Soluciones de la Hoja de Problemas No. 1

Matemática Aplicada y Estadı́stica - Farmacia
Hoja 1: Estadı́stica descriptiva
1. Los pesos (en Kgs.) de los niños recién nacidos en una clı́nica maternal durante el último año han sido:
Peso
No de niños
[2.5,2.75)
27
[2.75,3)
36
[3,3.25)
85
[3.25,3.5)
144
[3.5,3.75)
98
[3.75,4)
56
[4,4.25)
32
[4.25,4.5]
32
a) Construir la tabla de frecuencias.
b) Representarla gráficamente en un histograma las frecuencias relativas.
Solución
Apartado a): Se trata de una variable cuantitativa continua distribuida en intervalos de clase de la misma
amplitud. Construimos la tabla de frecuencias absoluta, ni , y relativa, fi . Para completar la tabla, representamos
también los porcentajes y las marcas de clase:
[2.5, 2.75)
27
ni Frecuencia relativa fi =
N
0.0529
[2.75, 3)
36
0.0706
7.06 %
2.88
[3, 3.25)
85
0.1667
16.67 %
3.13
[3.25, 3.5)
144
0.2824
28.24 %
3.38
[3.5, 3.75)
98
0.1922
19.22 %
3.63
[3.75, 4)
56
0.1098
10.98 %
3.88
[4, 4.25)
32
0.0627
6.27 %
4.13
[4.25, 4.5]
32
0.0627
6.27 %
4.38
Total
510
1
100 %
---
Peso
Frecuencia absoluta (ni )
Apartado b):
Representamos ahora gráficamente en un histograma
las frecuencias relativas. Para ello, se levanta sobre
cada intervalo de clase un rectángulo de área proporcional a la frecuencia correspondiente a dicho intervalo. Teniendo en cuenta que los intervalos tienen la misma amplitud, la altura de cada uno de los
rectángulos se toma igual a la frecuencia correspondiente.
%
Marca de clase
5.29 %
2.63
0.2824
0.1922
0.1667
0.1098
0.0706
0.0529
2.5
2.75
3
3.25
3.5
peso
3.75
4
4.25
4.5
2. Un profesor facilita las notas de sus alumnos por medio de la siguiente tabla:
Nota
No alumnos
[10,20)
9
[20,30)
13
[30,50)
21
[50,60]
11
a) Construir la tabla de frecuencias acumuladas. Calcular la media aritmética y la desviación tı́pica.
b) Completar la tabla del apartado anterior con la distribución de frecuencias porcentuales acumuladas.
c) ¿Qué porcentaje de alumnos tienen una nota menor que 30?
d ) Suponiendo que los datos se distribuyen de modo homogéneo en cada intervalo, ¿ qué porcentaje de alumnos
tienen una nota menor que 40? ¿ Y menor que 38?
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Hoja 1: Estadı́stica descriptiva
Sol.: a) media=35.2777, desviación tı́pica=13.4858; c) 40.73 %; d) porcentaje de alumnos tienen una nota ¡40:
60.17 %; y ¡38: 56.28 %.
