capitulo 1 - Web del Profesor

CAPITULO 1
CONCEPTOS GENERALES
1.1 Introducción.
El control automático de procesos nace por la necesidad de generar productos más
uniformes y de más alta calidad, con una mayor exactitud, lo cual representa por lo general
mayores beneficios.
El control automático tiene también grandes ventajas en ciertas operaciones
remotas, peligrosas o rutinarias.
Debido a que la calidad y la reducción de costos en un proceso es por lo común la
ventaja más importante que se busca al aplicar el control automático. La calidad del control
y el costo se deben comparar con los beneficios económicos esperados y los objetivos
técnicos del proceso. Los beneficios económicos incluyen la reducción de los costos de
operación, mantenimiento y producto fuera de especificaciones, junto con el mejoramiento
de la funcionalidad del proceso y una mayor producción.
Las razones principales para usar control automático de procesos, son las siguientes:
•
•
•
Mantener los niveles de producción de la planta en valores iguales o superiores a los
establecidos.
Mantener la calidad del producto (composición, pureza, color, etc.).
Evitar lesiones al personal de la planta o daño al equipo. La seguridad debe ser
considerada como prioridad.
La optimización del proceso en términos generales se obtiene si se logra maximizar
los beneficios y/o minimizar los costos sujetos a las restricciones físicas impuestas por el
proceso.
Como un primer paso en la aplicación de esquemas de control automático, es
importante manejar la terminología y los conceptos básicos necesarios. Este capitulo,
introduce los mismos.
En todo proceso se presenta una causa y un efecto (causalidad) como se puede observar en
la figura 1.1, las causas representan las variables de entradas y los efectos son aquellos que
genera el proceso como respuesta a las variables de entrada.
Causa
Efecto
Proceso
Variables
Variables
Figura 1.1. Causalidad del Proceso.
1.2 VARIABLES.
R, Reflujo
Composición del Destilado, XD
Composición del Fondo, XB
TE, Temperatura de Entrada
Presión
Temperatura en el Plato # 5
Perturbaciones
Variables
Controladas
F, Flujo de Alimentación
XF, Composición de Entrada
Temperatura en el Plato # 10
Variables No
Controladas
Variables
Manipuladas
Las entradas y salidas de un proceso son denominadas variables, debido a que están
interrelacionadas con el mismo en una forma estática y/o dinámica. Para nuestros fines es
importante clasificar los diferentes tipos de variables que intervienen en un proceso, estas
son: variables manipuladas, variables controladas, variables no controladas y
perturbaciones, como se observa en la figura 1.2, en la cual se utiliza como ejemplo una
columna de destilación.
QR, Calor del Reactor
D, Destilado
B, Flujo en el fondo
Figura 1.2. Variables que pueden intervenir en un proceso.
1.2.1 VARIABLES MANIPULADAS:
Variables que nosotros podemos cambiar o mover para garantizar que la variable
controlada presente el valor deseado.
1.2.2 VARIABLES CONTROLADAS:
Variables que queremos controlar, bien sea tratando de mantenerlas constantes (Control
Regulatorio) o tratando de seguir alguna trayectoria deseada (Servocontrol), ejemplos de
estas pueden ser, flujos, composiciones, temperaturas, presión, nivel, etc.
1.2.3 VARIABLES NO CONTROLADAS:
Son aquellas variables sobre las cuales no se ejerce control, en algunos casos estas variables
no afectan o no ejercen ningún efecto sobre el proceso.
1.2.4 PERTURBACIONES:
Flujos, temperaturas, composiciones que entran al proceso (pueden ser de salida algunas
veces). No todo el tiempo pueden ser medidas, pero el sistema de control debe ser capaz de
regular el proceso en presencia de ellas (premisa que en algunas ocasiones no se logra),
tales como temperaturas, presión, concentración, etc.
1.3 COMPONENTES BÁSICOS DE UN SISTEMA DE CONTROL.
En los procesos industriales encontramos ciertas convenciones y arreglos en los sistemas de
control así como la distribución de dispositivos de medidas y funciones de control en varias
piezas de hardware. En la figura 1.3a, se puede apreciar la constitución de un lazo de
control; en la cual existe una sala de control, que es donde se encuentran los controladores,
y además, tiene que ser supervisado por un operador que se encarga de vigilar la operación
normal del proceso; la manipulación local es representada por una válvula de control con
acción manual, para el paso del flujo frío al calentador; el indicador local que sirve para
visualizar los valores de temperatura de salida en campo con la finalidad de poder ejercer
un control manual, como por ejemplo para arranque o parada de planta; el transmisor de
temperatura, se encarga de convertir la temperatura medida en una señal eléctrica
(4-20 mA) o neumática (3-15 psi) y luego la envía por medio de un cableado a la sala de
control.
En la figura 1.3b se representa el diagrama de bloques de un sistema de control en
lazo cerrado.
Manipulación
local
Sala de control central
Indicador
local
Transmisor
Cableado de alimentación
Operador
Figura 1.3a. Constitución de un Lazo de Control.
