8. SOLUCIÓN DE EJERCICIOS

8. SOLUCIÓN DE EJERCICIOS
8.1. TEORÍA DE LA DEMANDA (D)
Solución: ejercicio D.1
4.1. La utilidad marginal de un bien se obtiene derivando la función de
utilidad respecto a ese bien.
UMgX = 8U
8x = 2XY2
UM9y = SU
SY-=2X2Y
La tasa marginal de sustitución del bien Y respecto del bien X se obtiene del cociente de las utilidades marginales de estos bienes.
TMSx =
2XY2 Y
y 2X2Y _ X
4.2. Si U = 1,000,000, entonces, 1,000,000 = X2 Y2
U = 1,000 =XY
Y= 1,000/X
Si U = 1,210,000, entonces, 1,210,000 = X2 Y2
U=1,100=XY
Y= 1,100/X
4.3. La ecuación de la recta presupuestaria se deriva de la ecuación de la
restricción del ingreso del consumidor, IT= P.X+ P, Y, despejando Y Y=
(1 / P) IT- (P.l P) X. Para P = $10, P = $5 e IT- $500, esta ecuación
resulta en:
Y=(1 /5)*500-(10/5)X
Y= 100-2X
170
8. Solución de ejercicios
171
Ésta es una línea recta con pendiente -2, cortando al eje que se presenta
el bien Yen IT/ P = $500 / $5 =100, y el eje de Yen -[TI P = $500 / $10 = 50.
4.4. Siendo la condición de equilibrio : EMS , = Y/ X= P / P entonces,
YPY
= XP
x
Sustituyendo la relación anterior en la ecuación de presupuesto, obtenemos las cantidades de ambos bienes que maximizan la utilidad del
consumidor:
+ XP
ir= XPX
X
IT=2(XP)
X=IT/(2P)= 500/(2 * 10)=25
IT= YP + YP
IT= 2 (YP )
Y=IT/(2P)
Y= 500 / (2 * 5) = 50
Sustituyendo las cantidades de equilibrio en la función de utilidad,
obtenemos el nivel de utilidad correspondiente:
U= 252 * 502
U= 625 * 2,500 = 1,562,500
4.5. Siendo la ecuación de la recta de presupuesto IT=XP + YP, para P = $5,
P= $5 eIT= $500, obtenemos la ecuación de la nueva recta dé presupuesto:
500 =5X+5 Y
Y=500/5-5/5X
Y= 100 - X
si X= 0, entonces Y= 100
si Y= 0, entonces X= 100
Al sustituir la condición de equilibrio YP =XP y los precios e ingreso
en la ecuación de presupuesto , obtenemos las nuevas cantidades que
maximizan la utilidad del consumidor:
172 Mario Capdevielle y Mario L. Robles Báez
IT= XPx
+ XP
x
IT=2(XP)
X= IT/ (2 P) = 5001
(2 * 5) = 50
IT= YP '+ YP
Y
IT= 2 (YP )
Y=IT/(2P,)=500/( 2 *5)=50
Sustituyendo las nuevas cantidades de equilibrio en la función de utilidad, obtenemos el nivel de utilidad correspondiente:
U= 502 * 502 = 2,500 * 2,500 = 6,250,000
4.6. El efecto total es la variación de la cantidad consumida de un bien
ante cambios en el precio del mismo.
ET= 50 - 25 = 25
El efecto sustitución es la variación de la cantidad consumida del bien
ante cambios en el precio del mismo, pero manteniendo el nivel de
ingreso real del consumidor, o sea, igual nivel de satisfacción.
El efecto ingreso representa la variación en la cantidad consumida por
un cambio en el ingreso real del individuo.
Sustituyendo la condición de equilibrio para Px= $5, P j,= $5, X= Y en
la ecuación de la curva de indiferencia que corresponde a la primera
situación, U= 1,562,500 = X2 Y2, se obtienen las nuevas cantidades de
los bienes respectivos como sigue:
1,562,500 =X2 X2 =X4
X= 35.3553
1,562500 = Y2 72 = Y4
Y= 35.3553
173
8. Solución de ejercicios
Con la información anterior podernos calcular los efectos sustitución e
ingreso cuando el precio del bien X pasa de P = $10 a P = $5:
ES= (B-Á) = 35.3553 - 25 = 10.3553
EI= (C- B) = 50 - 35 . 3553 = 14.6446
ET= (C-A) = 25
4.7.
125 -,
FIGURA 1.4: LÍNEA PRECIO-CONSUMO Y LOS EFECTOS
SUSTITUCIÓN, INGRESO Y TOTAL
0
0 25 33.35
A B
50
C
75
x
100
174 Mario Capdevielle y Mario L. Robles Báez
Solución: ejercicio D.5
Las fórmulas de las elasticidades -arco de la demanda son
Elasticidad-arco precio = e = SQ / SP * ((Po + P,) l (Q0 + Q,))
Elasticidad-arco ingreso = e, = SQ / SI * ((o + I) / (Q3 + Q,»
o +bPln)
Elasticidad -arco cruzada = e b = SQ l SPb * ((P
(QqQo
o + n))
Elasticidades-arco precio de la demanda:
e_q(to- t,)=(-0.5/-1)*(17/11 .5)=0.74
A es inelástico respecto a su precio
e_b (tO-t2)=(-1.5/-3)* (27 / 8.6) = 1.67
B es elástico respecto a su precio
Elasticidades -arco ingreso de la demanda:
el-,
(t. - t3) = (0.5 / -5,000) * (11 ,000 / 11 . 5) _ -0.1
A es un bien inferior en (t0 - t3)
efb (tO - t6) = (-0.4 / -5,000) * (11,000 / 6.6) = 0.133
B es un bien normal y necesario en (t,, - t6)
Elasticidades -arco cruzadas de la demanda:
e-b(t0-t4(0.5/7 ) * (37/ 11.5)=0.23
A es sustituto de B en (t0 - t4)
eb_q(tO-t5)=(1.6/9) * (27/8.6)=0.56
B es sustituto de A en (t0 •- t5)
8. Solución de ejercicios
175
8.2. TEORÍA DE LA PRODUCCIÓN (P)
Solución: ejercicio P.4
4.1. Ésta es una función de producción homogénea porque es posible multiplicar por una constante cada uno de sus factores variables y despejar
tal multiplicador.
