Notas sobre la Validez de la Hipótesis Browniana en Mercados Il

1
Notas sobre la Validez de la Hipótesis Browniana en
Mercados Ilı́quidos: ¿Son los Procesos Estocásticos con
Saltos o en Tiempo Discreto una Mejor Alternativa?
Luis C. Chávez Bedoya
Marzo 2006
Luis F. Rosales
Contenidos
2
Contenidos
1 Motivación
3
2 Modelo de Retornos
13
3 Estimación
23
4 Resultados Empı́ricos
24
5 Conclusiones
41
6 Observaciones
42
1
Motivación
1
3
Motivación
• La hipótesis Browniana es usualmente empleada para modelar
retornos en mercados especulativos.
• Existen grandes diferencias entre el comportamiento de los retornos
en un mercado lı́quido y en uno ilı́quido.
• Veamos algunos gráficos.
1
Motivación
4
4.5
Halliburton
4
3.5
3
2.5
2
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
Figura 1: Log P. Halliburton entre 02/01/92 y 03/02/06.
1
Motivación
5
2.5
Log P. Brocal
2
1.5
1
0.5
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
Figura 2: Log P. Brocal entre 30/05/00 y 03/02/06.
1
Motivación
6
1.6
Log P. Milpo
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
Figura 3: Log P. Milpo entre 07/11/03 y 03/02/06.
1
Motivación
7
2.5
Log P. Morococha
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
Figura 4: Log P. Morococha entre 02/01/92 y 03/02/06.
1
Motivación
8
1.5
Log P. Volcan
1
0.5
0
−0.5
−1
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
2200
Figura 5: Log P. Volcan entre 30/06/97 y 03/02/06.
1
Motivación
9
Una primera caracterı́stica que diferencia a los mercados lı́quidos de los
ilı́quidos es: la presencia de periodos de estancamiento.
Tabla 1: Descripción Preliminar de los Datos
Acción
Obs.
1era. Obs.
ObsSm.
%
Brocal
1484
30/05/00
900
61%
Milpo
586
07/11/03
176
30%
Morococha
3678
02/01/92
1557
42%
Volcan
2245
30/06/97
1641
73%
Halliburton
3547
02/01/92
119
3%
1
Motivación
Veamos más de cerca el comportamiento de las acciones VOLCAN y
HALLIBURTON entre 01/01/01 y 01/01/03. ¿Es razonable la hipótesis
Browniana?
10
1
Motivación
11
4
3.8
Log P. Halliburton
3.6
3.4
3.2
3
2.8
2.6
2.4
2.2
1
Log P. Volcan
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
Figura 6: Volcan y Halliburton. El gráfico muestra la trayectoria de precios
logaritmizados para las acciones de volcan (azul) y Halliburton (rojo) entre
01/01/01 y 01/01/03.
1
Motivación
Una segunda caracterı́stica a tomar en cuenta parece ser la presencia de
un mayor número de saltos.
Ante estos hechos, se plantean dos alternativas para mejorar la
estimación Browniana en mercados ilı́quidos:
• Procesos con saltos: Poisson Compuesto.
• Procesos en tiempo discreto: Camino Aleatorio.
12
2
Modelo de Retornos
2
Modelo de Retornos
A las dos primeras partes de esta sección denominaremos al proceso de
retornos como Y = (Y (t), t ≥ 0) donde Y (t) := ln(S(t)/S(0)).
13
2
Modelo de Retornos
14
Movimiento Browniano
Para modelar el proceso de retornos Y asumimos un movimiento
Browniano con tendencia µ y coeficiente de difusión σ 2 . Es decir que
Y (t) resuelve la siguiente ecuación diferencial estocástica
dY (t) = µdt + σdB(t)
(1)
donde B es un movimiento Browniano unidimensional. Es inmediato
inferir que la solución de (1) está dada por
Y (t) = µt + σB(t).
(2)
No es difı́cil deducir a partir de (2) que Y (t) ∼ N (µt, σ 2 t), con lo cual
E[Y (t)] = µt y Var(Y (t)) = σ 2 t.