Elemento
Final de Control
Perturbaciones
Elemento Primario
de Medida
Proceso
Referencia
Proceso o
Corriente Útil
Transmisor
Controlador
Estación
Manual - Automática
Figura 1.3b. Diagrama en Bloques de un sistema de control en lazo cerrado.
1.3.1 Elemento primario de medida (Transductores):
Son los dispositivos encargados de realizar la medición de las variables en un proceso.
Existen diferentes tipos de transductores, los cuales están asociados al tipo de variable que
se está midiendo (temperatura, presión, nivel, flujo, composición, etc.), y las condiciones de
la medición (exactitud, linealidad, sensibilidad, temperatura de operación, rango de medida,
etc.), tales como: termopares, termistores, RTD, pirómetros, para medir temperatura; tubo
de Bourdon, diafragma, fuelle, capacímetro, LVDT, piezoeléctrico, potenciómetrico, Strain
Gage etc., para medir presión ; varilla con gancho, regla graduada, flotador, para medir
nivel. La combinación de algunos de ellos sirven para medir otras variables, por ejemplo el
diafragma con un elemento secundario cualquiera sirve para medir presión, al medir la
presión diferencial de un fluido que circula en una tubería se puede encontrar el flujo; o al
medir la presión diferencial en el fondo de un tanque se obtiene el nivel de ese fluido.
1.3.2 Transmisores:
Los transmisores son dispositivos que se conectan al elemento primario en algunos casos se
encuentra integrado al transductor, el mismo produce la señal para la transmisión. Se
clasifican en: Transmisores Neumáticos y Transmisores Electrónicos. Ellos presentan una
constante de tiempo y un tiempo muerto (posteriormente se definirán), que depende del tipo
de transmisor y de la variable que está midiendo. En el caso de los transmisores neumáticos
la señal transmitida es de 3 a 15 psi, y en el caso de los transmisores electrónicos dicha
señal es de 4 a 20 mA.
1.3.3 Estación manual:
Muchos lazos de control de procesos han sido provistos de un control manual para que el
operador humano pueda ejercer control durante la puesta en marcha, parada o emergencias
del proceso.
1.3.4 Controlador:
Es el encargado de decidir el tipo de acción sobre el elemento final de control. El
controlador tiene dos funciones esenciales:
•
Comparar la variable medida con la de referencia deseada (punto de operación o Set
Point), para determinar el error que existe entre ellas.
• Enviar una señal al elemento final de control con el objeto de modificar su acción en el
sentido adecuado para reducir el error.
1.3.5 Elemento final de control:
El elemento final de control más común es una válvula que se describirá mas adelante, pero
puede ser una bomba, un compresor, o un elemento de calentamiento eléctrico.
1.3.6 Válvula de control:
Son los elementos finales de control más usados en los procesos, son encargadas de regular
el flujo que circula a través de ellas.
En el control automático de los procesos industriales la válvula de control juega un
papel muy importante en el lazo de regulación. Realiza la función de variar el flujo de la
variable manipulada, para con ello modificar el valor de la variable controlada.
Figura 1.4. Válvula de Control.
El cuerpo de la válvula contiene en su interior el obturador y los asientos, está
provista de rosca o bridas para conectarla con la tubería. El obturador es quien realiza la
función de control de paso del fluido y puede actuar en la dirección de su propio eje o bien
tener un movimiento rotativo. Está unido a un vástago que pasa a través de la tapa del
cuerpo y que es accionado por el servomotor.
Figura 1.5. Partes de una Válvula de Control.
La válvula debe tener una “posición a falla”, en la que se coloca cuando ocurre una
falla en el suministro de la energía de accionamiento. Para determinar cual es su posición
en el momento de una falla, se debe tomar en cuenta el factor seguridad, es decir, cuando
por razones de seguridad se requiere que al ocurrir una falla la válvula se cierre, se dice que
la válvula es “Falla Cerrada” (FC – Fail Close) o también conocida como “Aire para Abrir”
(AA) ; por el contrario, cuando se necesita que la válvula se abra al ocurrir una falla se dice
que es “Falla Abierta” (FA o FO - Fail Open) o “Aire para Cerrar” (AC).
Para determinar la acción del controlador, se debe conocer: los requerimientos de
control del proceso y la acción de la válvula de control.
La acción de control está sujeta a la acción de la válvula, es decir, cuando la señal
de error aumenta (cuando por ejemplo aumenta la presión), el controlador aumentará la
señal de control si la válvula es FA o Aire para Cerrar (AC), o disminuirá si la válvula es
FC o Aire para Abrir (AO).
Figura 1.6. Actuadores de Válvulas en posición de falla: FO y FC.
En la tabla 1.1 se puede observar de una manera simplificada, una descripción de los
componentes básicos de los sistemas de control, con ciertas características de cada uno de
ellos, como su rango típico y la respuesta dinámica al 63%.
Tabla 1.1. Descripción de los Componentes básicos de un Sistema de Control.
