CONDENSADORES Y CAPACITORES

CONDENSADORES Y CAPACITORES
En el presente capítulo nos preparamos a estudiar unos dispositivos que se han revelado como fundamentales
en electricidad:
LOS CAPACITORES
Los capacitores son dispositivos que son capaces de almacenar energía eléctrica en forma de campo eléctrico.
Para constituir uno de tales dispositivos, es necesario poner en el espacio un conjunto cualquiera de cuerpos
conductores cargados en donde al menos uno de esos cuerpos metálicos cargados tiene carga diferente a los
otros.
El número de cuerpos cargados que pueden constituir el arreglo compuesto para formar ese dispositivo es un
mínimo de dos.
En la figura se representa un arreglo de este tipo:
En ella se representan 3 cuerpos conductores con carga positiva y uno con carga negativa, uno de tales
arreglos cumple con la definición de capacitor.
La meta es conocer el campo eléctrico del sistema, en cuyo caso se dice que se conocen todas las
características del capacitor.
Una constante importante de cada uno de esos arreglos generalizados es la constante física sociada al sistema
y que sólo depende de la geometría de los cuerpos y su colocación entre ellos, y se denomina
CAPACITANCIA del capacitor.
Por el momento no estaremos interesados en el cálculo generalizado de la capacitancia, en su lugar, la
calcularemos para casos particulares denominados condensadores .
A los cuerpos conductores que componen un capacitor se les da el nombre genérico de "placas". Esas
"placas", están elevadas aun cierto valor de potencial (recordar que un cuerpo metálico cargado se convierte
en una zona de potencial constante y por ello todos sus puntos tienen el mismo potencial).
El primer elemento clásico por estudiar será el conocido CONDENSADOR DE PLACAS PARALELAS.
Entre ellos, está el CONDENSADOR DE PLACAS PLANAS PARALELAS , una representación de uno de
ellos es la dada en la figura siguiente:
En la figura se representa un condensador real, no obstante, para ser estudiado, nuestro modelo (ideal), de ese
condensador debe cumplir ciertas restricciones:
El condensador debe tener un área "A" cuya dimensión debe ser muy grande comparada con las
dimensiones de la separación "d" entre las placas.
La anterior condición es necesaria para poder despreciar fundamentalmente, el "efecto de bordes", en el cual
el campo eléctrico forma líneas de Fuerza que salen por los bordes del capacitor, provocando una desviación
del vector de intensidad de campo eléctrico e indicando que parte de la energía almacenada se "desborde" por
los extremos de las placas del capacitor, (ver figura siguiente).
Para permitir que el efecto de bordes sea despreciable, debemos obligar al capacitor a tener una relación de
dimensiones Area de placas-espacio entre ellas, como la indicada, (al menos como una buena aproximación).
Las placas se asocian con los valores Va y Vb, porque como indicamos anteriormente, cada conductor que
constituye una de las placas del capacitor, se eleva a un cierto potencial con tan sólo cargarlo.
En la figura siguiente se representa el campo eléctrico en el condensador que estamos estudiando, se exagera
la distancia "d" de separación entre las placas del condensador para representar las superficies gaussianas de
exploración.
El condensador de placas paralelas tiene un campo eléctrico entre sus placas tal que, el vector de intensidad de
campo eléctrico es uniforme.
Para demostrarlo, es necesario aplicar el Teorema de Gauss al interior del condensador como se muestra en la
figura siguiente:
En la figura, se observan dos cajitas de píldoras como superficies gaussianas de exploración, para evaluar el
Campo eléctrico dentro del condensador.
En cada una de ellas, hay una tapa cuyo vector de intensidad de campo eléctrico es cero, para la cajita en la
placa positiva, la tapita sin campo es la izquierda, que está más allá de la placa, y no hay campo debido a que
la densidad de carga + σ está sobre la superficie interna de la placa, y por ello en el interior de la placa el
campo es nulo y evidentemente más a la izquierda de la placa (fuera de esta última), el campo también es
cero. Simétricamente, se encuentra en la placa cargada negativamente, que la tapita con vector de intensidad
de campo eléctrico nulo es la de la derecha porque la densidad de carga − σ se encuentra sobre la superficie
izquierda de la placa cargada negativamente, y por los mismos razonamientos anteriores, fuera y a la derecha
de esa placa, el campo es cero.
