Uso de la fórmula de la distancia

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LECCIÓN
CONDENSADA
9.1
Uso de la fórmula de la distancia
En esta lección
●
●
Usarás el Teorema de Pitágoras para ayudarte a minimizar las distancias
Usarás la fórmula de la distancia para hallar la ecuación de un lugar
geométrico de puntos
En esta lección, descubrirás y aplicarás una fórmula para la distancia.
Investigación: Carrera de baldes
Imagina que estás en una carrera en la cual debes llevar un
balde vacío desde un punto A hasta el borde de una piscina,
llenar el balde con agua, y después llevarlo hasta un punto B.
El punto A está a 5 metros de un extremo de la piscina, el
punto B está a 7 metros del otro extremo, y la piscina tiene
20 metros de largo.
Meta
B
Salida
A
7m
5m
x
20 x
C
Sea x la distancia desde el extremo de la piscina hasta un
punto C situado en el borde de la piscina. Completa los
Pasos 1–4 en tu libro para hallar el valor de x que da la trayectoria más corta
posible de A a C y de C a B. Aquí se dan las respuestas a los Pasos 2 y 3.
20 m
Paso 2 A continuación se presentan los datos correspondientes a varios valores
de x. AC y CB se calcularon usando el Teorema de Pitágoras, pero también puedes
hallarlas midiendo. Tus respuestas pueden ser ligeramente diferentes a éstas,
dependiendo de cómo hayas redondeado o de la precisión de tus mediciones.
x (m)
AC (m)
CB (m)
AC CB (m)
x (m)
AC (m)
CB (m)
AC CB (m)
10.63
23.63
0
5
21.19
26.19
12
13
2
5.39
19.31
24.70
14
14.87
9.22
24.09
4
6.40
17.46
23.86
16
16.76
8.06
24.82
6
7.81
15.65
23.46
18
18.68
7.28
25.96
8
9.43
13.89
23.32
20
20.62
7
27.62
10
11.18
12.21
23.39
Paso 3
Método 1: La tabla anterior indica que un valor x de aproximadamente
8 minimiza la longitud de la trayectoria, lo cual significa que C debe estar
a unos 8 m del extremo de la piscina. (Puedes obtener una respuesta más
precisa intentando otros valores de x cercanos a 8.)
Método 2: Usando el Teorema de Pitágoras, AC es 52 x 2 y BC es
2
2
(20
x), de modo que la longitud, y, de la trayectoria puede
7
representarse por
2 x2 y 5
72 (
20 x
)2
(continúa)
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CHAPTER 9
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Lección 9.1 • Uso de la fórmula de la distancia (continuación)
Usando una tabla o gráfica de calculadora, puedes encontrar que el valor mínimo
de y en esta función, que es aproximadamente 23.32, corresponde a un valor x de
aproximadamente 8.33. Así pues, el punto C debe estar ubicado a unos 8.33 m del
extremo de la piscina.
La cantidad de agua que queda en el balde al final de la carrera es un factor
importante para ganar. Imagina que puedes llevar un balde vacío a una velocidad
de 1.2 m/s y que puedes llevar el balde lleno, sin derramar agua, a una velocidad
de 0.4 m/s. Completa los Pasos 5 y 6 en tu libro para hallar la ubicación de C que
minimiza el tiempo que te llevará ir desde el punto A al punto C y de ahí al
punto B. Después compara tus resultados con los siguientes.
Paso 5
Usa el hecho de que tiempo distancia
.
velocidad
x (m)
Tiempo para AC (s)
Tiempo para CB (s)
Tiempo total (s)
0
4.17
52.98
57.15
2
4.49
48.28
52.77
4
5.34
43.65
48.99
6
6.51
39.13
45.64
8
7.86
34.73
42.59
10
9.32
30.53
39.85
12
10.83
26.58
37.41
14
12.39
23.05
35.44
16
13.97
20.15
34.12
18
15.57
18.20
33.77
20
17.18
17.50
34.68
Paso 6
2 x2
5
El tiempo requerido para ir de A a C es , y el tiempo requerido
1.2
72 (
20 x
)2
para ir de C a B es . Por tanto, el tiempo total, y, puede
0.4
representarse por la función
2 x2
72 (
20 x
)2
5
y 1.2
0.4
El valor x que minimiza esta función es aproximadamente 17.63. El valor y
correspondiente a este valor x es aproximadamente 33.75. Por tanto, para
minimizar el tiempo, el punto C debe estar a 17.63 m del extremo de la
piscina. El tiempo mínimo será de unos 33.75 s. La distancia recorrida es
aproximadamente 25.96 m. Esta distancia es mayor que la distancia que
encontraste en el Paso 3, pero el segundo tramo, CB, es más corto.
(continúa)
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Lección 9.1 • Uso de la fórmula de la distancia (continuación)
Recuerda que la distancia entre dos puntos, x1, y1 y x 2, y2, se da por la
fórmula d x 2 x 1
2 y
2 . Repasa esta fórmula leyendo el texto
2 y1
hasta el Ejemplo A en tu libro. Un lugar geométrico (locus) de puntos es un
conjunto de puntos que cumplen con una condición dada. En el Ejemplo A se
encuentra el lugar geométrico de los puntos que es equidistante de dos puntos.
Lee este ejemplo con atención y después lee el Ejemplo B. El ejemplo siguiente es
el Ejercicio 6 en tu libro.
EJEMPLO
Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos que están dos veces más
lejos del punto (2, 0) que del punto (5, 0).