2
Modelo de Retornos
Es importante saber simular el movimiento browniano.
p
B(ti+1 ) = B(ti ) + ti+1 − ti Zi+1
15
(3)
para i = 0, ..., m − 1. Luego para generar Y y sabiendo que Y (0) = 0 se
tiene que
p
Y (ti+1 ) = Y (ti ) + µ(ti+1 − ti ) + σ ti+1 − ti Zi+1
(4)
para, i = 0, ..., m − 1. También se tiene el siguiente resultado que es
muy útil
p
Z(ti+1 ) = Y (ti+1 ) − Y (ti ) = µ(ti+1 − ti ) + σ ti+1 − ti Zi+1
(5)
la ecuación anterior se simplifica si ti+1 − ti = 1 para todo i.
2
Modelo de Retornos
16
Proceso Poisson Compuesto
Se asume que el retorno de una acción sigue un proceso Poisson
compuesto, el cual es un proceso en tiempo continuo pero tiene caminos
muestrales discontinuos cadlag. Es decir que
N (t)
Y (t) =
X
ln ξi
i=1
donde N es un proceso Poisson con parámetro λ y la sucesión
ξ = (ξi , i ∈ N) está formada por variables aleatorias i.i.d. e
independientes de N , tales que ξi > 0, E[ξi ] = µξ < ∞, E[ξi2 ] < ∞
P0
para todo i ∈ N, finalmente se asume que i=1 ln ξi = 0 . Si
E[ln ξi ] = µξ∗ y Var(ln ξi ) = σξ2∗ se verifica inmediatamente que
E[Y (t)] = λtµξ∗ y V ar(Y (t)) = λtσξ2∗ .
(6)
2
Modelo de Retornos
17
El proceso de precios S que induce (6) es tal que
N (t)
S(t) = S(0)
Y
ξi
(7)
i=1
donde a semejanza del modelo de retornos se asume que
se cumple que
E[S(t)] = eλt(µξ −1) .
Q0
i=1 ξi
= 1, y
(8)
2
Modelo de Retornos
18
Para simular Y (ti+1 ) dado el valor de Y (ti ) basta simular una variable
aleatoria X ∼ Poisson(λ(ti+1 − ti )), posteriormente simular simular X
PX
variables aleatorias ξ y hacer P = i=1 ln ξi si el valor simulado de X
fuera igual a 0 se hace P = 0. Luego como Y (0) = 0 se tendrı́a
Y (ti+1 ) = Y (ti ) + P
(9)
donde i = 0, ..., n − 1. Con lo cual
Z(ti+1 ) = Y (ti+1 ) − Y (ti ) = P.
(10)
2
Modelo de Retornos
19
Camino Aleatorio
Ahora se presenta un modelo en tiempo discreto para modelar el proceso
de retornos. El proceso de retornos Y = (Y (n), n ∈ N) es tal que:
Y (n) = ln(S(n)/S(0)) = ln β1 X1 + ... + ln βn Xn
(11)
donde X = (Xi , i ∈ N) es una sucesión de variables i.i.d. tal que

 1 con probabilidad p
Xi =
 0 con probabilidad 1 − p
y la sucesión β = (βi , i ∈ N) está formada por variables aleatorias i.i.d. e
independientes de X, tales que βi > 0, E[βi ] = µβ < ∞, E[βi2 ] < ∞
para todo i ∈ N.
2
Modelo de Retornos
20
Podemos escribir (11) de una manera más simple, al notar que
Pn
V (n) := i=0 Xi ∼ Binomial(n, p), con lo cual
V (n)
Y (n) =
X
ln βi
(12)
i=1
donde asumimos al igual que en el proceso Poisson compensado que
P0
i=1 βi = 1. Asimismo, es obvio que V (n) va a ser independiente de β.
Si E[ln βi ] = µβ ∗ y Var(ln βi ) = σβ2 ∗ se verifica inmediatamente que
E[Y (n)] = npµβ ∗ y V ar(Y (t)) = np(1 − p)σβ2 ∗ .
2
Modelo de Retornos
21
El proceso de precios S que induce tanto (11) y (12) es tal que
V (n)
S(n) = S(0)
Y
βi
(13)
i=1
donde a semejanza del modelo de retornos se asume que
No es difı́cil verificar que
n
µ
p
β
E[S(n)] = (1 − p)n 1 +
.
1−p
Q0
i=1
βi = 1.
(14)
Si hacemos λt = np, ξ = β, hacemos n grande y p la hacemos tender a
cero (14) toma la forma de (8). Lo anterior se justifica por debido a la
aproximación de la distribución binomial a la Poisson.
