Mecanismos Planos de Cuatro Barras, Rotabilidad y Criterio de

Mecanismos Planos de Cuatro Barras, Rotabilidad y Criterio
de Grashoff.
Alejandro Espı́ndola Á., Baltazar Hernández C. y José M. Rico M.
Instituto Tecnológico de Celaya
Departamento de Ingenierı́a Mecánica
Celaya, Gto. 38010, México
email: [email protected]
1
Abstracto.
En este documento, se presentan los análisis necesarios para determinar las caracterı́sticas de rotabilidad de los mecanismos planos de cuatro barras mediante dos diferentes métodos, las condiciones
de rotabilidad y el criterio de Grashoff. Además, como un resultado adicional, se determinarán las
posibles posiciones lı́mite y posiciones de puntos muertos.
2
Mecanismos formados por pares inferiores.
Hasta aquı́, hemos analizado algunos aspectos comunes a todas las clases de mecanismos: Grados
de libertad, análisis cinemático mediante metodos analı́ticos y gráficos. Sin embargo, a fı́n de profundizar nuestros conocimientos acerca de los mecanismos mas usuales, es necesario particularizar
los análisis de acuerdo a la clase de mecanismos a tratar. No obstante, se mantendrá vigente la
restricción de tratar exclusivamente mecanismos planos y se clasificarán como:
1. Mecanismos formados por pares inferiores.
2. Mecanismos que incluyen un par superior:
• Mecanismos de leva.
• Engranes y trenes de engranes.
Obviamente, el par superior que incluyen los mecanismos de leva y engranes, es precisamente
un par de leva.
3
Mecanismos Formados por Pares Inferiores.
Dentro de esta clase mecanismos se encuentra el mostrado en la figura 1; en realidad estos mecanismos pueden, en algunos casos, construirse empleando pares superiores. La verdadera razón detrás
de esta clasificación consiste en la relativa facilidad para realizar el análisis cinemático –posición,
velocidad y aceleración– de esta clase de mecanismos mediante las ecuaciones de clausura del
mecanismo y sus derivadas. Estos mecanismos tienen gran empleo por su capacidad de producir
movimientos no uniformes y transmitir fuerzas considerables a velocidades elevadas.
Aun cuando los métodos que se estudiarán a continuación son aplicables a mecanismos relativamente complicados como el de la figura 1, haremos referencia a mecanismos más simples como
el mecanismo plano de cuatro barras y cuatro pares de revoluta, figura 2 o el mecanismo de biela,
manivela y corredera, figura 3.
1
Figure 1: Mecanismo formado por pares inferiores.
Figure 2: Mecanismo plano de cuatro barras.
4
Mecanismos Planos de Cuatro Barras.
Uno de los mecanismos más simples, estudiados y poderosos, es el mecanismo plano de cuatro
barras y cuatro pares de revoluta, a menudo conocido simplemente como mecanismo de cuatro
barras, figura 2. La nomenclatura se indica a continuación:
1. El eslabón 1, M N , cuya longitud es a1 , se conoce como bastidor, marco o eslabón fijo.
2. El eslabón 2, M A, cuya longitud es a2 , se supone el motriz y se conoce como manivela,
eslabón de entrada, motriz o conductor.
3. El eslabón 3, AB, cuya longitud es a3 , se conoce como eslabón acoplador.
4. El eslabón 4, N B, cuya longitud es a4 , se conoce como seguidor, eslabón de salida o
conducido.
Debe tenerse en cuenta, que el término manivela se emplea, en algunas ocasiones, con la connotación de un eslabón unido al bastidor que es capaz de rotar completamente alrededor de su
eje.
2
Figure 3: Mecanismo de biela manivela corredera.
5
Clasificación de los Mecanismos Planos de Cuatro Barras.
Posiciones Crı́ticas.
Dependiendo de la capacidad de rotar de los eslabones motriz y conducido respecto a su eje de
rotación, rotabilidad, los mecanismos de cuatro barras se clasifican en:
1. Doble oscilatorio —double rocker— cuando ambos eslabones unicamente pueden oscilar,
obviamente, el ángulo de oscilación es menor a 360◦ .
2. Rotatorio oscilatorio —crank rocker— cuando uno de los eslabones motriz o conducido puede
rotar, mientras que el otro solamente puede oscilar.
