12. Distribución de una variable aleatoria

Universidad de Cádiz
Departamento de Matemáticas
MATEMÁTICAS
para estudiantes de primer curso
de facultades y escuelas técnicas
Tema 12
Distribución de una variable aleatoria
Elaborado por la Profesora Doctora Marı́a Teresa González Montesinos
Índice
1. Breve introducción a la combinatoria
1.1. Variaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
3
2. Definiciones previas
2.1. Sucesos. Frecuencia absoluta y relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Sucesos equiprobables. Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
5
3. Noción de variable aleatoria
7
4. Variable aleatoria discreta. Probabilidad
4.1. Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Función de distribución de una variable aleatoria discreta . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Media y desviación tı́pica de una variable aleatoria discreta . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
11
12
5. Variable aleatoria continua y distribución continua
13
6. Ejercicios propuestos
15
1
Tema 12
1. Breve introducción a la combinatoria
Creemos oportuno para el desarrollo de este tema realizar un repaso de las nociones básicas de la
Combinatoria, la cual se ocupa del estudio y propiedades de los grupos distintos que pueden formarse
con los elementos de un conjunto dado, diferenciándose entre sı́ por:
el número de elementos que forman cada grupo;
la clase de elementos;
el orden de colocación.
El número de elementos de que disponemos para las distintas agrupaciones se llama base. Las agrupaciones de elementos, según el número de ellos: 1, 2, 3, 4, 5, ..., se llaman: monarias, binarias, ternarias,
cuaternarias, quinarias, etc. A este número se le llama orden de la agrupación.
Se estudian tres tipos distintos de agrupaciones: las variaciones, las permutaciones y las combinaciones.
1.1. Variaciones
Definición 1.1 Llamaremos variaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n, a los
diferentes grupos que con ellos se pueden formar, de tal modo que cada grupo esté formado n elementos
distintos y que un grupo se diferencie de los demás, bien en alguno de los elementos, bien en el orden
de colocación de los mismos.
Ejemplo 1.1 ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con 1, 2, 3, 4, sin que se repita ninguna?
Los números que se obtienen son los siguientes:
123
213
312
412
124
214
314
413
132
231
321
421
134
234
324
423
142
241
341
431
143
243
342
432
Obsérvese que los 24 números obtenidos difieren en alguna cifra o en el orden de colocación de las
mismas.
Las variaciones monarias con m elementos se representa por el sı́mbolo Vm1 o Vm,1 ; el de las binarias,
por Vm2 o Vm,2 ; en general, las de orden n por Vmn o Vm,n .
El número de variaciones de m elementos, tomados de n en n, viene dado por
Vmn = Vm,n =
Ası́, en el ejemplo anterior, tenemos V43 =
las cifras 1, 2, 3 y 4.
m!
(m − n)!
4!
= 24 números distintos que se pueden formar con
(4 − 3)!
Definición 1.2 Llamamos variaciones con repetición de m elementos, tomados de n en n, a los
diferentes grupos que con ellos se pueden formar, de tal modo que cada grupo esté formado por n
elementos, pudiendo repetirse alguno de ellos una o varias veces, y considerando que dos grupos son
distintos si se diferencian en algún elemento, o en el orden en que están colocados.
2
Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
Al número de todas las posibles variaciones con repetición de orden n que se pueden formar con m
n o bien por V R
elementos se denotará por V Rm
m,n .
Nótese que en las variaciones sin repetición debe cumplirse que m ≥ n; sin embargo, en este caso
esta condición no es necesaria.
Ejemplo 1.2 Al rellenar una quiniela, utilizamos variaciones con repetición. En cada columna debemos
colocar 14 signos, repitiendo los tres únicos signos posibles: 1, X, 2. Una columna difiere de la otra en
algún signo o por el orden en que están colocados.
El número de variaciones con repetición de m elementos, tomados de n en n, viene dado por
n
V Rm
= V Rm,n = mn .
Ejemplo 1.3
1. ¿Cuántos números de 5 cifras se pueden formar con las cifras 1, 2, 3?
V R35 = 35 = 243.
2. ¿Cuántos caracteres del alfabeto Morse se podrán escribir utilizando 6 signos (puntos o rayas)?
V R26 = 26 = 64.
3. ¿Cuántas columnas rellena un quinielista que juega un boleto múltiple de 2 triples y 4 dobles?
V R32 V R24 = 32 24 = 144 columnas.
1.2. Permutaciones
Definición 1.3 Dados m elementos, llamaremos permutaciones sin repetición de m elementos a
las variaciones de esos m tomados de m en m, es decir, a los diversos grupos que con ellos se pueden
formar, de modo que, entrando todos ellos en cada grupo, se diferencie un grupo de otro solamente en
el orden de colocación de los elementos.
De la definición anterior se deduce que las permutaciones sin repetición no son sino variaciones en
las que cada grupo está formado por todos los elementos. Ası́, si designamos por Pm al número de
permutaciones que se pueden formar con m elementos, tenemos que
Pm = Vmm =
m!
=⇒ Pm = m!.
(m − m)!