Elemento
Función
Rango Típico
Respuesta dinámica
al 63%
Salida del Controlador
Transmisor
Convertidor de Señales
Elemento final de
control
Transductor
Inicia la señal a una
estación remota para
ser aplicada al elemento
final de control
Responsable de la señal
desde el controlador al
elemento final de
control, y desde el
sensor al controlador.
Cambia la señal que
viene del transmisor
para ser usada
posteriormente al
elemento final de
control, o al controlador
Responsable de
implementar el cambio
deseado al proceso.
Mide la variable
controlada
Operador / 0-100%
-
Neumático: 3-15 psi
Neumático: 1-5 s
Electrónico: 4-20 mA
Electrónico: Instantáneo
Electrónico a
neumático: 4-20 mA
a 3-15 psi
Transductor a
electrónico: de mV a
4-20 mA
Válvula: 0-100%
0,5 - 1,0 s
1-4s
Escala dada para tener Típicamente de unos
una buena exactitud, pocos segundos a varios
por ejemplo: 150°C - minutos.
300°C
1.4 SELECCIÓN Y DISEÑO DE LOS ESQUEMAS DE CONTROL.
Las operaciones básicas que están presentes en todo sistema de control, asociadas a los
elementos básicos anteriormente descritos, son las siguientes:
•
•
•
Medición (M): la medición de la variable que se controla se realiza por medio del
transductor y el transmisor.
Decisión (D): basado en la medición realizada, el controlador decide qué hacer para
mantener la variable en el valor que se desea.
Acción (A): como resultado de la decisión que toma el controlador, se debe efectuar
una acción en el sistema, generalmente esta acción es realizada por el elemento final de
control (válvula u otro elemento final de control).
Para seleccionar y diseñar esquemas de control se deben seguir tres pasos esenciales:
1.4.1 Conocer bien el proceso, variables de entrada/salida (manipuladas, controladas, nocontroladas y perturbaciones), dinámica, régimen estacionario, etc.
1.4.2 Modelar o identificar adecuadamente el proceso.
1.4.3 La mejor estrategia de control es la más sencilla de implementar, con la que se pueda
controlar el proceso.
En el desarrollo de los sistemas de control de proceso, se debe hacer especial
hincapié en la definición del resultado final deseado y en la determinación de cuando se ha
logrado tal resultado. El diseño del sistema de control para cualquier unidad debe
encaminarse al empleo de índices de funcionamiento como punto de referencia.
1.5 PARÁMETROS CARACTERÍSTICOS DE UN PROCESO:
1.5.1 Ganancia del Proceso.
La ganancia se define como la tasa de cambio en la salida o variable de respuesta
controlada, para un cambio en la entrada o función forzada. Matemáticamente, esta
ganancia se expresa de la siguiente manera:
K =
∆Q
∆Salida
∆Variable de Respuesta
=
=
∆I ∆Entrada
∆Función Forzada
(1.1)
Según este concepto, la ganancia explica qué tanto varía salida por unidad de
cambio en la entrada; en otras palabras, qué tan sensible es la salida con un cambio en la
entrada. Para el tanque de gas en la figura 1.6.
FI, scfm
F, scfm
P, psig
vp, %
Figura 1.6. Tanque de Gas.
La ganancia es:
K=
∆P
psi
=
∆vP %vP
(1.2)
Esto explica qué tanto varía la presión del tanque por un cambio de unidad en
porcentaje de la posición de la válvula. Como en ejemplos previos, la ganancia nos dice
cuál es la sensibilidad de la variable controlada ante un cambio en la variable de entrada.
El valor numérico: en las unidades de cada proceso existen diferentes tipos de
ganancias, considérese el ejemplo del tanque de gas. La figura 1.7 proporciona la ganancia
o sensibilidad, relacionando la presión del tanque y la posición de la válvula. Si se cambia
el flujo de entrada al tanque, la posición de la válvula se mantiene constante y la presión
responderá, como se muestra en la figura 1.7.
P, psig
Fi, scfm
Salida
Entrada
∆Fi
Tiempo
∆P
Tiempo
Figura 1.7. Respuesta de la Presión en el tanque con un cambio escalonado en el Flujo de
entrada.
Para este caso la ganancia es dada por:
K=
P psi
,
FF scfm
(1.3)
La ganancia solamente relaciona valores de estado estacionario o estable; es decir,
qué tanto cambia la salida en función de la entrada. La ganancia no dice la rapidez con que
ocurre el cambio. En otras palabras, la ganancia es una característica de estado estacionario
del proceso.
1.5.2 Constante de Tiempo del Proceso (τ).
La constante de tiempo se define como la cantidad de tiempo que toma la variable
controlada para alcanzar el 63,2% de un cambio total. Este tiempo se cuenta desde el
momento en que la variable comienza a responder. La constante de tiempo se relaciona con
la velocidad de respuesta del proceso. Mientras más rápido sea un proceso, más breve será
la unidad de tiempo, y a la inversa. La unidad de tiempo normalmente usada es el minuto.
En síntesis, la constante de tiempo (τ) nos indica con qué rapidez ocurre un proceso,
una vez que comienza a responder ante un cambio en la entrada. De este modo, la constante
de tiempo es una característica relacionada con la parte dinámica del proceso.