Solución
Sea (x, y) cualquier punto del lugar geométrico. Sea d1 la distancia de (2, 0) a
(x, y), y sea d2 la distancia de (5, 0) a (x, y). Entonces,
2 y2 y d 2 y2
(x 2)
(x 5)
d1 2 El lugar geométrico son todos los puntos que satisfacen la ecuación d1 2d2, ó
2 y2 2
2 y2
(x 2)
(x 5)
Eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación para obtener (x 2)2 y 2 4(x 5)2 y 2. Ahora desarrolla los binomios y combina los términos
2 12x 32 .
semejantes. Debes obtener x 2 12x y 2 32, ó y x
La gráfica siguiente muestra los puntos (2, 0) y (5, 0) y el lugar geométrico,
que es un círculo centrado en (6, 0).
[0, 9.4, 2, 6.2, 6.2, 2]
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LECCIÓN
CONDENSADA
9.2
Círculos y elipses
En esta lección
●
●
●
●
Revisarás las ecuaciones estándares y paramétricas de un círculo y una elipse
Aprenderás las definiciones de un círculo y una elipse como lugares geométricos
Localizarás los focos de una elipse
Aprenderás cómo se relaciona la excentricidad de una elipse con su forma
Círculos, elipses, parábolas, e hipérbolas se llaman secciones cónicas porque se
pueden crear rebanando un cono doble.
Elipse
Círculo
Parábola
Hipérbola
Cada sección cónica se puede definir también como un lugar geométrico de
puntos. Por ejemplo, un círculo es el conjunto de todos los puntos situados a una
distancia fija de un punto dado. Lee el texto en tu libro desde la definición de un
círculo hasta el Ejemplo B. Este material repasa lo que has aprendido sobre las
círculos en los capítulos anteriores. Para hallar la ecuación en el Ejemplo B,
primero debes encontrar el punto dónde se intersecan el círculo y la recta
tangente. Asegúrate de que entiendes cada paso de la solución.
Recuerda, del Capítulo 4, que puedes trasladar y estirar el círculo unitario para
crear una elipse. En general, si una elipse tiene el centro (h, k), el factor de escala
horizontal a, y el factor de escala vertical b, entonces su ecuación en forma
estandar es
yk
xh
a b 1
2
2
y sus ecuaciones paramétricas son
x a cos t h
y b sin t k
Al igual que un círculo, una elipse puede definirse como un lugar geométrico.
Sin embargo, mientras que la definición como lugar geométrico de un
círculo implica un solo punto fijo (a saber, el centro), la definición como
lugar geométrico de una elipse implica dos puntos fijos, conocidos como
focos: una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos P de un plano,
y la suma de sus distancias, d1 y d2, con respecto a dos puntos fijos, F1 y F2,
es una constante, d. Esto es, d1 d2 d, ó F1P F2P d.
P
d1
F1
d2
d1
d2
d1
P
F2
d2
P
(continúa)
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Lección 9.2 • Círculos y elipses (continuación)
En la página 499 de tu libro se muestra cómo puedes construir una elipse
usando una cuerda, un lápiz, y dos alfileres. Si tienes estos materiales, te
conviene intentarlo.
El segmento que conforma la dimensión más grande de una elipse,
y que contiene los focos, se llama el eje mayor. La dimensión más
pequeña es el eje menor. La longitud de la mitad del eje horizontal
de una elipse es el factor de escala horizontal, de modo que el eje
horizontal tiene una longitud de 2a. Asimismo, la longitud de la
mitad del eje vertical es el factor de escala vertical, de modo que el
eje vertical tiene una longitud de 2b. Si el eje mayor es horizontal,
entonces su longitud, 2a, es igual a d1 d2. Así que la suma de las
distancias entre cualquier punto de una elipse y los dos focos es 2a.
Si el eje mayor es vertical, entonces su longitud, 2b, es igual a d1 d2.
y
Eje mayor
b
F1
F2
x
c
a
Eje menor
F1
2a
d1
F2
F1
d2
d1
2b
F2
d2
La elipse siguiente a la izquierda tiene un eje mayor horizontal. Uno de los puntos
extremos del eje menor ha sido conectado con los focos, formando dos triángulos
rectángulos. La suma de las longitudes de las hipotenusas es igual a la longitud
del eje mayor, así que cada hipotenusa tiene una longitud de a. La mitad de la
longitud del eje menor tiene la longitud b. Para localizar los focos, rotula la
distancia del centro a cada foco como c, y escribe la equación b 2 c 2 a2. La
elipse a la derecha tiene un eje mayor vertical. En este caso, a2 c 2 b 2.
y
y
a
F1
c
F1
a
b
c
F2
x
b
c
x
a
c
b
F2
(continúa)
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Lección 9.2 • Círculos y elipses (continuación)
El Ejemplo C en tu libro muestra cómo usar las relaciones entre a, b, y c para
localizar los focos de una elipse. Aquí se presenta otro ejemplo.
EJEMPLO
Localiza los focos de la elipse.
y
7
–7
7
x
–7
Solución
La elipse tiene un eje mayor horizontal, de modo que b 2 c 2 a 2. En este caso,
b 4 y a 6, así que c 2 62 42 20 y por tanto c 20
25
.
Entonces, los focos son 25, 0 y 25, 0, o aproximadamente (4.47, 0) y
(4.47, 0).
Investigación: Una rebanada de luz
Lee la investigación en tu libro hasta el final del Paso 2. Si tienes una linterna y
alguien que te ayude, completa los pasos.
La excentricidad es una medida de la elongación de una elipse. Para una elipse
con un eje mayor horizontal, la excentricidad es ac. Para una elipse con un eje
mayor vertical, es bc. La excentricidad de una elipse se encuentra siempre entre 0
y 1. Cuanto más cerca esté la excentricidad a 0, más circular será la elipse. Cuánto
más cerca esté a 1, más alargada será la elipse.
y
y
y
6
6
5
–5
5
x
–5
5
x
–6
6
x
–5
–6
–6
Excentricidad 0.18
Excentricidad 0.50
Excentricidad 0.99
Si puedes, completa los Pasos 3 y 4 en tu libro. Debes encontrar que cuando la
excentricidad se vuelve demasiado grande, la elipse se convierte en una parábola
y después en una rama de una hipérbola.