X=10K U4L114
X*=10(cpK)V4«pL)114=lo(p1/2K114L1/4_(p112X
4.2. Esta función tiene rendimientos decrecientes a escala por la suma de
los exponentes de los factores Y= (1/4 + 1/4) = 1/2 < 1, lo que implica
que un incremento de ambos factores en una cantidad dada e igual
para ambos aumentará la producción en forma menos que proporcional
a ese incremento.
I/4 1/4
4.3.
PMeL =
L =10K1/4
L
l OK
L 3/4
I/4
PMeK = lOK
K
LV4
= lOK-
3/4I/4
PMgL = S = 2.5K1 /4L 3/4 = (PMeL)
PMgK = SK = 2.5K- 3/4L1/4 = (PMeK)
4.4. El producto marginal de cualquier factor de producción es igual al
producto medio de ese factor multiplicado por el exponente de ese
factor en la función de producción.
PMgL 2.5K1/4L 3/4
TMgTKI = =
314L1/4
PMgK 2.5K
K
L
La tasa marginal de sustitución del capital por el trabajo representa la
cantidad de insumo capital que puede ser sustituido si se emplea una
176 Mario Capdevielle y Mario L. Robles Báez
unidad adicional de insumo trabajo tal que el volumen físico del producto total no se altere.
4.5. La condición de equilibrio es TMgSTK, = w / r
K= 1 / 3 L; o bien
L=3K
4.6. Sabemos que las funciones de costo son funciones derivadas que se deducen de la función de producción. De aquí que las funciones de costo
se tengan que expresar en términos de la de producción. Empezamos
por reemplazar los precios de los factores w = 1 y r= 3 en la restricción
de costos:
CT= wL+rK=L+3K
Al sustituir la condición de equilibrio en la ecuación anterior , obtenemos:
CT= (1 / 3 L) 3 + L = 2L
CT
L=2
CT= K3 + (3K) = 6K
K=
CT
6
Al sustituir L y Ken la función de producción, X= 10 K14 L 14, obtenemos
la función de costo total y, a partir de esta última, las otras funciones
de costos:
X= 10 K14L14= 10 (CT/ 6)"4 (CT/2)"4 = 10(1/
X= 10 (0.639) (0.841 ) CT 12 = 5.373 C7111
6)"4
(1 /
Costo total = CT= (XI 5. 373)2 = (0.186 X)2 = 0.0346 X22
Costo medio total = CMeT = CT = 0.0346X
X
S
Costo marginal = CMg = CT = 0.0693X
2)"4
CT "2
S. Solución de ejercicios 177
Todos los costos son crecientes . Los costos marginales son siempre
mayores que los costos medios. La situación es de largo plazo dado
que todos los factores son variables , existiendo rendimientos
decrecientes a escala o, lo que es lo mismo, costos medios crecientes
a largo plazo.
4.7. Al considerar que uno de los factores es constante , K=100, nos encontramos en una situación de corto plazo . Al igual que en la situación anterior,
debemos deducir la función de costos a partir de la de producción. Al
reemplazar w= 1 , r= 3 y K= 100 en la ecuación de costos, obtenemos:
CT=100r+Lw=300+L
L= CT-300
Al reemplazar L y Ken la función de producción obtenemos la función de costos totales y, a partir de esta última, todas las otras funciones de costos:
X= 10 K114L114 = 10(100)114L1,4=31.6227L'"4
L = (X/31.6227)4 = X
10
4
L=CT-300= 1-X0-,
Costo total = CT = 300 +
Xa
106
Costo fijo total = CFT= 300
a
Costo variable total = CVT = -X-
106
CT
300
X3
Costo medio total = CMeT = = - - + - - X X 106
Costo medio fijo = CMeF =
CFT
X
300
X
178 Mario Capdevielle y Mario L. Robles Báez
Costo medio variable = CMeV CVT
=X
Costo marginal = CMg =
X3
10`
T 4 x3
10,
Los costos fijos medios disminuyen cuando aumenta la producción. Los
costos medios totales disminuyen para luego incrementarse a partir del
punto mínimo. Los restantes costos se incrementan. La situación es de
corto plazo porque existe un factor fijo que implica costos fijos y, dado
que la función de producción presenta rendimientos decrecientes a escala en el largo plazo, éstos se suman al efecto de proporciones variables
en el corto plazo.
Solución: ejercicio P.5
5.1. El producto medio de un factor de producción es el volumen físico
total producido entre la cantidad empleada de un factor dado. Hay
tantos productos medios como factores se emplean en la producción.
El producto marginal de un factor de producción es el cambio resultante del volumen físico de la producción como consecuencia de la
última unidad empleada del factor considerado, suponiendo que el
factor es perfectamente divisible, que esta última unidad es muy pequeña y que todos los demás factores se mantienen constantes.
PMeL = X = 10L I/4K1/2
L
PMeK = Y =10L34K-i/2
K
PMgL = SL = 7.5Li/4KVV2 = 3/4 PMeL
PMgK = 95X =5L3'4K-''2 =1/2PMeK
S. Solución de ejercicios
179
5.2. La tasa marginal de sustitución técnica del capital por el trabajo representa la cantidad del insumo capital que puede ser sustituido al
emplearse una unidad adicional del insumo trabajo tal que el volumen físico del producto total elaborado no se altere.
TMgSTK, z. =
PMg L _ 7.5L',14K1/2
4 -1/2
PMgK 5 r1 K
TMgSTK,L =1.5
L
5.3. Los rendimientos a escala que tiene la función de producción son:
3/4 + 1/2 = 5/4 = 1.25 > 1: rendimientos crecientes a escala.
