Teorema de Gauss

Teorema de Gauss
r
Sea una región del espacio donde existe un campo vectorial E . Por definición
r
r
llamaremos flujo del campo E a través del elemento de superficie da , situado en el
r
punto r , a la magnitud escalar:
r r
r
dΦ = E (r ) ⋅ da
Si imaginamos el campo representado por las líneas de fuerza, (las
líneas de fuerza se trazan de modo que su densidad sea
proporcional a la intensidad del campo) el flujo dΦ puede
interpretarse como el número de líneas de fuerza que atraviesan la
r
superficie da .
Si la superficie es finita, podemos generalizar la definición y el flujo será:
r r
Φ = ∫ E ⋅ da
S
r
r K
Si el campo vectorial E es un campo central newtoniano, es decir, si E = 2 rˆ para él
r
se cumplirá el teorema de Gauss, que puede enunciarse:
El flujo de un campo central newtoniano a través de una superficie cerrada es igual a
4π ⋅ K .
r r
Φ = ∫ E ⋅ da = 4π ⋅ K
S
r
En efecto: Sea un campo vectorial central newtoniano E y sea S una superficie cerrada
que contiene a la causa creadora del campo, situada en O.
El flujo a través de la superficie S será:
Φ=∫
S
r
r
K
rˆ ⋅ da
rˆ ⋅ da = K ∫
S
r2
r2
r r
E ⋅ da = ∫
S
r
r
y puesto que E y da forman un ángulo α
Φ = K∫
S
da ⋅ cos α
r2
Podemos calcular esta integral teniendo en cuenta la definición de ángulo sólido:
Un ángulo sólido es el espacio comprendido dentro de
una superficie cónica. Su valor, expresado en
estereorradianes, se obtiene trazando una superficie
esférica con radio arbitrario R y centro en el vértice O y
S
aplicando la relación Ω = 2
r
donde S es el área del casquete esférico interceptado por
el ángulo sólido.
Como el área de una esfera es 4π ⋅ r 2 , el ángulo sólido completo alrededor de un punto
es 4π esterad (estereoradianes).
Si el ángulo sólido es pequeño el área S se convierte en dS y si no es perpendicular al
radio es necesario proyectar dS sobre la
perpendicular resultando:
dS ⋅ cos θ dS ′
dΩ =
= 2
r2
r
Por tanto,
Φ = K∫
S
da ⋅ cosα
da′
= K∫
= K ∫ dΩ = K ⋅ 4π
2
S
S
r
r2
Φ = 4π ⋅ K
es decir,
como queríamos demostrar.
Si la causa creadora del campo no está encerrada en la superficie
∫
S
dΩ = 0
y el flujo
a través de la superficie es nulo.
Si el campo newtoniano es el campo gravitatorio, el Teorema de Gauss puede
formularse:
r
El flujo del vector campo gravitatorio g a través de una superficie cerrada S es igual
a − 4π ⋅ G ∑ mi , donde G es la constante de la gravitación universal y
∑ mi la
i
i
masa total encerrada por la superficie S .
Φ = −4π ⋅ G ∑ mi
i
r
En efecto: La intensidad del campo gravitatorio g creado por una masa puntual m es
r K
r
m
g = −G 2 rˆ e identificando esta expresión con E = 2 rˆ obtenemos K = −Gm
y
r
r
por tanto
Φ = −4π ⋅ Gm
Si en vez de tener una masa m creadora del campo encerrada en la superficie, tenemos n
masas mi , el flujo total a través de la superficie será:
Φ = ∑ Φ i = −4π ⋅ G ∑ mi
i
i
que coincide con el enunciado.
El teorema de Gauss tiene sus aplicaciones más importantes siempre que la distribución
de masa posea uno cierta simetría.
Como ejemplo calculamos, a continuación, el campo gravitatorio producido por un
cuerpo esférico homogéneo:
Sea un cuerpo esférico homogéneo de radio R y masa M. El campo gravitatorio que crea
en un punto situado a una distancia r del centro de la esfera, puede calcularse de una
forma sencilla mediante el teorema de Gauss.
Consideremos en primer lugar un punto P, tal que r > R.
r
Por razones de simetría, el módulo del vector g en todos
los puntos de la esfera de radio r, concéntrica con la
distribución de masa, tendrá el mismo valor, pues solo
depende de r.
También por razones de simetría, el campo será radial y
estará dirigido hacia el centro de la esfera.
Considerando como superficie de Gauss (superficie a través de la cual va a calcularse el
flujo) la esfera de radio r, el teorema de Gauss establece:
r r
Φ = ∫ g ⋅ da = −4π ⋅ G ∑ mi
S
i
y de acuerdo con las consideraciones anteriores
r r
Φ = ∫ g ⋅ da = − ∫ g ⋅ da = − g ∫ da = − g ⋅ 4π ⋅ r 2
S
S
S
ya que la superficie de una esfera es 4π ⋅ r 2 , y por tanto
Φ = − g ⋅ 4π ⋅ r 2 = −4π ⋅ G ∑ mi = −4π ⋅ GM
i
es decir
g =G
M
r2
y teniendo en cuenta la dirección y el sentido:
r
M
g = −G 2 rˆ
r
resultado que coincide con el valor de la intensidad del campo gravitatorio creado por
una masa puntual M, situada en el centro de la esfera, en el punto P.
Consideremos ahora un punto P' situado a una distancia r < R
del centro de la esfera. Por la simetría de la distribución de masa
y análogamente al caso anterior, si elegimos como superficie de
Gauss la esfera S de radio r, obtenemos:
r r
Φ = ∫ g ⋅ da = − ∫ g ⋅ da = − g ∫ da = − g ⋅ 4π ⋅ r 2
S
S
S
M
a la densidad de la distribución, la masa encerrada por la esfera de
V
4
radio r será m = ρ π ⋅ r 3 y el teorema de Gauss se expresará:
3
4
Φ = − g 4π ⋅ r 2 = −4π ⋅ G ∑ mi = −4π ⋅ G ⋅ ρ π ⋅ r 3
3
i
r
de donde el vector intensidad del campo gravitatorio g valdrá (teniendo en cuenta las
consideraciones iniciales):
r
4
g = −G ρπ ⋅ r ⋅ rˆ
3
si llamamos ρ =
Por consiguiente la intensidad del campo gravitatorio en un punto interior de la esfera
homogénea es proporcional a la distancia al centro.
Si representamos gráficamente el valor de g en función de r (distancia al centro)
obtenemos:
Se observa que del centro a la superficie el módulo de la intensidad del campo
gravitatorio aumenta linealmente con r, y de la superficie al infinito disminuye con la
inversa del cuadrado de r.
Se observa que, en un astro aproximadamente esférico, el máximo valor posible de g se
da en la superficie de dicho astro, puesto que hacia el interior decrece linealmente con
r, y hacia el exterior disminuye con la inversa del cuadrado de r.
La gráfica obtenida en el caso de la Tierra, a partir de datos experimentales ( las ondas
de choque que producen los terremotos permiten calcular g) es muy similar a la
obtenida teóricamente, a pesar de que la densidad de la Tierra no es constante en su
interior.
r
A partir del conocimiento de g se pueden obtener las expresiones del potencial
gravitatorio (y la energía potencial) en el interior y el exterior de la esfera.