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LECCIÓN
CONDENSADA
9.3
Parábolas
En esta lección
●
●
●
Aprenderás la definición de una parábola como lugar geométrico
Encontrarás el foco y la directriz de una parábola, basándote en su ecuación
Usarás la definición de una parábola como lugar geométrico para construir
una parábola usando patty paper
En capítulos anteriores, aprendiste que la parábola es una transformación
de la gráfica cuya ecuación estandar es y x 2, ó cuyas ecuaciones
paramétricas son x t, y t 2. Una parábola también se puede definir
como un lugar geométrico de puntos.
P
d1
d1 P
Una parábola es un lugar geométrico de puntos P de un plano, cuya
distancia a un punto fijo, F, es la misma que la distancia a una recta fija, .
Esto es, d1 d2. El punto fijo, F, se llama el foco. La recta, , se llama
la directriz.
d2
F
ᐉ
Si la directriz de una parábola es una recta horizontal, entonces la parábola se
orienta verticalmente. Si la directriz es una recta vertical, entonces la parábola
se orienta horizontalmente.
Si una parábola se orienta horizontalmente, con el vértice en (0, 0), entonces
su foco se ubica dentro de la curva en el punto (f, 0), como se muestra en
el diagrama a la derecha. Debido a que la directriz se encuentra a la misma
distancia del vértice que el foco, su ecuación es x f. El texto en la página 508
de tu libro muestra cómo puedes usar esta información, junto con la definición
como lugar geométrico, para derivar la ecuación y 2 4fx para la parábola.
Lee el desarrollo con atención. Entonces, cuando la ecuación de una parábola
está en la forma y 2 4fx, sabes que la distancia del vértice al foco es f, un
cuarto del coeficiente de x.
d2
y
d2
d1
x
F(f, 0)
Directriz
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La parábola siguiente se orienta verticalmente con el vértice (0, 0), el foco (0, f ),
y la directriz y f. Según la definición como lugar geométrico, sabes que
d1 d2. Es decir, (x 0
)2 (y
f )2 (x x
)2 (y
f )2 . Puedes usar
1
álgebra para reescribir esta ecuación como x 2 4fy, ó y 4f x 2. Así que cuando
la ecuación de una parábola esté en cualquiera de estas dos formas, puedes
encontrar la distancia, f, del vértice al foco.
y
d1
(x, y)
(0, f )
d2
(0, 0)
(x, f )
x
y f
Lee el ejemplo en tu libro atentamente, y después lee el ejemplo siguiente. Intenta
responder cada parte por tu propia cuenta, antes de leer la solución.
(continúa)
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Lección 9.3 • Parábolas (continuación)
EJEMPLO
Considera la ecuación madre, y x 2, de una parábola con orientación vertical.
a. Escribe la ecuación de la imagen de la gráfica después de un estiramiento
horizontal por un factor de 2, un estiramiento vertical por un factor de 0.5,
y luego una traslación 3 unidades a la izquierda.
b. ¿Dónde está el foco de y x 2? ¿Dónde está la directriz?
c. ¿Dónde están el foco y la directriz de la parábola transformada?
Solución
Recuerda las transformaciones de funciones que estudiaste en el Capítulo 4.
a. Empieza por la ecuación madre y lleva a cabo las transformaciones.
y x2
Ecuación original.
2
y
x
0.5
2
y
x+3
0.5
2
Estiramientos horizontal por un factor de 2 y vertical por un factor de 0.5.
2
Traslación 3 unidades a la izquierda.
b. Usa la forma general, x 2 4fy. El coeficiente de y es
4f en la forma general y 1 en la ecuación x 2 y. Así
que 4f 1, ó f 14. Por tanto, el foco es 0, 14 y la
directriz es y 14.
x3
c. Primero, reescribe la ecuación 0.5 2 como
8y (x 3)2. El coeficiente de y es 8, por tanto
4f 8, ó f 2. Tanto el foco como la directriz estarán
a 2 unidades del vértice, que es el punto (3, 0), en la
dirección vertical. Por consiguiente, el foco es (3, 2) y
la directriz es y 2.
y
2
y
5
8y (x 3)2
(–3, 2)
–5
5
x
y 2
–5
En el recuadro en la página 510 de tu libro, se resumen las formas estandar y
paramétrica de las ecuaciones para las parábolas con orientaciones verticales y
horizontales. Lee este material con atención.
Investigación: Dobla una parábola
y
Sigue las instrucciones en tu libro para construir una parábola usando
patty paper, y encuentra su ecuación. Lee esa información atentamente.
Supón que esta parábola fuera puesta encima de una hoja de papel
cuadriculada y calcada, con el foco en (3, 0) y su directriz x 1. La
forma general de la parábola es y 2 4fx. La distancia del foco al
vértice es 1, de modo que f 1 y la ecuación general de la parábola
es y 2 4x. Sin embargo, la parábola se trasladó 2 unidades a la
derecha, así que la ecuación final es y 2 4(x 2).
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4
2
–2
4
6
8
x
–2
–4
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LECCIÓN
CONDENSADA
9.4
Hipérbolas
En esta lección
●
●
●
Aprenderás la definición de una hipérbola como lugar geométrico
Usarás las asíntotas de una hipérbola para ayudarte a dibujar la curva
Localizarás los focos de una hipérbola usando los factores de escala
horizontal y vertical
Una hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos P de un plano, en que
la diferencia de las distancias, d1 y d2, a dos puntos fijos, F1 y F2, es siempre una
constante, d. Esto es, d1 d2 d, ó F1P F2P d. Los dos puntos fijos,
F1 y F2, se llaman focos. Los puntos en que las dos ramas de la hipérbola están
más cerca entre sí se llaman los vértices. El centro de una hipérbola es el punto
medio entre los vértices.
