HISTORIA DE LAS MATEM´ATICAS Depto de Matemáticas, FCEyN

HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS
JUAN PABLO PINASCO
Depto de Matemáticas, FCEyN - UBA
Segundo cuatrimestre de 2008
” Esto es matemáticas, Jim, pero no como la conocemos.”
Dr. Spock, en Viaje a las Estrellas
1.
Historia
Definición: un conjunto de mentiras, contadas por alguien que no estuvo ahı́, sobre hechos que nunca
sucedieron.
Origen de las matemáticas
La Cantidad
El Tamaño
La Forma
El Cambio
La Suerte
La Periodicidad
Periodicidad
La repetición de fenómenos es clave. A mayor regularidad en la repetición, mayor chance de que se
los identifique (dı́a, noche, ciclo lunar / menstrual, estaciones, movimiento planetario). Es una forma de
simetrı́a que exige una participación activa: descubrir el perı́odo
Breve repaso historico
??? a. C. Recolectores de frutas, ocupaban Africa, sureste de Europa y Asia, Centroamérica
5×106 a. C., Australopitecus
2,2 × 106 a. C., Homo Habilis, extingue al anterior (?), emigra a Asia y Europa
1,8 × 106 − 300000 a. C., Homo Erectus, en China ocupa cavernas; armas, martillos, usa el fuego,...
200000 − 30000 a. C., Neanderthalensis, fuego, pinturas, funerales
30000 a. C., Homo Sapiens (Cromagnon, 70000)
Sabemos poco de esa época. Se basa mucho en ”tribus en vı́as de desarrolloτ en restos fechados con esa
antigüedad. La interpretación de los objetos suele ser dudosa, por ejemplo: Ishango Bone, 20000 - 6500
a. C.
Fin de la Edad de Piedra ∼ 8000 − 3000
Cambio climatico
Grandes praderas se vuelven desérticas
Humanos y animales migran a los valles de los grandes rı́os: Nilo, (Sahara), Tigris y Eufrates (Medio
Oriente), Rı́o Amarillo en China (desierto de Gobi)
Revolución agrı́cola
Primeros conocimientos
Aparece el lenguaje escrito
1
2
JUAN PABLO PINASCO
La falta de agua obliga a registrar los perı́odos de lluvias o inundaciones (almanaques, calendario)
Primeras obras de ingenierı́a: diques y canales
Nacen las ciudades. Arquitectura ’permanente’
Edad del Bronce (y luego hierro)
Aparece una división de oficios, y gente con tiempo libre
Nace el comercio
Estructuras sociales
Ciudades-estados
Alianzas o anexiones
Clases sociales
Primera guerra: en Basora (!), entre Sumer (Irak) y Elam (Iran), por agua
Primeros imperios
Primeras civilizaciones
3500 a.C.: Sumerios (en Irak)
3100 a.C.: Menfis - Se unifica Egipto
3000 a.C.: Troya, Atenas
2500 a.C.: Acadios - 3ra dinastı́a
escritura cuneiforme en arcilla cocida,
jeroglı́ficos en papiro en las pirámides
1900 a.C.: Asirios
1700 a.C.: Hammurabi - Moscú y Rhind (Ahmes)
1700-1200 a.C.: Hititas
Primeras matematicas. Babilonia
numeración en base 60
Resolvı́an ecuaciones cuadráticas (hallar dos números conociendo su suma y su producto)
Conocı́an progresiones aritméticas y geométricas
Suman 1 + ... +¡ 29 como 29 ¢+ (29 − 1)
12 + ... + n2 = 1 · 13 + n · 23 (1 + ... + n)
Tablas astronómicas extensas, constelaciones del zodı́aco
Plimpton 322, ternas pitagóricas: 3-4-5 no, 5-12-13 no; la menor es 45-60-75
son 15 de las 16 ternas pitagóricas con desarrollo sexagesimal finito de c/a generadas como a =
m2 − n2 , b = m2 + n2 , c = 2mn, n ≤ 60, 30◦ ≤ α ≤ 45◦ con tan(α) = c/a
Yale YBC 7289 [una imagen vale por mil palabras]
Obvio!! 30√× 1,24,51,10 = 42,25,35
√
Además, 2 ≈ 1, 24, 51, 10 1/ 2 ≈ 42, 25, 35
Primeras matematicas, Egipto
Papiro Rhind (6m × 33cm) y Moscú (también conocidos como Ahmes)
Fracciones unitarias
Regula Falsi para ecuaciones lineales:
x
Resolver: x + = 15
4
Propongo: x = 4
4
Calculo: 4 + = 5
4
Ajusto: x = 4 × 3 = 12
Operaciones, progresiones aritméticas y geométricas, proporciones directas e inversas
arpedonaptas, tiradores de cuerdas
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3
¡ ¢2
π = 4 · 89
Volumen de una pirámide trunca
Dark Ages ∼ 1200 - 800 aC
Caı́da de Troya, destrucción de los Micénicos
Exodo de Israel, Fenicios fundan Cártago
Cultura Hallstatt (Austria, Alemania)
Pueblos del Mar
Perı́odo Helénico
600 a.C.: Thales (640-546)
550 a.C.: Pitágoras (585-500)
Comienzan las matemáticas en el sentido en que las conocemos hoy dı́a
450 a.C.: Zenón - Teodoro
Hipócrates y Demócrito: lúnulas y volúmenes
400 a.C.: Arquitas y Platón (428/7 - 347)
Menecmo, Teeteto y Eudoxo: duplicación del cubo, sólidos regulares y proporciones
350 a.C.: Aristóteles (384 - 322) Lógica, método axiomático.
Teofrasto y Eudemo: historias de la fı́sica, aritmética, geometrı́a, y astronomı́a
Perı́odo Helenı́stico
Comienza con la muerte de Alejandro Magno (356-323). Habı́a unificado Egipto y Persia en el imperio
Macedonio. Funda Alejandrı́a
300 a.C.: Euclides (?)
250 a.C.: Arquı́medes (287-212)
200 a.C.: Apolonio (?)
Perı́odo Helenı́stico
El Imperio Romano ya domina Grecia
Herón (s. I aC)
Menelao (fines s. I)
Ptolomeo (mediados s. II)
Pappus (fines s. III)
Catalina de Alejandrı́a (∼ 290 - 307)
Hypatia (∼ 370 - 415)
San Agustin (∼ 354 - 430)
Decadencia 100 a.C. - 500
Perı́odo muy turbulento, transición de la Antiguedad a la Edad Media, corrupción dentro del Imperio
Romano. División del Imperio. Movimiento de pueblos bárbaros e invasiones
2.
Roma y la Edad Media
Romanos
753-510 a.C. Monarquı́a (7 reyes en 243 años; eran electos de por vida, y concentraban el poder
religioso)
510-27 a.C. La República:
• Primera, Segunda, y Tercera Guerras Púnicas
• 212 a.C. Muerte de Arquı́medes, durante la conquista de Siracusa (camino a Cartago, durante
la 2da)
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• 150 a.C. Destrucción de Cartago
• 100 a.C-44 a.C. Julio César (Galias, guerra civil, se hace proclamar Dictador)
• 27 a.C. su hijo adoptivo Octavio Augusto es nombrado Emperador, vence a Marco Antonio y
Cleopatra en el 30 a.C. y anexiona Egipto
27 a.C. - 476 d.C. El Imperio.
• Hasta el 14 d.C. gobierna Augusto
• le siguen sus descendientes (14 al 69, a cual peor: Claudio, Tiberio, Calı́gula y Nerón)
• en el 69 hay 4 emperadores, 69-96 dinastı́a Flavia
• 96-180 Los cinco emperadores (Antoninos) buenos, máxima expansión del Imperio. Les sigue
Cómodo...
[graf ico1]
Imperio Romano
Situación:
Latı́n, idioma único de Siria a España
Dominio de rutas terrestres y del Mediterráneo
Problema:
Se frena la expansión
Se construyen muros en Inglaterra y el sur de Alemania
Los bárbaros intentan entrar
193: Muere Cómodo, comienza la anarquı́a y el desmembramiento (año de los 5 emperadores)
Decadencia
224: Los Persas llegan hasta Siria
235-284: El ejército nombra al Emperador, al Senado ni se lo consulta
238 y 260: años con seis emperadores...
Los bárbaros siguen presionando
Problemas:
El poder en el ejército depende de los triunfos, la administración del Imperio queda en mano de los
oficiales, y la tropa se forma con mercenarios.
Entran media docena de religones orientales, monoteı́stas, basadas en la Revelación personal, la magia,
o la astrologı́a. La religión oficial es la del Sol Invictus.