5.4.a. La ecuación general de las isocuantas se obtiene despejando Xde la
314 X 112:
función de producción dada, X= 10 L
K1/2X
2
K = (X/10Ly4)2 = X
l Oorl2
K = O.^1Xz
= 0.01X2L 3/2
5.4.b. Para X= 100, la ecuación de la isocuanta es
KK=loo = 0.01(100)2L 3/2 =100L 3/2 = 100
L
Para X= 200, la ecuación es
=
KK-200 = 0.01 (200) 2 E3 2 = 400E 33 2
400
Para X= 300, la ecuación es
=
Kx=3 = 0.01(300) 2L3^2 = 900L332
900
L3 2
180
Mario Capdevielle y Mario L. Robles Báez
Para graficarlas tomaremos los siguientes valores de L.L
1.000
5.000
6.310
10.000
10.986
15.000
15.195
20.000
25.000
30.000
35.000
40.000
45.000
50.000
100.000
K,=100
100.000
8.944
6.310
3.162
K=200
400.000
35.777
K=300
900.000
80.498
12.649
10.986
6.885
28.460
1.721
15.492
15,195
10.062
7.200
5.477
4.346
3.557
2.985
2.545
0.900
4.472
1.118
0.800
3.200
2.434
1.932
1.581
1.325
1.313
0.400
0.608
0.483
0.395
0.331
0.283
0.100
FIGURA 1.5: ISOCUANTAS (NIVELES X= 100, 200 Y 900)
100
X= 100
20
0
20
40
L
60
181
S. Solución de ejercicios
5.5. La curva de isocosto es el lugar geométrico de todas las combinaciones de factores que la empresa puede comprar con un determinado
desembolso monetario.
Siendo los precios de los factores w = $1.5 y r = $1 , la función de
isocosto es:
CT=wL+r K=1.5L+K
K=CT-1.5L
FIGURA 1.1: OFERTA Y DEMANDA DE LA INDUSTRIA
200 i
5.6.a. Las cantidades de los factores que representan la combinación óptima (el equilibrio de la empresa), para cualquier nivel de producción,
se obtienen a partir de la condición de equilibrio:
182
Mario Capdevielle y Mario L. Robles Báez
TMgSTK ,
PMgL
PMgK
w
r
K- 1.5
1
TMgSTK , =1.5=
K=L
Al reemplazar cada uno de los niveles de producción y la condición
de equilibrio en la función de producción, X=10 L 3/4 K'/2, obtenemos
las cantidades óptimas de los factores para cada uno de los niveles
mencionados:
Para X= 100: 100 = 10 LK3/4 K " 2 = 10 K5/4
10 = Á'1/4
K= 104'5
K= 6.3095; dado que K= L, entonces,
L = 6.3095
Comprobación: 100 = 10 (6.3095)3'4 (6.3095)12
100 = 10 (3.9810) (2.5118)
Para X= 200: 200 = 10 K3/4 K 112 = 10 K5/4
20 =K5'4
K= 204/5
K= 10.9856; dado que K= L, entonces,
L = 10.9856
Comprobación: 200 = 10 (10.9856)3'4 (10.9856)'/2
200 = 10 (6.0341) (3.3144)
Para X=300: 300 = 10K3/4K"2= 10K5'4
30 = K5/4
K= 304/5
K= 15.1948; dado que K= L, entonces,
L = 15.1948
S. Solución de ejercicios 183
Comprobación: 300 = 10 (15.1948)'4 (15.1948)"2
300 = 10 (7.6961) (3.8980)
5.6.b. Siendo la ecuación de costos CT= wL + rKy los precios de los factores
w= 1.5 y r= 1, los niveles de costo para X= 100, 200 y 300 son:
Para X= 100:
CT= 1.5 (6.3095) + 6.3095 = 15. 7739
Para X= 200:
CT= 1.5 (10.9856) + 10.9856 = 27.4640
Para X= 300:
CT= 1.5 (15.1948) + 15.1948 = 37.9871
5.6.c.
-------------------------------------- ------------- - -- - --- -------------
---------------
FIGURA 3.5: EQUILIBRIO DE LA EMPRESA
Y SENDERO DE EXPANSIÓN
0 6.31 10.98 15.19 20
L
40
Mario Capdevielle y Mario L. Robles Báez
184
5.7. Sustituyendo la condición de equilibrio , Á'= L, y los precios de los
factores, ) r = 1.5 y r = 1, en la ecuación de costos, obtenemos:
CT=1.5L+L=2.5L
I- - ,'7/
' 2.5
CT 1.5K+K=2.5K
K= ú7/2.5
Reemplazando esta relación en la función de producción obtenemos
la función de costos totales y, a partir de ésta, podemos obtener las
otras funciones:
,I' =- 10 (CT/ 2.5)3/4 (CT/ 15)'/` = 10 (CT/ 2.5)5'-0 = 10 (1 /
= 10 (0.4)5`4 CT 5'4
2.5)51
CT514
X= 10(0.3181)CT5`4=3.1810C-Ts/4
CT= (X;3.1810)4r5=
X4`
2.5238
Costo total = CT= 0.3962 X4'5
Costo medio total = CMeT = CT _ 0.3962X4 5 = 0.3962X J5
X x
Costo marginal = CMg = SC T = 4/5(0.3962)X-1i5 =0.3169X_`3
Los costos medios totales y marginales son decrecientes, reflejando
una situación de largo plazo con rendimientos crecientes a escala.