1.5.3 Tiempo Muerto (to).
Es la cantidad finita de tiempo entre el cambio en la entrada y el cambio desde que la salida
comienza a responder. La mayoría de los procesos tienen cierta cantidad de tiempo muerto,
siendo esto un limitante para conseguir un control adecuado, ya que proporciona un gran
efecto adverso sobre cualquier sistema de control. En la figura 1.8 se ilustra gráficamente la
constante de tiempo y el tiempo muerto en un proceso.
Fi, scfm
Entrada
∆Fi
Tiempo
P, psig
Salida
63,2%
∆P
to τ
Tiempo
Figura 1.8. Constante de Tiempo y Tiempo Muerto de un Proceso.
1.6 CONTROL REALIMENTADO
Las figuras 1.9a y 1.9b muestra el sistema de control a lazo cerrado, la información sobre
la variable controlada se vuelve a alimentar como base para controlar una variable del
proceso. En la figura 1.9c se aprecia un ejemplo del Sistema de Control Realimentado.
Entrada
Proceso
Salida
Retroalimentación
Figura 1.9a. Esquema de un Sistema de Control Realimentado.
Valor Deseado
(Set Point)
Controlador
Transductor
Elemento
Final
Variable
Manipulada
Variable
Controlada
Proceso
Perturbaciones
Otras Salidas
Figura 1.9b. Diagrama de Bloques de un Sistema de Control Realimentado.
Flujo
TI
Producto
TC
F
Aceite
Caliente
Figura 1.9c. Ejemplo de un Control Realimentado (TI: Indicador de Temperatura; TC:
Controlador de Temperatura; F: Medidor de Flujo).
En el control a lazo cerrado, la información sobre la variable controlada se vuelve a
alimentar como base para manipular una variable del proceso.
Los controladores por retroalimentación son aquellos que toman decisiones para
mantener el punto de operación, mediante el cálculo de la salida con base a la diferencia
entre la variable que se controla y el punto de control o “Set Point”, como se aprecia en la
figura 1.9b.
La principal desventaja de los sistemas de control por retroalimentación es que, para
compensar la entrada de perturbaciones, la variable controlada se debe desviar del punto de
control, se actúa sobre un error entre el punto de operación y la variable controlada, lo cual
significa que, una vez que una perturbación entra al proceso y afecta la calidad del
producto, se debe esperar que el sistema opere con esa señal para luego ejercer una acción
correctiva.
La ventaja del control por retroalimentación consiste en que es una técnica muy
simple, que compensa todas las perturbaciones. Cualquier perturbación puede afectar a la
variable controlada, cuando esta se desvía del punto de control, el controlador cambia su
salida para que la variable regrese al punto de control.
Los controladores por retroalimentación más utilizados son: controlador Proporcional (P),
controlador Proporcional – Integral (PI) y el controlador Proporcional – Integral –
Derivativo (PID).
1.7 CONTROL POR ACCIÓN PRECALCULADA (FEED FOWARD).
En un sistema de control por acción precalculada, las perturbaciones se compensan antes de
que afecte a la variable controlada, se miden las perturbaciones antes de que entren al
proceso y se calcula el valor que se requiere de la variable manipulada para mantener la
variable controlada en el valor que se desea o punto de operación (Set Point).
En la Figura 1.7 se ilustra un esquema de control por acción precalculada.
Controlador por acción
Precalculada
TY
Vapor
FT
TT
T(t)
Q(t)
Ti (t)
Figura 1.7. Esquema del Controlador por Acción Precalculada.
1.8 CONTROL ROBUSTO
La robustez de un controlador viene medida por la capacidad de respuesta ante los cambios
de los parámetros nominales del proceso, sin modificar los parámetros de sintonización del
proceso, tales cambios afectan el proceso. Se dice que un controlador es muy robusto
cuando esos cambios no afectan en gran medida las variables controladas, y se mantiene un
nivel de control adecuado del proceso.
1.9 LINEALIZACIÓN Y VARIABLES DE DESVIACIÓN
Las respuestas dinámicas obtenidas en la mayoría de los procesos industriales presentan el
inconveniente de no ser lineales, por tal motivo no se pueden representar mediante
ecuaciones lineales. Desafortunadamente, con la transformada de Laplace solo podemos
analizar sistemas lineales, otro problema que se presenta es que no existe una técnica
sencilla y universal para analizar un sistema no lineal con el que se pueda generalizar para
una amplia variedad de sistemas físicos.
Para que una ecuación sea lineal, ninguno de sus términos debe contener más de una
variable o derivada y esa variable debe estar a la primera potencia.
Las ecuaciones no lineales se pueden aproximar a ecuaciones lineales por medio de
la técnica de linealización, las cuales se pueden analizar mediante transformadas de Laplace
(que se estudiara mas adelante), la suposición básica es que la respuesta de la aproximación
lineal representa la respuesta del proceso en la región cercana al punto de operación
alrededor del cual se realiza la linealización.