Para la cajita de píldoras izquierda (sobre la placa de carga positiva), la tapa con campo eléctrico presenta un
vector de intensidad de campo eléctrico paralelo y con mismo sentido que la diferencial de superfice, como lo
muestra la figura siguiente:
Mientras que para la cajita de píldoras sobre la placa negativa, la tapa con campo tiene la propiedad de que el
vector de intensidad de campo eléctrico es antiparalelo al vector de diferencial de superficie.
Para la cajita sobre la placa positiva, el vector de campo eléctrico E3 es nulo. Mientras que E4, es
perpendicualr a la diferencial de superficie.
Por su parte, la cajita para la placa negativa, tiene nulo el vector E4, y el vector E3 es perpendicular a la
diferencial se superficie.
Al aplicar el Teorema de Gauss a ambas superficies gaussianas, para la integral de flujo tenemos:
r r r r r r r r r r
∫ E ⋅ dS = ∫ E ⋅ dS + ∫ E ⋅ dS + ∫ E ⋅ dS + ∫ E ⋅ dS
cajita de
píldoras
izquierda
S1
S2
S3
S4
que se convierte en
r
r r
r r
r r r r
∫ E ⋅ dS = ∫ 0 dS cos(0°) + ∫ E dS cos(0°) + ∫ 0 dS cos(90°) + ∫ E ⋅ dS
cajita de
píldoras
izquierda
S1
S2
S3
S4
que se reduce a:
r r
r r
∫ E ⋅ dS = ∫ 0 dS + ∫ E dS + ∫ 0 + ∫ E dS
cajita de
píldoras
izquierda
S1
que finalmente da como resultado:
S2
S3
cos(90°)
S4
r r
∫ E ⋅ dS = E ∆S + 0 + 0 + 0 = E ∆S
cajita de
píldoras
izquierda
La distribución de carga eléctricas en la placa positiva del condensador la supondremos uniforme por ser muy
grande y considerarse como aproximada al infinito, en consecuencia la densidad de carga superficial sobre la
placa ( ideal ), es constante y de nueva cuenta la carga q encerrada en la cajita de píldoras tiene el valor:
q = + σ ∆S
así que la aplicación del teorema de Gauss nos permite escribir:
r r
+σ ∆S
E
d
S
E
S
⋅
=
∆
=
∫
ε0
cajita de
píldoras
izquierda
eliminado
∆ S tenemos la expresión de la magnitud del campo eléctrico:
E =
σ
ε0
Si la carga que se distribuye en cada placa del condensador tiene el valor Q, y como su área es A, entonces la
densidad superficial de carga uniformemente distribuida en la placa positiva es:
σ =
Q
A
en consecuencia, el vector de intensidad de campo eléctrico tiene la magnitud:
E =
σ
Q
=
ε0 ε0 A
Desarrollando los mismos pasos que anteriormente, pero ahora con la caja de píldoras sobre la placa negativa,
tenemos:
r r r r r r r r r r
∫ E ⋅ d S = ∫ E ⋅ d S + ∫ E ⋅ dS + ∫ E ⋅ dS + ∫ E ⋅ dS
cajita de
píldoras
derecha
que se convierte en
S1
S2
S3
S4
r r
r r
r r
r r r r
∫ E ⋅ dS = ∫ E dS cos(180°) + ∫ 0 dS cos(0°) + ∫ E dS cos(90°) + ∫ 0 ⋅ dS
cajita de
píldoras
derecha
S1
S2
S3
S4
que se reduce a:
r r
r r
∫ E ⋅ dS = − ∫ E dS + ∫ 0 dS + ∫ 0 + ∫ 0 dS
cajita de
píldoras
derecha
S1
S2
S3
S4
que finalmente da como resultado:
r r
∫ E ⋅ dS = − E ∆S + 0 + 0 + 0 = − E ∆S
cajita de
píldoras
derecha
La distribución de carga eléctricas en la placa negativa al igual que en la placa positiva, tiene su densidad de
carga superficial constante y de nueva cuenta la carga q encerrada en la cajita de píldoras tiene el valor:
q = − σ ∆S
así que la aplicación del teorema de Gauss nos permite escribir:
r r
−σ ∆S
E
d
S
E
S
⋅
=
−
∆
=
∫
ε0
cajita de
píldoras
derecha
en consecuencia, el vector de intensidad de campo eléctrico tiene la magnitud:
E =
σ
Q
=
ε0 ε0 A
que coincide totalmente son el valor resultante por la aplicación del Teorema de Gauss para la otra caja de
píldoras sobre la placa positiva de carga.