3. Doble rotatorio —double crank— cuando ambos eslabones pueden rotar.
La rotabilidad de los eslabones de entrada y salida de un mecanismo, está intimamente ligada
a la aparición de ciertas posiciones conocidas como posiciones crı́ticas. Existen dos diferentes
tipos de posiciones crı́ticas.
1. Posición lı́mite. Una posición lı́mite para el eslabón de salida, en un mecanismo de cuatro
barras, ocurre cuando el ángulo interior entre el eslabón acoplador y el de entrada es de 180◦
o 360◦ ; es decir, las revolutas M, A y B están en lı́nea, vea la figura 4.
2. Posición de puntos muertos. Una posición de puntos muertos para el eslabón de salida, en
un mecanismo de cuatro barras, ocurre cuando el ángulo interior entre el eslabón acoplador
y el de salida es de 180◦ o 360◦ , las revolutas A, B y N están en lı́nea, vea la figura 5.
Es interesante notar que la clasificación es dependiente de cual eslabón se considere el motriz.
Puede probarse que, salvo una excepción1 , cuando en un mecanismo de cuatro barras se presenta
una posición lı́mite, el eslabón de salida estará imposibilitado de rotar. Similarmente, si se presenta
una posición de puntos muertos, el eslabón de entrada no podrá rotar.
6
Análisis de rotabilidad de un mecanismo de cuatro barras.
El objetivo de este análisis consiste en determinar las relaciones que deben satisfacer las longitudes
de los eslabones de un mecanismo plano de cuatro barras a fı́n de que el mecanismo sea doble
rotatorio; como un subproducto se mostrarán las posiciones crı́ticas que se producen cuando los
eslabones de entrada o salida sólo oscilan.
1 La
excepción está constituido por el mecanismo paralelogramo, en el que a1 = a3 y a2 = a4 .
3
Figure 4: Posición lı́mite en un mecanismo plano de cuatro barras.
Figure 5: Posición de puntos muertos en un mecanismo de cuatro barras.
6.1
Excepción del Criterio de Grübler.
La primera condición que un mecanismo plano de cuatro barras debe satisfacer es que el mecanismo
pueda realmente formarse y moverse, la condición viene dada por
2 am <
4
X
ai ,
(1)
i=1
Donde, am es la longitud del eslabón más grande y ai es la longitud del i-ésimo eslabón.
Si la relación es una igualdad, el eslabonamiento constituye una estructura. Si, por el contrario,
la relación es una desigualdad del tipo >, la cadena no puede cerrarse.
6.2
Primeras Condiciones.
Intituivamente debe reconocerse2 que las situaciónes más comprometidas ocurren cuando los eslabones de entrada y salida se alinean con el eslabón fijo; primero se analizarán las condiciones que
aparecen cuando los eslabones de entrada y salida tratan de extenderse hacia el “exterior”.
• Eslabón de entrada.
La primera situación crı́tica para el eslabón de entrada se muestra en la figura 6. De la
desigualdad del triángulo, se tiene
a1 + a2 ≤ a3 + a4 ,
(2)
2 Un análisis más riguroso puede encontrarse en “Condiciones de Rotabilidad, una Alternativa al Criterio de
Grashoff”, Rico J.M., Memorias del IX Congreso de la Academia Nacional de Ingenierı́a, León Guanajuato, 1983.
4
si se satisface esta condición, el eslabón dos podrá tomar la posición θ2 = 180◦ .
Figure 6: Primera condición crı́tica en el eslabón de entrada.
Si, por el contrario, se satisface que
a1 + a2 ≥ a3 + a4 ,
(3)
Se presenta una posición de puntos muertos, un ejemplo de esa posición se muestra en la
figura 7. El ángulo para el cual ocurre esta posición está dada por
θ2D1 = Cos−1
a21 + a22 − (a3 + a4 )2
.
2 a1 a2
(4)
Figure 7: Primera posición de puntos muertos del eslabón de entrada.
Como puede observarse, las condiciones (2 y 3) no son excluyentes y cuando se satisfacen
ambas se obtiene que
a1 + a2 = a3 + a4
(5)
El eslabón de entrada puede tomar la posicion θ2 = 180◦ ; más sin embargo, se presenta
una posición de puntos muertos que al mismo tiempo constituye una posición lı́mite. Esta
posibilidad se muestra en la figura 8. Esta situación se repetirá en los otros análisis pero en
aras de una mayor fluidez, no se volverá a mencionar.