De unos cuarenta emperadores, ninguno muere de muerte natural (excepto uno, que murió en su cama
de noche y no se sabe de qué)
Dioclesiano
284: Gobierna durante 20 años y ordena el imperio (lo divide en dos, cada uno con un Cesar y un
Augusto)
Aumenta el poder del ejército y quita poder al Senado. Arma nuevas legiones pero con mercenarios
bárbaros
Religión: se proclama hijo de Júpiter (los cristianos no le reconocen origen divino y son perseguidos)
Economı́a: fija censos e impuestos basados en el número de esclavos, de ganado, y de bienes (la Iglesia
Católica debe pagar, otras no)
Problema: están excentos de impuestos la clase alta, el ejército, los burócratas, los gremios, los religiosos.
Sólo paga el pueblo
Consecuencias: para no pagar,
Comienzan a liberar sus esclavos
Venden sus hija/os como prostitutas/esclavos
Ceden sus tierras a los nobles (que no pagan)
• Estos los dejan vivir en ellas a cambio de una parte de lo que produzcan
• Liberan a sus esclavos porque ya no los necesitan
Otro problema: Se frena la movilidad social
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los hijos de nobles, campesinos, militares, panaderos, médicos, burócratas,... son nobles, campesinos,
militares, panaderos, médicos, burócratas,...
Los gremios de médicos y albañiles se fortalecen (panaderos y carniceros no tanto)
Los hijos de militares se lesionan para no combatir
• eso obliga a mantenerlos, y pagarles una pensión
• el ejército incorpora más y más mercenarios
En esta época se termina la matemática griega, Pappus es la última figura importante.
Constantino
312: Emperador de la parte Oriental (Siria, Egipto, Grecia, Yugoslavia), se levanta contra Roma
Los vence, pero no los invade: separa definitivamente el Imperio. Reconoce a la Iglesia Católica, que
por primera vez es aceptada, y le impone a Occidente no perseguirla más. Hay tolerancia religiosa, y los
paganos ocupan puestos civiles y militares
Se produce una división económica muy conocida: el oeste produce materias primas y el este las manufacturas. Comercia con Oriente y fomenta la cultura.
337: Muere, y los hijos arruinan todo...
La historia se repite
Los hijos son incapaces de gobernar el imperio, un sobrino reinstala el paganismo, aparece un emperador
de 5 años (Valentiniano II), todo militar exitoso es candidato a emperador (con lo cual se mataban entre
ellos)
Los bárbaros entran y salen de las fronteras del imperio, y finalmente logran establecerse en distintos
lugares: Galia (406), España (408), Marruecos (430), Argelia y Egipto (450). La propia Roma es invadida
en el 410 y el 455.
[graf ico2]
La Iglesia
En esta época se ubica a la par del Emperador y no reconoce su soberanı́a. El pueblo elige a los Obispos.
San Ambrosio llega a excomulgar a un emperador. Está muy dividida, en Bizancio no reconocen al Papa.
Los Hunos
376: Llegan al Danubio
432: Atacan al Imperio, y Teodosio II les paga tributo para que no invadan
Atacan a los persas, armenios, godos, germanos, y eslavos, provocando migraciones de estos pueblos
que son los que invaden el Imperio Occidental
Cada vez les pagaban más, pero Atila invade el Imperio Oriental, toma Belgrado y destruye Sofı́a.
Invade Serbia, Grecia, Yugoslavia... (2tn de oro para que se vaya y las tierras bajo el Danubio)
450: Invade la Galia, lucha contra los visigodos (Tolosa, España)
451: Pierde su primera batalla tratando de invadir Orleans, y se retira por el norte de Italia
Saquea Brescia, Bérgamo, Padua, Verona, y Milán sin que puedan frenarlo.
452: El Papa León I sale a su paso y logra que se retiren de Italia
Ahı́ crece la figura del Papa, hasta el momento era sólo un obispo más, el Patriarca de Occidente, a
la par con el de Oriente, y sin mayor influencia. La Iglesia Ortodoxa Griega (autocéfalas) y los Coptos
Egipcios no aceptaron sus órdenes, tampoco la Ortodoxa Copta, y se produce el cisma
518-610: El Siglo de Justiniano (483-565)
527-565: Emperador de Bizancio. Recupera territorios (Italia, sur de España, norte de Africa) y
ordena el Imperio.
Reconce al Papa de Roma y le quita privilegios a las religiones no-cristianas y a los monofisitas (hasta
que se casa con una), interviene en las decisiones de la Iglesia, dicta decretos religiosos, organiza
concilios y hasta destierra a dos Papas (Silverio y Vigilio)
529: Cierra las escuelas filosóficas paganas, los sabios se dispersan (se funda el monasterio de Monte
Cassino) Por ej. Filopón (490-566), que niega que los pesos caigan a distintas velocidades
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Papa Gregorio el Magno
590: El Papa Gregorio el Magno fortalece Roma y la Iglesia. Se encarga de la administración pública,
negocia con los invasores, y divide Europa en obispados y abadı́as.
Importante:
Música: realiza una recopilación de los himnos y la música sacra clásica, renovándola
En las iglesias se enseña a leer y pasan a ser centros de educación teológica y técnica
Cada monasterio debe tener al menos una persona capaz de calcular la fecha de la Pascua
Consecuencias:
Aparecen distintos sabios conocedores de los textos griegos y los primeros eruditos:
Isidoro de Sevilla (570-636) ’el más sabio de su tiempo’. Una copia de sus Orı́genes (de 992) contenı́a
los dı́gitos hindo-arábigos (sin el 0)
Beda el Venerable (673-735), estudió la matemática del calendario eclesiástico
Alcuino de York (735-804), escribió más de 30 libros
Juan Escoto Erı́gena (810-877), irlandés, teólogo
Carlomagno
El Papa lo proclama Emperador en Roma la Nochebuena del 800. Convoca a Alcuino de York para que
prepare un sistema de enseñanza.
Escribe el primer libro de problemas matemático, bastante elemental pero interesante.
La India
(476-550) Aryabhata I
(598-670) Brahmagupta
(600-680) Bhaskara I
(1114-1185) Bhaskara II
El Califato
En el año 632 muere Mahoma. Los califas que le siguen van extendiendo su área de influencia.
750 :
[ver
mapa3]
Como el Imperio romano, el Califato se divide en dos (Damasco y Bagdad) Después aparecen otros, en
Africa y Egipto
Problema: ¿dónde estaban los textos que preservaron?
Los Arabes
(780-850) Mohammed Ibn Musa Al-Khwarizmi
(940-998) Abul Wafa Muhammad Ibn Muhammad Ibn Yahya Ibn Ismail Buzjani
(953-1029) Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji
(965-1039) Abu Ali al-Hasan Ibn Al-Haitham
(1048-1122) Omar Khayyam
Aparte de transmitir y desarrollar las ideas griegas clásicas, agregan una novedad:
Para su teologı́a, Alá creó todo para el hombre, para que lo domine y lo explote; las ciencias en general
y en particular la más importante de todas (la geometrı́a) le fueron dadas como una herramienta para
hacerlo.
Estudiar la naturaleza y el orden de las cosas era una orden divina para poder utilizarlos, y por lo tanto
las ciencias debe apuntar a fines prácticos.
Aristóteles o Platón hubiesen dicho que ”ciencia útil” era un oxı́moron. Tampoco el cristianismo hubiese
llegado rápido a esta idea: el mundo era una versión provisoria, corrupta e impura del divino.
Antecedentes de las Cruzadas
732: Batalla de Tours o Poitiers: Carlos Martel los frena
965: Los árabes toman Sicilia
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969: Bizancio recupera Antioquı́a
985: Los turcos la reconquistan
1012: al-Hakim destruye la Iglesia del Santo Sepulcro
1055: Los turcos selúcidas toman Bagdad (eran iranı́es, convertidos al Islam)
1070-1080: Toman Jerusalem y vencen al Imperio Romano (ocupan Siria, Jordania, Lı́bano, Armenia,
y gran parte de Turquı́a)
Tienen acceso al Mediterráneo, y perjudican el comercio tanto con Oriente como también con el
norte de Africa
Cruzadas/1
1090: Alejo I de Constantinopla se reúne con el Conde de Flandes
1096: 1ra Cruzada, capturan Nicea (97), Edessa y Antioquı́a (98), Jerusalem (99)
1101: Gran fracaso, toman Ankara y los aniquilan. En los años siguientes los turcos reconquistan
territorios
1147-49: 2da Cruzada, llegan a Damasco y son derrotados
1169-87: Saladino toma Egipto, Damasco, y Jerusalem.
