EXPRESIONES RACIONALES

EXPRESIONES RACIONALES
a
El conjunto de las fracciones b , donde a y b
son enteros (0, ±1, ±2, ±3, …) y b ≠ 0, se le
conoce como los números racionales.
En matemática, la palabra racional se asocia
a expresiones con forma de fracción.
Específicamente, a las fracciones donde el
numerador y el denominador son polinomios
se le llaman expresiones racionales.
Veamos algunos ejemplos.
5x  3 y
2
2
x y
2n
3
 n2
2
5
9
2x  5
x3  x2
x
 4ab 3  8c
3a 2 c  10b
• Entre los polinomios y las expresiones
racionales existe una relación semejante a la
que existe entre los números enteros y los
racionales.
• Por ejemplo, hay fracciones que simplifican
como enteros.
• Las expresiones racionales, donde el
denominador es una constante (polinomio de
grado cero), se pueden expresar como un
polinomio de igual grado que el del numerador.
Por ejemplo
2 x  10 x  6 2 3
2
6
 5 x  2x  5
5
3
2
trinomio cúbico
Todo polinomio se puede escribir
como una expresión racional.
6 x 2 15x  3
3
8 x 2  20 x  4
4
4 x 2 10 x  2
2
Estas expresiones son equivalentes
al polinomio
2 x 2  5x  1
¿Qué queremos hacer con las
expresiones racionales?
• Básicamente queremos aplicar todo lo que
hacemos con las fracciones:
» Simplificar
» Sumar
» Restar
» Multiplicar
» Dividir
Dominio de una Expresión
Racional
• Las fracciones no pueden tener denominador 0
(no se puede usar 0 como divisor); lo mismo
ocurre con las expresiones racionales. Esto nos
obliga a tomar en consideración el valor que se
produce en el denominador cuando evaluamos
la expresión:
En una expresión racional podemos sustituir
las variables por cualquier valor excepto por
aquellos que producen 0 en el denominador.
• Al conjunto de numerales con que se sustituye
la variable en una expresión racional y que
producen valores distintos de 0 en el
denominador, se le llama el dominio de la
expresión. Analicemos la siguiente expresión:
3x  4
x2
Observe que cuando único el
denominador es 0 es cuando x = -2.
Formalmente, establecemos
x+2≠0
x ≠ -2
Por tanto el dominio de esta expresión es el conjunto de
todos los numerales distintos (≠) de -2.
• Esto quiere decir que si un numeral está en el
dominio de una expresión racional, entonces
podemos estar seguros que al evaluar la
expresión con este numeral el denominador
será distinto de 0.
En la expresión que acabamos de analizar, podemos
sustituir x por cualquier numeral excepto -2. Ese
dominio lo podemos expresar de la siguiente manera:
Dom
 3x  4 


 x2 
= {x | x ≠ -2}.
¿Qué hay de
2n  8
7  5n
2
?
Comenzamos estableciendo que
7 – 5n ≠ 0
Lo cual nos indica que -5n ≠ -7
O sea,
n≠
7
5
¿Cuál es el dominio de esta expresión racional ?
Práctica I.
• Determine el dominio de cada expresión
racional.
5  2n
3
1) 3a  1
2)
3)
a5
n  11
4)
4x  3
8
5)
1
9  3p
7)
5r
8  3r
8)
9b  2
12b  4
7 y
6)
x2  4
5x  2
Respuestas
II. Simplificar Expresiones
Racionales
• Existe una regla llamada la propiedad de las
fracciones, la cual nos permite simplificarlas.
La propiedad establece que:
.
a ac
 , c0
b bc
Esta es la forma en que se obtienen fracciones
equivalentes a la fracción a
b
• En la otra dirección:
ac a

bc b
Es la forma que usamos para simplificar fracciones.
Cuando hay un mismo factor, diferente de cero, en el
numerador y en el denominador, se pueden simplificar
ambos; solamente podemos “cancelar” factores en común.
A este proceso es al que llamamos simplificación de fracciones.
• Con las expresiones racionales hacemos algo
similar cuando factorizamos los polinomios en el
numerador y en el denominador, para luego
eliminar los factores en común:
1. Factorizar el numerador y
denominador
2 2
6a b (a  3b)
4a 5 b 4
6a 3b 2  18a 2b 3
4a 5 b 4
2. Realizar la simplificación
3(a  3b)
2a 3 b 2
Dicha expresión es equivalente a
3a  9b
2a 3 b 2
Simplificar
4 x  12
x2  9
• Solución:
4 x  12
4( x  3)

2
x  9 ( x  3)( x  3)
Factorizamos
Numerador y
denominador
4

x3
Simplificamos asumiendo que
el factor x - 3 es diferente de 0
Simplificar
25  y 2
y 2  y  30
• Solución:
25  y
(5  y )(5  y )

2
y  y  30 ( y  6)( y  5)
2
 (5  y )( y  5)

( y  6)( y  5)
5 y

y6
a – b = - (b –
a). Esto
permite cambiar
(5 – y) por – (y
– 5).
- a - b = - (b + a).
Esto permite
cambiar - (5 + y) por
- 5 - y.
Práctica II.
•
Simplifique completamente las expresiones
racionales.
10 x 3 y 5  15 x 2 y 3
1)
20 x 4 y 2
7 x  14
2) 9 x  18
3ax  ax 2
3) 2
x 9
n 3  6n 2
4)
n5
r 2  7r  12
5)3r 2  11r  4
x5  x3
6) x3  x 2
Respuestas
Respuestas a la Práctica I
1)El dominio es el conjunto de los números diferentes de 5; ya que estos son los
que al sustituir en la variable del denominador nos produce un valor diferente
de cero. −∞, 5 ∪ 5, ∞
2) El dominio es el conjunto de los números diferentes de 11; −∞, 11 ∪ 11, ∞
3) El dominio es el conjunto de los números diferentes de 7; −∞, 7 ∪ 7, ∞
4) El dominio es el conjunto de todos los números reales; Nótese que no hay
variable que sustituir en el denominador. −∞, ∞
5) El dominio es el conjunto de los números diferentes de -3; −∞, −3 ∪ −3, ∞
2
6) El dominio es el conjunto de los números diferentes de 2/5; −∞, 5 ∪
7) El dominio es el conjunto de los números diferentes de 8/3; −∞,
8
3
8) El dominio es el conjunto de los números diferentes de -1/3; −∞, −
∪
1
3
2
,∞
5
8
,∞
3
1
3
∪ − ,∞
Práctica I
Respuestas a la Práctica II
2
y
(
2
xy
 3)
1)
4x2
o
2 xy 3  3 y
4x2
o
x3  x
x 1
2) 7/9
3)
 ax
x3
4) n  6
n3
5) r  3
3r  1
6) x( x 2  1)
x 1
Práctica II