• Eslabón de salida.
La primera situación crı́tica para el eslabón de salida se muestra en la figura 9. De la
desigualdad del triángulo se tiene
a1 + a4 ≤ a2 + a3 ,
si se satisface está condición, el eslabón 4 podrá tomar la posición θ4 = 0◦ .
5
(6)
Figure 8: Posición lı́mite y de puntos muertos.
Figure 9: Primera posición crı́tica para el eslabón de salida.
Si, por el contrario, se satisface que
a1 + a4 ≥ a2 + a3 ,
(7)
Se presenta una posición lı́mite tal como la mostrada en la figura 10. El ángulo para el cual
ocurre, esta posición lı́mite viene dado, por
θ4L1 = 180◦ − α.
Donde
α = Cos−1
a21 + a24 − (a2 + a3 )2
.
2 a1 a4
(8)
(9)
A partir de identidades trigonométricas puede probarse que
Cos θ4L1 = −Cos α
(10)
Por lo tanto,
θ4L1 = Cos−1
6.3
(a2 + a3 )2 − a21 − a24
2 a1 a4
(11)
Segundas Condiciones.
Las segundas condiciones más comprometidas ocurren cuando los eslabones de entrada y salida
tratan de extenderse hacia “el interior” del mecanismo. Es decir, cuando los eslabones de entrada
y salida tratan de obtener las posiciones asociadas con θ2 = 0◦ y θ4 = 180◦ respectivamente.
1. Eslabón de entrada. Deben distinguirse dos diferentes situaciones:
6
Figure 10: Primera posición lı́mite.
Figure 11: Segunda posición crı́tica para el eslabón de entrada, caso a2 > a1 .
• a2 > a1 . Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la figura 11. La
desigualdad del triángulo aplicado a los eslabones 3 y 4 conducen a
a4 ≤ a3 + (a2 − a1 ) ó
a3 ≤ a4 + (a2 − a1 ) ó
a4 − a3 ≤ a2 − a1 .
a3 − a4 ≤ a2 − a1 .
(12)
(13)
• a1 > a2 Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la figura 12. La
desigualdad del triángulo aplicada a los eslabones 3 y 4 conducen a
a3 ≤ a4 + (a1 − a2 )
ó
a3 − a4 ≤ a1 − a2 .
(14)
a4 ≤ a3 + (a1 − a2 )
ó
a4 − a3 ≤ a1 − a2 .
(15)
Las cuatro ecuaciones (12, 13, 14 y 15) pueden resumirse en
| a2 − a1 | ≥ | a4 − a3 | .
(16)
| a2 − a1 | ≤ | a4 − a3 |,
(17)
Si por el contrario, se tiene que
se presenta una posición de puntos muertos, un ejemplo de la cual, cuando a4 > a3 , se
muestra en la figura 13.
7
Figure 12: Segunda posición crı́tica para el eslabón de entrada, caso a2 < a1 .
Figure 13: Segunda posición de puntos muertos.
El ángulo para el cual ocurre está posición es
θ2D2 = Cos−1
a21 + a22 − (a4 − a3 )2
2 a1 a2
(18)
2. Eslabón de salida.
Deben distinguirse dos diferentes situaciones:
• a1 > a4 . Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la figura 14. La
desigualdad del triángulo aplicado a los eslabones 2 y 3 conducen a
a2 ≤ a3 + (a1 − a4 ) ó
a3 ≤ a2 + (a1 − a4 ) ó
a2 − a3 ≤ a1 − a4 .
a3 − a2 ≤ a1 − a4 .
(19)
(20)
• a4 > a1 Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la figura 15. La
desigualdad del triángulo aplicada a los eslabones 2 y 3 conducen a
a2 ≤ a3 + (a4 − a1 ) ó
a3 ≤ a2 + (a4 − a1 ) ó
a2 − a3 ≤ a4 − a1 .
a3 − a2 ≤ a4 − a1 .
(21)
(22)
Las cuatro ecuaciones (19, 20, 21 y 22) pueden resumirse en
| a4 − a1 | ≥ | a3 − a2 | .
8
(23)
Figure 14: Segunda posición crı́tica para el eslabón de salida, caso a1 < a4 .
Figure 15: Segunda posición crı́tica para el eslabón de salida, caso a4 < a1 .