5.8. Para los niveles de producción X= 0, X= 100, X= 200 y ,Y= 300, los
costos totales, costos medios totales y costos marginales son:
X
0
100
200
300
CT
0
15.774
27. 464
37. 987
CMeT
00
CMg
00
0. 1577
0.1373
0.1266
0.1262
0.1098
0.1013
185
8. Solución de ejercicios
5.9. Suponiendo que Kes fijo y es = 6.30957344 , las cantidades del factor
trabajo que se requerirían para los niveles de producción X= 100, X=
200 y X= 300 se obtienen de la siguiente manera:
Para X= 100
X= 100 = 10 L 314 (6.30957344Y11 = 25.1188 L
L^ 4
314
= _ 100 = 3.9810
25.1188
L = 3.98104'3 = 6.30957344
Para X= 200
X= 200 = 10 L 314 (6.30957344)"2 = 25.1188 L 314
L 14 =
200 _ _ = 7.9621
25.1188
L = 7.96214/3 = 15.90
Para X= 300
X= 300 = 10 L 314 (6.30957344) 112 = 25.1188 L 3^4
L314 _ 300 =11.9432
25.1188
L = 11.94324'3 = 27.30
Mario Capdevielle y Mario L. Robles Báez
186
FIGURA 4.5: EQUILIBRIO DE LA EMPRESA: CASO KF= 6.039
(NIVELES: X= 100, 200 Y 300)
X= 100 X= 200
20
X= 300
K 10
KF= 6.369
0 6.309
15.90
20
27.30
40
L
5.10. Dado que K= 6.30957344 es constante, la situación corresponde al
corto plazo. Las funciones de costo total, costo fijo total, costo variable total, costo medio total, costo medio fijo, costo medio variable y
costo marginal se obtienen de la siguiente manera:
Primero, sustituimos los valores de w, ry Ken la ecuación de costos:
CT= 1.5 L + 6.30957344
L = CT/ 1.5 - 6.30957344 / 1.5 = 0.6666 CT- 4.2063
Segundo, reemplazando L y Ken la función de producción, X= 10 L 31
K 12, obtenemos:
X= 10 (0.6666 CT- 4.2063 )3'4 (6.3095)12
S. Solución de ejercicios
187
X= 25.1188 (0.6666 CT- 4.2063)314
x
= (0.6666 CT- 4.2063)3/4
25.1188
(X/ 25.1188)413 = 0.6666 C- 4.2063
CT =
(X/25.1188)4/'+4.2063 (0.0398X)43
_ ----- +6.3095
0.6666 0.6666
Costo total = CT= 0.0203 ~y 411 + 6.3095
Costo fijo total = CFT= 6.3095
Costo variable total = CVT= 0.0203 X413
0.0203 X4j1 + 6.3095
- 0.0203X u3 + 6.3095X-'
Costo medio total =
X
Costo medio fijo = CMeF= 6.3095 X-'
Costo medio variable = CMeF= 0.0203 X113
Costo marginal = CMg= 1.3333 (0.0203 ) X 113 = 0.0271 X113
8.3. TEORÍA TRADICIONAL DE COSTOS (C)
Solución: ejercicio C.3
3.1. Dada la función de costo total CT= 1,000 + 250 ,Y- 5 X2 + 0.5 X3, las
funciones de costo medio total , costo medio variable, costo medio fijo
y costo marginal son
CMeT= 1,000 /X+250-5 X+0.5X2
CMeV=250-5X+0.5X2
CMeF= 1,000 / X
CMg=250-10X+1.5X2
Mario Capdevielle y Mario L. Robles Báez
188
3.2.
X
0.00
1.00
2.00
3.00
3.33
4.00
5.00
6.00
7.00
8.00
9.00
10.00
11.00
11.97
12.00
13.00
14.00
15.00
Cr
1,000 .0
1,245.0
1,484 . 0
1,718 . 5
1,796.3
1,952 . 0
2,187 . 5
2,428.0
2,676. 5
2 , 936.0
3 , 209.5 1
3 , 500.0
3,810 . 5
4 , 144.0
4,503.5
4 , 892.0
5 , 312.5
CFT
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
CYT
0.0
245.5
484 .0
718 . 5
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1 ,000
1,000
796 . 3
952.0
1 , 187.5
1 ,428.0
1,676 . 5
1 ,936.0
2 , 209.5
2 , 500.0
2 , 810.5
1,000
1,000
1 ,000
1,000
3 , 144.0
3 ,503.5
3 , 892.0
4,312 . 5
C11fef
1,245.50
742. 00
572.80
538.80
488.00
437 . 50
404 . 60
382 .40
367.00
356.60
350.00
346 .41
345.33
345.33
346.45
349 .40
354.16
CAfeK
250.0
245 . 5
242.0
239.5
C1IeF
1,000.0
500 . 0
333 . 3
238 . 8
238.0
237. 5
238.0
239 . 5
242.0
245 . 5
250.0
255.5
300.0
250 . 0
200 . 0
166.6
142 . 8
125.0
11.1.1
100.0
90.9
262.0
269 . 5
278 . 0
287 . 5
83.3
76.9
71.4
66.6
Cf
250.00
241.5
236.0
233.5
233.3
234.0
237.5
244.0
253.5
266.0
281.5
300.0
321.5
345.3
346.0
373.5
404.0
437.5
Los costos medios totales, medios variables y marginales mínimos se
obtienen derivando sus respectivas funciones e igualándolas a cero;
esto es,
8CMeT
=_1,000X-2-SX+X=1 , 000+5X2+X3=0
8X
BCMe v =_5 + X = 0
8X
BCM9 =-10+3X=0
8X
X=11.974
X= 5
X=3.333
189
S. Solución de ejercicios
3.3.
FIGURA 1.3: COSTOS TOTALES
3.33 5
0
10
11.97
15
X
FIGURA 2.3: COSTOS MEDIOS Y MARGINALES
1,000
CMe^ MeT
C 500
CMg
0 3.33 5
10
11.97
X
3.4. Los resultados se corresponden con lo señalado por la teoría. Los costos totales son siempre crecientes, por su componente variable. Los
costos medio total, medio variable y marginal tienen forma de U, decrecen para luego incrementarse debido a las proporciones variables
190
Mario Capdevielle y Mario L. Robles Báez
en el uso de los insumos, que denota la existencia de costos fijos. En su
punto mínimo los costos medios total y variable son iguales al costo marginal (por ser variables discretas, no es exacto en el caso del costo medio
total), mientras que el costo fijo medio decrece a lo largo de todos los
niveles de producción.
Solución: ejercicio C.4
4.1. y 4.2. De acuerdo con el cuadro de costos fijos y variables, los costos
totales, medios totales, medios fijos, medios variables y marginales
(definidos como el cambio del costo total por una unidad de producción adicional) son los siguientes:
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
CFT
60
60
60
60
60
60
60
60
60
CYT
0.0
30.0
40.0
45.0
50.0
60.0
75.0
97.5
140.0
CT
60.0
90.0
100.0
105.0
110.0
120.0
135.0
157.5
200.0
CMeF
60.0
30.0
20.0
CMeY
0.00
30.00
20.00
15.00
15.0
12.0
10.0
8.6
7.5
12.00
12.00
12.0
13.93
17.00
m
CiWeT
90.0
50.0
3.5.0
27.5
24.0
22.5
22.5
25.0
CM
30.0
10.0
5.0
5.0
10.0
22.5
22.5
42.5
191
8. Solución de ejercicios
FIGURA 1.4: COSTOS TOTALES
CT
200
180
160 ----------------------------------------------------------------------140
120
C 100
80
60
40
20
0
0
1
2
3
4
5
6
7
FIGURA 2.4: COSTOS MEDIOS Y MARGINALES
----------------------------
X
8
Mario Capdevielle y Mario L. Robles Báez
192
4.3. Los resultados se corresponden con lo señalado por la teoría. Los costos totales son siempre crecientes por su componente variable. Los
costos medio total, medio variable y marginal tienen forma de U, decrecen para luego incrementarse debido a las proporciones variables
en el uso de los insumos, que denota la existencia de costos fijos. En su
punto mínimo los costos medios total y variable son iguales al costo marginal (por ser variables discretas no es exacto en el caso del costo medio
total), mientras que el costo fijo medio decrece a lo largo de todos los
niveles de producción.