Solución
Apartado a): Al tratarse de una variable cuantitativa continua distribuida en intervalos de clase, la media
aritmética se calcula considerando las marcas de clases ci y las frecuencias absolutas ni de cada clase:
x=
4
1 X
ci ni
N i=1
Ası́ que necesitamos calcular las marcas de cada clase, ampliando la tabla del enunciado en el sentido siguiente:
Nota
Marca de clase (ci =
Li−1 +Li
)
2
ni
fi =
ni
N
(ci − x)2
[10, 20)
15
9
0.1666
(15 − 35.2777)2 = 411.1851
[20, 30)
25
13
0.2407
(25 − 35.2777)2 = 105.6311
[30, 50)
40
21
0.3888
(40 − 35.2777)2 = 22.3001
[50, 60)
55
11
0.2037
(55 − 35.2777)2 = 388.9691
---
54
1
---
Total
Aquı́, N = 54. La media aritmética, x, viene dada por la expresión:
x=
4
15 · 9 + 25 · 13 + 40 · 21 + 55 · 11
1 X
ci ni =
= 35.2777
N i=1
54
y la desviación tı́pica, s:
s =
=
v
r
u
4
u1 X
1
2
t
(ci − x̄) ni =
(411.1851 · 9 + 105.6311 · 13 + 22.3001 · 21 + 388.9691 · 11)
N i=1
54
13.4858
Apartado b): Completamos ahora la tabla anterior con los porcentajes y la distribución de frecuencias porcentuales acumuladas:
% acumulado
i
X
Pi =
pj
Marca
Li−1 + Li
ci =
2
Fr. absoluta
[10, 20) = [L0 , L1 )
15
9
0.1666
16.66
16.66 = P1
[20, 30) = [L1 , L2 )
25
13
0.2407
24.07
40.73 = P2
[30, 50) = [L2 , L3 )
40
21
0.3888
38.88
79.61 = P3
[50, 60) = [L3 , L4 )
55
11
0.2037
20.37
---
54
1
100 %
Nota
Total
ni
Fr. relativa
ni
fi =
N
%
pi = 100 fi
j=1
---
Apartado c): De la tabla anterior se deduce fácilmente que el porcentaje de alumnos con nota menor que 30
es un 40.73 %.
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Hoja 1: Estadı́stica descriptiva
Apartado d):
Se trata de calcular el porcentaje de alumnos con
una nota menor que 40.
Se observa que 40 ∈ [30, 50). Tenemos L2 = 30 y
L3 = 50, y P2 = 40.73 y P3 = 79.61 los porcentajes
acumulados correspondientes. El porcentaje buscado
es la ordenada, y, de la recta que interpola los valores (L2 , P2 ) y (L3 , P3 ) correspondiente a la abscisa
x = 40.
Usando la fórmula del polinomio de interpolación lineal, se tiene trivialmente que
y = P3 +
P4 − P3
(x − L3 )
L4 − L3
100
79.61
40.73
P3
P2
16.66
L2
de donde
10
20
30
L3
50
60
79.61 − 40.73
y = 40.73 +
(x − 30),
50 − 30
es decir,
y = 40.73 + 3.744 (x − 30).
Sustituyendo x = 40, obtenemos y = 60.17, luego el porcentaje de alumnos con una nota menos que 40 es un
60.17 %. En otras palabras, el valor 40 es percentil 67.17.
Para conocer el número de alumnos con nota menor que 38, sustituimos x = 38 en la recta anterior y obtenemos
y = 56.28, luego es un 56.28 %.
3. Las puntuaciones obtenidas por un grupo de universitarios en unas pruebas para acceder a un puesto de trabajo
en una industria fueron:
Puntuación
Frecuencia absoluta (ni )
[0, 10)
10
[10, 20)
34
[20, 30)
48
[30, 40)
72
[40, 50)
164
[50, 60)
142
[60, 70)
118
[70, 80)
78
[80, 90)
40
[90, 100)
34
[100, 110]
12
Total
752
a) Calcular la media aritmética y la desviación tı́pica.
b) Si la empresa piensa rechazar al 40 % de los que han sacado peor puntuación, ¿cuál es la puntuación mı́nima
requerida para ser admitido?