Si por el contrario, se tiene que
| a4 − a1 | ≤ | a3 − a2 |,
(24)
se produce una posición lı́mite, semejante a la mostrada en la figura 16, esta posición lı́mite
ilustra la situación que ocurre cuando a3 > a2 .
De manera similar al desarrollo de la ecuación (18), puede mostrarse que
θ4L2 = Cos−1
(a3 − a2 )2 − a21 − a24
2 a1 a4
(25)
Es importante recalcar que los cálculos que se han realizado para determinar los ángulos
asociados a las posiciones de puntos muertos y de posiciones lı́mites no son exhaustivos,
pues seria tardado dibujar todas las posibles variantes; en casos generales lo más conveniente
consiste en realizar un dibujo en base a la colinealidad de las revolutas, N AB y M AB
respectivamente, y de allı́ calcular los ángulos.
Resumiendo, las condiciones
a1 + a2
≤ a3 + a4
| a2 − a1 | ≥
9
| a4 − a3 |
Figure 16: Segunda posición lı́mite del eslabón de salida.
aseguran la rotabilidad del eslabón 2, que se ha supuesto es el motriz. El incumplimiento de estas
condiciones o su cumplimiento en igualdad, conduce a una posición de puntos muertos por cada
condición.
Similarmente las condiciones
a1 + a4
≤ a2 + a3
| a4 − a1 | ≥
| a3 − a2 |
aseguran la rotabilidad del eslabón 4. El incumplimiento de estas condiciones o su cumplimiento
en igualdad, conduce a una posición lı́mite por cada relación.
Bajo estas condiciones el mecanismo será:
1. Doble oscilatorio. Cuando sus longitudes no satisfagan alguna o ambas de las condiciones
de rotabilidad del eslabón 2 y del eslabón 4.
2. Oscilatorio rotatorio. Cuando sus longitudes satisfagan ambas condiciones del eslabón 2
y no satisfagan alguna o ambas de las condiciones del eslabón 4 o viceversa. En el primer
caso el eslabón capaz de rotar será el 2 y se presentará al menos una posición limite. En el
segundo caso el eslabón capaz de rotar será el 4 y se presentará al menos una posición de
puntos muertos.
3. Doble rotatorio. Cuando las cuatro condiciones anteriores se satisfagan.
Con relación a eslabones que sólo pueden oscilar, es posible definir el ángulo de oscilación,
como el ángulo que el eslabón puede rotar sin que se presente posiciones crı́ticas. Las ecuaciones
(2, 6, 16 y 19) permiten conocer de manera rápida y eficiente la clase de mecanismo de cuatro
barras ası́ como detectar el nmero de posiciones criticas.
7
Criterio de Grashoff.
Las condiciones de rotabilidad, deducidas en la sección anterior, son posteriores, cronologicamente
hablando, al criterio de Grashoff que igualmente permite clasificar a los mecanismos de cuatro
barras, aun cuando no especifica en su caso, el número u clase de posiciones crı́ticas. De acuerdo
con el criterio de Grashoff, los mecanismos de cuatro barras se dividen en dos clases:
10
1. Mecanismos de la Clase I.
Pertenecen a esta clase, todos los mecanismos de cuatro barras que satisfacen la condición
L+s≤p+q
(26)
Donde, L es la longitud del eslabón más largo, longest, s es la longitud del eslabón más corto,
shortest, p, q son las longitudes de los eslabones intermedios.
Dentro de esta clase, I, los mecanismos se subclasifican en
• Si el eslabón más corto, s, es el conductor o el conducido el mecanismo es rotatorio
oscilatorio, donde es eslabón capaz de rotar es el mas corto.
• Si el eslabón más corto es el fijo, el mecanismo es doble rotatorio.
• En cualquier otra situación el mecanismo es doble-oscilatorio, pero el eslabón acoplador
puede rotar 360◦ respecto a ambos, el eslaboón de entrada y el eslabón de salida.
2. Mecanismos de la clase II.
Pertenecen a esta clase, todos los mecanismos de cuatro barras que satisfacen la condición
L + s > p + q.
(27)
Todos los mecanismos de la clase II son doble oscilatorios, ninguno de los eslabones puede
rotar 360◦ .
8
Comprobación del criterio de Grashoff a partir de las
condiciones de rotabilidad.