1189-92: 3ra Cruzada, toman islas (Chipre) y ciudades (Akka), no pueden reconquistar Jerusalem y
firman un tratado
1200-1204: 4ta Cruzada, deciden atacar Egipto desde Venecia, pero el Imperio Bizantino no aporta
recursos y se matan entre ellos (saquean Bizancio)
1217-1229: 5ta Cruzada, recuperan Egipto y Jerusalem (se las pierde definitivamente en 1244 y 1249)
Cruzadas/2
Penı́nsula ibérica:
850: León
997: Oporto
1064: Coimbra
1087: Toledo
1118: Zaragoza
1147: Lisboa
1212: Calatrava y Tolosa
1236 y 1238: Córdoba y Valencia
1248: Sevilla y Murcia
Consecuencias
Se discute todavı́a hoy qué aportaron las Cruzadas en materia cientı́fica, y si favorecieron el despertar
de la ciencia de los siglos XI y XII
Sı́ está claro que estimularon el aprendizaje de idiomas, y con Gerberto de Aurillac (940-1003, Silvestre
II) comenzó el ’siglo de las traducciones’
Fue el primero en enseñar las cifras arábigas, y escribió sobre aritmética y geometrı́a (’paper’ con el área
del triángulo isósceles)
Traducciones
Tras la conquista de Toledo, fue un centro y escuela de traductores, iban de toda Europa. Se traducen:
1126 Al-Khwarizmi
1142 Los Elementos
1155 Almagesto
Gerardo de Cremona traduce 85 obras
Las Universidades
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JUAN PABLO PINASCO
Desde el 800 la Iglesia instala escuelas superiores en las catedrales. Se enseña el trivium: retórica, dialéctica y gramática. Unos pocos comienzan a reconstruir el cuadrivium: aritmética, música, geometrı́a y
astronomı́a. Se llega a un número aceptable de estudiosos.
Se fundan 52 universidades antes del 1400, 29 dependen de la Iglesia (las otras 25, de mecenas particulares
o de ciudades). En 1088: Bologna. Para 1200: Nápoles, Salerno, Padua, Salamanca, Valladolid, Toulouse,
Parı́s, Oxford, Cambridge
Abelardo (1079-1142)
Caballero de la Dialéctica. En Parı́s ataca a los maestros, se pelea con Guillermo de Champeaux. Este
modifica su enseñanza, pero Abelardo sigue. Lo hecha, pero los alumnos lo dejan, y Guillermo deja la
enseñanza. Vuelve a buscar rivales, pero los teólogos están por encima de él, y estudia teologı́a. Busca a
Anselmo, el teólogo más respetado, y se pelea también, pero ya es reconocido por todos.
Eloisa (1118)
El 39, ella 17 ”bonita y tan cultivada que su ciencia es ya célebre en toda Francia”. Sobrina de otro
clérigo, Fulbert, que se la confı́a como alumna. Un dı́a los soprende, los separan, pero se siguen viendo. Queda
embarazada (Astrolabio). Abelardo ofrece casarse (ella se niega, por no perjudicarlo). Se casan, Abelardo
quiere mantenerlo en secreto, Fulbert no, y ella se retira a un convento para aplacar los comentarios. Fulbert
y sus amigos lo castran.
El intelectual
Después, recorre distintos monasterios, vuelve a la docencia, escribe distintos textos. Se pelea con san
Bernardo, lo excomulgan y queman sus obras, al año lo perdonan.
Método: lógica y dialéctica; reclama unir la lógica y la fe; eliminar las contradicciones.
Jordanus Numerarius (1050 / 1220 / 1381 ?)
’Primer fı́sico matemático’
Estática
Peso sobre planos inclinados
Niega la acción a distancia
Escolasticismo
Lectio
Quaestio
Disputatio
Quodlibet
Financiación
¿Sueldo (trabajador) o beneficio (rentista eclesiástico)?
Sueldo: ¿de alumnos (comerciante) o de los poderes civiles (funcionario o sirviente)?
Alumnos: ¿becas o prebendas (eclesiásticas)?
Conflictos
docentes - Iglesia. El Concilio de Letrán de 1179 establece:
• La prohibición de ordenar clérigos sin los correspondientes medios de subsistencia.
• La prohibición de exigir pago por dar la bendición, administrar los sacramentos o enterrar a los
difuntos.
• El establecimiento en cada iglesia catedral de un beneficio que permita un maestro encargado
de la enseñanza gratuita de los clérigos y a los estudiantes pobres.
Les arruina el negocio a varios...
docentes - docentes
HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS
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• Hasta entonces, el intelectual era un monje, ahora es un clérigo (pero no necesariamente un
religioso), y esto limitaba los laicos.
• Para ser teólogo, habı́a que completar el Trivium y el Cuadrivium, pero las carreras se alargaban.
Entraban a los 14, y:
6+6 para medicina o leyes
6+6+4 para teologı́a, mayor de 35 años para el doctorado
• Las artes (6 años) generaban intelectuales por afuera del sistema. También el comercio (Fibonacci, 1170-1250) y gremios.
• Las órdenes mendicantes comienzan a participar de la enseñanza.
Universidad - iglesia
• Cada universidad se especializa en un tema: León, teologı́a; Chartres, fı́sica; Orleans, poesı́a;
Parı́s, el trivium;... Los estudiantes viajan de un lado a otro para conseguir las mejores clases.
• Los libros y mantenerse cuesta muy caro.
• Protestan contra los privilegios.
Universidad - poderes laicos
• En 1229 se enfrentan en Parı́s con la guardia real y mueren muchos estudiantes. La Universidad
entra en huelga y se retiran a Orleans durante dos años
• En Oxford, liderados por Grosseteste, se enfrentan con el rey Enrique III (1232-38-40)
• En Bolonia, en 1278, la comuna interfiere en la entrega de tı́tulos y nombramiento de profesores
Más problemas
Parı́s, 1252-1259
Los mendicantes son competencia desleal (no reclaman el pago por sus cursos, no se unen a huelgas)
No son trabajadores cientı́ficos porque no viven de su enseñanza (!)
1254: Inocencio IV los restringe.
1255: Alejandro IV anula la restricción.
1257: Roberto de Sorbón, 12 estudiantes pobres.
Algunos nombres:
Robert Grosseteste (1175-1253)
De sphera, astronomı́a
Luz, óptica, el arcoı́ris, mareas
De lineis, angulis et figuris
Guillermo de Ockham (1300-1350)
lógica, rechazo a la fı́sica aristotélica
Juan Buridan (1300-1358)
impetus (→ momento / inercia) (no se gasta sin la resistencia de un medio; proporcional al tamaño
de un cuerpo)
asno de Buridan (en realidad, argumento contra la teorı́a de Aristóteles del movimiento)
Alberto de Sajonia (1316-1390)
esfericidad de la tierra
donde medir la velocidad radial?
Nicolás Oresme (1323-1382)
Defiende el movimiento terrestre (argumento del beneficio!)
Teorema del valor medio para velocidades que varı́an uniformemente; coordenadas.
La serie armónica diverge.
Discusiones
Papel del intelectual
¿Trabajan? (Santo Tomás de Aquino, 1225-1274)
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¿Se deben prestar los libros? (San Buenaventura, 1221-1274)
¿Alcanza con la razón? (Roger Bacon 1214-1294)
3.
3.1.
3.1.1.
EL NÚMERO
Los griegos y la aparición de los irracionales.
Palámedes ∼ 1200 a.C..
Inventó los números
Platón no lo cree:
”Acaso el Rey Agamenón no sabı́a cuántas manos tenı́a?”
11 (16) letras
pesos y medidas
chistes
dados
ajedrez
(también habrı́a inventado los grados militares para la guerra de Troya)
3.1.2.
Pitágoras. ∼ 582 a.C. - 507 a.C.
Nace en Samos, Grecia
Viaja por Mesopotamia, India (?), Egipto
Secta mı́stico-académica centrada en el número
(subordinada a Pitágoras)
Descubren los irracionales
3.1.3. Irracionales.
Se dice que intentan esconderlos, o negarlos
Porque contradicen la omnipotencia del Número
¿Será ası́? ¿O será al revés?
Primer ’cambio de paradigma’ matemático: los dedos (y los números que se arman con ellos) no alcanzan
para medir ciertas cosas.
[El próximo ’cambio de paradigma’ serı́a con Cantor, los números conocidos no alcanzan para contar
ciertas cosas]
¿Cómo fueron descubiertos?
Proposición 47:
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de
los catetos.
√
a2 + b2 = c2 −→
2 es irracional
La razón áurea
1:x
como
x : (1 − x)
Pentágono regular
Teorema 3.1. Si 1 es a x como x es a 1 − x, entonces x es irracional.
HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS
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Idea:
a
b
con a, b ∈ N, tal que b es el menor posible, y construir uno más chico.
Demostración: Si x = a/b con a, b ∈ N,
a
1
£ b a¤
a =
1− b
b
x=
a
b
=
a
b−a
a
b−a
=
b
a
Pero como 0 < x < 1, a < b y conseguimos una fracción con denominador más chico.
Tendrı́an el concepto de mı́nimo elemento para esa demostración?
Mejor, partiendo de un segmento de longitud a + b, se genera adentro una sucesión infinita de puntos
naturales, lo cual es un absurdo.
En forma similar, las intersecciones de las diagonales de un pentágono dan un nuevo pentágono, de lados
enteros pero más chicos. Y se puede hacer algo parecido con un cuadrado.