Este resultado a todas luces interesante, nos permite concluír que el campo eléctrico dentro del condensador
es un CAMPO ELECTRICO UNIFORME, para el cual el vector de intensidad de campoe eléctrico tiene el
mismo valor para todos los puntos interiores del condensador.
Ese vector tiene la dirección perpendicular a las placas y con un sentido que va de la placa positiva a la
negativa, y coincide con la dirección y sentido en que sería empujada un "portador de carga positivo" o una
"carga de prueba positiva".
Para continuar desarrollando el análisis del condensador, es necesario obtener algunas conclusiones sobre los
CAMPOS ELECTRICOS UNIFORMES:
Un campo eléctrico uniforme, tiene líneas de fuerza rectilíneas, paralelas y espaciadas uniformemente, que
indican que el vector de intensidad de campo eléctrico tiene el mismo valor en todos los puntos del campo.
Las superficies equipotenciales del mismo, se obtienen al igualar al potencial eléctrico con una constante.
La figura siguiente representa uno de tales campos:
Para el campo eléctrico uniforme, en todos sus punto el vector de intensidad de campo eléctrico es dado por el
vector:
r
E = E1 iˆ + E2 ˆj + E3 kˆ
en consecuencia la ecuación
r
E = − ∇V
genera las 3 ecuaciones diferenciales siguientes:
E1 = −
∂V
∂V
∂V
; E2 = −
: E3 = −
∂x
∂y
∂z
las cuales al integrarse dan como resultado la función:
V ( x, y, z ) = E1 x + E2 y + E3 z + C
que al igualarse con una constante generan las ecuaciones de las superficies equipotenciales, que tienen la
forma analítica:
E1 x + E2 y + E3 z = constante
que son ecuaciones de planos en el espacio de tres dimensiones, esos planos son perpendiculares al vector
cuyas componentes rectangulares son
E1 ; E 2 ; E 3
es decir son perpendiculares precisamente al vector de intensidad de campo eléctrico:
r
E = E1 iˆ + E2 ˆj + E3 kˆ .
Para conocer el potencial en una superficie equipotencial, es necesario substituir las coordenadas de uno de
los puntos de ese plano en la función potencial. El único problema es que el potencial en un punto sólo se
conocerá con una constante indeterminada que puede evaluarse por una condición inicial sobre la ecuación
diferencial, lo cual no necesariamente es práctico.
Por lo anterior, como la constante es aditiva, recordar la forma funcional del potencial:
V ( x, y, z ) = E1 x + E2 y + E3 z + C
para este caso, sería muy práctico eliminarla si en lugar de buscar el potencial en un punto, encontramos la
diferencia de potencial entre dos puntos:
V ( xb , y b , z b ) − V ( x a , y a , z a ) =
= ( E1 xb + E 2 yb + E3 z b + C ) − ( E1 xa + E 2 y a + E3 z a + C ) =
= E1 ( xb − xa ) + E 2 ( yb − y a ) + E3 ( z b − z a ) =Vab
Observamos que la constante de integración indeterminada ha desaparecido, esto justifica porqué es buscado
mas a menudo la diferencia de potencial.
V ab = E1 ( x b − x a ) + E 2 ( y b − y a ) + E 3 ( z b − z a )
Calculemos ahora la diferencia de potencial entre las dos placas del "condensador de placas planas paralelas",
para ello, podemos suponer, sin perdida de generalidad, que las líneas de fuerza son paralelas al eje de las X,
mientras que la placa positiva presenta su cara cargada exáctamente en el origen del sistema coordenado.