Sol.: a): media= 54.3617, desviación tı́pica=20.9766; b): puntuación mı́nima=48.35
Solución
Apartado a): Al tratarse de una variable cuantitativa continua, necesitamos calcular las marcas de cada clase,
ampliando la tabla del enunciado en el sentido siguiente:
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Puntuación
[0, 10)
[10, 20)
[20, 30)
[30, 40)
[40, 50)
[50, 60)
[60, 70)
[70, 80)
[80, 90)
[90, 100)
[100, 110]
Total
Hoja 1: Estadı́stica descriptiva
Marca de clase (ci )
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
105
---
Fr. absoluta (ni )
10
34
48
72
164
142
118
78
40
34
12
752
Fr. relativa (fi =
0.0132
0.0452
0.0638
0.0957
0.218
0.1888
0.1569
0.1037
0.0531
0.0452
0.0159
1
ni
N)
Aquı́, N = 752. La media aritmética, x, viene dada por la expresión:
x
=
K
1 X
ci ni
N i=1
=
1
(5 · 10 + 15 · 34 + 25 · 48 + 35 · 72 + 45 · 164 + 55 · 142 + 65 · 118 + 75 · 78
752
+
85 · 40 + 95 · 34 + 105 · 12) = 54.3617
y la desviación tı́pica viene dada por
v
u
K
u1 X
(ci − x)2 ni
s = t
N i=1
1 (5 − 54.3617)2 · 10 + (15 − 54.3617)2 · 34 + (25 − 54.3617)2 · 48
752
=
√
+
(35 − 54.3617)2 · 72 + (45 − 54.3617)2 · 164 + (55 − 54.3617)2 · 142
+
(65 − 54.3617)2 · 118 + (75 − 54.3617)2 · 78 + (85 − 54.3617)2 · 40
1/2
(95 − 54.3617)2 · 34 + (105 − 54.3617)2 · 12
= 20.9766
+
Apartado b): Necesitamos completar la tabla anterior con los porcentajes y la distribución de frecuencias porcentuales acumuladas:
Puntuación
Marca de clase (ci )
Fr. absoluta (ni )
[0, 10)
5
10
[10, 20)
15
[20, 30)
ni
N)
%
% acumulados
0.0133
1.33
1.33
34
0.0452
4.52
5.85
25
48
0.0638
6.38
12.23
[30, 40)
35
72
0.0957
9.57
21.80
[40, 50)
45
164
0.2181
21.81
43.61
[50, 60)
55
142
0.1888
18.88
62.49
[60, 70)
65
118
0.1569
15.69
78.18
[70, 80)
75
78
0.1037
10.37
88.55
[80, 90)
85
40
0.05312
5.32
93.87
[90, 100)
95
34
0.0452
4.52
98.39
[100, 110]
105
12
0.0160
1.6
100
Total
---
752
1
100 %
---
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Fr. relativa (fi =
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Hoja 1: Estadı́stica descriptiva
Para rechazar el 40 % de los que han sacado peor
puntuación (suponiendo que los datos se distribuyen
de manera homogénea en cada intervalo), construimos la recta que interpola los puntos (40, 21.80) y
(50, 43.61), que es:
y = 21.80 +
100
87.18
43.61 − 21.80
(x − 40),
50 − 40
62.49
P5
es decir,
43.61
y = 21.80 + 2.18 (x − 40).
21.8
Por tanto, para conocer cuál es la puntuación mı́nima
requerida para ser admitido, sustituimos y = 40 en
la recta anterior, y obtenemos x = 48.35, que es la
nota buscada.
P4
12.23
5.85
1.33
0
L4
10
20
30
40
L5
50
60
70
80
90
100 110
En otras palabras, el valor 48.35 es un percentil 40, es decir deja a su izquierda un 40 % de los alumnos y los
demás a su derecha.
4. La talla (en centı́metros) de 200 reclutas está recogida en la siguiente tabla:
Talla (xi )
Fr. absoluta (ni )
[160,164)
18
[164,168)
20
[168,172)
60
[172,176)
52
[176,180)
30
[180,184]
20
Calcular el porcentaje de reclutas cuya altura está en el intervalo (x − s, x + s), siendo s la desviación tı́pica y
x la media aritmética.