[acá tendrı́a que ir una imagen del cuadrado]
Aristóteles (384 - 322 a. C.) menciona la demostración clásica con a2 = 2b2
Platón (428 - 348 a. C.) dice que Teodoro demostró la irracionalidad para las raı́ces de 2, 3, 5,..., y se
detuvo en 17 (exceptuando 9 y 16)
Se conocı́an muchas clases de irracionales para entonces.
3.1.4. Euclides.
Los Elementos ∼ 300 a. C. contienen un gérmen de la teorı́a de números.
Se distinguen los números primos (no hay infinitos, sólo hay más que cualquier cantidad prefijada)
El Libro V al estudiar proporciones hace un truco astuto: para manejar proporciones, sean racionales o
no, a : b es igual a c : d si dados m, n arbitrarios y ma < (=, >)nb también mc < (=, >)nd.
(permite manejar los irracionales sin especificar quiénes son)
3.1.5. Clasificación de los Irracionales. ,
Libro X de Euclides: La croix des mathematiciens
(si alguien tiene ganas de profundizar, es un buen tema para el final)
3.1.6. Decadencia. La decadencia: Cuando la matemática griega se frena, la principal contribución viene
de Diofanto (s. III d. C.).
Comienza el álgebra.
3.2.
Los números negativos.
3.2.1. La India y los arabes.
Entre el s. III y el s. XII no hay gran actividad en Europa en materia de números. En la India se
comienzan a utilizar los negativos, el cero y las cifras arábigas.
Los árabes vuelven a un enfoque más geométrico.
Preservan, traducen y transmiten las obras griegas y los métodos hindúes, e introducen algunas cosas
nuevas.
3.2.2. La Europa Medieval.
Para el año 1000 se conocen las cifras arábigas
Fibonacci (∼ 1200) las difunde
Menciona un número negativo, y lo interpreta como una deuda
Afirma que cierta raı́z de una cúbica no es uno de los irracionales del Libro X de Euclides
12
JUAN PABLO PINASCO
3.2.3. Simon Stevin (1548-1620).
Logra ’traducir’ el Libro X de Euclides.
Introduce las fracciones decimales (resistencia: 1/3)
Utiliza exponentes fraccionarios (sólo positivos)
3.2.4. Descartes (1596-1650).
Escribe las ecuaciones cuadráticas como
x2 = ax + b
x2 + ax = b
(con a y b positivos). Elimina las raı́ces negativas [falsas]
De a poco empieza a utilizarlos cada vez más, y da reglas para transformar las raı́ces negativas de una
ecuación en positivas, y viceversa.
También para transformar los coeficientes de un polinomio en enteros.
3.2.5. Wallis (1616-1703).
En el 1660 interpreta los negativos como distancias a izquierda o a derecha de un punto prefijado.
Es lo que faltaba para darles carta de ciudadanı́a.
3.3. Kepler (1571-1630).
Las tres leyes
Los planetas se mueven en órbitas...
...qué tiene que ver eso con los números???
Nada ni nadie garantiza que los perı́odos sean conmensurables entre si.
...y eso a quién le importa???
3.3.1. A Christiaan Huygens (1629-1695).
La historia es demasiado larga.
Gran constructor de relojes, quiere construı́r un sistema solar ’con engranajes’.
Pero quiere que las rueditas tengan el menor número de dientes.
Por ejemplo,
31
π∼
10
157
π∼
50
3141
π∼
1000
Dos ruedas dentadas de 3141 y 1000 dientes aproximan a π con tres decimales.
π∼
22
= 3,14xxx
7
333
= 3,1415xxx
106
355
= 3,141592xxx
π∼
113
π∼
son mucho mejores!
3.3.2. Un problema:
Dado α ∈ R, n ∈ N, hallar p, q ∈ N tales que
|α − p/q| ≤ |α − r/s| ∀r, s ∈ N cons ≤ n
Es el problema de mejor aproximación por racionales
HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS
13
3.3.3. Fracciones continuas.
Huygens, Wallis, y Euler (1707-1783)
α = [α] +
1
1
= [α] +
1/(α − [α])
[1/(α − [α])] + 1/(1/...)
Teorema 3.2. El desarrollo es finito si y sólo si α ∈ Q.
Demostración: ejercicio para la clase ’práctica’
Teorema 3.3. Sea α ∈ R − Q escrito en fracción continua, y pk /qk el k-ésimo convergente. Entonces:
1. p0 /q0 < p2 /q2 ¯< p4 /q4¯ < ...α < ...p3 /q3 < p1 /q1
pk ¯
1
1
¯
2. qk (qk+1
+qk ) < α − qk < qk qk+1 (Lagrange, 1770)
3. pk /qk es una aproximación racional óptima.
3.3.4. Liouville (1809-1882).
Grado de la aproximación: como qn < qn+1 , tenemos
¯
¯
¯α − pk ¯ < 1
qk
qk2
Definición: Dado α ∈ R se dice que es r-aproximable si existen c ∈ R e infinitos valores pk , qk ∈ N tales
que
¯
¯
¯α − pk ¯ < c
qk
qkr
Teorema 3.4 (Liouville (1844)). Sea α raı́z de f (x) ∈ Z[x], polinomio de grado d. Entonces, para todo
ε > 0, no es d + ε aproximable.
Corolario 3.5. Hay números que no son raı́z de ningún polinomio.
Ejemplo:
X
10−k!
k
Demostración: ejercicio para la clase ’práctica’
3.3.5. Conclusión:
Euclides, hay más números en el Cielo y en la Tierra que los que tu filosofı́a puede imaginar.
3.4.
Reales.
N, Z, Q, Irracionales...
y dentro de estos, Algebraicos y Trascendentes.
1) ¿Cuántos son estos trascendentes?
2) ¿Quiénes son estos trascendentes?
3) ¿Serán todos los puntos de la recta?
4) ¿Habrá más números?
Respuestas
1) Son la gran mayorı́a
2) Son los números que no son raı́ces de polinomios
3) Si
4) Si
14
JUAN PABLO PINASCO
3.4.1. Stolz 1886.
(Después de redescubrir los artı́culos de Bolzano)
Un número irracional puede representarse como un decimal no periódico
(Wallis (1696) habı́a probado que los racionales eran periódicos)
3.4.2.
Dedekind 1858 y 1872.
Cortaduras
Utiliza que cantidades monótonas crecientes y acotadas se aproximan a un lı́mite (evidencia geométrica)
Hamilton tuvo una idea similar
” El número irracional α no es la cortadura misma, sino algo distinto, que le corresponde y la produce ”(carta a Weber, 1888)
3.4.3.
Cantor y Cı́a. 1872:
Sucesiones de Cauchy
Define una sucesión fundamental de racionales {an } si para todo ε prefijado, para m suficientemente
grande,
|an+m − an | < ε
Cada sucesión posible determina un número real.
Dos sucesiones {an }, {bn } son equivalentes si la diferencia |an − bn | tiende a cero.
Define las operaciones y demuestra un resultado clave: dada una sucesión de Cauchy {bn } con bn arbitrarios, demuestra que existe {an } equivalente de racionales.
Su idea se utiliza mucho... (Completación de un espacio métrico; Espacios de Sobolev) ...menos para los
números reales!
técnicamente pasa al cociente (los reales son las clases de equivalencias de las sucesiones de Cauchy),
En el medio de todo esto define la noción de punto de acumulación,
demuestra el teorema de Bolzano-Weierstrass,
utiliza argumentos diagonales,
evita argumentos circulares (?)
Pregunta:
Cauchy basó la idea de lı́mite en la de número real, esto es basar la de números en lı́mites
Cantor criticó a Weierstrass que si el lı́mite es irracional, entonces no tiene existencia lógica a menos que
se hayan definido primero los irracionales (Para que una sucesión converja a algo, el algo debe existir)
Su teorı́a sólo utiliza que el lı́mite es cero
Pero... ¿quién es ese ε que aparece por ahı́? (se puede reducir a racionales, tomando 1/n, pero tampoco
está claro quiénes son estos)
3.4.4.
Otros:
Weierstrass 1859
Kossak (1872) -clases de W., W. lo desautoriza
Charles Meray 1869
Heine 1872
Todos utilizan sucesiones de una u otra forma.
Hacen falta sı́ o sı́ infinitas cosas para definirlos (cifras, elementos en las cortaduras, una sucesión)
Todos utilizan los racionales, pero...
HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS
3.5.
15
Racionales, Enteros, y Naturales.
Weierstrass (1860): racionales como pares de enteros
Dedekind (1872-1878): enteros
Peano (1889): axiomas de los naturales
• 1 es un natural
• 1 no es el sucesor de nigún otro natural
• Todo natural a tiene un sucesor
• Si los sucesores de a y b son iguales, a = b
• Inducción
3.5.1.
Hilbert 1900.