La figura siguiente esquematiza el campo eléctrico y los parámetros que intervienen:
Para encontrar la diferencia de potencial entre la placa positiva y la negativa, debemos calcular:
V ( x b , y b , z b ) − V ( x a , y a , z a ) = E 1 x b − E1 x a = E1 ( x b − x a )
pero xb = d y xa = 0, entonces la diferencia de potencial es dada por:
V b − V a = E1 d
como la magnitud del vector de intensidad de campo eléctrico cumple:
r
E = E = E1
entonces la diferencia de potencial entre las placas del condensador es dada por la relación:
V = Vab = E d .
En consecuencia, como el campo eléctrico dentro del condensador tiene el valor:
E =
σ
Q
=
ε0 ε0 A
entonces la diferencia de potencial se puede expresar por:
V =E d =
Qd
.
ε0 A
Los condensadores de placas paralelas, y en general los capacitores de 2 placas, cumplen experimentalmente
que la diferencia de potencial "V" entre sus placas, y la magnitud de la carga "Q" que se deposita en cada una
de sus placas es proporcional es decir se tiene la proporción:
Q ∝V
A la constante de proporcionalidad "C" que convierte a esa proporción en una igualdad, se le denomina
"CONSTANTE DE CAPACIDAD DEL CAPACITOR" o simplemente CAPACITANCIA ,
De tal manera que la capacitancia cumple la ecuación:
Q =C V
A partir de la relación
V=
Qd
ε0 A
puede despejarse la carga y obtenemos:
Q=
εo A
d
V
Es evidente de esta expresión que la constante de capacidad o capacitancia del condensador de placas planas
paralelas es dado por:
C =
ε0 A
d
expresión que nos indica que la capacitancia es función de la geometría del capacitor, en este caso del área de
las placas y de la distancia de separación entre ellas, existiendo una constante de proporcionalidad entre
capacitancia y el cociente del área de las placas dividida por la distancia de separación y que es nada menos
que la permitividad del vacío.
Esta expresión es de vital importancia, ya que es la base de un experimento por medio del cual se puede
determinar la constante de permitividad del medio del que se rellena un condensador.
Cuando el condensador no se rellena con nada, sino que está al vacío, el cálculo de la Capacitancia de ese
condensador, aunado con el cálculo del cociente área dividida por la distancia entre placas, se puede graficar
y aplicando al diagrama de dispersión la estadística, puede encontrarse el valor de la constante de
permitividad en el vacío por medio del cálculo de la pendiente de la recta de mejor ajuste.
La figura siguiente presenta un posible diagrama de dispersión, obteniéndose la recta de mejor ajuste, cuya
pendiente calculada por regresión lineal, nos da el valor de la permitividad en el vacío:
En la figura se presentan la curva de ajuste, los parámetros medibles ( C, A y d), y el parámetro calculado por
ajuste ε 0 .
La permitividad es una constante asociada al medio en que se desarrollan los experimentos electrostáticos. En
particular, cuando un condensador de placas planas paralelas se rellena con un dieléctrico, la técnica anterior
sugiere la forma de medir la permitividad de cualquier medio. Lo único que hay que hacer es a diferentes
condensadores se les mide su capacitancia y sus respectivos valores de las relaciones
A
, una vez que se les
d
rellena con el material al que se desea medir su permitividad, y finalmente se realiza el análisis de datos para
efectuar la regresión lineal que determina el valor de la constante ε .
El trabajo de los Físicos experimentalistas, ha permitido obtener conclusiones interesantes sobre la
permitividad de los medios físicos:
La comparación por medio de cociente de la permitividad de un medio y la permitividad del vacío,
ε
ε0
una cantidad sin dimensiones que se denomina CONSTANTE DIELÉCTRICA DEL MATERIAL,
que permite escribir la relación:
donde
κ
κy
ε =κ ε 0
tiene la propiedad de tener siempre un valor que cumple la relación:
κ ≥1
algunos autores, denominan a esta constante con el nombre de PERMITIVIDAD RELATIVA ,
todo en electrónica, y entonces se tiene la relación:
ε =εr ε0
es
ε r ,sobre
La importancia del experimento descrito, consiste en que la permitividad de cualquier medio es medible por
medio de su uso:
Se diseñan distintos condensadores con áreas y distancias de separación diferentes, de tal manera que se
A
con valores distintos y en número suficiente para crear un diagrama de dispersión
d
A
estadísticamente adecuado entre C versus
, como se representó en la última figura.
d
obtienen relaciones
A continuación, se rellenan esos condensadores con el material al que se desea medir su permitividad,
enseguida se calculan los valores de la capacitancia de cada uno de esos condensadores.