Definición 1.4 Dado un conjunto de m elementos de k clases distintas, cada una de las cuales está formada por ni elementos, 1 ≤ i ≤ k (n1 + n2 + · · · + nk = m), llamaremos permutaciones con repetición a las distintas formas en que se pueden ordenar esos m elementos. Una ordenación se distingue
de otra por el lugar que ocupan dos elementos distintos.
Ejemplo 1.4
1. Formar todos los números que se pueden escribir permutando las cifras 3, 3, 4.
334, 343, 433.
2. ¿Cuántas permutaciones distintas se pueden formar con las letras de casa?
3
Tema 12
casa,
acsa,
saca,
asca,
acas,
aacs,
asac,
aasc,
caas,
csaa,
saac,
scaa.
Si entre los m elementos que figuran en una permutación, vemos que un elemento aparece repetido n1
veces, otro n2 veces, ..., y el último nk veces, el número de permutaciones con repetición vendrá dado
por
Pm
m!
n1 ,n2 ,...,nk
Pm
=
=
.
Pn1 Pn2 · · · Pnk
n1 !n2 ! · · · nk !
Como no interesa la naturaleza de los elementos repetidos, si un elemento no aparece más que una
vez, no se colocará en el exponente.
Ejemplo 1.5
1. ¿Cuántos números distintos se pueden escribir con las cifras 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4?
4,3,2
P10
=
10!
= 12600.
4!3!2!
2. ¿De cuántas formas distintas se puede organizar un tren con tres coches de segunda clase, tres
de primera, dos coches cama y un vagón de correos?
P93,3,2 =
9!
= 5040.
3!3!2!
1.3. Combinaciones
A veces interesa ver los distintos grupos que se pueden formar con varios elementos, atendiendo
sólo a la naturaleza de los mismos y no al orden. Ası́, por ejemplo, si nos preguntan cuántas sumas
distintas podemos obtener con los números 1, 3, 5, 7, es lo mismo considerar 1 + 3 que 3 + 1, o 3 + 5
que 5+ 3. De este modo, en las combinaciones no influye el orden en que estén colocados los elementos.
De aquı́ la siguiente
Definición 1.5 Se llaman combinaciones sin repetición de m elementos, tomados de n en n, a
los distintos grupos que se pueden formar con los m elementos, de modo que cada grupo esté formado
por n de ellos, diferenciándose un grupo de otro en uno de sus elementos.
Ejemplo 1.6 ¿Cuántas rectas determinan cuatro puntos, A, B, C y D, con tal de que no haya más
de dos que estén alineados?
Como AB y BA son la misma recta, todas las posibles rectas serán AB, AC, AD, BC, BD, CD.
Otra definición de combinaciones sin repetición serı́a la siguiente:
Definición 1.6 Dado un conjunto A de m elementos, se llaman combinaciones de orden n a todos
los subconjuntos posibles de n elementos que pueden obtener con los m elementos de A.
Como dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, se comprende que el orden no influya
en la formación de combinaciones sin repetición. Se consideran iguales los subconjuntos formados por
los mismos elementos, aunque estén dados en distinto orden.
La notación empleada para representar el número de combinaciones de m elementos, tomados de
n o C
n en n, es Cm
m,n , y viene dado por
m
n
Cm = Cm,n =
.
n
4
Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
También se tiene que
n
Cm
=
Vmn
Pn
Ejemplo 1.7 ¿Cuántos grupos de cinco se podrán formar con los 30 alumnos de una clase en el supuesto
de que un grupo se diferencie de otro por lo menos en un alumno?
30
30!
5
C30 =
=
= 120 grupos.
5
25!5!
2. Definiciones previas
En esta sección estudiaremos brevemente los conceptos que deben conocerse para abordar el presente tema. Ası́, llamaremos experimento aleatorio a todo aquél cuyos resultados no son predecibles,
aunque lo repitamos en las condiciones más uniformes posibles, como puede ser el lanzamiento de un
dado efectuado por una máquina. Aparece siempre una variable intrı́nseca que se podrá suprimir,
variando, por ello, los resultados en las sucesivas pruebas o repeticiones del mismo. Es decir, si nos ha
salido en el ejemplo del dado un 4 en una prueba, no sabemos el número que saldrá en la siguiente.
Se entenderá por variable estadı́stica al conjunto de resultados o serie de valores obtenidos al
repetir un experimento aleatorio.
Considérense los experimentos siguientes:
1) Lanzar un dado anotando los resultados.
2) Anotar el sexo de un determinado número de recién nacidos.
Supongamos que hemos obtenido las dos series estadı́sticas siguientes:
{1, 3, 4, 4, 2, 5, 4, 2, 1, 4},
{niño, niña, niña, niña, niño}.
La primera serie la podemos representar por la variable xi : 1, 3, 4, 4, 2, 5, 4, 2, 1, 4, que representa
los diez resultados obtenidos (repetidos o no) en las diez pruebas del experimento aleatorio “lanzar un
dado”. Esta variable se denomina variable estadı́stica cuantitativa, ya que sus resultados son numéricos.