Método axiomático
• Dieciseis axiomas de cuerpo ordenado
• Arquimedianidad
• Completitud
3.6.
Hasta el infinito... y más allá.
Cantor:
• Cardinales
• Ordinales
Du Bois Reymond
• Infinitesimales
Conway
• Surreales
3.6.1. Cantor.
Definición: A y B tienen el mismo cardinal si existe una biyección f : A → B (A ∼ B).
Teorema: [Cantor-Bernstein] A ∼ B si y sólo si existen f : A → B y g : B → A inyectivas.
Ej: N ∼ Z
Ej: N ∼ Q
Ej: (0, 1) ∼ R
Definición: A se dice numerable si es finito o tiene el mismo cardinal que N
Teorema 3.6 (Cantor). R no es numerable (Harnack, casi en simultáneo, da la paradoja de los cubrimientos).
Teorema 3.7 (Cantor). Los números algebraicos son numerables.
Corolario 3.8 (Cantor). Los números trascendentes no son numerables.
Pregunta: Existirá A ∈ R no numerable pero de cardinal menor al de R?
† Paul Cohen, 2 de Abril de 1934-23 de Marzo de 2007
16
JUAN PABLO PINASCO
3.6.2. John Conway.
Surreales (On Numbers and Games)
Querı́a describir juegos combinatorios, y generalizó:
la construcción de von Neumann de los ordinales
las cortaduras de Dedekind para los reales.
Cada surreal es un par ordenado de conjuntos de surreales.
El más simple es el vacı́o de cada lado, define el cero: ({}, {}) = 0
Los demás se definen y ordenan recursivamente,
x > y si existe z a la izquierda de x tal que z = y o z > y
x < y si existe z a la derecha de x tal que z = y o z < y.
Además:
({0, 1, ..., n}, {}) = n + 1
({}, {0, −1, ..., −n}) = −(n + 1)
({x}, {y}) = (x + y)/2.
Vı́a los racionales diádicos, están los reales por Dedekind
Suma y producto están bien, pero aparecen otras cosas:
({0, 1, ..., n, ...}, {}) = ω
({0}, {1, 1/2, ..., 1/n, ...}) = ε
({0, 1, ..., n, ...}, {ω}) = ω − 1
(!)
√
ω
ω − k,
ω/2,
2
ω + k,
2ω,
Ω
Y eso no es todo: ({0}, {0}).
Ya no son números, sino games.
4.
Astronomia
División en épocas:
El movimiento planetario y Ptolomeo ??-1500 d. C.
Copérnico, Digges 1500-1600
Kepler, Newton, Euler, Lagrange, Laplace. 1600-1800
El problema de los tres cuerpos. 1800-1900
Lyapunov, Poincaré, y el nacimiento de la teorı́a de sistemas dinámicos. 1900-??
4.1.
Ptolomeo y el movimiento planetario.
4.1.1. Babilonia.
∼ 1600 a.C.
Tenı́an mucho interés en la astrologı́a
Registran los movimientos de Venus
∼ 700 a.C.
Se registran datos muy precisos de eclipses solares y lunares (permite distinguir ciclos de 18 años en
eclipses)
∼ 300 a.C.
Se predice el movimiento planetario
4.1.2. Egipto.
Ciclo Sothiaco (Sirio)
Se elevaba justo sobre el Nilo antes del amanecer,
coincidı́a con el solsticio de verano y comenzaban las inundaciones
Sirio se atrasaba un dı́a cada cuatro años, el ciclo duraba 1460 años
HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS
17
4.1.3. Grecia.
Calendario
Ciclo de Metón ∼ 432aC
19 años, con 235 meses lunares (7 años ’bisiestos’, 13 meses en vez de 12)
Platón (427-347 a. C.) Divide la enseñanza de la matemática en aritmética, geometrı́a, astronomı́a y
música (idea de Pitágoras; pura, estática, dinámica, aplicada)
Eudoxo (300 a. C.) Geometrı́a esférica. La aplica a la astronomı́a
Aristóteles (384-322 a. C.) Postula que la Tierra es esférica, porque proyecta sombras circulares en
los diferentes eclipses.
Modelo geocéntrico: una Tierra estacionaria en el centro del Univorso, y los planetas y estrellas girando
en esferas alrededor (Luna, Sol, Venus, Mercurio, Marte, Jupiter, Saturno, estrellas fijas).
Otros
Aristarco de Samos (310-230 a. C.) calculó los tamaños del sol y la luna, y sus distancias a la tierra
(con grandes errores)
Eratóstenes (275-194 a.C.) calculó el radio terrestre por semejanza de triángulos.
Posidonio (∼135-51 a.C.), nuevos cálculos: distancia al sol, la mitad; tamaño del sol, mejor; radio
terrestre, muy chico
Apolonio (250-175 a. C) Introduce excentricidades y epiciclos. Introdujo también las cónicas. No se
le ocurrió reemplazar cı́rculos por elipses
Hiparco (190-120 a.C.) Inventa y desarrolla la trigonometrı́a. Postula un sistema heliocéntrico (no
tuvo mucha aceptación). Calcula mejor la distancia a la luna, y propone un modelo de su movimiento con
epiciclos.
Postula un sistema para catalogar las estrellas por su brillo (se sigue usando hoy dı́a, con ciertas diferencias)
4.1.4. Ptolomeo (90-168).
Almagesto ” El gran tratado”
Tiene tres partes, las dos menos conocidas son:
catálogo con 48 constelaciones de la zona que ve, otras que no, y más de 1000 estrellas en total
tabla trigonométrica (la primera)
Tablas de Ptolomeo
Mide la cuerda de un ángulo en un cı́rculo con radio r = 60
Va de a 1/2 grado hasta 180◦
Apenas tres cifras correctas
Por su precisión, son utilizables hoy dı́a
Conocı́a identidades trigonométricas
El modelo Ptolemaico
Es un modelo matemático, elige entre dos opciones:
• cı́rculo concéntricos con epiciclos
• cı́rculo ex-céntricos con (menos) epiciclos
Es geocéntrico porque la Tierra es el origen de coordenadas, pero no se preocupa por la realidad ni
las causas del movimiento (y lo dice claramente), sólo ajusta los datos
La Tierra no está en el centro: el cı́rculo de cada planeta está centrado en un punto distinto, y la
órbita es excéntrica
Los planetas superiores agregan un epiciclo, y los inferiores un deferente (la vuelta que da el Sol
alrededor de la Tierra)
Contrario a lo que se dice, no hacen falta muchos cı́rculos para lograr una buena aproximación
Introduce el ecuante
Una imagen vale por mil palabras
18
JUAN PABLO PINASCO
[¿¿¿Y por qué no hay una???]
El Ecuante
Es el punto opuesto al ex-centro
El Sol/planeta no se mueve con velocidad uniforme alrededor de la Tierra o del centro del cı́rculo.
Se mueve con velocidad uniforme respecto al ecuante
Es equivalente a la 2da Ley de Kepler
4.2.
Copérnico y Digges.
4.2.1.
Copérnico (1473-1543).
1497: Viaja a Italia y estudia para sacerdote
1514: Commentariolus, breve texto exponiendo sus ideas
1533: Expone sus teorı́as ante el Papa Clemente VII y varios cardinales
1536: Uno de ellos, Arzobispo romano, lo urge a publicar y paga las costas del libro
1539: Rheticus lo decide
1543: De revolutionibus orbium coelestium... ¡aún con más epiciclos!
4.2.2. Tycho Brahe (1546-1601).
Excelente recolector de datos y mediciones. Su visión está considerada en los lı́mites del ojo humano.
observa una supernova (1572)
1577: demuestra que los cometas no son fenómenos atmosféricos
confirma el movimiento retrógrado de Marte
Su sistema solar era mixto
4.2.3.
Digges (1546-1595).
1573: Calcula la posición de la supernova de Tycho
• Polémica con Tycho (¿Hamlet? El hermano de Digges era amigo de Guillermito Shakespeare,
parece que le sugirió el argumento para The Tempest, y prologó alguna de sus obras)
Probablemente inventa el telescopio
A Perfit Description of the Caelestial Orbes, 1576
1586-1594: Holanda se separa de España
1608: Tres holandeses intentan patentar el telescopio el mismo mes
4.3. Kepler (1571-1630).
1596: Mysterium cosmographicum
Comienza a trabajar con Tycho en 1600
Éste muere en 1601 y ” hereda”sus mediciones
En 1604 tiene su ”guerra con Marte ”
Logra explicar el movimiento retrógrado
1609:
Teorema 4.1 (Primera Ley). Los planetas se mueven en elipses con el Sol en uno de sus focos.
Teorema 4.2 (Segunda Ley). El radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales.
1617:
Teorema 4.3 (Tercera Ley). El cuadrado del perı́odo orbital es proporcional al cubo del semieje mayor de
la órbita.