El cálculo de esas capacitancias se realizaría por ejemplo, efectuando un experimento en el cual se busque el
diagrama de dispersión Q versus V, donde la capacitancia sería la pendiente de la recta de mejor ajuste de la
regresión lineal respectiva, es decir , se buscaría la realización del diagrama de dispersión de la figura
siguiente:
Con este tipo de técnica experimental sería posible calcular las permitividades de una serie de materiales,
naturalmente, el diseño de estos experimentos no es tan simplista, si se desea encontrar valores adecuados,
esos experimentos deben realizarse bajo condiciones muy especiales de aislamiento, presurización etc., en
consecuencia caen en dominio de experimentos de tecnología sofisticada, nosotros nos conformaremos con
saber que esos valores han sido calculados adecuadamente y a fin de cuentas podemos contar con ellos.
En este momento sería adecuado hablar de las unidades de CAPACIDAD de un condensador:
A partir de la relación entre carga adquirida por cada placa del condensador, la diferencia de potencial
aplicada a sus placas y la capacidad del mismo, es decir, usando la ecuación:
C =
Q
V
podemos definir las unidades de CAPACITANCIA:
Farad =
Coulomb
Volt
Para tener una idea del orden de magnitud de un Farad, hagamos el siguiente cálculo:
Supongamos un condensador con distancia de separación de 1 centímetro, es decir de 10-2 metros, con una
carga de 1 Coulomb en cada una de sus placas, y el cual se supone que tiene una capacidad de 1 Farad. Nos
preguntaremos del valor de su área:
Para ello utilizamos la ecuación que da el valor de la capacitancia de un condensador de placas paralelas:
C =
ε0 A
d
en ese caso, el área de las placas se calcula por medio de:
A=
C d
ε0
sustituyendo los valores numéricos tenemos:
m Coul 2
Coul
m
36 π
113.0973 × 10 7 newton m
(1 Farad ) ( 10 − 2 m)
Volt
A=
=
=
=
2
2
2
−7
−9
1
10
Coul
Coul
Coul
⎡10
⎤
36 π ⎥⎦ newton m 2
⎢⎣
m 2 newton
newton m 2
= 113.0973 × 10 7 m 2
Un área de esas dimensiones si se trata de un cuadrado, tiene una dimensión por lado dada por:
l = 33629.947 m
es decir, ¡una longitud de más de 33 Km !
Evidentemente uno de tales condensadores es difícil de construir, y en consecuencia un condensador de este
tipo es poco práctico, por esa razón, las unidades admitidas de capacidad son del orden de microfaradios,
picofaradios, nanofaradios, etc.
A partir de la ecuación fundamental de un condensador de placas planas paralelas, es posible encontrar otras
unidades de la constante de permitividad, es decir a partir de:
C =
ε0 A
d
[ε 0 ] =
Farad m Farad
=
m
m2
unidad completamente equivalente a la que habíamos visto anteriormente es decir:
[ε 0 ] =
Farad m Farad
Coul 2
=
=
.
m
m2
newton m 2
Existen otro tipo de condensadores fundamentales interesantes a analizar y ellos son el esférico y el cilíndrico.
CAPACITOR CILINDRICO DE PLACAS PLANAS PARALELAS
Este capacitor es construido con un conductor cilíndrico macizo rectilíneo, en el cual se deposita una carga
positiva Q, alrededor de él se coloca centrado su eje con el eje del conductor anterior, un conductor en forma
de cascarón cilíndrico y de radio mayor al del conductor central, con una carga -Q.
La longitud L de esos dos conductores se supondrá que es mucho mayor que el radio externo del conductor
cilíndrico hueco exterior, con la finalidad de evitar en lo más posible el efecto de bordes.