La segunda variable la representaremos por x′i : a, b, b, b, a, donde a denota “niño” y b denota “niña”.
Esta variable se llama cualitativa o atributiva pues los resultados del experimento son cualidades o
atributos.
2.1. Sucesos. Frecuencia absoluta y relativa
Por resultado de un experimento se entiende la obtención de uno de los sucesos elementales.
Al lanzar un dado, los resultados posibles son los seis conocidos: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Cada uno de estos
resultados es un suceso elemental y el conjunto de todos ellos constituye el espacio muestral, el cual
se denotará por E.
Un suceso es cualquier subconjunto de un espacio muestral E, A ⊂ E; el suceso contrario de
A, que se denota por Ā, es el subconjunto complementario, esto es, Ā = E − A. El suceso A “obtener
un número impar” al lanzar un dado, está formado por tres resultados, esto es, A = {1, 3, 5}, el cual
es un subconjunto del espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Entonces Ā = {2, 4, 6}.
Decimos que dos sucesos son compatibles cuando pueden darse los dos a la vez, mientras que si
la realización de un suceso A excluye al suceso B, diremos que A y B son incompatibles.
Cuando un suceso se da siempre, se llama suceso seguro. Un suceso seguro está formado por
todos los resultados posibles de una prueba. Ası́, por ejemplo, al tirar una moneda al aire, es suceso
seguro que salga cara o cruz.
5
Tema 12
Si se trata de extraer dos bolas, una tras otra, de una bolsa que contiene cinco blancas y tres
negras, podemos realizar las extracciones de dos formas distintas:
a) Con reemplazamiento, es decir, hecha la extracción y anotado el resultado, se vuelve a introducir
la bola extraı́da en la bolsa.
b) Sin reemplazamiento, esto es, extraı́da la primera bola, se hace la segunda extracción sin introducir
la primera en la bolsa.
En el primer caso, el hecho de haber realizado la primera extracción no influye en la segunda, ya
que no se alteran las condiciones: los dos sucesos son independientes. En el segundo caso, la primera extracción modifica las condiciones en las que se va a realizar la segunda: los dos sucesos son
dependientes.
Los posibles sucesos de un espacio muestral E coincidirán con todas las partes de E: P(E). Si el
espacio muestral E está formado por n resultados de un experimento, el número de sucesos de E es
2n .
La frecuencia absoluta de un suceso A, fa (A), es el número de veces que se repite dicho suceso
en un determinado número de pruebas. La frecuencia relativa de un suceso A, fr (A), es el cociente
entre la frecuencia absoluta y el número de pruebas. Si el número de pruebas realizadas es N y n el
número de veces que se ha repetido un suceso A, tendremos
fa (A) = n,
fr (A) =
n
.
N
Las frecuencias absoluta y relativa tienen las siguientes propiedades:
1) La frecuencia absoluta es siempre un número entero n, y si el número de pruebas es N , se tiene
que 0 ≤ n ≤ N .
2) Siempre es 0 ≤ fr ≤ 1.
3) Cuando dos sucesos A y B son contrarios, en cada prueba se verificará el suceso A o el B, y las
suma de sus frecuencias absolutas será igual a N , mientras que la suma de sus frecuencias relativas
será igual a 1.
4) Si n1 y n2 son las frecuencias de dos sucesos incompatibles A1 y A2 , y n es la frecuencia absoluta
del suceso A1 ∪ A2 , entonces
fa (A1 ∪ A2 ) = fa (A1 ) + fa (A2 )
.
n
=
n1
+
n2
Si N es el número total de pruebas realizadas, tendremos que
n
n1
n2
=
+
N
N
N
.
fr (A1 ∪ A2 ) = fr (A1 ) + fr (A2 )
2.2. Sucesos equiprobables. Probabilidad
La importancia que posee la frecuencia relativa se deduce de la siguiente ley del azar:
Al aumentar el número de experiencias, la frecuencia relativa de un determinado suceso
tiende a estabilizarse alrededor de un número al que llamaremos probabilidad de dicho
suceso.
6
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Al arrojar una moneda al aire, {salir cara} o {salir cruz} son igualmente posibles y, según la ley del
azar, los dos sucesos tienen la misma probabilidad: diremos que son equiprobables.
Cuando un espacio E está compuesto por n sucesos elementales, todos equiprobables, diremos que
1
el espacio es uniforme y la probabilidad de cada suceso elemental es igual a .
n
Ejemplo 2.1 ¿Cuál será la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire salgan A ={dos caras},
B ={una cara y una cruz}?
El espacio E = {cc, cx, xc, xx} está formado por cuatro sucesos elementales y es uniforme. Cada
1
suceso tiene la misma probabilidad, .
4
1
P (A) = ,
4
P (B) = P (cx, xc) =
1 1
1
+ = .
4 4
2
En un espacio uniforme, al número de todos sus elementos se le llama casos posibles, y al número
de elementos que integran un suceso parcial se le llama casos favorables. Con esta nomenclatura,
podemos dar la definición de Laplace:
Definición 2.1 La probabilidad de un suceso A viene dada por
P (A) =
casos favorables
.
casos posibles
Ejemplo 2.2
1. ¿Cuál es la probabilidad del suceso A ={número par} en el lanzamiento de un dado?