Un poco de matemáticas
• Integración por indivisibles
(Truchı́simo pero funciona)
Nova stereometria doliorum vinariorum, 1615
• Difunde la obra de J. Napier (1550-1617), los logaritmos
HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS
19
(Habrá usado algo similar a cuadrados mı́nimos?)
Problema:
Pese a todo, el movimiento de la Luna no se podı́a describir bien
4.3.1.
Kepler vs. Galileo.
25-7-1610: Galileo informa
smaismrmilmepoetaleumibunenugttauiras
Kepler al fin lo decodifica:
Salve
umbistineum
geminatum M artia proles.
Pensó que habı́a descubierto dos lunas de Marte, pero era
Altissimum
planetam
tergeminum
observavi.
(en realidad, eran anillos, pero los veı́a como dos bultos alrededor del planeta)
Un mes después, Galileo escribe:
Haec
immatura
a
me
jam f rustra legunturoy
(lo he intentado en vano, era demasiado pronto)
Kepler traduce:
M acula ruf a in Jove est gyratur
(En Júpiter hay una mancha roja que gira matemáticamente)
Seis meses después (1611), Galileo aclara:
Cynthiae
f iguras
aemulatur
mathem,
mater
etc.
amorum.
La Madre del amor (Venus) emula la forma de Cynthia (Luna). Esto ”quiere decir”que Venus presenta fases
como la luna.
Kepler le escribe a Galileo, para que descubra el final de la frase:
P or
que
no
...
Fue más diplomático: ”Le exijo que no nos deje con la duda del significado. Para que sepa, usted está tratando con verdaderos Alemanes. Piense en qué problema me coloca con su silencio”
4.3.2. Astronomos Jesuitas.
El calendario
1563 - Concilio de Trento
Las Iglesias Católicas y Bizantinas estaban desfasadas en unos diez dı́as desde el cisma.
El ciclo lunar daba un error de aproximadamente un dı́a cada trescientos años.
1572 - Gregorio XIII arma una comisión del Calendario
Clavius (astrónomo jesuita) y Luis Lilio (médico y astrónomo):
Lilio calcula congruencias para establecer el sistema de dı́as bisiestos, sus excepciones, y las excepciones
a las excepciones. Arregla el ciclo lunar.
Clavius (el ” Euclides de su tiempo”) termina el trabajo cuando Lilio muere (1576).
(Clavius fue quien corroboró las observaciones de Galileo en 1611, muere en 1612)
1582 - Se eliminan diez dı́as (del 4 al 15 de Octubre)
Cambios
1582 1700 1752 1873 1922 1923 -
Paı́ses católicos
Alemania
Inglaterra
Japón
Rusia
Grecia
20
JUAN PABLO PINASCO
1929 - China
Astrónomos
Pierre Gassendi (1592-1655) - experimenta - rechaza a Aristoteles - teorı́a de Tycho - se cartea con
Descartes, Kepler, Mersenna, Galileo, Christina de Suecia, Hobbes...
Christoph Scheiner (1573/1575-1650) - descubre las manchas solares (polémica con Galileo) - ” Rosa
Ursina sive Sol”(1626-1630), cuatro tomos con sus observaciones, instrucciones para construir telescopios, analiza su funcionamiento y el del ojo, y proyecciones
Johann Baptist Cysat (1587-1657) - ayudante de Scheiner - dibuja la Nebulosa de Orión - describe
los cometas y sus órbitas, en particular, afirma que una es parabólica
Remus Quietanus - se escribe con Kepler - le explica que la prohibición sobre Copérnico no corre
para ellos
Biancani (1566-1624), Grienberger (1561-1636), Acquaviva (1543-1615)
...
Fr. José Gabriel Funes (1963, Córdoba) Licenciado del FAMAF 1985, Lic. en Filosofı́a, Univ. del
Salvador, Lic. en Teologı́a, Pontif. Gregorian Univ. de Roma, Dr. en Astronomı́a, Univ. de Padua;
Director del Observatorio Vaticano desde 2006
4.4.
Galileo (1564-1642).
1611 Gran éxito de Galileo en Italia
El Colegio Romano (astrónomos jesuitas) analiza y certifica los descubrimientos de Galileo a pedido del
teólogo jesuita Robert Cardinal Bellarmine
En Roma dan banquetes en su honor.
Bellarmine
”Digo que si hubiera una demostración verdadera de que el Sol estaba en el centro del universo, y que
la Tierra está en la tercera esfera, y que el Sol no gira alrededor de la Tierra sino que la Tierra viaja
alrededor del sol, entonces será necesario explicar cuidadosamente las Escrituras que parecen contradecirlo,
y deberı́amos decir que no las entendemos lo suficiente como para decir que algo que hemos demostrado es
falso.”
Epistemológicamente, es una postura correcta.
Teológicamente, no!
Pruebas
En ese momento, la teorı́a de Tycho Brahe estaba en boga:
Tierra en el centro, Sol y Luna giran a su alrededor
El resto de los planetas giran alrededor del Sol
Estrellas fijas en el fondo
Si la Tierra se moviese, se verı́a un paralaje de las estrellas (Bessel, 1838)
Galileo
Elige el camino de la retórica y los insultos en vez de proporcionar pruebas
Tiene éxito en el Vaticano, pero va perdiendo apoyo de los astrónomos
Su única prueba es la hipótesis de que las mareas se producen por el movimiento de la Tierra, que
sostenı́a desde 1595 y la publica en enero de 1616
Arthur Koestler (The Sleepwalkers, 1959):
”No puede haber dudas de que la teorı́a de las mareas de Galileo estaba basada en un error inconsciente...
tampoco debe haber dudas de que sus argumentos fueron un intento deliberado de confundir y desviar...
Hemos visto que los académicos siempre fueron propensos a manı́as y obsesiones, y se inclinan a mentir
sobre ciertos detalles, pero imposturas como la de Galileo son raras en los anales de la ciencia.”
Entre febrero y marzo se obliga a presentar la posición heliocéntrica como una hipótesis y no como un
hecho, pero su estudio era válido entre ”los educados y los hábiles en ciencias”
1618 aparecen tres cometas entre octubre y noviembre.
HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS
21
1619 se pelea con los astrónomos jesuitas por la naturaleza de los cometas
1629 Retoma contacto con los españoles para venderles telescopios (lo indispone con los polı́ticos
romanos y florentinos)
1629/1630 Termina e imprime (con autorización) el (Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo
(no confundir con los Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno a due nuove scienze)
Dialogo
Dos errores tácticos:
1) Ignora el modelo de Tycho, respetado en la época, y por ende ignora a los principales astrónomos de
la época que lo utilizan.
2) Urbano VIII, gran admirador suyo y defensor del sistema de Copérnico, sugiere una estrategia para
hablar bien de la teorı́a heliocéntrica sin afirmar a la vez que sea cierta: si una teorı́a es consistente con
ciertos hechos, es posible que otra teorı́a completamente diferente también sea consistente con los hechos.
Pone las palabras del Papa en boca de Simplicio... y se burla.
4.5.
Newton, Lagrange, Laplace.
4.5.1. Newton (1643-1727).
No necesita presentación.
1687: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica
Un resultado ya clásico:
Teorema 4.4. La fuerza de atracción entre dos cuerpos es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.
(Lo anticiparon Robert Hooke y Christiaan Huygens, tal vez Edmund Halley)
En 1679 Hooke le escribe que las órbitas planetarias pueden explicarse por una fuerza central que vaya
torciendo la trayectoria.
Newton responde que si la Tierra se mueve, podrı́a verificarse dejando caer desde gran altura un objeto,
que descenderı́a en espiral
Hooke lo corrige, serı́a una elipse (y darı́a toda la vuelta si no chocara con la tierra)
En 1684 Wren, Hooke y Halley discuten en la Royal Society si las órbitas son elı́pticas
Ese año Halley le pregunta a Newton cómo serı́an las órbitas en un campo central inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, y éste contesta que serı́an elı́pticas, y le dice que lo calculó, pero no
encuentra las cuentas
En los Principia, 1687, Newton deduce que las órbitas pueden ser elı́pticas, parabólicas o hiperbólicas
Otro resultado ya clásico
(este sı́ de Newton)
Teorema 4.5. La fuerza sobre un cuerpo es igual al producto de su masa por su aceleración.