8.4. TEORÍA DEL MERCADO DE COMPETENCIA PERFECTA (CP)
Solución: ejercicio C.P.5
5.1. La cantidad de equilibrio de la industria es aquella que iguala la oferta
y la demanda de mercado, Q°r = Q°. .
20,000 - 0.2 Pr = 500 P - 30,000
P =100
Sustituyendo P,.en Q°o Q° obtenemos
X = 19,980
5.2. Como las empresas individuales son tomadoras de precios, la condición de equilibrio que define la cantidad que deberá producir cada
empresa en el nivel de precios determinado por el mercado es:
Dado que CNIge = P., entonces : 20 + 2 X = 100
X1= 40
Dado que CMg, = Pr entonces : 60 + 4 X2= 100
X2 =10
Dado que CMg3 = Pr entonces : 475 - 70 ,Y3+ 3 ~y2 == 100
X33= 1
BENEFICIOS (B)
B,=IT-CT=( 100*40)-[800+(20*40)+40] = 800
B2 = IT - C2 = (100 * 10) - [300 + (60 * 10) +(2 * 102)] = - 100
B3 =17-3- CT = ( 100 * 15)- [ 150+(475 * 15)-(35 * 152 )+ 153] =-1,275
8. Solución de ejercicios
193
5.3. Al precio PY = 100, las condiciones de las empresas son las siguientes:
La empresa 1 opera con ganancias excedentarias = 800, por lo que le es
conveniente seguir produciendo en el corto plazo.
La empresa 2, aun teniendo pérdidas = -100, es conveniente que siga
produciendo en el corto plazo, dado que éstas son menores que el costo fijo total, 100 < 300 , o, lo que es igual , en el nivel de producción
óptimo de X2= 10, el precio es mayor que el costo medio variable:
CMeT2= 60+(2 * 10)= 80< 100
Al producir 15 unidades, la empresa 3 tendría pérdidas superiores a sus
costos fijos totales, 1,275 > 150, por lo que le convendrá cerrar y dejar de
operar aun en el corto plazo. O, lo que es lo mismo, sus costos medios
variables son mayores que el precio para el nivel de producción 15:
CMey= 475-35* 15+152 =175>100
5.4.
FIGURA 1.5: EQUILIBRIO DE LA EMPRESA 1
250 --
CMeT
Curva de ofert
0
10
30
40
194
Mario Capdevielle y Mario L. Robles Báez
FIGURA 2.5: EQUILIBRIO DE LA EMPRESA 2
CMgz
-----------------------------------------------
0
10
30
40
FIGURA 3.5: EQUILIBRIO DE LA EMPRESA 3
50
0
10
20
X
30
40
S. Solución de ejercicios
195
5.5. Ninguna de estas situaciones podría corresponder con el equilibrio de
largo plazo puesto que, en el largo plazo para un modelo de competencia perfecta, no pueden existir pérdidas ni ganancias para las empresas.
Solución: ejercicio C.P.6
1. Industria de costos constantes : los precios de los factores se
mantienen constantes.
CASO 3:
2. Empresa con una función de costos de corto plazo.
Con respecto a la función de costos totales de corto plazo, la empresa que
opera en un mercado de competencia perfecta es:
CT= 1,000+100X-IOX+X
Donde
CT= costo total
X = cantidad producida
SITUACIÓN 1
6.1.1. Siendo las funciones de la oferta y la demanda de la industria originales en que opera la empresa:
QD1 X = 8,280 - 10 P
Q01X=280+30P
El precio y la cantidad de equilibrio de la industria se obtienen igualando ambas funciones: QD'X = QO'X
8,280 - 10 P = 280 + 30 P
40 P = 8,000
P = 8,000 / 40 = 200
Al sustituir P = 200 en cualquiera de las dos funciones , se obtiene la
cantidad de equilibrio:
196
Mario Capdevielle y Mario L. Robles Báez
QD I
= 8,280 - 10 (200) = 6,280
QO1 X = 280 + 30 (200) = 6,280
6.1.2. La cantidad producida y los beneficios de la empresa se obtienen a partir de la condición de equilibrio : CMeT, = CMeT,, = CMg, = CMg,, =
IMg=P.
CMg= 100-20X+ 3X2 =200
3X2-20X-100=0
La solución de esta ecuación de segundo grado es
X= 10
Beneficios = IT- CT,• donde IT= XP
B = (10) 200 - [ 1,000 + 100( 10) - 10 (10)2 + 103]
B = 2,000 - 2,000 = 0
613. Gráficas de los equilibrios de la industria y de la empresa:
FIGURA 1.6: EQUILIBRIO DE LA INDUSTRIA / SITUACIÓN I
Qoi
400 i QD1
350
300
250
P -- 200
---------------------------
P 200
150100
50
0
0
4,000 X, = 6,280 8,000
X
12,000 16,000
S. Solución de ejercicios
197
FIGURA 2.6: EQUILIBRIO DE LA EMPRESA / SITUACIÓN 1
CMeTTP
CMg,
.