Para facilitar el manejo de las ecuaciones linealizadas se utilizan las variables de
desviación o perturbación.
1.9.1 Variable de desviación
La variable de desviación es la diferencia que existe entre el valor de la variable o señal y el
valor en el punto de operación, en otras palabras, la variable de desviación es la desviación
de una variable respecto a su valor de operación o base como se puede apreciar en la figura
1.8.
X (t ) = x(t ) − x
Donde:
X (t ) : Es la variable de desviación.
x(t ) : Es la variable absoluta correspondiente.
x : Es el valor de x en el punto de operación.
(1.4)
Figura 1.8. Variable de desviación.
La principal ventaja de la utilización de la variable de desviación se deriva del
hecho de que el valor base x es generalmente, el valor inicial de la variable y además el
punto de operación está generalmente en estado estacionario, es decir, las condiciones
iniciales de las variables de desviación y sus derivadas son todas cero.
1.9.2 Linealización aproximada.
Considérese la ecuación diferencial de primer orden
d
(x(t )) = f (x(t )) + k
dt
(1.5)
Donde f ( x(t )), es una función no lineal de x, y k es una constante. La expansión por series
de Taylor de f (x(t )), alrededor del valor x , está dada por:
f [x(t )] = f ( x ) +
2
3
d
(x ) ⋅ x(t ) − x + 1 d 2 (x ) ⋅ x(t ) − x + 1 d 3 (x ) ⋅ x(t ) − x + .....
2! dx
3! dx
dx
(1.6)
La aproximación lineal consiste en eliminar todos los términos de la serie, con excepción
de los dos primeros:
f [x(t )] = f ( x ) +
d
(x ) ⋅ x(t ) − x
dx
(1.7)
Al sustituir la definición de variable de desviación X(t) de la ecuación (1-4) se tiene:
f [x(t )] − f ( x ) =
d
(x ) ⋅ x(t ) − x
dx
(1.8)
En la figura 1.9 se da la interpretación gráfica de esta aproximación. La aproximación lineal
d
( f (x )) ; esta línea es,
es una línea recta que pasa por el punto (x , f ( x )) con pendiente
dx
por definición, tangente a la curva f ( x ) en x . Nótese que la diferencia entre la
aproximación lineal y la función real es menor en las cercanías del punto de operación x , y
mayor cuando se aleja de este. Es difícil definir la región en que la aproximación lineal es
lo suficientemente exacta como para representar la función no lineal; tanto más no lineal es
una función cuanto menor es la región sobre la que la aproximación lineal es exacta.
De la substitución de la Ec. 1.8 de aproximación lineal en la Ec. (1.4), tenemos:
f [x(t )] = f ( x ) +
d
(x ) ⋅ X (t ) + k
dx
(1.9)
En la figura 1.9 se puede apreciar la interpretación gráfica de esta aproximación:
Figura 1.9. La aproximación lineal.
La aproximación lineal es una línea recta que pasa por el punto (x , f ( x )) , con
d
( f (x )) ; esta línea es tangente a la curva f (x ) en x .
pendiente
dx
Se puede observar que la diferencia entre la aproximación lineal y la función real es
menor en las cercanías del punto de operación x , y mayor cuando se aleja de este.
Los siguientes son ejemplos de algunas funciones no lineales más usadas en los
modelos de proceso:
1.
Dependencia de Arrhenius de la tasa de reacción de la temperatura.
k (T ) = k 0 ⋅ e
−
E
RT
(1.10)
Donde k0, E y R son constantes.
2.
Presión de vapor de una sustancia pura (ecuación de Antoine).
p (T ) = e
º
B ⎞
⎛
⎜ A−
⎟
⎝ T +C ⎠
(1.11)
Donde A, B y C son constantes.
3.
Equilibrio vapor - liquido por volatilidad relativa.
y(x ) =
αx
1 + (α − 1)x
(1.12)
Donde α es una constante.
4.
Caída de presión a través de accesorios y tuberías.
∆P(F ) = kF 2
(1.13)
Donde k es una constante.
5.
Razón de transferencia de calor por radiación
q (T ) = εσAT 4
(1.14)
Donde ∈,σ y A son constantes.
6.
Entalpía como función de la temperatura.
H (T ) = H 0 + AT + BT 2 + CT 3 + DT 4
(1.15)
Donde H0, A, B, C y D son constantes.
1.9.2.1 Linealización de Funciones con dos o más variables.
Considérese la función no lineal de dos variables f[x(t), y(t)]; la expansión por series de
Taylor alrededor de un punto ( x, y) , está dada por:
d
( f (x , y )) ⋅ x(t ) − x + d ( f (x , y )) ⋅ y(t ) − y +
dx
dx
2
2
1 d
( f (x , y )) ⋅ x(t ) − x 2 + 1 d 2 ( f (x , y )) ⋅ y (t ) − y 2 + ..........
