3.3 determinantes

Bloque 3:
3.3 DETERMINANTES
Programa:
1.- Definición inductiva de determinante de una matriz. Determinantes 2x2 y 3x3. Menor complementario. Adjunto o cofactor
de un elemento. Teorema fundamental. Ejemplos. Determinante de matrices triangulares.
2.- Propiedades de los determinantes.
3.- Determinantes y matriz inversa. Determinantes y rango.
Bibliografía.Grossmann (cap II)
J. de Burgos (cap IV)
------------------------
1.- Definición inductiva de determinante de una matriz. Determinantes 2x2 y 3x3. Menor complementario. Adjunto o cofactor
de un elemento. Teorema fundamental. Ejemplos. Determinante de matrices triangulares.
Si
⎡ a11
A=⎢
⎣a21
⎡ a11
Si A = ⎢ a
⎢ 21
⎢⎣ a 31
a12 ⎤
a22 ⎥⎦
entonces se define
det(A)=|A|=a11 a22 - a12 a21 .
a13 ⎤
a 22
⎥
a 23 ⎥ se define det(A)=|A| = a11 a
32
a 33 ⎥⎦
a12
a 22
a 32
a 23
a 33
− a12
a 21
a 23
a 31
a 33
+ a13
a 21
a 22
a 31
a 33
.
Se puede expresar |A|=a11a22a33+.a21a32a13+ a12 a23 a31 - a13 a22 a31 - a12 a21 a33 - a11 a23 a33.
+
;
o bien
.
Definición.- Menor complementario Mij
Definición.- Cofactor o adjunto de un elemento aij
A
ij
= (-1)i+j M i j
Definición de determinante de una matriz .n
|A| =
∑a
j =1
ij
Aij
TEOREMA FUNDAMENTAL
n
n
n
j=1
i=1
j =1
|A|= ∑ a 1 j A 1 j = ∑ a i j Aij = ∑ aij Aij
(fila 1)
(fila i)
(Demostración en Grossman página 141).
(columna j)
2.- Propiedades de los determinantes
1.- Si una fila (o columna) es 0 → |A|=0
2.- Si se multiplica por k una fila del det(A) → det(kA)=kdet(A)
3.- Si f iA + fiB =fiC y todas las demas filas iguales entonces → |C|=|A|+|B|
4.- Si se permuta las filas fi y fj → |A| cambia de signo
5.- Si fi=fj →|A|=0
6.- Si fiA = α fjA → |A| = 0
7.- Si se hace la operación elemental fiA+ α fjA entonces |A| no cambia. En general si a fiA se le suma combinación lineal
de otras filas entonces | A| permanece invariable.
fqg
Algebra Lineal EII
08-09
1/2
3.- Determinantes y matriz inversa. Determinantes y rango.
TEOREMA: |A|=0 ⇔ vectores filas son linealmente dependientes.
n
Propiedad:
Σ fila por los adjuntos de otra fila paralela es 0 ⇔
∑a
k =1
TEOREMA: |A|=|At| .
ik
A jk = 0
TEOREMA: |AB| = |A| . |B| (La demostración se basa en los lemas 1 y 2)
Lema 1: Determinantes de las matrices elementales |Ef i j |= -1. |E fα i| = α. |Efi+α j| = 1
Siendo E cualquier matriz elemental.
Lema 2 : |E . B| = |E| . |B|
Lema 3 : A es regular ⇔ |A|≠0
Definición de matriz adjunta Aadj.
Propiedad |Aadj| = |A|n-1
Cálculo de la inversa de una matriz: A-1 =
1 t
A
A adj
Teorema Creciente.Son equivalentes las cinco proposiciones siguientes:
1) A es regular
2) AX = 0 solo tiene la solución trivial x = 0 .
3) AX = b tiene una única solución.
4) A ∼ I
5) A = producto de matrices elementales.
6) |A| ≠ 0.
------------------------------
Bloque 4.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
1.- Sistemas de ecuaciones lineales (SEL). Definiciones y propiedades.
2.- Sistemas de Cramer. Regla de Cramer.
3.- Teorema de Rouché-Frobenius. SEL Homogéneos.
4.- Método de Gauss.
Bibliografía .“Algebra lineal” J. de Burgos. McGraw Hill.
“Algebra lineal y Geometría” López-Pellicer y García García.
“Lecciones de Algebra lineal” J.L.Pinilla
“Problemas de Algebra” A. de la Villa.
“Problemas de Algebra lineal” J.L.Pinilla.
“Problemas de Algebra lineal” Tebar Flores.
fqg
Algebra Lineal EII
08-09
2/2