El espacio es uniforme y está compuesto por seis elementos: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; el suceso A
3
1
tiene tres elementos: A = {2, 4, 6}. La probabilidad es entonces P (A) = = .
6
2
2. ¿Cuál es la probabilidad de que en un lanzamiento de dos dados la suma sea 8?
El espacio tiene V R62 = 36 elementos equiprobales:
E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), . . . , (6, 5), (6, 6)}.
Los casos posibles son cinco:
A = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)},
5
.
36
Las propiedades fundamentales de las probabilidades son las siguientes:
con lo que P (A) =
Valores de la probabilidad.– Si A es un suceso, siempre se tendrá que 0 ≤ P (A) ≤ 1. La probabilidad
del suceso imposible es nula mientras que la del suceso seguro es igual a 1: P (∅) = 0, P (E) = 1.
Probabilidad de la unión de sucesos incompatibles: probabilidad total.– Si A y B son dos sucesos
incompatibles entonces P (A ∪ B) = P (A) + P (B). Esta probabilidad recibe el nombre de probabilidad total.
Ejemplo 2.3 La probabilidad de que al lanzar un dado salga A ={múltiplo de 2} o B ={múltiplo
de 5} es
1 1
2
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) = + = .
2 6
3
Tema 12
7
Probabilidad de sucesos contrarios.– P (Ā) = 1 − P (A), ya que E = A ∪ Ā y P (E) = P (A) + P (Ā) =
1.
Probabilidad compuesta de sucesos independientes.– Cuando dos sucesos A y B son independientes, se llama probabilidad compuesta al producto de las probabilidades de los dos sucesos. Dicha
probabilidad se corresponde con la de que se produzcan los sucesos A y B a la vez.
Ejemplo 2.4 Veamos cuál es la probabilidad de sacar cara y 3 en lanzamiento simultáneo de
una moneda y un dado.
1
1
La probabilidad de sacar cara es P (c) = mientras que la de sacar un 3 es P (3) = , con lo que
2
6
11
1
P (c, 3) =
= . Efectivamente; el espacio E es el producto cartesiano {c, x}×{1, 2, 3, 4, 5, 6},
26
12
1
que tiene doce elementos, todos ellos equiprobables, luego P (c, 3) = .
12
3. Noción de variable aleatoria
Recuérdese que en el caso del dado de la sección anterior, los resultados son numéricos, mientras
que en el ejemplo del sexo, no lo son. Nos interesa pues expresar los resultados de un experimento
aleatorio de forma numérica para que ası́ puedan aplicarse las propiedades de operaciones del álgebra;
es decir, queremos asociar a cada resultado de un experimento un número real.
Para ello tendremos que definir una función cuyo dominio sea el conjunto de resultados posibles
de un experimento aleatorio y cuyo recorrido sea el conjunto de los números reales, R. A tal función
la denominaremos variable aleatoria1 y la designaremos con la letra X. Antes de dar una definición
precisa de variable aleatoria, veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 3.1
1. En el caso del sexo de los recién nacidos, el espacio muestral de resultados posibles está constituido por E ={niño, niña}= {a, b}. Una variable aleatoria asociada a E serı́a una función X que
asigna el valor 1 al resultado “ser niño” y el valor 0 al resultado “ser niña”: X(a) = 1, X(b) = 0.
2. En el caso del dado, el espacio muestral es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Al ser numéricos estos resultados,
parece natural que la variable aleatoria sea la función identidad: X(k) = k, 1 ≤ k ≤ 6. No
obstante, podrı́amos asociar otra variable aleatoria Y al experimento anterior, consistente en
hacer corresponder a cada número obtenido su cuadrado: Y (k) = k2 , 1 ≤ k ≤ 6, aunque lo
habitual en este caso será considerar la primera variable aleatoria. Podemos enunciar, pues, un
importante resultado:
Se pueden asociar distintas variables aleatorias a un mismo experimento.
3. Supongamos que lanzamos tres monedas y anotamos los resultados. Sea C el suceso “obtener
cara” y F “obtener cruz”. El espacio muestral está formado por los siguientes resultados o sucesos
elementales:
E = {(C, C, C), (C, C, F ), (C, F, C), (F, C, C), (C, F, F ), (F, C, F ), (F, F, C), (F, F, F )}.
Más que estos 8 resultados nos interesa una cantidad numérica que exprese dichos resultados.
Bastará, por ejemplo, asignar los números 3, 2, 1, 0, a cada uno de los resultados en que aparezcan
1
Aquı́ se está realizando un abuso del lenguaje, pues serı́a más conveniente hablar de función aleatoria que de variable
aleatoria.
8
Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
3, 2, 1, 0 caras, respectivamente. Hemos establecido de esta forma una aplicación o función de
E en R, que denominamos variable aleatoria X y que expresamos por X : E −→ R de manera
que
X(CCC) = 3,
X(CCF ) = X(CF C) = X(F CC) = 2,
X(CF F ) = X(F CF ) = X(F F C) = 1, X(F F F )
= 0.