+
2
2! dx
2! dx
f ([x(t ), y (t )]) = f ( x , y ) +
(1.16)
La aproximación lineal consiste en eliminar los términos de segundo orden o
superior, para obtener:
f ([x(t ), y(t )]) = f ( x , y ) +
d
( f (x , y )) ⋅ x(t ) − x + d ( f (x , y )) ⋅ y(t ) − y
dx
dx
(1.17)
El error de esta aproximación lineal es pequeño para x e y, en la vecindad de
x e y.
En general, una función con n variables x1, x2, . . ., xn, se linealiza mediante la fórmula:
___
___
___
df
df
df
f ( x1 , x2 ,......xn ) = f ( x1 , x2 ,......xn ) +
x1 − x1 +
x2 − x2 + .... +
xn − xn
dx1
dx2
dxn
n
___
df
f ( x1 , x2 ,......xn ) = f ( x1 , x2 ,......xn ) + ∑
xk − xk
k =1 dx k
(1.18)
___
df
, designa las derivadas parciales que se evalúan en ( x1 , x2 ,......xn ) .
Donde
dxk
1.9.3 La Transformada de Laplace.
La transformada de Laplace consiste en un tipo de transformación lineal, reversible,
mediante la cual se transforma una función en el dominio tiempo f(t) en una función en el
dominio “s” F(s).
La ecuación que realiza la transformada de Laplace es la siguiente:
T
f (s ) = L(s ) = ∫ f (t )e − st dt
(1.19)
0
Existen varías propiedades que cumple la transformada de Laplace, tales como:
• Linealidad:
L{k ⋅ f (t )} = k ⋅ L{ f (t )} = k ⋅ F (s )
(1.20)
• Teorema de la diferenciación real:
⎧d
⎫
L ⎨ ( f (t ))⎬ = s ⋅ F (s ) − f (0)
⎩ dt
⎭
(1.21)
• Teorema de la integración real:
⎫ 1
⎧t
L ⎨∫ f (t )dt ⎬ = f (s )
⎭ s
⎩0
(1.22)
• Teorema de la diferenciación compleja:
L{t ⋅ f (t )} = −
d
(F (s ))
ds
(1.23)
• Teorema de la translación real:
L{ f (t − t 0 )} = e − s⋅t0 F (s )
(1.24)
• Teorema de la traslación compleja:
{
}
L e at f (t ) = F (s − a )
(1.25)
• Teorema del valor final:
Lim f (t ) = Lim s ⋅ F (s )
t →∞
s →0
(1.26)
• Teorema del valor inicial:
Lim f (t ) = Lim s ⋅ F (s )
t →0
s →∞
(1.27)
En la tabla 1.2 se puede apreciar las funciones más comunes de la transformada de Laplace.
Tabla 1.2. Funciones Comunes de la Transformada de Laplace.
f(t)
F(s) = L{f(t)}
1
∂(t)
u(t)
1/s
T
1/s2
n
t
n!/sn+1
e-at
1/(s+a)
-at
te
1/(s+a)2
n -at
te
n!/(s+a)n+1
Sen (ωt)
ω/(s2+ω2)
Cos (ωt)
s/(s2+ω2)
e-atSen (ωt)
ω/{(s+a)2+ω2}
e-atCos (ωt)
(s+a)/{(s+a)2+ω2}
1.10 Tipos de Procesos:
Los procesos pueden clasificarse en dos tipos, entre los cuales se tienen:
• Procesos Auto regulables.
• Procesos no Auto regulables.
Procesos Auto regulables
Son aquellos procesos que con cambios forzados (escalón) en la entrada, la salida alcanzan
condición de operación estable.
T, °C
Ti, °C
Salida
Entrada
∆Ε
∆S
Tiempo
Tiempo
Figura 1.10. Respuesta de un proceso auto regulable.
Procesos no Autorregulables
Son aquellos que con un cambio forzado (escalón) en la entrada, las salidas del proceso no
alcanzan, en principio una nueva condición de operación. Como se nota en la figura 1.11, la
condición final será una condición extrema de operación.
Salida
Entrada
∆S
∆E
Proceso
Tiempo
Tiempo
Figura 1.11. Respuesta de un Proceso no Auto regulable.
1.11 ESTABILIDAD DEL CIRCUITO DE CONTROL
Un sistema es estable si su salida permanece limitada. La mayoría de los procesos
industriales son estables a lazo abierto, es decir, son estables cuando no forman parte de un
circuito de control por retroalimentación; esto equivale a decir que la mayoría de los
procesos son autorregulables, o sea, la salida se mueve de un estado estable a otro, debido a
los cambios en las señales de entrada. Un ejemplo típico de proceso inestable a circuito
abierto es el tanque exotérmico de reacción con agitación, en el cual algunas veces existe
un punto de operación inestable en el que al incrementar la temperatura, se produce un
incremento en la tasa de reacción, con el consecuente incremento en la tasa de liberación de
calor, lo cual, a su vez, ocasiona un mayor incremento en la temperatura.
Aun para los procesos estables a circuito abierto, la estabilidad vuelve a ser considerable
cuando el proceso forma parte de un circuito de control por retroalimentación, debido a que
las variaciones en las señales se refuerzan unas a otras conforme viajan sobre el circuito, y
ocasionan que la salida - y otras señales en el circuito – se vuelvan ilimitadas.