F1
d1
d1
P
Vértice
Centro
d2
d2
P
d2
Vértice
P
d2
F2
Observa que la diferencia constante, d, es igual a la distancia entre los vértices.
La distancia desde
P a F1 es d1.
F1
d1
La distancia
desde P a F2
es d2.
d2
P
d2 d1
La distancia entre
los vértices es igual
a la diferencia
constante d2 d1 .
F2
(continúa)
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Lección 9.4 • Hipérbolas (continuación)
En el Ejemplo A en tu libro, se deriva la ecuación x 2 y 2 1 de la hipérbola
unitaria. Lee ese ejemplo con atención, siguiéndolo con papel y lápiz.
y
4
(x, y)
2
(–
2, 0)
–4
( 2, 0)
2
–2
4
x
–2
–4
Cada rama de una hipérbola se aproxima a dos rectas llamadas asíntotas
(asymptotes). Las asíntotas son rectas a las cuales la gráfica se aproxima cuando
aumentan los valores x ó y en dirección positiva o negativa. Las asíntotas de la
hipérbola unitaria son y x y y x. Observa que estas asíntotas pasan por
los vértices de un cuadrado con esquinas en (1, 1), (1, 2), (1, 1), y (1, 1).
La gráfica de y 2 x 2 1 también es una hipérbola. Esta hipérbola tiene la
misma forma que la gráfica de x 2 y 2 1, pero se orienta verticalmente.
y
4
2
–4
–2
2
4
x
–2
–4
La forma estandar de la ecuación de una hipérbola centrada en el origen es
x
a
2
y
b
2
y
1 ó b
2
x
a
2
y
1
(0, 5)
donde a es el factor de escala horizontal y b es el factor de escala vertical.
El Ejemplo B en tu libro muestra cómo graficar una hipérbola, trazando
primero sus asíntotas. Lee este ejemplo atentamente.
Los focos de una hipérbola están a la misma distancia del centro que
los vértices del rectángulo de asíntotas. En el diagrama siguiente, esta
distancia es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo
con catetos de longitudes a y b. Puedes usar la fórmula pitagórica,
a2 b 2 c 2, para localizar los focos. A continuación hay un ejemplo.
x 2
2
a
b
c
–5
x
5
(0, 5)
y 2 1 y da las coordenadas de los focos.
EJEMPLO
Traza la gráfica de
Solución
De la ecuación, puedes ver que se trata de una hipérbola
con orientación horizontal y un factor de escala horizontal
de 2. Empieza por dibujar las asíntotas. Para hacerlo,
traza un rectángulo centrado en el origen que mida
–4
2 2, ó 4 unidades horizontalmente y 2 1, ó 2 unidades
verticalmente, y después traza unas rectas que pasen por
los vértices opuestos. O usa las ecuaciones de las asíntotas,
y 12x. Los vértices de la hipérbola se encuentran en
(2, 0) y (2, 0). Usa esta información para trazar la hipérbola.
y
1
y _2 x
2
4
–2
x
1
y _2 x
Para localizar los focos, usa la relación a2 b 2 c 2. En este caso, a 2 y
2 12 b 1, de modo que c 2
5. Así pues, los focos se encuentran
a 5 unidades del centro en 5, 0 y 5, 0, o aproximadamente
(2.24, 0) y (2.24, 0).
(continúa)
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Lección 9.4 • Hipérbolas (continuación)
Investigación: De paso
Lee la investigación en tu libro, y asegúrate de entender el procedimiento. Aquí se
ofrece una muestra de datos. Completa la investigación usando estos datos y
después compara tus respuestas con las siguientes.
Tiempo (s)
Distancia (m)
Tiempo (s)
Distancia (m)
Tiempo (s)
Distancia (m)
0
5.000
2.6
1.605
5.2
1.978
0.2
4.720
2.8
1.525
5.4
2.251
0.4
4.381
3.0
1.291
5.6
2.478
0.6
4.016
3.2
1.022
5.8
2.748
0.8
3.688
3.4
0.901
6.0
3.099
1.0
3.558
3.6
0.882
6.2
3.284
1.2
3.302
3.8
0.926
6.4
3.533
1.4
3.078
4.0
0.966
6.6
3.820
1.6
2.709
4.2
1.056
6.8
4.116
1.8
2.410
4.4
1.240
7.0
4.379
2.0
2.249
4.6
1.387
7.2
4.695
2.2
1.969
4.8
1.568
7.4
4.955
2.4
1.770
5.0
1.673
Paso 1
Aquí se presenta una gráfica de los datos:
[0, 7.4, 1, 0, 5, 1]
Paso 2
Las asíntotas y 1.3(x 3.8) y y 1.3(x 3.8) funcionan bien.
[0, 7.4, 1, 0, 5, 1]
Las asíntotas tienen pendientes de ab, de modo que ab 1.3. El centro de
la hipérbola es (3.8, 0) y, según la muestra de datos, el vértice se ubica en
aproximadamente (3.8, 0.9). Entonces el valor b, el estiramiento vertical,
es 0.9, y el valor a es 01..93 , ó aproximadamente 0.7. La ecuación de la hipérbola
es, por tanto,
y
0.9
2
x 3.8
0.7
2
1
(continúa)
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Lección 9.4 • Hipérbolas (continuación)
Paso 3 Las distancias desde el centro a los focos se determinan por
0.92 0.72 c 2, de modo que c 1.14, y los focos son (3.8, 1.14) y
(3.8, 1.14). El cálculo de d2 d1 para dos puntos diferentes da
aproximadamente 1.80 unidades. Las diferencias en las distancias son
iguales. Ésta es la definición como lugar geométrico de una hipérbola.
y
4
2
–4
–2
d1 d1
d2
d2
2
6
8
10
x
–2
–4
En el texto en el recuadro Equation of a Hyperbola (la ecuación de una
hipérbola) en la página 518 de tu libro, se dan las ecuaciones estandar y
paramétrica de una hipérbola. Verás cómo derivar las ecuaciones paramétricas
en los ejercicios.
