 0)
Con los datos del Ejemplo 1: Σ x2 = 0 + 1+ 4 + 1 = 6
4. Si tenemos k variables con medias conocidas: X1 , X 2 , ..., X k
XT =
n1 X1 + n2 X 2 + ... + nk X k
n1 + n2 + ... + nk
Ejemplo:
ni
Xi
XT =
X1
6
2
X2
3
3
X3
4
5
6( 2) + 3(3) + 4(5)
= 3,15
6+3+ 4
Carmen Ximénez
2
Análisis de Datos I
Esquema del Tema 4
2. LA MEDIANA, Mdn
Puntuación en X que divide la distribución en dos partes iguales: deja por
debajo y por encima de sí al 50% de las observaciones
Cálculo:
Ejemplo 2: 7, 11, 6, 5, 7, 12, 9, 8, 10, 6, 9.
1º. Se ordenan los datos de menor a mayor: 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 10, 11, 12.
2º. Si N es impar: Mdn = valor central. En el ejemplo 2 Mdn = 8
Mdn1 + Mdn 2
2
3º. Mdn también puede obtenerse calculando el centil 50 de la distribución.
Si N es par:
Mdn = media aritmética de los valores centrales:
Mdn se diferencia de X en que no se ve afectada por los valores extremos que pueda
tomar la variable X
3. LA MODA, Mo
Valor de la variable X que más aparece en nuestros datos (el que obtiene la mayor frecuencia
absoluta ni)
En el Ejemplo 1: X: 4, 5, 2, 5. → Mo = 5.
* Si hay dos valores de X con la ni mayor, la distribución es bimodal (si estos valores son
cercanos, para calcular Mo puede hallarse la media de ambos).
4. COMPARACIÓN ENTRE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Criterios a seguir:
1º. X (entre otras razones porque es el mejor estimador del parámetro poblacional μ ).
2º. Si no puede calcularse X (p.e. variables ordinales, valores extremos) obtener Mdn.
3º. Si no puede obtenerse Mdn (p.e. datos nominales, intervalos abiertos con más
del 50% de sujetos) obtener Mo.
En algunos casos los tres indicadores pueden dar valores similares pero no
necesariamente ha de ser así. Mdn = X = Mo solo si la distribución es simétrica:
X
Mdn
Mo
Simetría
Carmen Ximénez
X
Asimetría positiva
Asimetría negativa
3
Análisis de Datos I
Esquema del Tema 4
EJERCICIOS
EJERCICIO 1
Σ:
X
x = X -X
x2 = (X - X )2
3
6
7
7
2
1. Rellene los huecos de la tabla
2. Calcule la media de X
EJERCICIO 2
Calcule la mediana y la media en los siguientes conjuntos de datos:
a) 5, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 10, 10
b) 12, 13, 13, 14, 15, 16, 16, 17
c) 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 155
EJERCICIO 3
Calcule la moda para cada
una de las distribuciones que
aparecen en la tabla:
Xi
1
2
3
4
5
6
7
8
n1
n2
n3
n4
1
2
5
14
8
6
3
1
40
5
5
5
5
5
5
5
5
40
2
5
10
5
4
10
3
1
40
2
5
12
12
4
3
1
1
40
EJERCICIO 4
Pasamos el STAI a una muestra de 10 sujetos con problemas de ansiedad que
acuden a un tratamiento grupal y se obtiene una media de 31,2.
Tras 2 meses de terapia volvemos a administrar el STAI, obteniendo una
reducción media de 8,6 puntos.
(A) ¿Cuál es la media en el test tras el tratamiento?
(B) Si un nuevo grupo de 8 sujetos da una media de 30,6 antes de la terapia y
de 23,4 después.
¿Cuál es el valor medio de los 18 sujetos antes y después de la terapia?
¿Cuál es la reducción media de los 18 los sujetos?
Carmen Ximénez
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