4. Considérese el experimento aleatorio “lanzar dos dados”. Si los resultados de los dados son m y
n, definimos la variable aleatoria X como X(m, n) = m + n. El dominio de la variable aleatoria
X o espacio muestral es el siguiente:
E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), . . . , (6, 5), (6, 6)},
que está formado por 36 elementos. El recorrido de la variable aleatoria X está constituido por
{2, 3, 4, 5, . . . , 12}.
Definición 3.1 Una variable aleatoria X, asociada a un espacio muestral E, es una función de E
en R. Si E = {e1 , e2 , . . . , en }, entonces a cada resultado ek ∈ E le corresponde un único número real
xk :
ek 7−→ X(ek ) = xk , ∀ ek ∈ E;
es decir, transforma sucesos elementales en puntos de la recta real.
En el ejemplo anterior de lanzar tres monedas y definir la variable aleatoria X “asignar a cada resultado el número de caras obtenidas”, podemos representar los resultados posibles, ek , la medida de
probabilidad, P (ek ) y la variable aleatoria, X(ek ) mediante la siguiente tabla:
ek
P (ek )
X(ek )
CCC CCF
1/8
1/8
3
2
CF C F CC CF F
1/8
1/8
1/8
2
2
1
F CF
1/8
1
FFC FFF
1/8
1/8
1
0
Si decimos que “X toma el valor 3”, esta expresión describe el suceso {CCC}. La expresión “X toma
el valor 1” (por brevedad escribiremos X = 1) corresponde al suceso {CF F, F CF, F F C}. El suceso
2 ≤ X ≤ 3 es {CCF, CF C, F CC, CCC}. Obsérvese que X = 4 representa al suceso imposible: {∅}.
En general, la expresión “X toma el valor x” (X = x) representa un suceso compuesto por todos
los resultados ek tales que X(ek ) = x.
De cuanto hemos dicho se deduce inmediatamente que la probabilidad de que X tome un valor x,
que designaremos por P (X) = x, es igual a la suma de las probabilidades de todos los resultados ek
tales que X(ek ) = x.
En nuestro ejemplo,
P (X = 2) = P ({CCF }) + P ({CF C}) + P ({F CC}) =
1 1 1
3
+ + = .
8 8 8
8
Definición 3.2 La distribución de una variable aleatoria X es una tabla formada por sus valores con
sus correspondientes probabilidades.
En el ejemplo anterior:
X
P (X = x)
0
1
2
3
1/8 3/8 3/8 1/8
9
Tema 12
4. Variable aleatoria discreta. Probabilidad
Hasta ahora hemos tratado espacios muestrales que constaban de un número finito de resultados
o puntos. Vamos a suponer en lo que sigue que el conjunto de puntos de un espacio muestral E es
infinito numerable2 .
Supongamos una urna con dos bolas negras y una blanca. Realicemos el experimento consistente en
extraer una bola devolviéndola a la urna hasta que salga blanca. El espacio muestral E estará formado
por todos los resultados posibles:
E = {B, N B, N N B, N N N B, . . .},
que constituyen un conjunto infinito numerable de resultados o puntos: B es el resultado que indica
que la bola blanca aparece en la primera extracción; N B es el resultado que indica que la bola blanca
aparece en la segunda; etc.
Como P (B) = 1/3 y P (N ) = 2/3 son las probabilidades de obtener en una extracción bola
blanca o negra, respectivamente, y los sucesos son independientes (por realizarse las extracciones con
reemplazamiento), es fácil obtener una tabla análoga a la primera de la página 12:
ek
P (ek )
X(ek )
B
NB
NNB
···
1/3 2/3 · 1/3 (2/3)2 · 1/3 · · ·
1
2
3
···
(i−1)
NN · · · NB · · ·
(2/3)(i−1) · 1/3 · · ·
i
···
Definición 4.1 Cualquier espacio muestral E que consta de número finito o infinito numerable de
puntos es un espacio muestral discreto.
Cualquier variable aleatoria definida en un espacio muestral discreto es una variable aleatoria
discreta X que puede tener, por tanto, un número finito o infinito numerable de valores distintos.
4.1. Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta
Lanzando 48 veces un dado, hemos obtenido los resultados que se observan en la siguientes tablas:
Tabla de frecuencias
Var. estad.
Fr. abs.
xk
nk
1
6
2
9
3
10
4
2
5
9
6
12
Fr. rel.
fk
6/48
9/48
10/48
2/48
9/48
12/48
Tabla de probabilidades
Var. aleat.
Fr. abs.