El Ejemplo C en tu libro te pide escribir una ecuación para una parábola dada.
Intenta hacerlo por tu cuenta, antes de leer la solución. (Sugerencia: Necesitarás
escribir una ecuación que contenga b y después usar un punto de la curva para
resolver para b.)
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LECCIÓN
CONDENSADA
9.5
La cuadrática general
En esta lección
●
●
●
●
Convertirás ecuaciones cuadráticas de la forma general a la forma estándar
Resolverás unas ecuaciones cuadráticas para y de modo que puedan
graficarse en una calculadora
Encontrarás todas las maneras posibles en que dos secciones cónicas
pueden intersecarse
Encontrarás los puntos de intersección de dos secciones cónicas
Círculos, parábolas, elipses, e hipérbolas se llaman curvas cuadráticas, o curvas
de segundo grado, porque la potencia más alta en cualquier variable de sus
ecuaciones es 2. Las ecuaciones de cualquiera de estas curvas pueden escribirse
en la forma cuadrática general
Ax 2 Bxy Cy 2 Dx Ey F 0
donde A, B, y C no son todas cero.
En todas las curvas que has visto hasta ahora en este capítulo, B es igual
a 0 (es decir, no hay término xy). Si B no es igual a 0, la curva está rotada
(su orientación no es ni horizontal ni vertical).
Para graficar a mano una ecuación cuadrática dada en forma general, resulta
útil escribirla primero en su forma estándar. Y, para graficar la ecuación en tu
calculadora, primero debes resolverla para y. En esta lección practicarás la
conversión de las ecuaciones cuadráticas generales a estas formas.
Lee Ejemplo A en tu libro. La ecuación es relativamente fácil de trabajar porque
no tiene términos en x, y, o xy. Si una ecuación tiene estos términos, entonces
debes usar el proceso de completar el cuadrado para reescribirla en su forma
estandar. Esto se muestra en el Ejemplo B en tu libro. Lee ese ejemplo, y después
lee el ejemplo siguiente.
EJEMPLO A
Describe la gráfica determinada por la ecuación
25x 2 4y 2 150x 16y 109 0.
(continúa)
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Lección 9.5 • La cuadrática general (continuación)
Solución
Completa el cuadrado para convertir la ecuación a su forma estandar.
25x 2 4y 2 150x 16y 109 0
Ecuación original.
25x 2 150x 4y 2 16y 109
25x 2 6x 4y 2 4y 109
Agrupa los términos x y los términos y, y pasa
las constantes al otro lado.
Factoriza los coeficientes de x 2 y de y 2.
25x 2 6x 9 4y 2 4y 4 109 25(9) 4(4)
Completa el cuadrado para x y y. Suma los
mismos valores al lado derecho de la ecuación.
25(x 3)2 4(y 2)2 100
(x 3)2 (y 2)2
1
4
25
2
y
2 2
x3
5 1
2
Escribe la ecuación en forma de cuadrado
perfecto.
Divide ambos lados entre 100.
Escribe la ecuación en forma estándar.
La ecuación es la de una hipérbola con orientación horizontal y el centro en
(3, 2), el factor de escala horizontal 2, y el factor de escala vertical 5.
En el ejemplo anterior, antes de que convirtieras la ecuación a su forma estándar,
pudiste haber usado indicios de la forma general de la ecuación para predecir que
la gráfica sería una hipérbola. Debido a que la ecuación tiene tanto un término x 2
como un término y 2, la gráfica debe ser una elipse, una hipérbola, o un círculo.
El coeficiente de x 2 es positivo y el de y 2 es negativo, de modo que la gráfica es
una hipérbola.
La ecuación en el Ejemplo C en tu libro tiene un término y 2, pero no tiene
un término x 2. Esto indica que su gráfica es una parábola. Lee Ejemplo C
atentamente. El Ejemplo D te muestra cómo usar la fórmula cuadrática para
resolver la ecuación del Ejemplo C para y. Trabaja el Ejemplo D con papel y lápiz.
Investigación: Sistemas de ecuaciones cónicas
Existen cuatro secciones cónicas: círculos, elipses, parábolas, e hipérbolas. Los
diagramas en la página 529 de tu libro muestran que una elipse y una hipérbola
se pueden intersecar en 0, 1, 2, 3, ó 4 puntos. Existen otras nueve pares posibles
de dos secciones cónicas:
Elipse y elipse
Elipse y parábola
Elipse y círculo
Parábola y parábola
Parábola e hipérbola
Parábola y círculo
Hipérbola e hipérbola
Hipérbola y círculo
Círculo y círculo
(continúa)
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Lección 9.5 • La cuadrática general (continuación)
Para cada par, considera todos los números posibles de puntos de intersección, y
haz un dibujo de cada posibilidad. Cuando hayas terminado, compara tus
respuestas con las siguientes.