Sol.: intervalo (x − s, x + s) = (166.83, 177.81); el porcentaje es: 65.705 %
Solución
Se trata de una variable cuantitativa continua. Para calcular la media y la desviación tı́pica, necesitamos calcular
las marcas de cada clase. También añadimos los porcentajes, que utilizaremos para responder al enunciado:
Talla (xi )
Marca de clase (ci =
Li−1 +Li
)
2
Fr. absoluta (ni )
Fr. relativa (fi =
ni
N)
%
% acumulado
[160, 164)
162
18
0.09
9%
9%
[164, 168)
166
20
0.1
10 %
19 %
[168, 172)
170
60
0.3
30 %
49 %
[172, 176)
174
52
0.26
26 %
75 %
[176, 180)
178
30
0.15
15 %
90 %
[180, 184)
182
20
0.1
10 %
100 %
Total
---
200
1
100 %
---
Para calcular el porcentaje de reclutas en el intervalo (x − s, x + s), necesitamos calcular la media aritmética, x,
y la desviación tı́pica, s.
La media aritmética, x, viene dada por:
x=
K
1
1 X
ci ni =
(162 · 18 + 166 · 20 + 170 · 60 + 174 · 52 + 178 · 30 + 182 · 20) = 172.32
N i=1
200
y la desviación tı́pica, s, por la expresión:
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Hoja 1: Estadı́stica descriptiva
v
u
K
u1 X
s = t
(ci − x̄)2 ni
N i=1
=
+
1 (162 − 172.32)2 · 18 + (166 − 172.32)2 · 20 + (170 − 172.32)2 · 60
200
1/2
(174 − 172.32)2 · 52 + (178 − 172.32)2 · 30 + (182 − 172.32)2 · 20
= 5.4898
√
Entonces, (x − s, x + s) = (172.32 − 5.4898, 172.32 + 5.4898) = (166.83, 177.81)
Veamos qué porcentaje corresponde a cada uno de los extremos del intervalo anterior. Para ello (suponiendo que
los datos se distribuyen de manera homogénea en cada intervalo), necesitamos construir dos rectas:
La recta que interpola los puntos (164, 9) y
(168, 19), que es;
100
90
19 − 9
(x − 164),
y =9+
168 − 164
75
es decir,
y =9+
5
(x − 164).
2
49
Si sustituimos x = 166.83, obtenemos el tanto
por ciento de reclutas cuya talla es menor que
166.83, y que es y = 16.075 %.
19
9
0
160
164
168
172
176
180
184
La recta que pasa por los puntos (176, 75) y (180, 90):
y − 75 =
90 − 75
(x − 176),
180 − 176
es decir,
15
(x − 176).
4
Si sustituimos x = 177.81, obtenemos el tanto por ciento de reclutas cuya talla es menor que 177.81, y que
es y = 81.78 %.
y = 75 +
En conclusión, el porcentaje de reclutas con talla en el intervalo (166.83, 177.81) es 81.78 %−16.075 % = 65.705 %.
5. Se ha aplicado un test de aptitudes a los empleados de una factorı́a. Las puntuaciones (xi ), agrupadas en clases,
están recogidas en la siguiente tabla:
Puntuación (xi )
Fr. absoluta (ni )
[38,50)
15
[50,56)
15
[56,62)
25
[62,68)
18
[68,80]
15
a) Dibujar el histograma de distribución de frecuencias absolutas.
b) Calcular la media aritmética y la desviación tı́pica.
c) Suponiendo que los datos se distribuyen de manera homogénea en cada intervalo, hallar la puntuación por
encima de la cual queda el 30 % de los empleados.
d ) Calcular el porcentaje de empleados cuya puntuación está en el intervalo (50,70).
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Hoja 1: Estadı́stica descriptiva
Sol.: b): media=59.20, desviación tı́pica=9.524; c): 64.2; d): 68.74 %
Solución
Apartado a):
Se trata de una variable cuantitativa continua y los intervalos [Li−1 , Li ) tienen amplitudes diferentes. Para
construir el histograma, se levanta sobre cada intervalo de clase un rectángulo de altura hi conocida como
densidad de frecuencia del intervalo [Li−1 , Li ):
hi =
ni
ai
siendo ai = Li − Li−1 la amplitud del intervalo correspondiente.