Probabilidad
X
teórica
Pk
1
8
8/48=1/6
2
8
1/6
3
8
1/6
4
8
1/6
5
8
1/6
6
8
1/6
La tabla de la izquierda responde a un experimento real. En la tabla de la derecha hemos representado
lo que sucederı́a (es un caso teórico) al lanzar el dado infinitas veces. El dado lo suponemos perfecto,
es decir, no sesgado. Señalemos la correspondencia entre ambas tablas:
Experimento
Muestra
2
←→
←→
teorı́a
universo
Frecuencia fk
Var. estadı́stica xk
←→
←→
probabilidad Pk
var. aleatoria X
Un conjunto se dice que es infinito numerable si puede establecerse una biyección entre dicho conjunto y el de los
números naturales, N. Por ejemplo, el conjunto de los múltiplos de 3 es infinito numerable pues puede establecerse una
aplicación biyectiva con los números naturales de la manera siguiente: 1 7→ 1 · 3 = 3, 2 7→ 2 · 3 = 6, ..., n 7→ n · 3 = 3n.
10
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En las figuras 1 y 2 hacemos una representación gráfica del diagrama de barras de las distribuciones
de frecuencias y probabilidades, llamándose ésta última gráfica de la función de probabilidad.
fk
f (xk )
10
48
1
6
1
2
3
4
5
6
xk
1
2
Figura 1
3
4
5
6
xk
Figura 2
Definición 4.2 Una función de probabilidad f (xk ) de una variable aleatoria discreta X es una función
real de variable real definida por
f (xk ) = P (X = xk ) = P {ek : X(ek ) = xk }.
f (xk ) indica la probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor xk , verificándose las condiciones:
a) 0 ≤ f (xk ) ≤ 1;
b)
n
X
f (xk ) = 1.
k=1
El conjunto de valores
{[xk , f (xk ) = P (X = xk )] = [xk , P (xk )]} :
(x1 , P (x1 )) , (x2 , P (x2 )) , . . . , (xn , P (xn )) , . . .
se denomina distribución de probabilidad de la variable aleatoria X, y es una sucesión de probabilidades correspondientes a los sucesos de un espacio muestral. Se acostumbra a representar esta
distribución mediante la siguiente tabla:
X
x1
x2
···
f (xk ) f (x1 ) = P (X = x1 ) f (x2 ) = P (X = x2 ) · · ·
xn
f (xn ) = P (X = xn )
Ejemplo 4.1 Consideremos de nuevo el lanzamiento de tres monedas. Sea la variable aleatoria X la
función que hace corresponder a cada resultado del experimento el número de caras obtenidas. Se
tiene, según sabemos:
Espacio muestral:
E = {(CCC), (CCF ), (CF C), (F CC), (CF F ), (F CF ), (F F C), (F F F )}.
Recorrido de X: X = {3, 2, 1, 0}.
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Tema 12
La función de probabilidad viene definida por f : X −→ R de modo que f (3) = P (X = 3) = 1/8;
f (2) = P (X = 2) = 3/8; f (1) = P (X = 1) = 3/8; f (0) = P (X = 0) = 1/8; todo ello suponiendo
que los sucesos elementales sean equiprobables.
Fijémonos en un valor cualquiera de la función de probabilidad; por ejemplo, f (2) = P (X = 2)
expresa la probabilidad de que el número de caras sea 2. Al escribir P (X = 2), probabilidad de
que la variable aleatoria X tome el valor 2, nos estamos refiriendo a la probabilidad del suceso
P {(CCF ), (CF C), (F CC)} que, por brevedad, escribiremos P (X = 2).
El ejemplo anterior es una función de probabilidad de una variable aleatoria discreta (o bien de una
función de probabilidad discreta), porque E es un espacio muestral discreto. Se verifican:
a) 0 ≤ f (xk ) ≤ 1;
P
b)
f (xk ) = 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 1.
A continuación exponemos la tabla de probabilidad de f (xk ) y su gráfica o el diagrama de probabilidad:
X
f (x) = P (X = xk )
0
1/8
1
3/8
2
3/8
3
1/8
fk
3
8
1
8
x
0
1
2
3
4.2. Función de distribución de una variable aleatoria discreta
Siguiendo con el ejemplo del dado, representamos en lo que sigue las tablas de frecuencias acumulativas y de probabilidades acumulativas:
Tabla de frecuencias acumulativas
xk nk
fk
Nk
Fk
1
6
6/48
6
6/48
2
9
9/48
15
15/48
3 10 10/48 25
25/48
4
2
2/48
27
27/48
5
9
9/48
36
36/48
6 12 12/48 48 48/48=1
Tabla de probabilidades acumulativas
X Pk F (xk )
1 1/6
1/6
2 1/6
2/6
3 1/6
3/6
4 1/6
4/6
5 1/6
5/6
6 1/6 6/6=1
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En las tablas anteriores tenemos que:
Nk representa las frecuencias absolutas acumulativas:
N1 = n1 , N2 = n1 + n2 , N3 = n1 + n2 + n3 , . . .
Fk representa las frecuencias relativas acumulativas:
F1 = f1 , F2 = f1 + f2 , F3 = f1 + f2 + f3 , . . .
F (xk ) representa las probabilidades acumulativas:
F (x1 ) = f (x1 ), F (x2 ) = f (x1 ) + f (x2 ), F (x3 ) = f (x1 ) + f (x2 ) + f (x3 ), . . .