400
350 i
300
250
CMg,, = hVg,, = %^ 200
------------------------------------------ -----------------
C 200
150
100
50 -
X= 10
5
15
X
SITUACIÓN II
6.11.1. Siendo la nueva ecuación de la demanda de mercado del bien X •
QD2X = 10,280 - 10 P
y la misma ecuación de la oferta de mercado de la situación anterior
QO1X = 280 + 30 J. el nuevo precio y la nueva cantidad de equilibrio de
la industria se obtienen igualando ambas ecuaciones : QD2X = QO1 X
10,280 - 10 P = 280 + 30 P
40 P = 10,000
P = 10,000 / 40 = 250
Al sustituir J. = 250 en cualquiera de las dos ecuaciones, obtenemos
la cantidad de equilibrio correspondiente:
QD2X = 10,280 - 10 (250) = 7,780
QO1 X = 280 + 30 (250) = 7,780
198
Mario Capdevielle y Mario L. Robles Báez
6.11.2. La nueva cantidad producida y los beneficios actuales de la empresa
se obtienen a partir de la condición de equilibrio : CVeT, = CMeT, _
CMg,1 ,, = CA 1911 = IMg= 11 ^
CMg= 100-20X+3X2=250
3X2-20X-150=0
La solución de esta ecuación de segundo grado es
X= 11.1506
Dado que los beneficios = IT- CT, donde IT= XP
B = (11.15) 200 - [1000 + 100(11.15) - 10 (11.15)2 + 11.153]
B = 2,787.5 - 2,258.144 = 529.356
6.11.3. Gráficas de los equilibrios de la industria y de la erripresa:
FIGURA 3.6: EQUILIBRIO DE LA INDUSTRIA / SITUACIÓN II
^D I
400
350
300
P,.z - 250
250 ----- ----------------------P 200 ------------------------------150
100
50 á
0i
Qoz
x
0 4,000 X = 7,780
X
12,000
16,000
8. Solución de ejercicios
199
FIGURA 4.6: EQUILIBRIO DE LA EMPRESA / SITUACIÓN II
400
350
300
CMg 1, = IMgcP = IL
250 ------------Beneficios
C 200 -
150
100
50
0
5
0
10 X= 11.15
15
X
SITUACIÓN III
6.111.1 Siendo la nueva ecuación de la oferta del mercado que resulta de la
entrada de nuevas empresas a la industria:
Q °2X = 2,280 + 30 P
y la misma ecuación de la demanda de mercado de la situación anterior QD = 10,280 - 10 P
el nuevo precio y la nueva cantidad de equilibrio de la industria, se
obtiene igualando ambas ecuaciones : QD2 x = 02x
10,280 - 10 P = 2,280 + 30 P
40 P = 8,000
P = 8,000 / 40 = 200
Al sustituir P = 200 en cualquiera de las dos ecuaciones, obtenemos
la cantidad correspondiente:
Mario Capdevielle y Mario L. Robles Báez
200
QD2a = 10,280 - 10 (200) = 8,280
QO2X = 2,280 + 30 (200) = 8,280
6.111.2. La nueva cantidad producida y los beneficios actuales de la empresa
se obtienen a partir de la condición de equilibrio CÁteTc, = CMeT P =
CMg,1 = CMggp=IMg=P
CM=100-20X+3X2
=200
9
3X222-20X-100=0
La solución de esta ecuación de segundo grado es
X= 10
Siendo los beneficios = IT- CT, donde IT= XP
B = (10) 200 - [1000 + 100(10) - 10 (10)2 + 1031
B = 2,000 - 2,000 = 0
6.III.3. Gráficas de los equilibrios de la industria y de la empresa:
FIGURA 5.6: EQUILIBRIO DE LA INDUSTRIA / SITUACIÓN III
400
350
300
250
IP=200
P 200 +--------------------------------150 -I
100 11
50
0
0
4,000
X= 8,280
X
12,000 16,000
8. Solución de ejercicios
201
FIGURA 4.6: EQUILIBRIO DE LA EMPRESA / SITUACIÓN III
CMeTTP
CMgcP
400
350
300
------------------------------------ ---------------- --------CMgcP = IMgc,,= ,é% = 200
C 200 ---- ------------------------------------------------------250
150
100
50
0
15
5
x
SITUACIÓN IV
6.IV.1 Siendo la nueva ecuación de la demanda de mercado:
Qo3X = 16,280 - 10 P
y la misma ecuación de la oferta de mercado de la situación anterior
QD2X = 2,280 + 30 P el nuevo precio y la nueva cantidad de equilibrio
de la industria se obtienen igualando ambas ecuaciones: Q03 = Q02
16,280 - 10P =2,280+30P
40 P = 14,000
P = 14,000 / 40 = 350
Al sustituir P,= 350 en cualquiera de las dos ecuaciones , obtenemos
la cantidad correspondiente:
Qo3x = 16,280 - 10 (350) = 12,780
QO7X= 2,280 + 30 (350) = 12,780
202
Mario Capdevielle y Mario L. Robles Báez
6.1V.2. La nueva cantidad producida y los beneficios actuales de la empresa
se obtienen a partir de la condición de equilibrio : Cller0,= CMeTP=
CMg 1,= CMggP=IMg=P
CM=100-20X+3X2 =350
3X2-20X-250=0
La solución de esta ecuación de segundo grado es
X= 13.0515
Siendo los beneficios = IT- CT, donde IT= XP
B = (13.051 ) 350 - [1,000 + 100(13.051) - 10 (13.051)2 + 13.0513]
B = 4, 568.0552 - 2,825.0730 = 1,742.9822
6.IV.3. Gráficas de los equilibrios de la industria y de la empresa:
FIGURA 7.6: EQUILIBRIO DE LA INDUSTRIA / SITUACIÓN IV
/]DIr
n02r
01r
)2
400 P =350
350 - -------------------------3 00
250
P 200 r---------------------------------150
100 j
50
0
0 4,000 8,000
X
X= 12,780 16,000
203
8. Solución de ejercicios
FIGURA 8.6: EQUILIBRIO DE LA EMPRESA / SITUACIÓN IV
CMggP
CMeTT,
400
CMg,.1 = IMg,.P
350 -- --- •-- ---
350
---- - - ----- --------
300
250
150
100
50
0 F
10
5
0
X= 13.05
X
SITUACIÓN V
6.V.1. Siendo la nueva ecuación de la oferta del mercado que resulta de la
entrada de nuevas empresas a la industria:
Qo3x
= 8,280 + 30 P
y la misma ecuación de la demanda de mercado de la situación anterior, QD3X = 16,280 - 10 P , el nuevo precio y la nueva cantidad de
equilibrio de la industria se obtienen igualando ambas ecuaciones:
QD3 = Q03
x
x
16,280 - 10 P = 8,280 + 30 P
40 P = 8,000
P = 8,000 / 40 = 200
Al sustituir P = 200 en cualquiera de las dos ecuaciones , obtenemos
la cantidad correspondiente:
QD3X = 16,280 - 10 (200) = 14,280
Qo3x = $ 280 + 30 (200) = 14,280
204 Mario Capdevielle y Mario L. Robles Báez
6.V.2. La nueva cantidad producida y los beneficios actuales de la empresa
se obtienen a partir de la condición de equilibrio CMeTCI, = CMeTLP =
CMgC,= CMgcPIMg=P
CMg = 100 - 20,Y + 3X2 = 200
3X1-20X-100=0
La solución de esta ecuación de segundo grado es
X= 10
Siendo los beneficios = IT- Cr, donde: IT= XP.