Completamos la tabla del enunciado con los datos
que nos hacen falta y dibujamos el histograma:
4.17
xi
ci
ni
Ni
ai
[38, 50)
44
15
15
12
ni
hi =
ai
1.25
[50, 56)
53
15
30
6
2.5
2809
[56, 62)
59
25
55
6
4.17
3481
[62, 68)
65
18
73
6
3
4225
[68, 80]
74
15
88
12
1.25
5476
---
88
---
---
---
---
Total
c2i
1936
3
2.5
1.25
38
50
56
62
68
80
Apartado b):
La media aritmética, x, viene dada por la expresión:
x=
K
1 X
1
ci ni =
(44 · 15 + 53 · 15 + 59 · 25 + 65 · 18 + 74 · 15) = 59.2
N i=1
88
y la desviación tı́pica, s, por la expresión (los valores de c2i están en la tabla anterior):
s =
=
v
r
u
K
u1 X
1
2
2
t
c ni − x̄ =
(1936 · 15 + 2809 · 15 + 3481 · 25 + 4225 · 18 + 5476 · 15) − 59.22
N i=1 i
88
√
3595.34 − 3504.64 =
√
90.7 = 9.524
Apartado c):
El valor que deja por encima el 30 % de los empleados
es el que deja por debajo el resto, es decir, el 70 % de
empleados. Se trata de calcular entonces el percentil 70.
Calculamos los porcentajes acumulados. La tabla con
los porcentajes acumulados viene dada en el siguiente
apartado y el polı́gono de frecuencias porcentuales acumuladas está representado en la figura de la derecha.
100
P
82.93
4
P
62.48
3
Se observa que:
34.08
P3 = 62.48 % < 70 % < P4 = 82.93 %
17.04
0
38
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L3
50
56
62
L4
68
80
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Hoja 1: Estadı́stica descriptiva
Tenemos L3 = 62 y L4 = 68.
Necesitamos construir una recta que pasa por los puntos (L3 , P3 ) = (62, 62.48) y (L4 , P4 ) = (68, 82.93).
Dicha recta viene dada por
y = P3 +
82.93 − 62.48
20.45
P4 − P3
(x − L3 ) = 62.48 +
(x − 62) = 62.48 +
(x − 62)
L4 − L3
68 − 62
6
Sustituyendo en esta ecuación y = 70, despejamos x (que es la puntuación buscada):
20.45
20.45
x = 70 − 62.48 +
6
6
⇒
20.45
x = 218.8367
6
⇒
x ≈ 64.2
Apartado d): Para calcular el porcentaje de empleados cuya puntuación está en el intervalo (50,70), de nuevo
usamos los porcentajes acumulados:
xi
[38, 50)
[50, 56)
[56, 62)
[62, 68)
[68, 80]
Total
ci
ni
44
53
59
65
74
---
15
15
25
18
15
88
Fr. relativa (fi =
0.1704
0.1704
0.284
0.2045
0.1704
1
Es claro, a partir de los valores de la tabla, que el porcentaje de empleados cuya puntuación está por debajo
de 50 es 17.04 %. Vamos a calcular el porcentaje de empleados cuya puntuación está por debajo de 70 y luego
restaremos del valor obtenido el 17.04 %.
Tenemos que 70 ∈ (68, 80). Suponiendo que los datos
se distribuyen de manera homogénea en cada intervalo, vamos a construir la recta que pasa por los puntos
(L4 , P4 ) = (68, 82.93) y (L5 , P5 ) = (80, 100):
ni
)
N
%
% acumulado (Pi )
17.04 %
17.04 %
28.4 %
20.45 %
17.04 %
100 %
17.04 %
34.08 %
62.48 %
82.93 %
100 %
---
100
P5
82.93
P4
62.48
34.08
17.04
100 − 82.93
17.04
y = 82.93+
(x−68) = 82.93+
(x−68).
80 − 68
12
L
0
38
4
50
56
62
L
5
68
80
Si sustituimos x = 70, obtenemos el porcentaje de empleados con puntuación inferior a 70 es y = 85.78 %.
Por tanto, el porcentaje de empleados con la puntuación comprendida entre 50 y 70 es
85.78 % − 17.04 % = 68.74 %.