Técnicamente, la fuerza es igual a la derivada del momento lineal (o cantidad de movimiento)
Otro resultado ya clásico, pero falso
Newton utilizó el cálculo diferencial para demostrar que las leyes de Kepler se deducı́an de las anteriores
No: sus demostraciones eran geométricas
4.5.2. Siglo XVIII. El problema de la Luna era cada vez más importante
(ya vimos la influencia sobre el concepto de número)
La elipse era una buena aproximación, pero un mal predictor
Un error de un segundo de arco se traducı́a en 30km
22
JUAN PABLO PINASCO
4.5.3. Euler Euler 1744.
Theoria Motuum Planetarum et Cometarum
Usa la notación de Leibniz ddx = F ddt
Resuelve analı́ticamente el problema de dos cuerpos, escribe
Gm1 m2 (x2 − x1 )
m1 ddx1 =
ddt,
kx2 − x1 k3
etcétera
(no usa k.k, sino r)
mi
X Gmi mj (xj − xi )
d2 xi
=
,
dt2
kxi − xj k3
xi ∈ R3 ,
i = 1, ..., N.
j6=i
Observó que cuando n = 3, habı́a 18 ecuaciones pero sólo 10 integrales.
centro de masa
momento lineal
momento angular
energı́a
Aplicó las leyes de la mecánica a todo lo que se les ocurra
Una de sus principales contribuciones es la combinación con principios extremales, para la formulación
Lagrangiana
4.5.4.
Lagrange (1736-1813).
Mécanique analytique (1788)
”traducción”(al análisis) extendida y formalizada de los Principia. Encuentra soluciones particulares del
problema de los tres cuerpos. Introduce el Lagrangiano: las ecuaciones del movimiento se obtienen de sus
puntos estacionarios (está definido sobre las trayectorias posibles).
Ecuaciones de Euler-Lagrange
Se obtienen al buscar puntos crı́ticos de un funcional. La idea original fue de (uno de los) Bernoulli para
la braquistocrona. Ahı́ comienza el Cálculo de Variaciones.
4.5.5. Laplace.
Exposition du systeme du monde, 1796 [muy bueno, online!].
Méchanique céleste, cuatro volúmenes, 1799-1805, el quinto (histórico) de 1825. Afirmó haber demostrado
la estabilidad del sistema solar.
El determinismo absoluto
Paradójicamente, en el ” Essai philosophique sur les probabilités”de 1814:
Debemos ver el estado actual del Universo como el efecto del estado anterior y la causa del que vendrá.
Una inteligencia que, en un instante dado, conozca todas las fuerzas que actúan sobre la naturaleza y todo
lo que la compone, y la posición de cada una de ellas, si tiene la capacidad para analizar los datos, puede
abarcar en una misma fórmula los movimientos de los cuerpos más grandes del Universo y el de los átomos
más ligeros: nada será incierto para esta inteligencia, todo el futuro y el pasado le aparecerán como si fuesen
el presente.
Fallas
Impulsó el desarrollo cientı́fico, pero no se estaba ni cerca de todo eso. Pasaron casi cien años antes de
que se supiera por qué.
El problema de la estabilidad del sistema solar fue cambiado por otro mucho más simple (?): describir
el movimiento de tres cuerpos.
Culpables:
Poincare y Lyapunov
Teorı́a cualitativa de e.d.o.
Sistemas dinámicos
Topologı́a
HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS
5.
23
Análisis (El Cambio)
”Se que estoy midiendo el tiempo. Pero no estoy midiendo el futuro, porque todavı́a no está; y no estoy
midiendo el presente, porque no tiene extensión; y no estoy midiendo el pasado porque ya no está. Qué es,
entonces, lo que estoy midiendo?
San Agustı́n, Confesiones, Libro XI, XXVI.33
5.1.
La Historia Oficial.
Disputa por la prioridad
Newton inventó el cálculo
Se lo comunica a Leibniz
Este lo publica como propio
(Ası́ lo decide una comisión que analizó las pruebas)
Pruebas
En 1673 Leibniz ve un libro de Newton con un apéndice sobre series
En 1676 comienza a cartearse con Newton, a través de un conocido mutuo (Oldenburg). Leibniz le
cuenta su método para calcular tangentes
Además, Newton le comunica por carta sus resultados ası́:
• 6accdae13ef f 7i3l9n4o4qrr4s8t12ux
◦ traducción: ”Data aequatione quotcunque fluentes quantitates involvente, fluxiones invenire;
et vice versa.”
• 5accd ae 10eflh 11i 41 3m 9n 60qqr 8s 11t 9v 3x: 11ab 3cdd 10e ae g 10 i 11 4m 7n 6y 3p 3q 6r
5s 11t 8vx, 3aqc ae 4egh 5i 4lf 4m 5n 8oq 4r 3s 6t 4v, aad ae 5eiiimmnnooprrr 5sttvv
◦ traducción: ” Un método que consiste en extraer una cantidad fluente de una ecuación donde
a la vez aparece su fluxión; otro asumiendo una serie para cualquier cantidad, de donde el
resto pudiera ser convenientemente derivado, y considerando los términos homogéneos de la
ecuación resultante para dilucidar los términos de la supuesta serie.”
En 1677 Leibniz le responde con sus resultados sobre el problema inverso de las tangentes: se resuelven
por cuadraturas
En 1684 Leibniz publica sus resultados
En 1687 Newton publica sus resultados
Polémica
A fines de s. XVII Wallis le dice a Newton que en Holanda atribuyen el cálculo a Leibniz.
Fatio imprime un libro, y corren rumores de plagio (del Analyse des infiniments petits, del marqués
de L’Hopital).
1704: Optica, de Newton: ”Hace algunos años yo presté un manuscrito conteniendo tales teoremas;
y habiéndome encontrado desde entonces con varias cosas copiadas, lo hago público”.
1705: Leibniz (anónimo) reseña el libro, y dice que esas son ideas de Leibniz, desarrolladas por los
hnos. Bernoulli y L’Hopital.
1708: artı́culo de Keill en las Phil. Trans. Royal Soc London, ”la aritmética de fluxiones que sin
ninguna duda inventó primero el Dr. Newton (...); la misma aritmética, bajo un cambio de nombre
y notación, fue publicada por el Dr. Leibniz”.
La Royal Society of London -dirigida por Newton- nombró una comisión -formada por sus colegas y
alumnos- para analizar el caso. Concluyen que Newton inventó todo, y que Keill no injurió a Leibniz.
Conclusión:
Todo esto es muy poco serio, pero es cierto!
24
JUAN PABLO PINASCO
5.2.
Prehistoria del cálculo.
Integración
5.2.1. Antiguedad.
Problema del área y el volumen
Volumen del tronco de una pirámide (egipcios, ∼ 1800 a. C.)
1
h(a2 + ab + b2 )
3
s
¶2
µ
a−b
2
h= c −2
2
V =
No se tiene idea de cómo se obtuvo la fórmula.
Hipócrates (∼ 450 a. C.): área de lúnulas
Demócrito (∼ 450 a. C.): volúmenes
Eudoxo (∼ 400 − 350 a. C.): método de exhausión
Teorema 5.1 (Libro X, Proposición 1). Dadas dos magnitudes distintas, si de la mayor se sustrae una
magnitud mayor que su mitad, y de lo que queda se quita una magnitud mayor que su mitad, y se repite este
proceso continuamente, entonces se llegará a una magnitud menos que la otra dada. Y el teorema puede
demostrarse también si se sustraen mitades.
Arquı́medes (287-212 a. C.): cálculo de π
Inscribe/Circunscribe polı́gonos regulares, duplicando el número de lados
Arquı́medes (1906!): Cuadratura de la parábola; El Método
5.2.2.
Edad Media. Arabes:
Alhazen (965-1039) calcula áreas bajo parábolas y cúbicas.
PN
Calcula las sumas n=1 nk para k = 1, 2, 3, 4
Calcula volúmenes de paraboloides
5.2.3. Renacimiento.
Poca actividad en estos temas. Hay una vuelta a -y redescubrimiento de- la geometrı́a y los griegos
5.2.4.
Kepler.
Kepler: Nova stereometria doliorum vinariorum (1615)
Nunca afirmó que sus métodos fueran rigurosos: ”los métodos correctos están en las obras de
Arquı́medes, pero su lectura es muy difı́cil”.
Problema: cuándo podemos decir que un lı́mite que parece obvio de un dibujo es cierto?
5.2.5.
Indivisibles.
Cavalieri: Geometrı́a indivisibilis continuorum nova ratione promota (1635), y Exercitaciones geometricae sex (1647) (el sex es para que lo indexe google)
Evangelista Torricelli (1608-1647) El volumen de revolución de la hipérbola es finito
5.2.6.
Fermat(1601-1665).
Fermat
• Calcula áreas bajo parábolas,
• Calcula áreas bajo hipérbolas, salvo el caso 1/x
• Calcula centros de gravedad de figuras y paraboloides de revolución
Saint Vincent (1647) demuestra que para 1/x es infinita (ejercicio!)
HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS
25
Ejemplo:
y = x3
Divide el segmento [0, a] con puntos en progresión geométrica:
a, ar, ar2 , ..., ark
El área de cada parte es (arn − arn+1 )a3 r3n = a(1 − r)rn a3 r3n
X
1
1
a4 (1 − r)(r4 )n = a4 (1 − r)
=
a4
4
1−r
1 + r + r2 + r3
Si r ≈ 1, da a4 /4. (Ejercicio: Arreglarlo para exponentes fraccionarios)
5.2.7. Wallis (1616-1703).
Arithmetica Infinitorum 1655, generaliza los resultados de Torricelli y Cavalieri
Mathesis Universalis 1657,
1,3,3,5,5,7,7...