Definición 4.3 Llamamos función de distribución de una variable aleatoria discreta X a la siguiente expresión:
F (xk ) = P (X ≤ xk ) =f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xk )
=P (X = x1 ) + P (X = x2 ) + · · · + P (X = xk ).
F (xk ) es la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor menor o igual que xk .
Ası́, en el caso del dado, tenemos por ejemplo que F (2) = 2/6 = 1/3 y F (4) = 4/6 = 2/3.
4.3. Media y desviación tı́pica de una variable aleatoria discreta
Si una variable o serie estadı́stica está formada por los valores x1 , x2 , . . . , xn (no repetidos), nk es
nk
el número de repeticiones o frecuencia absoluta de cada valor xk y fk =
es la frecuencia relativa
N
de cada valor xk , se definen la
media aritmética: x̄ =
n
X
xk fk =
k=1
varianza: σ 2 =
n
X
k=1
n
X
xk nk
k=1
N
,
(xk − x̄)2 fk ,
v
uX
u n
desviación tı́pica: σ = t (xk − x̄)2 fk .
k=1
Ahora bien, dada una variable aleatoria X con función de probabilidad f (x) = P (X = x), se definen
la
media o esperanza matemática:
µ = X̄ = E(X) =
X
xk f (xk ) =
X
xk pk ,
es decir, la suma de los productos de los valores xk que toma la variable aleatoria X por sus
probabilidades respectivas.
varianza:
σ 2 = E(X − X̄)2 =
X
X
(xk − µ)2 f (xk ) =
(xk − µ)2 pk ,
esto es, la suma de los productos de las desviaciones al cuadrado de los valores xk que toma X
respecto a la media µ por las probabilidades respectivas.
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Tema 12
desviación tı́pica: σ =
pP
(xk − µ)2 pk .
La media µ y la desviación tı́pica σ se denominan parámetros de una función de distribución F (x).
Ejemplo 4.2
1. Calcúlense los parámetros de la distribución de la variable aleatoria X dada por la tabla
X
f (xk ) = pk
0
0’2
1
0’1
2
0
3
0’4
4
0’1
5
0
6
0’2
7
0
Aplicando las fórmulas anteriores tenemos que
X
µ=
xk pk = 0 · 0′ 2 + 1 · 0′ 1 + 2 · 0 + 3 · 0′ 4 + 4 · 0′ 1 + 5 · 0 + 6 · 0′ 2 + 7 · 0 = 2′ 9,
qX
√
σ=
(xk − µ)2 pk = 8′ 41 · 0′ 2 + 3′ 61 · 0′ 1 + · · · + 9′ 61 · 0′ 2 = 2′ 02.
2. Hallar la esperanza matemática y la desviación tı́pica en el experimento de lanzar tres monedas
y anotar las caras obtenidas.
Recuérdese que
1
3
3
1
P (X = 0) = , P (X = 1) = , P (X = 2) = , P (X = 3) = ,
8
8
8
8
por lo tanto,
1
3
3
1
xk pk = 0 · + 1 · + 2 · + 3 · = 1′ 5,
8
8
8
8
r
qX
1
3
3
1
σ=
(xk − µ)2 pk = 2′ 25 · + 0′ 25 · + 0′ 25 · + 2′ 25 · = 0′ 86.
8
8
8
8
µ=
X
5. Variable aleatoria continua y distribución continua
Si una variable aleatoria X puede tomar cualquier valor x de un cierto intervalo (a, b), X se
denomina continua.
Ejemplo 5.1
1. La estatura de una persona durante su vida.
2. El peso y la edad de una persona durante el transcurso de su existencia.
Supongamos que al medir la estatura de cien personas, obtenemos la distribución de frecuencias,
agrupadas en intervalos de clase, según muestra la tabla adjunta:
Intervalo en cm
130–140
140–150
150–160
160–170
170–180
180–190
190–200
Marcas de clase xk
135
145
155
165
175
185
195
Repeticiones nk
3
10
26
34
17
8
2
Repet. acum. Nk
3
13
39
73
90
98
100
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Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
En este caso, la representación gráfica se hace mediante el histograma de frecuencias simple (figura 3)
o acumulativo (figura 4):
Nk
nk
10
135
145
155
165
175
185
cm
195
135
Figura 3
145
155
165
185
175
195
cm
Figura 4
Uniendo los puntos medios de las bases superiores de los rectángulos se obtienen los polı́gonos correspondientes de frecuencia simple y acumulativa. Si aumentamos indefinidamente el número de medidas
y hacemos tender a cero las amplitudes de los intervalos, el polı́gono de la figura 3 tiende a una lı́nea
denominada curva de probabilidad, que es la representación de la función f (x) llamada función
de densidad de probabilidad o, simplemente, función de densidad. El polı́gono acumulativo
(figura 4) tiende a la curva de probabilidad acumulativa, que es la representación de la función
de distribución F (x) (son los modelos teóricos de la distribución anterior: figuras 5 y 6).
f (x)
y = f (x)
Z
P (b < X ≤ c) =
x
−∞
f (t)dt = P (X ≤ x) = F (x)
x
b
Figura 5
c
x
Z
c
f (x)dx
b
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Tema 12
F (x)
Z
x
−∞
f (t)dt = P (X ≤ x) = F (x)
x
x
Figura 6
Si en la figura 4 la base de cada rectángulo (amplitud de cada intervalo) es la unidad y su altura
es la frecuencia relativa, el área de cada rectángulo
coincide con la frecuencia de su respectiva clase:
P
área=fk · 1 = fk . El área del histograma será
fk · 1 = 1. En el caso teórico (figura 5) también ocurre
que el área limitada por la curva de probabilidad (correspondiente a la función de densidad f (x)) y el
eje de abscisas es 1:
Z
+∞
f (x)dx = 1.