B = (10) 200 -- [ 1,000 + 100 ( 10) - 10 (10)2 + 1031
B = 2,000 - 2,000 = 0
6.V.3. Gráficas de los equilibrios de la industria y de la empresa
FIGURA 9.6: EQUILIBRIO DE LA INDUSTRIA / SITUACIÓN V
400
350 •------------------ -------=
300
250 r----------------------P,=200
P 200
150
100
50
--------------------------------
S. Solución de ejercicios
205
FIGURA 10.6: EQUILIBRIO DE LA EMPRESA / SITUACIÓN V
CMeTcP
CMgg1
400
350
------------------------ -
300
250 - -----------------------------------CMgcP=IMgcP= Pñ=200
C 200 -------------------------------------------150
100
50
00
5
X= 10
x
6.V.4. La curva de la oferta de la industria en el largo plazo está dada por
una línea recta (subrayada en la figura siguiente) paralela, en este
caso, al eje de las abscisas que corresponde a los equilibrios de las
situaciones 1, III y V, cuya ecuación es Q°LP = 200.
FIGURA 11.6: OFERTA DE LARGO PLAZO DE LA INDUSTRIA
DI 1,12
400
350 --------------------------- ---------- ---------------------
L:4
E
300
9
250 -------------------------------- ---------P200 ------------------------------------ =i200
150
100
50
1
„
0
0 4,000 8,000
X
12,000
16,000
Mario Capdevielle y Mario L. Robles Báez
206
8.5. TEORÍA DEL MERCADO MONOPÓLICO (M)
Solución: ejercicio M.3
3.1. El monopolista que opera con dos plantas, con distintas estructuras
de costos, tiene que tomar dos decisiones para maximizar sus beneficios: 1) qué cantidad de productos producirá en conjunto y a qué precio y 2 ) de qué modo habrá que distribuir la producción óptima entre
ambas plantas. Esto se logra por medio de la condición de equilibrio:
CMg7 = CMg2=IMg
a) Ingreso marginal:
Dado que la función de la demanda es Q° =,Y= 1,780 - 0.2 P y Y= X +
X, su inversa es
Px =8,900 -5X=8,900-5X-5X
Al sustituir la ecuación anterior en la del ingreso total, .17 = P * X,
obtenemos:
IT = X(8,900-5X) = 8,900X -5X2
Derivando la función de ingreso total anterior, obtenemos la del ingreso marginal:
IMg= I
=8900-10X=8,900-10X,-10X2
b) Costo marginal:
Siendo las funciones de costos totales de las dos plantas, Cr, =1,512,500 +
100 X, + X2 y CT1= 777,500 -100 X2+ 7.5 X2, respectivamente, las funciones de costos marginales correspondientes se obtienen derivando estas
funciones:
CMg1 = 8 ' =100+ 2X,
CMg2 = SXz =-100+15X2
8. Solución de ejercicios
207
c) Igualando las dos funciones de costos anteriores con la del ingreso
marginal, CMg1 = CMg2 = IMg, obtenemos las cantidades de equilibrio correspondientes a cada una de las plantas:
(1)8,900 -10x-10X2=+100+ 2X2
(2)8,900 -10X, - 1 0X2 =-100 +1 5X2
(1)8,800 -12X2-10X2=0
(2)9,000 -10X2-25X2 =0
Multiplicamos la ecuación (2) por -1.2:
(1) 8,800 - 12X2-10X2=0
(2)-10,800 + 12X2 +30X2=0
-2,000 + 0X2+20X2=0
X2 = 100
X=650
X=750
d) Sustituyendo X= 750 en la ecuación inversa de la demanda, obtenemos su precio:
P = 8,900 - 5 (750)
P=5,150
3.2. Como CMg1 = CMg2 = IMg, podemos obtener su valor, que debe resultar ser el mismo, sustituyendo las cantidades de equilibrio correspondientes en las funciones respectivas:
CMg1 = 100 + 2 (650) = 1,400
CMg2 = -100 + 15 (100) = 1,400
IMg= 8,900 - 10 (750) = 1,400
3.3. a) Los beneficios totales del monopolista que opera con dos plantas
son iguales a,&-Tm = IT- (CTI + C72):
Mario Capdevielle y Mario L. Robles Báez
208
17-= XPr = ( 750 * 5,150 ) = 3,862,500
CT = 1,512,500 + 100 X +X2
C7-1= 1,512, 500 + (100 * 650) + 6502 = 2,000,000
CT = 777,500 - 100 X, + 7.5X2
CT = 777,500 - ( 100 * 100) + (7.5 * 1002) = 862,500
BTm = 3,862,500 - (2,000, 000 + 862,500 ) = 1,000,000
b) Los beneficios que obtiene el monopolista en cada planta son iguales Bm .= CT - IT .•
IT =X * P,= 650 * 5 , 150 = 3,347,500
Bm^ = IT - C:T = 3,347,500 - 2,000,000 = 1,347,500
IT = X * Pr = 100 * 5,150 = 515,000
Bmn2 = IT - CT = 515,000 - 862,500 = -347,500 (pérdidas)
BTm= Bml + Bine = 1,347 , 500 - 347,500 = 1,000,000
3.4.