Los circuitos de control por retroalimentación son esencialmente oscilatorios, es
decir, de ensayo y error. En algunas circunstancias, las oscilaciones se pueden incrementar
en magnitud, de lo cual resulta un proceso inestable. La ilustración más sencilla de un
circuito de retroalimentación inestable es el controlador cuya dirección de acción es opuesta
a la que debería ser, por tal motivo se debe tener cuidado en seleccionar si el controlador
debe ser de acción directa o de acción inversa. Sin embargo, aun con el controlador de
acción adecuada, el sistema se puede volver inestable, debido a los retardos en el circuito,
lo cual ocurre generalmente cuando se incrementa la ganancia del circuito. En
consecuencia, la ganancia del controlador a la que el circuito alcanza el umbral de
inestabilidad es de gran importancia en el diseño de un circuito de control con
retroalimentación. Esta ganancia máxima se conoce como ganancia última.
1.11.1 Criterio de estabilidad.
La respuesta de un circuito de control a una cierta entrada se puede representar mediante la
siguiente ecuación:
c(t ) = b1e r1t + b2 e r2t + ........ + bn e rnt +(términos de entrada)
Respuesta sin forzamiento
(1.29)
Respuesta forzada
Donde:
c(t) es la salida del circuito o variable controlada.
r1, r2,................., rn son las raíces de la ecuación característica del circuito.
Si se supone que los términos de entrada permanecen limitados conforme se
incrementa el tiempo, la estabilidad del circuito requiere que también los términos de la
respuesta sin forzamiento permanezcan limitados conforme se incrementa el tiempo; esto
depende únicamente de las raíces de la ecuación característica, y se puede expresar como
sigue:
Para raíces reales: Si r < 0, entonces ert → 0 conforme t → ∞
Para raíces complejas: r = σ + iωert = ert(cos(ωt) +isen(ωt))
Si σ < o, entonces ert(cos(ωt) +isen(ωt)) → 0 conforme t → ∞
En otras palabras, la parte real de las raíces complejas, así como las raíces reales,
deben ser negativas para que los términos correspondientes de la respuesta de la tiendan a
cero. A este resultado no le afectan las raíces repetidas, ya que únicamente se introduce un
polinomio de tiempo en la solución, que no suprime el efecto del término exponencial de
decaimiento. Es de notar que, si cualquier raíz de la ecuación característica es un número
real positivo o un número complejo con parte real positiva, en la respuesta [ecuación(1-28)]
ese termino no estará limitado y la respuesta completa será ilimitada, aun cuando los demás
términos tiendan a cero; esto lleva al siguiente enunciado del criterio de estabilidad para un
circuito de control.
Para que el circuito de control con retroalimentación sea estable todas las raíces de
su ecuación característica deben ser números reales negativos o números complejos con
partes reales negativas.
Si ahora se define el plano complejo “s” como una gráfica de dos dimensiones con
el eje horizontal para la parte real de las raíces y el vertical para la parte imaginaria, se
puede hacer el siguiente enunciado gráfico del criterio de estabilidad en la figura 1.12.
Imaginario
Plano s
Estable
Inestable
Real
Plano Izquierdo Plano Derecho
Figura 1.12. Plano s en que se ilustran las regiones de estabilidad e inestabilidad, según la
ubicación de las raíces de la ecuación característica.
Para que el circuito de control con retroalimentación sea estable, todas las raíces de
su ecuación características deben caer en la mitad izquierda del plano “s” que también se
conoce como “plano izquierdo”.
Cabe hacer notar que ambos enunciados del criterio de estabilidad en el dominio de
Laplace se aplican en general a cualquier sistema físico, y no solamente a circuitos de
control con retroalimentación. En cada caso la ecuación característica se obtiene por
igualación a cero del denominador de la forma lineal de la función de transferencia del
sistema.
1.11.2 Prueba de Routh
La prueba de Routh es un procedimiento para determinar el número de raíces de un
polinomio con parte real positiva sin necesidad de encontrar realmente las raíces por
métodos iterativos. Puesto que para que un sistema sea estable se requiere que ninguna de
las raíces de su ecuación característica tenga parte real positiva, la prueba de Routh es
bastante útil para determinar la estabilidad.
Con la disponibilidad que se tiene actualmente de programas de computadora para
encontrar las raíces de los polinomios, la prueba de Routh no sería útil si el problema fuera
exclusivamente encontrar si un lazo de realimentación es estable o no, una vez que se
especifican todos los parámetros del circuito; sin embargo, el problema más importante es
determinar los límites de un parámetro específico del circuito –generalmente la ganancia
del controlador- dentro de los cuales el circuito es estable, y la prueba de Routh es de lo
más útil para resolver dicho problema.
El procedimiento para efectuar la prueba de Routh se presenta en la ecuación (1-29);
dado un polinomio de grado n:
n
n -1
1
a n s + a n-1 s + . . . . + a1 s + a 0 = 0
(1.29)
Donde an, an-1, . . . ., a1, a0 son los coeficientes del polinomio; se debe determinar cuántas
raíces tienen parte real positiva.