4
=
π
2,4,4,6,6,8,8...
Con 2000 términos, π = 3,140807747
Derivación
5.2.8. Antiguedad.
Tangente a curvas (Diofanto, Arquı́medes y su espiral). Diofanto, en lenguaje moderno, busca una raı́z
doble al reemplazar y = mx + b
5.2.9.
Edad Media. Hindúes:
Madhava (1350-1425): calcula π con 11 decimales.
” El 1er término es el producto del seno dado y el radio del arco dividido por el coseno del arco. Los
siguientes se obtienen por iteración cuando el 1er término se multiplica por el cuadrado del seno y se divide
por el cuadrado del coseno. Los términos están divididos por los números impares 1, 3, 5,... El arco se
obtiene sumando y restando los términos pares e impares.”
(Escribe Jyesthadeva unos 100 años después). Hoy:
rα = r
r sen(α)
r3 sen3 (α)
r5 sen5 (α)
r7 sen7 (α)
−r 3
+r 5
−r 7
+ ...
3
5
1r cos(α)
3r cos (α)
5r cos (α)
7r cos7 (α)
α = tan(α) −
tan3 (α) tan5 (α) tan7 (α)
+
−
+ ...
3
5
7
arctg(α) = α −
α3
α5
α7
+
−
+ ...
3
5
7
Serie de potencias de Gregory (1638-1675)!
π
1 1 1
= 1 − + − + ...
4
3 5 7
5.2.10. Renacimiento.
Tangentes y normales:
Angulos de tiro de proyectiles
Defensas de castillos.
5.2.11.
Fermat.
Extremos (siguiendo una indicación de Kepler)
En los máximos y mı́nimos, la pendiente de la función tiene que ser nula.
Pendiente:
f (x)
f (x + E)
=
c
c+E
(Se suele llamar subtangente a c, el segmento entre x y el cero de la recta tangente)
26
JUAN PABLO PINASCO
5.2.12.
Otros.
Descartes (halla normales, última parte del segundo libro)
Roberval (1602-1675) 1630 halló un método geométrico para determinar tangentes
Johann Hudde (1628-1704):
• Raı́ces dobles de un polinomio anulan su derivada
• En máximos o mı́nimos se anula xf 0 (x)
René Francois de Sluse (1622-1685): Derivada de la implı́cita para curvas algebraicas
5.2.13.
Christiaan Huygens (1629-1695).
Péndulo
Fuerza centrı́fuga y Ley de gravedad
Crı́ticas al método de los indivisibles
Frentes de ondas
Maestro de Leibniz
5.2.14.
Barrow (1630-1677).
Lectiones Opticae, (1669) reflexiones en superficies planas y curvas
Lectiones Geometricae, (1670) contenı́a métodos para hallar tangentes
Demuestra el Teorema Fundamental del Cálculo
Z x
d
f (t)dt = f (x)
dx a
(muy geométrico todo)
Maestro de Newton
5.3.
Leibniz y Newton.
5.3.1. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). ∼ 1675 - Introduce la notación actual y el triángulo
caracterı́stico (reemplaza la subtangente)
Sus diferenciales son el análogo numérico de los indivisibles geométricos
”sustancias simples incorporadas en la estructura de las substancias complejas”mónadas ”no es necesario hacer depender al análisis matemático de controversias metafı́sicas. Si cualquier oponente trata de
contradecirnos, se sigue de nuestro cálculo que el error será menor que cualquier magnitud posible preasignada, dado que tenemos el poder de hacer nuestras cantidades incomparablemente menores, lo suficiente
para nuestro propósito, en tanto que siempre podemos tomar una magnitud tan pequeña como se desee”
Su notación y sus métodos son similares a los nuestros. Por ej., resuelve el problema de Florimond de
Beaune (discı́pulo de Descartes) casi como lo harı́amos nosotros:
Hallar la curva de subtangente constante.
dy
y
=
dx
a
→
ln(y) =
(su primera publicación, de 1684)
dy
dx
=
y
a
x
+ cte
a
HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS
27
5.3.2. Sir Isaac Newton (1643-1727). 1665/1666 -aunque no publica nada.
Basado en infinitesimales valores mayores que cero pero menores que cualquier otro número. Luego
cambia a prime and ultimate ratio, porque no logra explicar qué tan pequeños son estos infinitesimales.
Reconoce la influencia de Fermat en la definición de derivada. Piensa en el fluir de una partı́cula, las
coordenadas dependen del tiempo, la derivada se interpreta como la velocidad.
Ejemplo: dada f (x, y) = 0, supongamos f (x, y) = xy − 4, hallar sus fluxiones. Entonces,
f (x + ẋ, y + ẏ) = 0
Desarrolla y simplifica:
(x + ẋ)(y + ẏ) − 4 = xy + xẏ + y ẋ + ẋẏ − 4 = xẏ + y ẋ + ẋẏ
Tira el término de segundo orden y despeja:
xẏ + y ẋ = 0
ẏ
y
=−
ẋ
x
5.3.3.
El Cálculo.
Hasta ahora, se trabajaba con curvas algebraicas Leibniz y Newton lo extienden a ”todas”las funciones
”Data aequatione quotcunque fluentes quantitates involvente, fluxiones invenire; et vice versa.”
Manejan libremente series de potencias como funciones
Derivadas de orden superior
5.4.
Aplicaciones del cálculo.
5.4.1. Los Bernoulli. Los dos primeros estudian con Leibniz.
Aplican el cálculo a distintos problemas fı́sicos y matemáticos (comienzan el cálculo de variaciones, la
hidráulica, hidrodinámica,...)
Euler estudia con Johann.
5.4.2.
Euler (1707 - 1783).
Sin palabras
Siglo XVIII = Siglo de Euler
Euler y las series
Se señalan habitualmente sus errores en el tema por su manejo de series divergentes.
No deberı́amos decir: ” en ese tema, tenı́a una posición muy moderna ”Sino: ”por fin entendimos qué querı́a
decir”.
5.4.3. D’Alembert (1717-1783). Otro pionero en el estudio de ecuaciones diferenciales, lı́mites, convergencia de series, aplicaciones fı́sicas y geométricas, fluı́dos
5.4.4. Lagrange (1736-1813). Théorie des fonctions analytiques, 1797
” contenant les principes du calcul différentiel dégagés de toute considération d’infiniment petits et
d’évanouissans, de limites ou de fluxions et réduits à l’analyse algébrique des quantités finies”
Primer intento concreto de darle rigor.
Basa la teorı́a de funciones en métodos algebraicos, partiendo del desarrollo en serie de potencias de una
función.
28
5.5.
JUAN PABLO PINASCO
El concepto de función.
Para los griegos no tenı́a sentido y = x2 (longitud = área?)
Tabla de arcos de Ptolomeo
Oresme ∼ 1350 describe leyes naturales haciendo depender unas cantidades de otras
Dada una curva, a este tipo de propiedades se las llamaba sı́ntomas (hasta después de Leibniz)
Descartes dedica su tiempo a asignarle un sentido a fórmulas como esa
Leibniz rechazaba funciones como el módulo por no respetar el principio de continuidad (más bien
de continuación)
Huygens ”pico0 e loro”(cúspide de segundo grado) y otras curvas: inaceptables
1718 Johan Bernoulli: ”función de una magnitud variable es la cantidad compuesta de cualquier
manera de esta magnitud variable y de constantes”(”pico0 e loro”, no)
L’Hopital Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes (1696): las curvas se
obtienen mecánica o geométricamente (”pico0 e loro”, aceptada)
Euler (1748) ”pico0 e loro”no aceptada (no tiene una representación analı́tica): una función es una
expresión analı́tica compuesta de alguna manera por la cantidad variable y números o cantidades
constantes”
Euler Introductio (1755) ”pico0 e loro”, aceptada, funciones partidas: problema de la cuerda vibrante,
acepta funciones arbitrarias definidas gráficamente por la forma inicial de la cuerda
Fourier (1822): ”f(x) representa una sucesión de valores cada uno de los cuales es arbitrario (debe
entenderse aquı́ como que no procede de una operación aritmética o que puede no conocerse la misma
y existir de todas formas la correspondencia). A infinitos valores dados de la abscisa x corresponde
un número igual de ordenadas f(x), todos valores numéricos reales positivos, negativos o nulos. No
debemos suponer que esas ordenadas están sujetas a una ley común. Se suceden una a otra en
cualquier forma y cada una de ellas está dada como si fuese una entidad sola”
Dirichlet (1854): ”Se dice que una variable y es función de otra variable x cuando a cada valor de x
corresponde un valor determinado de y”
Para 1900, las funciones ya son casi cualquier cosa.