−∞
De este modo podemos decir que:
La probabilidad de que la variable aleatoria continua X tome un valor menor o igual
que x será
Z x
P (X ≤ x) =
f (t)dt = F (x),
−∞
función de distribución que coincide con el área de la región rayada de la figura 5.
De forma análoga se define
Z c
P (b < X ≤ c) =
f (x)dx,
b
el área bajo la curva de probabilidad en el intervalo (b, c) coincide con la probabilidad del
suceso b < X ≤ c. Si F es derivable, se tiene F ′ (x) = f (x) y, por tanto,
Z c
f (x)dx = F (x)|cb = F (c) − F (b).
b
Observe el alumno que el valor del área rayada de la figura 5 coincide con la ordenada correspondiente
a X = x en la figura 6.
6. Ejercicios propuestos
(1) ¿Cuántos números naturales se pueden obtener con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, sin repetir ninguna?
(2) ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con las cifras pares 2, 4, 6, 8, sin que se repita
ninguna? ¿Cuántos de esos números comienzan por 2? ¿Cuántos terminarán en 64? ¿Cuántos
habrá que sean mayores que 500?
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Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
(3) Resuelve el ejercicio anterior, suponiendo que es posible repetir las cifras.
(4) En una rifa colegial se han hecho 1000 papeletas, numeradas del 000 al 999. ¿Cuántos capicúas
habrá?
(5) ¿De cuántas formas podrán colocarse en fila 10 alumnos, si suponemos que dos ocupan siempre el
mismo puesto, uno el primero y otro el último?
(6) Una lı́nea de ferrocarril tiene 25 estaciones. ¿Cuántos billetes diferentes habrá que imprimir, si
cada billete lleva impresas las estaciones de origen y destino?
(7) ¿Cuántos números hay entre 5000 y 6000 que tengan todas sus cifras diferentes?
(8) En un banco hay sentadas 6 personas. Variando el orden de los puestos, ¿de cuántas maneras
pueden colocarse?
(9) ¿Cuántos grupos de letras se formarán con las de la palabra Isabel, con tal que no vayan ni dos
vocales ni dos consonantes juntas? ¿Cuántos de esos grupos comenzarán por vocal?
(10) Con las cifras 5, 6, 7, 8, 9, ¿cuántos números de cinco cifras puedes formar, con la condición de
que no haya dos cifras impares juntas?
(11) Con las cifras 1, 1, 2, 2, 3, ¿cuántos números de cinco cifras se pueden formar? Si se ordenan en
orden creciente, ¿qué lugar ocupará el número capicúa 21312?
(12) ¿Cuántas letras de 5 signos se pueden formar en el alfabeto Morse con 3 rayas y 2 puntos?
(13) ¿De cuántos modos distintos podrán presentarse 10 cartas de una baraja, sabiendo que son 4 ases,
3 reyes, 2 caballos y una sota?
(14) ¿Cuántos grupos de dos, de tres, de cuatro, es posible formar con 90 personas?
(15) ¿De cuántas formas pueden combinarse los sietes colores del arco iris, tomados de cinco en cinco?
(16) Se dispone de ocho objetos. ¿Qué es mayor, el número de combinaciones tomándolos de tres en tres,
o el número de combinaciones de los mismos elementos de cinco en cinco? Razona la respuesta.
(17) En una urna se tienen tres bolas blancas, dos bolas negras y una bola roja. Sea la variable X que
asigna 2 al resultado de extraer una bola blanca, 2’5 si es negra y 4 si es roja. Se pide:
a) el dominio y el recorrido de X;
b) tablas de las funciones de probabilidad y de distribución de X y su representación gráfica.
(18) Sea un dado con tres caras negras y tres blancas. Consideremos un segundo dado con cuatro caras
negras y dos blancas. Se lanzan los dos dados. Sea X la variable aleatoria que asigna el número
de caras blancas obtenidas en cada lanzamiento. Se pide la distribución de probabilidades X y su
función de distribución.
(19) Halla la media o esperanza matemática y la desviación tı́pica de los dos ejercicios anteriores.
(20) Se tienen las siguientes distribuciones:
a)
xk
f (xk )
-1
1/2
2
1/4
b)
xk
f (xk )
1
0’2
3
0’3
3’5
1/4
4
0’1
5
0’2
7
0’2
Tema 12
Se pide:
hallar las tablas correspondientes a la función de distribución;
gráficas de las mismas;
hallar µ y σ en los dos casos.
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