2
Modelo de Retornos
22
Para simular caminos muestrales del proceso de retornos dado por (12)
de un tiempo n a un tiempo n + 1, basta con simular una variable
aleatoria Q ∼ Binomial(n, p) posteriormente simular simular Q variables
PQ
aleatorias β y hacer P = i=1 ln ξi si el valor simulado de Q fuera igual
a 0 se hace P = 0. Luego como Y (0) = 0 se tendrı́a
Z(i + 1) = Y (i + 1) − Y (i) = P
donde i = 0, ..., n − 1.
(15)
3
Estimación
3
23
Estimación
• La dificultad de mayor de encuentra en la estimación del proceso
Poisson compuesto.
• Enfoque MCMC - Eraker y Polson (2003).
• Enfoque de la distribución lı́mite - Sapozhnikov (2004).
4
Resultados Empı́ricos
4
Resultados Empı́ricos
Para efectos de la aplicación se consideraron los precios de cierre de las
acciones Volcán, Milpo, Morococha y El Brocal. Después de realizar una
estimación simple utilizando medias y varianzas (pues se buscaban
resultados preliminares) podemos simular los procesos estocásticos. A
continuación observemos algunos caminos muestrales simulados de
Volcan:
24
4
Resultados Empı́ricos
25
1
pc
data
ca
mb
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Figura 7: Caminos muestrales Simulados: El gráfico muestra la estimación para
el proceso de retornos acumulados.
4
Resultados Empı́ricos
26
1
0.8
data
pc
ca
mb
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Figura 8: Caminos muestrales Simulados: El gráfico muestra la estimación para
el proceso de retornos punto a punto.
4
Resultados Empı́ricos
27
Para la estimación de ξ y β se ha trabajado con la información de los
retornos puntuales sin el cero y con dos distribuciónes tentativas la
primera es una LN (µ, σ 2 ) y la segunda es una Gamma(a1 , a2 ).
En la Tabla 2 se muestra el valor del estadı́stico de la prueba de ajuste
Kolmogorov-Smirnoff (KS) y su respectivo p-value para cada una de las
series de datos.
Tabla 2: Estadı́stico KS
Acción
LN
p-value
Gamma
p-value
Brocal
0.2024
0.000
0.1910
0.000
Milpo
0.1057
0.021
0.1066
0.018
Morococha
0.0780
0.000
0.0750
0.000
Volcan
0.0824
0.005
0.0869
0.003
4
Resultados Empı́ricos
28
Criterios para la evaluación de los procesos
1. El error cuadrático medio esperado (ECME)
" n
#
X
E
(Retorno(i) − Z(i))2 /n .
i=1
2. El error absoluto medio esperado (EAME)
#
" n
X
E
|Retorno(i) − Z(i)|/n .
i=1
3. El estadı́stico obtenido por la prueba ajuste de Kolmogorov-Smirnoff
(KS).
4
Resultados Empı́ricos
Es importante mencionar que los tres criterios se han realizado tanto
para ξ y β con distribución lognormal y Gamma. Para los primeros dos
criterios se han utilizado 25000 réplicas y para el último criterio 250.
29
4
Resultados Empı́ricos
30
Resultados ECME - LN
Tabla 3: ECME - ξ, β ∼ LN
Acción
C. Aleat.
M. Brown.
P. Comp.
Brocal
0.00290
0.00290
0.00290
Milpo
0.00113
0.00113
0.00114
Morococha
0.00336
0.00336
0.00336
Volcan
0.00366
0.00366
0.00367
4
Resultados Empı́ricos
31
Resultados ECME - Gamma
Tabla 4: ECME - ξ, β ∼ Gamma
Acción
C. Aleat.
M. Brown.
P. Comp.
Brocal
0.00274
0.00290
0.00274
Milpo
0.00113
0.00113
0.00114
Morococha
0.00332
0.00335
0.00332
Volcan
0.00373
0.00366
0.00373
4
Resultados Empı́ricos
Conclusiones ECME
• Todos los modelos tienen un valor de ECME muy similar, debido a
que la media estimada por cada modelo es prácticamente la misma.
• No se puede concluir que el modelo P.C. y el C.A.D. se comportan
mejor que el movimiento browniano bajo este criterio.