Círculo y círculo: 0, 1, 2, número infinito
Elipse y elipse: 0, 1, 2, 3, 4, número infinito
Parábola y parábola: 0, 1, 2, 3, 4, número infinito
Hipérbola e hipérbola: 0, 1, 2, 3, 4, número infinito
Todas las demás combinaciones: 0, 1, 2, 3, ó 4
Para hallar los puntos donde se intersecan dos secciones cónicas, primero
grafica las curvas para ver el número de puntos de intersección y su ubicación
aproximada. Después, usa el álgebra para hallar los puntos exactos de
intersección. Esta técnica se ilustra en el Ejemplo E en tu libro. A continuación
se presenta otro ejemplo. Necesitarás determinar algunos detalles de la solución
por tu propia cuenta.
y2
9
EJEMPLO B
Encuentra los puntos de intersección de x 2 Al resolver ambas ecuaciones para y, se obtiene y 31
x2 y
y 2 1 x 2 . (Asegúrate de verificar este resultado.) Al graficar las
ecuaciones se muestra que hay tres puntos de intersección. Uno parece ser
(0, 3). Al rastrear la gráfica, puedes encontrar que los otros dos puntos son
aproximadamente (0.96, 0.62) y (0.96, 0.62).
Solución
1 y (y 2)2 x 2 1.
[5, 5, 1, 5, 5, 1]
Para hallar los puntos de intersección de manera algebraica, resuelve la primera
y2
y2
ecuación para x 2 y obtén x 2 1 9, después sustituye x 2 por 1 9 en la
segunda ecuación.
(y 2)2 x 2 1
y2
(y 2)2 1 9 1
y2
y 2 4y 4 1 9 1
10
y 2 4y 2 0
9
Segunda ecuación original.
y2
Sustituye x 2 por 1 9.
Desarrolla el binomio al cuadrado.
Combina términos semejantes.
10
4 42 4 9 (2)
y 10
2 9
Usa la fórmula cuadrática.
y 0.6 ó y 3
Evalúa.
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(continúa)
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Lección 9.5 • La cuadrática general (continuación)
Para hallar los valores correspondientes de x, sustituye ambos valores en
y2
x 1 9 , que se obtiene de la primera ecuación.
(3)
0
x 1
9
(0.6)2
x 1 9 0.980
2
Los puntos de intersección son aproximadamente (0.980, 0.6), (0.980, 0.6),
y (0, 3).
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LECCIÓN
Introducción a las funciones
racionales
CONDENSADA
9.6
En esta lección
●
●
●
●
●
Modelarás unos datos reales con una función racional
Examinarás transformaciones de f(x) 1x, la función madre de la curva de
variación inversa
Reescribirás unas ecuaciones de funciones racionales para ver cómo se
relacionan con y 1x
Escribirás una ecuación para la gráfica de una función racional
Usarás expresiones racionales para resolver un problema que implica
soluciones ácidas
En la investigación, verás cómo la longitud de un poste se relaciona con el peso
que puede soportar. Antes de hacer la investigación, le la introducción en la
página 536 de tu libro y observa las curvas A, B, y C. ¿Qué curva crees que se
asemeje más a la relación entre la longitud del poste y la “masa de ruptura”;
es decir, la masa mínima que ocasionará que el poste se rompa?
Investigación: El punto de ruptura
Lee la lista de materiales, Procedure Note, y el Paso 1 de la
investigación en tu libro. Si tienes los materiales, registra de
10 a 15 valores por tu cuenta y usa tus datos para completar
la investigación. Si no tienes los materiales, usa esta muestra
de datos. Los resultados siguientes se basan en la muestra
de datos.
Parece que la gráfica no es lineal. Es una curva
que disminuye rápidamente al principio, y después con
más lentitud.
Paso 2
[0, 17, 1, 0, 17, 1]
Paso 3
Una posible ecuación es y 9x0 .
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Longitud (cm)
x
Masa (número
de monedas)
y
16
6
16
5
15
7
15
6
14
6
13
7
13
6
12
8
Longitud (cm)
x
Masa (número
de monedas)
y
12
7
11
8
10
9
9
10
8
11
7
13
6
16
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Lección 9.6 • Introducción a las funciones racionales (continuación)
La relación entre longitud y masa en la investigación es una variación inversa. La
función madre para una curva de variación inversa es f(x) 1x. Esta es la función
racional más sencilla.
Una función racional es cualquier función que se puede escribir de la forma
p(x)
f(x) q(x) , donde p(x) y q(x) son polinomios y el grado de q(x) es
1 o mayor.
Observa que la gráfica de y 1x, que se muestra aquí, es una hipérbola
rotada 45° con los vértices (1, 1) y (1, 1). Los ejes x y y son las asíntotas.
La función no tiene valor en x 0 porque 10 es indefinido. A medida que los
valores x se acercan a cero, desde la izquierda, los valores y se vuelven cada
vez más negativos. A medida que los valores x se aproximan a cero, desde la
derecha, los valores y se vuelven cada vez más positivos. A medida que los
valores x se acercan a los valores extremos, tanto en la izquierda como en
la derecha, la gráfica se aproxima al eje horizontal. Las características de la
gráfica de y 1x se describen con más detalle en la página 538 de tu libro.
y
5
–5
5
x
–5
y y 2 son funciones racionales
Las funciones como y 4, y transformadas. Usa tu calculadora para experimentar con diferentes
transformaciones de y 1x.
1
x
1
,
x1
1
x
El Ejemplo A en tu libro muestra cómo una función racional puede reescribirse
de modo que quede claro cómo se relaciona con la función madre, y 1x. Lee ese
ejemplo, y después intenta resolver el problema en el ejemplo siguiente.
EJEMPLO
Solución
3x 11
Describe la función y x 3 como una transformación de la función madre,
1
y x. Después dibuja la gráfica.
Debido a que el denominador es (x 3), intenta obtener la expresión (x 3)
también en el numerador.
3x 11
y
x3
Ecuación original.
3(x 3) 2
y
x3
Reescribe el numerador de modo que incluya (x 3).
3(x 3)
2
y
x3 x3
Separa la expresión en dos
fracciones con el mismo
denominador.
2
y3
x3
Reescribe
3(x 3)
x3
y
7
como 3.