La Figura siguiente muestra una vista de una porción del condensador cilíndrico, así como una vista de
sección transversal mostrando los principales parámetros de estudio.
El vector de intensidad de campo eléctrico en este caso, tiene evidentemente simetría cilíndrica, es decir es
radial respecto al eje del cilíndro del conductor interior, y es constante sobre superficies cilíndricas centradas
en el eje del sistema.
En este caso, el vector de intensidad de campo eléctrico ya no es uniforme, él depende de la distancia
perpendicular del punto donde se evalúa al eje de simetría.
Lo primero por realizar es evaluar la diferencia de potencial entre las placas, para ello debemos evaluar
inicialmente el vector de intensidad de campo eléctrico, para ello utilizamos el Teorema de Gauss sobre una
superficie cilíndrica cuyo eje coincide con el eje del sistema.
La figura anterior representa la superficie gaussiana que encierra una porción de longitud "h" de la placa
interior del condensador.
Se representa en ella un elemento de superficie sobre la superficie Gaussiana, en él se representan además los
r
E
, y de diferencial de superficie
vectores de intensidad de campo eléctrico
todos los puntos sobre la superficie Gaussiana.
r
dS , que son paralelos en
La carga +Q depositada en la placa interior del condensador, tiene una densidad superficial de carga dada por:
σ =
Q
Q
=
area cilindro 2 π R L
donde L es la longitud total del condensador cilíndrico. Esa densidad superficial de carga es uniforme.
Efectuemos la integral de flujo sobre la superficie gaussiana de radio r:
En las tapas del cilindro gaussiano, los vectores de intensidad de campo eléctrico y los vectores de elemento
diferencial de superficie son claramente paralelos, por ello el producto escalar de esos vectores es cero sobre
las tapas de la superficie gaussiana.
Sólo queda calcular la integral de flujo sobre la parte redonda del cilindro, en la cual según la figura, los
vectores de intensidad de campo eléctrico y de elemento diferencial de superficie son paralelos. En este caso
se tiene:
r r
r
E ⋅ dS = E dS cos( 0°) = E dS
De tal manera que la integral de flujo sobre el cilindro gaussiano es dada por:
r r
r r
r r
⋅
E
d
S
=
E
⋅
d
S
+
E
∫
∫
∫ ⋅ dS
cilindro
gaussianao
sec ción
redonda
cilindro
sobre
las
tapas
al utilizar el argumento que en las tapas los vectores que se integran son perpendiculares, mientras que sobre
la superficie redonda son paralelos, tenemos:
r r
r r
E
d
S
=
E
dS
⋅
∫
∫
cilindro
gaussianao
cos(90°) +
r r
E
dS
∫
cos(0°)
sec ción
redonda
cilindro
sobre
las
tapas
de donde las integrales se convierten en:
r r
r r
E
d
S
=
0
+
E
dS
⋅
∫
∫
∫
cilindro
gaussianao
sobre
las
tapas
sec ción
redonda
cilindro
debido a la simetría cilíndrica del campo, sobre la parte redonda del cilindro la magnitud del vector de
intensidad de campo eléctrico, es constante, saliendo de la integral y dando el resultado:
r r
E
∫ ⋅ dS = ∫ 0 + E ∫ dS
cilindro
gaussianao
sobre
las
tapas
sec ción
redonda
cilindro
la segunda integral del miebro derecho de esta última ecuación es la integral que da e área de la parte redonda
del cilindro, en consecuencia, debido a que la superficie de integración tiene radio "r" y longitud "h", la
integral de flujo tiene el valor:
r r
∫ E ⋅ dS = 0 + E 2 π r h = E 2 π r h
cilindro
gaussianao
La carga total encerrada por el cilindro gaussiano es la carga que se distribuye sobre la sección de longitud
"h" de la placa cargada positivamente del condensador, la cual tiene radio R, por ello es la carga que se
distribuye en el área
2π R h
En consecuencia, la carga "q" encerrada por la superficie gaussiana, gracias a que la densidad superficial de
carga σ es constante, es dada por:
q = σ 2π R h =
Q h
Q
(2 π R h ) =
2π R L
L
Aplicando el Teorema de Gauss, obtenemos:
r r
Qh
π
E
d
S
E
r
h
⋅
=
2
=
∫
ε0 L
cilindro
gaussianao
A partir de esta última ecuación tenemos:
E=
Qh
Q
=
ε 0 L(2 π r h) 2 π ε 0 L r
Expresión que nos indica que el vector de intensidad de campo eléctrico tiene su magnitud dependiente
inversamente de el radio desde el eje de simetría.
