Matemática Básica (Ingeniería)

Matemática Básica (Arquitectura)
Sobre Optimización de Funciones Cuadráticas
Alberto Mejía Manrique
Considere el siguiente problema: Un corral tiene 20 metros de cerca y se desea cercar un campo
rectangular a lo largo de un río (es decir un lado del campo no se cerca porque tiene el río que corre
paralelo al campo rectangular. Mostrar una figura que describa la situación) ¿Cuáles son las
dimensiones del campo más grande que se puede cercar con dicha cantidad de metros de cerca?
a. Entregar a cada alumno un formato de cuadricula (en donde cada división es un metro)
b. Pedirle a cada alumno que dibuje el río (como dos rectas paralelas sobre una parte de la
cuadricula) y a su costado el campo que podría cercar con 20 metros. De a cada alumno una
dimensión diferente para el valor x. Previamente ha definido a x como la dimensión del
campo perpendicular al río. Es decir, Lobelia construye un campo con x = 1 metro (por tanto
la otra dimensión será de 18 metros), Brenda construye un campo con x = 2 metros (por
tanto la otra dimensión será de 16 metros), Martín construye un campo con x = 3 metros
(por tanto la otra dimensión será de 14 metros) y así sucesivamente. La idea es darle valores
enteros a x para que los cálculos sean sencillos y en muchos casos distintos alumnos pueden
repetir las medidas.
c. Hacer notar que hay “dos diseños radicales extremos” en un caso cuando x es muy similar a
0, la otra dimensión es muy similar a 20 metros, en el otro extremo cuando x es muy similar
a 1, la otra dimensión es muy similar a 0 metros. Estos “diseños radicales” son los extremos
irreales, la realidad se encuentra entre estas dos situaciones.
d. ¿Cómo podemos determinar cual de los terrenos dibujados por los alumnos es el que tiene la
mayor área?
e. Luego en pizarra trazar dos rectas perpendiculares, el eje abscisas representa el valor de x
para el campo rectangular y el eje de ordenadas representa el área de dicho campo para
determinado valor de x.
f. De esta manera le preguntamos a Lobelia ¿cual es el valor del área del campo que dibujo?,
ella debe responder 18 metros cuadrados. ¿Eso que significa? Significa que para x = 1 el
valor del área es 18 metros cuadrados. Por tanto ubicamos un punto en (1; 18). Luego le
hacemos la misma pregunta a Brenda, ella responderá 32 metros cuadrados y nosotros
ubicamos el punto (2; 36). Le hacemos la misma pregunta a Martín y a los siguientes
alumnos y ubicamos los puntos (3; 42) luego (4; 48) luego (5; 50) luego (6; 48) luego
(7; 42) luego (8; 4) luego (9; 18).
g. Observe que grafica se forma, indague con los alumnos, ellos dirán una parábola o función
cuadrática. Los estudiantes pueden usar una parte del formato libre para ellos también ubicar
los puntos y trazar la grafica, eso lo hará mas significativo.
h. Pregunte para que valor de x se obtiene el campo con la mayor área posible. Confirme que
usando la simetría se obtiene que el valor es x = 5 y la mayor área es 50 metros cuadrados.
i. Haga notar que los puntos (0; 0) y (10; 0) no pertenecen a la grafica pero son puntos
frontera importantes de identificar.
j. ¿Será posible hacer este procedimiento siempre? ¿De que forma se puede sistematizar todo
este proceso?
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