FIGURA 1.3: EQUILIBRIO DEL MERCADO MONOPÓLICO
10,000
8,900
8,000
6,000
P. = 5,150 ------------- ------------P,C 4,000
CMg=IMg= 1'
CMg
8. Solución de ejercicios
209
FIGURA 2.3: EQUILIBRIO DE LA PLANTA 1
0
100
200
300 400
500
X= 650 700
X
FIGURA 3.3: EQUILIBRIO DE LA PLANTA 2
CMg2
1
6,000
p,CP = 5,1501
----------
Pérdidas:
4,000
0 r2=100
200
300
X
400
500
600
700
Mario Capdevielle y Mario L. Robles Báez
210
Solución: ejercicio M.4
MODELO SIN DISCRIMINACIÓN DE PRECIOS
4.1. Dado que la maximización del monopolista que opera sin discriminación de precios se obtiene a partir de la condición de equilibrio CMg=
IMg, debemos primero deducir sus funciones respectivas:
a) Ingreso marginal, MM.Siendo la función de la demanda X =100 - 0. 1 P, su función inversa es:
P = 1,000 - 10 X
Al sustituir la ecuación anterior en la del ingreso total, 17 = P * X,
obtenemos:
IT= 1,000 X- 10 Xz
Derivando la función de ingreso total anterior, obtenemos la del ingreso marginal:
IMg = 8 ' =1,000 - 20X
b) Costo marginal, CMg.
Siendo la función de costos totales, CT= 14,300 - 80X+ 2 XL, la función
del costo marginal correspondiente se obtiene derivando la primera:
CMg=
8CT
8X
=-80+4X
c) Igualando las dos funciones anteriores , IMg = CIIg, obtenemos la
cantidad de equilibrio correspondiente:
1,000 - 20X= -80 + 4 X
1,080 = 24 X
X= 45
S. Solución de ejercicios
211
sustituyendo la cantidad de equilibrio de la función inversa de la demanda, obtenemos el precio correspondiente:
Px= 550
d) Dado que los beneficios del monopolista (Bm) son iguales a (ITCT), es decir, (XP) - (14,300 - 80X+ 2 X2):
Bm = (45 * 550) - [14,300 - (80 * 45) + (5* 452)]
Bm = 24,750 - (14,300 - 3,600 + 4,050)
Bm = 24,750 - 14,750
Bm = 10,000
FIGURA 1.4: MERCADO DE MONOPOLIO / MODELO
SIN DISCRIMINACIÓN DE PRECIOS
CMeT
P=550
P,C Beneficios
327.77
CMg
200 I,
!CMg=IMg
MODELO CON DISCRIMINACIÓN DE PRECIOS
4.2. La maximización del monopolista que opera con discriminación de precios se obtiene a partir de la condición de equilibrio -Mg, = IMg2 = CMg.•
212 Mario Capdevielle y Mario L. Robles Báez
a) Ingresos marginales:
Siendo las funciones de las demandas de los submercados X, = 50 0.08 P , y X = 50 - 0.02 P2, sus funciones inversas son
P,=625-12.5X
P2=2,500-50X
Al sustituir cada una de las ecuaciones anteriores en la de los ingresos
totales respectivos IT, = P, * X obtenemos:
IT=625X-12.5X2
17 2 = 2500 ,Y2 -50 XZ
Derivando las funciones de ingresos totales anteriores, obtenemos las
de los ingresos marginales respectivos:
IMg1 = SIT, = 625-25X 1
IMg2 = '5,T2,
= 2,500 -100X2
á
z
b) Costo marginal:
Siendo la función de costos totales, CT= 14,300 - 80 X-+- 2 X2, la función
del costo marginal correspondiente se obtiene derivando la primera:
T
CMg= - =-80+4X
=-80+4(X,+X2)
c) Igualando la función de costo marginal con cada una de las del ingreso marginal, CMg = IMg, y CMg = IMg2 , obtenemos las cantidades de equilibrio correspondientes:
(1) 625-25X=-80+4(X+X)
(2) 2,500 - 100 X = -80 + 4 (X +,Y2)
(1) 705-29X- 4X=0
(2)2,580 - 4X-104X=0
8. Solución de ejercicios
213
Multiplicando la ecuación (1) por -26
(1) -18,330 + 754 X + 104 X = 0
(2) 2,580 - 4 X - 104 X = 0
-15,750 + 750 X + O X = 0
X=21
X=24
X=45
Reemplazando las cantidades de equilibrio anteriores en la función
inversa de la demanda respectiva, obtenemos los precios correspondientes:
P = 625 - 12.5 (21) = 362.5
P2 = 2,500 - 50 (24) = 1,300
d) Dado que los beneficios del monopolista que discrimina (Bmd) son iguales a
CT], es decir, [(X P 1) + (X P2) - (14,300 - 80X+ 2X2)]:
Bmd = (21)(362.5) + (24)(1,300) - [(14,300 - 80 (45) + 2 (45)2
Bmd = 7,612.5 + 31,200 - (14,300 - 3,600 + 4,050)
Bmd = 24,062.5
Siendo los costos medios totales = CMeT= 14,300 / X- 80 + 2 X
CMeT= 14,300 / 45 - 80 + 2 (45)
CMeT= 327.7777
los beneficios por planta se obtienen por la siguiente ecuación: Bmd. _
(P.-ClleT)X
Bmd = (362 .5 - 327.777) (21)
Bmd = 729.1666
Bmd2 = (1,300 - 327.7777) (24)
Bmd2 = 23,333.333
Mario Capdevielle y Mario L. Robles Báez
214
FIGURA 2.4: MERCADO DE MONOPOLIO / MODELO
CON DISCRIMINACIÓN DE PRECIOS
1,500
P2 = 1,300
P,c
CMg
D'
4,
X= 21 `"2 2-4
Y= 45 50 ^'.
100¡
(250)
IMg2 IMg1 X ¡Mg
4.3. Elasticidad = E
E, =(SX/ 5P,) (P1/X)=0. 08 (362.5 / 21)= 1.3809
E2=(8X/8Pz)(PZ/X)=0.02( 1,300/24)= 1.0833
Con lo que se demuestra la relación inversa existente entre el precio y
la elasticidad precio de la demanda.
4.4. La cantidad ofrecida en el mercado total es igual en ambos modelos,
con y sin discriminación , X= 45. Los beneficios son siempre mayores
en el caso en que hay discriminación, dado que el monopolista
8. Solución de ejercicios
215
discriminador se apropia de una parte del excedente de los consumidores discriminados.
Bmd= 24,062.5
Bm = 10,000
Bmd- Bm = 14,062.5