En forma vectorial, el vector de intensidad e campo eléctrico puede escribirse como:
r
E =
Q
2π ε 0 L ρ
eˆρ
Procedamos a encontrar la diferencia de potencial entre las placas del condensador cilíndrico, en este caso,
A partir de la relación entre vector de intensidad de campo eléctrico y potencial eléctrico, es decir, tomando
en cuenta la expresión:
r
E = − ∇V
podemos obtener el potencial en cada punto del campo eléctrico dentro de las placas de nuestro condensador.
En coordenadas cilíndricas, el gradiente tiene la forma:
∇V =
∂V
1 ∂V
∂V
eˆρ +
eˆϕ +
eˆz
∂ρ
∂z
ρ ∂ϕ
Utilizando esta última ecuación y la expresión vectorial del campo dentro del condensador, tenemos:
r
E =
Q
2π ε 0 L ρ
eˆρ = −
∂V
∂V
1 ∂V
eˆ −
eˆ −
eˆ
ρ
ϕ
ρ ∂ϕ
∂z z
∂ρ
A partir de la igualdad de esos vectores, tenemos la relación:
Q
2π ε 0 L ρ
eˆρ = −
∂V
eˆ
∂ρ ρ
y en consecuencia tenemos la relación esclar:
Q
2π ε 0 L ρ
=−
∂V
∂ρ
Ecuación diferencial que se resuelve por integración directa:
V =−∫
Q dρ
Q
dρ
Q
ln ( ρ ) + C
=−
=−
∫
2π ε 0 L ρ
2π ε 0 L ρ
2π ε L
0
de tal manera que el potencial en cada punto de coordenada cilíndrica
V =−
Q
2π ε L
0
(ρ , ϕ , z ) , es dado por:
ln ( ρ ) + C
Nos interesa la diferencia de potencial entre las placas del condensador , por ello nos interesa la diferencia de
potencial
⎛
⎞ ⎛
⎞
Q
Q
ln ( R ) + C ⎟
V ab = Vb − V a = ⎜ −
ln (r ) + C ⎟ − ⎜ −
⎜ 2π ε L
⎟ ⎜ 2π ε L
⎟
1
0
0
⎝
⎠ ⎝
⎠
expresión que reduciendo algebraicamente se convierte en:
⎧⎛
⎞ ⎛
⎞⎫⎪
Q
Q
⎪⎜
⎟
⎜
ln (r ) + C −
ln ( R ) + C ⎟⎬
V ab = − ⎨
⎜ 2π ε L
⎟ ⎜ 2π ε L
⎟
1
⎪⎩⎝
0
0
⎠ ⎝
⎠⎪⎭
de donde:
⎧⎛
r1 ⎞⎟ ⎫⎪
Q
⎪⎜
Vab = − ⎨
ln ( ) ⎬
⎜ 2π ε L
R ⎟⎪
⎪⎩⎝
0
⎠⎭
Nos interesa de la diferencia de potencial, no su valor en sí, sino su valor absoluto, por ello tomaremos como
valor de la diferencia del potencial que:
⎧⎛
r1 ⎞⎟ ⎫⎪
Q
⎪⎜
ln ( ) ⎬
V =⎨
⎜
R ⎟⎪
⎪⎩⎝ 2 π ε 0 L
⎠⎭
utilizando la relación fundamental de los capacitores,
Q =C V
podemos escribir:
⎡ Q
r ⎤
Q =C ⎢
ln ( 1 )⎥
R ⎥
⎢⎣ 2 π ε 0 L
⎦
eliminando Q, obtenemos:
C =
2π ε 0 L
⎛r ⎞
ln⎜ 1 ⎟
⎝R⎠
expresión que nos da el valor de la capacidad de un capacitor ciliíndrico de placas paralelas.