La función madre ha sido estirada verticalmente
por un factor de 2, y después trasladada hacia
la izquierda 3 unidades y hacia arriba otras 3
unidades. Las asíntotas han sido trasladadas
también. La asíntota vertical ha sido trasladada
hacia la izquierda 3 unidades a x 3, y la
asíntota horizontal ha sido trasladada hacia
arriba 3 unidades a y 3.
–7
7
x
–7
(continúa)
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Lección 9.6 • Introducción a las funciones racionales (continuación)
Supón que tienes la gráfica de una función racional transformada y que debes
encontrar su ecuación. Puedes identificar las traslaciones si miras la ubicación
de las asíntotas: Una asíntota horizontal de y k indica una traslación vertical
de k unidades, y una asíntota vertical de x h indica una traslación horizontal
de h unidades.
Para identificar los factores de estiramiento, escoge un punto, como un vértice,
cuyas coordenadas conocerías después de la traslación. Después encuentra un
punto en la gráfica estirada que tenga la misma coordenada x. La razón entre las
distancias verticales desde las asíntotas a estos dos puntos es el factor de escala
vertical. A continuación se ofrece un ejemplo. Encontrarás otro ejemplo en la
página 539 de tu libro.
y
7
–7
7
–7
x
Una función racional no estirada
con estas translaciones tendría
vértices (4, 2) y (2, 4), 1 unidad
horizontal y 1 undiad vertical del
centro. Como la distancia ahora
es 2 unidades verticales del centro,
incluye un estiramiento vertical de
2 para obtener la ecuación
2
y 3 _____
x3
El problema en el Ejemplo B en tu libro usa expresiones racionales para
modelar una situación que implica una solución ácida. Trabaja el ejemplo
meticulosamente.
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LECCIÓN
CONDENSADA
9.7
Gráficas de funciones racionales
En esta lección
●
●
●
Predecirás huecos y asíntotas en la gráfica de una función racional, basada
en su ecuación
Escribirás unas ecuaciones para las gráficas de funciones racionales
Convertirás unas funciones racionales de una forma a otra
Las gráficas de funciones racionales tienen una variedad de formas. En la
introducción a la lección en tu libro, se muestran algunos ejemplos. Observa
que las gráficas tienen asíntotas o huecos en valores donde las funciones son
indefinidas. En esta lección, verás cómo puedes predecir asíntotas, huecos, y otras
características de una gráfica basada en su ecuación.
Investigación: Predicción de asíntotas y huecos
Completa el Paso 1 en tu libro, y después compara tus resultados con los
siguientes.
a. B. La gráfica tiene una asíntota vertical en x 2, que es el valor que
hace que el denominador sea 0. A medida que x se acerca a 2 desde
la izquierda, los valores y se vuelven números negativos cada vez más
grandes. A medida que x se acerca a 2 desde la derecha, los valores y se
vuelven números positivos cada vez más grandes.
b. D. La gráfica tiene un hueco en x 2, que es el valor que hace que tanto
el numerador como el denominador sean 0. Para cualquier valor x, excepto
2, la función se reduce a y 1, lo que hace que la gráfica se parece a la de
y 1 en todos los puntos menos ése.
c. A. La gráfica tiene una asíntota vertical en x 2, que es el valor que hace
que el denominador sea 0. A medida que x se acerca a 2 desde cualquier
lado, los valores y se vuelven números positivos cada vez más grandes.
d. C. La gráfica tiene un hueco en x 2, que es el valor que hace que tanto
el numerador como el denominador sea 0. Para cualquier valor x, excepto
2, la función se reduce a y x 2, lo que hace que la gráfica se parece a
la de y x 2 en todos los puntos menos es ése.
Ahora, usa lo que aprendiste en el Paso 1 para completar los Pasos 2 y 3. Después
compara tus resultados con los siguientes.
Paso 2
1
1
a. y x 1 . Ésta es la gráfica de y x trasladada 1 unidad hacia la izquierda
(de modo que la asíntota vertical de y 1x, a saber, el eje y, ha sido
trasladada 1 unidad hacia la izquierda, a x 1).
2(x 1)
b. y x 1 . La función es indefinida en x 1, pero se reduce a y 2
para todos los demás valores x. Por tanto, la gráfica se parece a la gráfica
de y 2, con un hueco en x 1.
1
. La función es indefinida en x 1. A medida que los valores
c. y (x 1)2
x se acercan a 1 desde cualquier dirección, (x 1)2 se vuelve un número
1
se vuelve un número
positivo cada vez más pequeño, de modo que (x 1)2
positivo cada vez más grande. Entonces, x 1 es una asíntota.
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Lección 9.7 • Gráficas de funciones racionales (continuación)
(x 1)2
d. y x 1 . La función es indefinida en x 1, pero se reduce a
y x 1 para los demás valores x. Por tanto, la gráfica se parece a
la gráfica de y x 1, con un hueco en x 1.
Paso 3 Las asíntotas verticales se presentan en ceros que aparecen solamente
en el denominador, o en ceros que aparecen más en el denominador que en el
numerador. Si se presenta una asíntota en x a, entonces la ecuación tendrá
(x a) como un factor de su denominador. Los huecos se presentan en los
valores que convierten en 0 tanto el numerador como el denominador, a
condición que no haya asíntota vertical en esos valores. Para escribir una
ecuación de una gráfica con un hueco en x a, imagina que la gráfica no
xa
tiene huecos y escribe su ecuación. Después multiplica el resultado por x a.
La gráfica tiene una asíntota vertical x 2. Cuando se presenta un factor
tanto en el numerador como el denominador, pero se presenta más veces en el
denominador, esto indica que hay una asíntota vertical en lugar de un hueco.