Para realizar la prueba, primero se debe preparar el siguiente arreglo:
Fila 1
Fila 2
Fila 3
Fila 4
.
.
.
Fila n
Fila n+1
an
an-1
b1
c1
an-2
an-3
b2
c2
an-4
an-5
b3
c3
……..
……..
……..
……..
a1
a0
0
0
0
0
0
0
d1
e1
d2
0
0
0
……..
……..
0
0
0
0
En el cual los datos de la fila 3 a la n+1 se calculan mediante:
b=
a a
n -1
n -2
1
c=
1
a
ba
1
n -3
- a n a n -3
b
2
= a n -1 a n -4
a
n -1
- a n -1 b2
b
,
1
,
c
2
= b1 a n -5
- a n a n -5
n -1
- a n -1 b3
b
, ………..
, ………….
1
Y así sucesivamente, el proceso continúa hasta que todos los términos nuevos sean
cero. Una vez que se completa el arreglo, se puede determinar el número de raíces con parte
real positiva del polinomio, mediante el conteo de la cantidad de cambios de signo en la
columna extrema izquierda del arreglo; en otras palabras, para que todas las raíces del
polinomio estén en el plano “s” izquierdo, todos los términos en la columna izquierda del
arreglo deben tener el mismo signo.
1.12 FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE LAZO ABIERTO Y DE LAZO
CERRADO
La figura 1.13, muestra el diagrama de bloques general de un lazo de control de
retroalimentación, en el cual el proceso tiene una función de transferencia Gp(s); la válvula
de control, una función de transferencia Gv(s); el controlador, una función de transferencia
Gc(s); y el transductor/transmisor, una función de transferencia H(s).
L(s)
U(s)
Gl (s)
Va(s)
e(s)
+
m(s)
Gc (s)
+
F(s)
Gv (s)
+
Gp (s)
C(s)
O(s)
H(s)
Figura 1.13. Diagrama de Bloques General de un Lazo de Control por Retroalimentación.
La función de transferencia Gp(s) relaciona a la variable controlada C(s) con la
variable manipulada F(s). En tanto que la función de transferencia Gl(s) relaciona la
variable controlada C(s) con la variable de perturbación L(s). Estas dos son las funciones de
transferencia de lazo abierto del proceso. En lazo abierto (cuando no hay control), la
respuesta del proceso depende solamente de Gp(s) y de Gl(s).
Sin embargo, en lazo cerrado, cuando el proceso opera con un sistema de control
automático como el descrito en la figura 1.13, la respuesta del proceso depende de todas las
funciones de transferencia que intervienen en el lazo de control. La función de transferencia
de lazo cerrado (para cambios en el valor deseado) C(s)/Va(s), se puede determinar a partir
del diagrama de bloques de la figura 1.13, utilizando la siguiente relación:
C (s ) = Gp(s ) ⋅ F (s ) + G1 (s ) ⋅ L(s )
(1.30)
Si no se presentan cambios en L(s) se obtiene que:
Si no se presentan cambios en L(s) se obtiene que:
C (s ) = Gp(s ) ⋅ F (s )
(1.31)
Ya que U(s) = Gl(s).L(s) = 0.
Seguidamente del diagrama de bloques, se puede obtener:
C (s ) = Gp(s ) ⋅ F (s )
F (s ) = Gv(s ) ⋅ m(s )
m(s ) = Gc(s ) ⋅ e(s )
e(s ) = Va(s ) − O(s )
O(s ) = H (s ) ⋅ C (s )
Resolviendo para hallar la función de transferencia
C (s )
Gp(s ) ⋅ Gv(s ) ⋅ Gc(s )
=
Va(s ) 1 + Gp(s ) ⋅ Gv(s ) ⋅ Gc(s ) ⋅ H (s )
(1.32)
(1.33)
(1.34)
(1.35)
(1.36)
C (s )
, se tiene:
Va(s )
(1.37)
La función de transferencia de lazo cerrado, con respecto a la variable de perturbación L(s),
C(s)/L(s), se determina también a partir del diagrama de bloques de la figura 1.13, de la
siguiente manera:
C (s ) = Gp(s ) ⋅ F (s ) + G1 (s ) ⋅ L(s ) = Gp(s ) ⋅ Gv(s ) ⋅ Gc(s )[Va(s ) − H (s ) ⋅ C (s )] + G1 (s ) ⋅ L(s )
sin cambios en Va(s), es decir, Va(s) = 0, la ecuación resulta:
C (s ) = −Gp(s ) ⋅ Gv(s ) ⋅ Gc(s ) ⋅ H (s ) ⋅ C (s ) + G1 (s ) ⋅ L(s )
hallando C(s)/L(s) se tiene:
G1 (s )
C (s )
=
L(s ) 1 + Gp(s ) ⋅ Gv(s ) ⋅ Gc(s ) ⋅ H (s )
(1.38)
Siendo el denominador de la ecuación 1.38 la ecuación característica del sistema de control.