6. Los pesos en miligramos de 50 pastillas de ciertos medicamentos distintos vienen dados por la siguiente tabla:
Peso (mg.)
No pastillas
[200,210)
3
[210,215)
10
[215,220)
14
[220,230)
13
[230,240]
10
a) Dibujar el histograma de frecuencias absolutas.
b) Suponiendo que los datos se distribuyen de manera homogénea en cada intervalo, calcular el tanto por
ciento de pastillas con peso menor que 212 mg.
c) Calcular el peso de las pastillas por debajo del cual se encuentra el 15 % de las mismas, y el peso por encima
del cual se encuentra el 74 % de las pastillas de medicamentos.
Dpto. EDAN - 26 de septiembre de 2013
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Curso 2013/14
Matemática Aplicada y Estadı́stica - Farmacia
Hoja 1: Estadı́stica descriptiva
Sol.: b:) 14 %; c:) 212.25 mg.
Solución
Apartado a): Se trata de una variable cuantitativa continua y los intervalos [Li−1 , Li ) tienen amplitudes diferentes. Para construir el histograma, se levanta sobre cada intervalo de clase un rectángulo de altura hi conocida
como densidad de frecuencia del intervalo [Li−1 , Li ):
Completamos la tabla del enunciado con los datos que nos hacen falta:
hi =
ni
ai
siendo ai = Li − Li−1 la amplitud del intervalo correspondiente.
Peso (mg.)
ci =
Li−1 +Li
2
Fr. absoluta (ni )
Fr. relativa (fi =
ni
N)
ai = Li − Li−1
hi =
ni
ai
[200, 210)
205
3
0.06
10
0.3
[210, 215)
212.5
10
0.2
5
2
[215, 220)
217.5
14
0.28
5
2.8
[220, 230)
225
13
0.26
10
1.3
[230, 240]
235
10
0.2
10
1
Total
---
50
1
---
---
El histograma de frecuencias absolutas es de la forma:
2.8
2
1.3
1
0.3
200
210
215
220
peso
230
240
Apartado b): Para responder a este apartado, es más cómodo trabajar con frecuencias relativas y con porcentajes
acumulados. Completamos la tabla anterior:
Peso (mg.)
ci
Fr. absoluta (ni )
[200, 210)
205
3
[210, 215)
212.5
[215, 220)
ni
)
N
%
% acumulados
0.06
6%
6%
10
0.2
20 %
26 %
217.5
14
0.28
28 %
54 %
[220, 230)
225
13
0.26
26 %
80 %
[230, 240]
235
10
0.2
20 %
100 %
Total
---
50
1
100 %
---
Dpto. EDAN - 26 de septiembre de 2013
Fr. relativa (fi =
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Curso 2013/14
Matemática Aplicada y Estadı́stica - Farmacia
Hoja 1: Estadı́stica descriptiva
Para saber qué tanto por ciento de pastillas tiene peso menor que 212 mg, observemos que 212 ∈ (210, 215) y
vamos a construir la recta que pasa por los puntos (210, 6) y (215, 26), que es;
y =6+
26 − 6
(x − 210) = 6 + 4 (x − 210).
215 − 210
Por tanto, para conocer cuál es la cantidad que corresponde a 212 mg., sustituimos x = 212 en la ecuación
anterior, y obtenemos y = 14, que es el tanto por ciento buscado.
Apartado c): Para conocer el peso de las pastillas por debajo del cual se encuentra el 15 % de las pastillas
(suponiendo que los datos se distribuyen de manera homogénea en cada intervalo), usamos la ecuación de recta
del apartado anterior. Ahora, debemos sustituir y = 15, de manera que obtenemos x = 212.25 mg. que es el peso
buscado.
Conocer el peso de las pastillas por encima del cual se encuentra el 74 % de las pastillas es equivalente a conocer
cual es el peso de las pastillas por debajo del cual se encuentra el 26 %. Observemos que de la tabla se puede ver
que corresponde a 215 mg.
Dpto. EDAN - 26 de septiembre de 2013
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Curso 2013/14