Paso 4
Piensa bien sobre cómo se vería la gráfica de y x 1x. Después lee el Ejemplo A
en tu libro. En el Ejemplo B se muestra cómo la factorización del numerador y
del denominador de una función racional puede ayudarte a determinar las
características de su gráfica. Lee dicho ejemplo, y después lee el ejemplo siguiente.
x2 x 6
.
x 2 5x 6
EJEMPLO
Describe las características de la gráfica de y Solución
Si se factorizan el numerador y el denomimador, se obtiene y (x 2)(x 3) .
Existe un hueco en x 3 porque es un cero que ocurre con la misma
frecuencia tanto en el numerador como en el denominador.
(x 2)(x 3)
Si x 2, el denominador (pero no el numerador) es 0, entonces existe una
asíntota vertical en x 2. Si x 2, el numerador (pero no el denominador)
es 0, entonces existe una intersección x en x 2. Si x 0, entonces y 1.
Ésta es la intersección y.
Para encontrar las asíntotas horizontales, considera lo que sucede a los valores y
cuando los valores x se alejan de 0.
x
10000
1000
100
100
1000
10000
y
0.99960
0.99601
0.96078
1.04082
1.00401
1.00040
y
En la tabla se muestra que los valores y se acercan
cada vez más a 1 a medida que x se aleja de 0. Así que
y 1 es una asíntota horizontal.
6
La gráfica de la función confirma estas características.
–4
6
x
–4
El Ejemplo C en tu libro muestra cómo convertir una función de una forma
que muestra las transformacones de y 1x a una forma de función racional.
Lee este ejemplo atentamente.
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LECCIÓN
Operaciones con expresiones
racionales
CONDENSADA
9.8
En esta lección
●
Harás operaciones con expresiones racionales
Hacer operaciones con expresiones racionales es muy parecido a hacer
operaciones con fracciones de números enteros. Por ejemplo, para sumar o restar
dos expresiones racionales, primero debes reescribir las expresiones de modo que
tengan un denominador común. Para repasar la suma de fracciones, lee el texto
en la página 551 de tu libro. Lee el Ejemplo A y después suma las expresiones
racionales en el ejemplo siguiente. Después de que hayas encontrado la suma,
compara tu trabajo con la solución.
EJEMPLO A
Suma las expresiones racionales para reescribir el lado derecho de la ecuación
como una sola expresión racional en forma factorizada.
7
2x 5
y x3
(x 4)(x 3)
Solución
El mínimo denominador común es (x 4)(x 3).
7
2x 5
y x3
(x 4)(x 3)
7
2x 5
y x3
(x 4)(x 3)
Ecuación original.
(x 4)
(x 4)
Multiplica la segunda fracción por
un denominador común.
x4
x4
para obtener
7
2x 2 3x 20
y (x 4)(x 3) (x 3)(x 4)
Multiplica el numerador de la segunda fracción.
2x 2 3x 13
y (x 3)(x 4)
Suma los numeradores.
El numerador no se puede factorizar.
Para restar las expresiones racionales, también debes encontrar un denominador
común. Esto se muestra en el Ejemplo B en tu libro. En dicho ejemplo también
se muestra que cuando expresas una función racional como una sola expresión
racional en forma factorizada, puedes identificar las intersecciones x, las asíntotas,
y los huecos.
El texto entre los Ejemplos B y C en tu libro repasa cómo multiplicar y dividir las
fracciones. Lee ese texto si es necesario. Se utiliza el mismo procedimiento para
multiplicar y dividir las expresiones racionales. Cuando multiplicas o divides las
expresiones racionales, primero factoriza todas las expresiones. Esto facilitará la
reducción de los factores comunes y la identificación de las características de la
gráfica. Lee el Ejemplo C y el texto que le sigue. Después encuentra el producto
en el ejemplo siguiente. Después de que hayas encontrado el producto, compara
los resultados con la solución.
(continúa)
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CHAPTER 9
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Lección 9.8 • Operaciones con expresiones racionales (continuación)
EJEMPLO B
x 2 7x 6
Multiplica x 2 5x 6
(x 6)(x 1)
(x 6)(x 1)
Solución
2x 2x
.
x1
2
2x(x 1)
(x 1)
Factoriza todas las expresiones que puedas.
(x 6)(x 1)2x(x 1)
(x 6)(x 1)(x 1)
Combina las dos expresiones.
(x 6)(x 1)2x(x 1)
(x 6)(x 1)(x 1)
Reduce los factores comunes.
2x
Reescribe.
(x 6)(x 1)
2x (x 1)
y de y 2x se verán
(x 1)
(x 6)(x 1)
(x 6)(x 1)
2x (x 1)
tendrá huecos
gráfica de y (x 1)
(x 6)(x 1)
Observa que las gráficas de y iguales, excepto en que la
en x 6, x 1, y x 1.
Lee el Ejemplo D en tu libro, y después encuentra el cociente del ejemplo siguiente.
EJEMPLO C
x 2 8x 9
x2
Divide .
x 2 2x 3
x 2 7x 18
x 2 8x 9
x2
Solución
x 7x 18
x 2 2x 3
(x 9)(x 1)
(x 2)
2
(x 9)(x 2)
(x 3)(x 1)
Invierte la fracción en el denominador y multiplica.
Factoriza todas las expresiones.
(x 9)(x 1)(x 9)(x 2)
(x 2)(x 3)(x 1)
Multiplica.
(x 9)(x 9)
(x 3)
Reduce todos los factores comunes.
Puedes verificar tu respuesta, comparando las gráficas de
x 2 8x 9
(x 9)(x 9)
x2
y y y (x 3)
x 2 2x 3
x 2 7x 18
Las gráficas deben ser idénticas, excepto los huecos.
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CHAPTER 9
Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish
©2004 Key Curriculum Press