32
4
Resultados Empı́ricos
33
Resultados EAME - LN
Tabla 5: EAME - ξ, β ∼ LN
Acción
C. Aleat.
M. Brown.
P. Comp.
Brocal
0.1777
0.2444
0.1652
Milpo
0.1603
0.1678
0.1524
Morococha
0.3070
0.3447
0.2884
Volcan
0.3393
0.3943
0.3337
4
Resultados Empı́ricos
34
Resultados EAME - Gamma
Tabla 6: EAME - ξ, β ∼ Gamma
Acción
C. Aleat.
M. Brown.
P. Comp.
Brocal
0.1704
0.2445
0.1585
Milpo
0.1603
0.1678
0.1524
Morococha
0.3060
0.3444
0.2871
Volcan
0.3404
0.3941
0.3354
4
Resultados Empı́ricos
Conclusiones EAME
• Se observa un mejor desempeño del proceso P.C. y el C.A.D. sobre
el movimiento browniano.
• No existe una diferencia significativa entre utilizar la distribu ción
LN y Gamma para los modelos P.C. y el C.A.D.
35
4
Resultados Empı́ricos
36
Resultados KS - LN
Tabla 7: KS - ξ, β ∼ LN
Acción
C. Aleat.
M. Brown.
P. Comp.
Brocal
0.0817
0.3149
0.0631
Milpo
0.0758
0.1702
0.1208
Morococha
0.0461
0.2190
0.0841
Volcan
0.0248
0.3759
0.0293
4
Resultados Empı́ricos
37
Tabla 8: % Rechazo de H0 - ξ, β ∼ LN
Acción
C. Aleat.
M. Brown.
P. Comp.
Brocal
100.00
100.00
99.50
Milpo
40.50
100.00
99.50
Morococha
100.00
100.00
100.00
0.50
100.00
3.00
Volcan
4
Resultados Empı́ricos
38
Resultados KS - Gamma
Tabla 9: KS - ξ, β ∼ Gamma
Acción
C. Aleat.
M. Brown.
P. Comp.
Brocal
0.0769
0.3141
0.0600
Milpo
0.0782
0.1711
0.1211
Morococha
0.0763
0.1693
0.1187
Volcan
0.0261
0.3740
0.0283
4
Resultados Empı́ricos
39
Tabla 10: % Rechazo de H0 - ξ, β ∼ Gamma
Acción
C. Aleat.
M. Brown.
P. Comp.
Brocal
100.00
100.00
97.00
Milpo
47.50
100.00
99.50
Morococha
100.00
100.00
100.00
0.50
100.00
2.00
Volcan
4
Resultados Empı́ricos
Conclusiones KS
• Recordar que utilizamos el valor del estadı́stico de la prueba como
herramienta de comparación entre modelos. Se podrı́a utilzar el
p-value o la probabilidad que se se rechace la hipótesis nula.
• Existe una marcada superioridad de los procesos P.C. y el C.A.D. Se
debe a la acumulación de retornos con valor 0.
• El uso de la variable aleatoria Gamma genera resultados ligeramente
superiores.
40
5
Conclusiones
5
41
Conclusiones
• Bajo los criterios anteriores los modelos Poisson compuesto y el
C.A.D serı́an más adecuados que el movimiento browniano para
modelar retornos de acciones poco lı́quidas.
• Lo anterior no indica que los modelos Poisson compuesto y el
camino aleatorio discreto realicen un buen ajuste.
• A medida que la acción presente más periodos sin alteración en el
precio los modelos propuestos son más útiles. Revisar Volcan.
6
Observaciones
6
Observaciones
• Los resultados son preliminares, se espera una mejora al utilizar
métodos más elaborados de estimación.
• Ultilizar otras distribuciones diferentes al LN y Gamma dado que
su ajuste es pobre.
• Modificaciones al modelo binomial.
• Probar el ajuste de los procesos Poisson compuesto y C.A.D. a
acciones más lı́quidas.
• Utilizar prueba χ2 .
42
Referencias
Referencias
[1] D. Applebaum. Levy processes and stochastic calculus. Cambridge
University Press, 2004.
[2] B. Eraker, M. Johannes, and N. Polson. The impact of jumps in volatility
and returns. Journal of Finance, 58:1269, 2003.
[3] P. Glasserman. Monte Carlo methods in financial engineering.
Springer-Verlag, 2004.
[4] M. Johannes and N. Polson. Handbook of financial econometrics, chapter
MCMC methods for continuoustime financial econometrics. Elservier, New
York, 2002.
[5] R. Merton. Option pricing when the underlying returns are discontinuous.
Journal of Financial Economics, 3:323, 1976.
[6] P. Sapozhnikov. Estimation of parameters od a compound Poisson
process. Journal of Mathematical Sciences, 119(3):307,2004.
43