El criterio de Grashoff puede probarse a partir de las condiciones de rotabilidad de los eslabones
de entrada y salida; sin embargo, el desarrollo es tan laborioso que es imposible presentarlo en su
totalidad. Como ejemplo se probará que un mecanismo de la clase I, en la que el eslabón más
corto es el fijo, es doble rotatorio. Es decir, se supondrá que el mecanismo satisface las condiciones
L + s ≥ p + q,
a1
= s.
Para probarlo, es necesario generar todas las posibles combinaciones en que pueden seleccionarse
los eslabones de entrada y de salida; existen 3 eslabones, L, p, q, para dos posibilidades, a2 , a4 , asi
pues, el número de combinaciones será
C3,2 =
3!
3!
=
= 3.
2! (3 − 2)!
2! 1!
Esas tres posibles combinaciones son:
1. a2 = p y a4 = q. Por lo tanto, a3 = L.
2. a2 = p y a4 = L. Por lo tanto, a3 = q.
3. a2 = q y a4 = L. Por lo tanto, a3 = p.
A continuación se analiza cada una de esas combinaciones.
1. a2 = s, a2 = p, a3 = L, a4 = q.
11
(a) Condiciones de rotabilidad del eslabón 2.
a1 + a2 ≤ a3 + a4
o
s+p≤L+q
rearreglando la ecuación se tiene que
p−q ≤L−s
la satisfacción de esta ecuación es obvia.
| a2 − a1 | ≥ | a4 − a3 |
o
| p − s |≥| q − L |
rearreglando la ecuación se tiene que
p−s ≥ L−q
o finalmente,
p+q ≥ L+s
esta última ecuación se satisface pues el mecanismo es de la clase I.
(b) Condiciones de rotabilidad del eslabón 4.
a1 + a4 ≤ a2 + a3
o
s+q ≤ p+L
rearreglando la ecuación se tiene que
q−p ≤ L−s
la satisfacción de esta ecuación es obvia.
| a4 − a1 | ≥ | a3 − a2 |
o
| q − s |≥| L − p | .
rearreglando la ecuación
q − s ≥ L − p,
o q + p ≥ L + s,
esta ecuación se satisface pues el mecanismo es de la clase I.
2. a1 = s, a2 = p, a3 = q, a4 = L.
(a) . Condiciones de rotabilidad del eslabón 2.
a1 + a2 ≤ a3 + a4
o
s+p ≤ q+L
rearreglando la ecuación
p−q ≤ L−s
la satisfacción de esta ecuación es obvia.
| a2 − a1 | ≥ | a4 − a3 |
| p − s |≥| L − q |
rearreglando la ecuación
p−s ≥ L−q
o finalmente,
p+q ≥ L+s
esta ecuación se satisface puesto que el mecanismo es de la clase I.
12
(b) Condiciones de rotabilidad del eslabón 4.
a1 + a4 ≥ a2 + a3
o
s+L ≤ p+q
esta ecuación se satisface puesto que el mecanismo es de la clase I.
| a4 − a1 | ≥ | a3 − a2 |
o
| L − s |≥| q − p | .
rearreglando la ecuación
L − s ≥| q − p |
la satisfacción de esta ecuación es obvia.
3. a1 = s, a2 = q, a3 = p, a4 = L.
(a) Condiciones de rotabilidad del eslabón 2.
a1 + a2 ≤ a3 + a4
o s + q ≤ p + L.
rearreglando la ecuación
q−p ≤ L−s
la satisfacción de esta ecuación es obvia.
| a2 − a1 | ≥ | a4 − a3 |
o
| q − s |≥| L − p |
rearreglando la ecaución
q+p ≥ L+s
Se cumple puesto que el mecanismo es de la clase I.
(b) Condiciones de rotabilidad del eslabón 4.
a1 + a4 ≤ a2 + a3
o s + L ≤ q + p.
Esta ecuación se cumple puesto que el mecanismo es de la clase I.
| a4 − a1 | ≥ | a3 − a2 |
o
| L − s |≥| p − q | .
rearreglando la ecuación
L − s ≥| p − q |
la satisfacción de esta ecuación es obvia.
Todas estas comprobaciones muestran que cuando en un mecanismo de la clase I, el eslabón mas
chico es el fijo, el mecanismo es doble rotatorio, sin importar cuales sean los restantes eslabones.
9
Rotabilidad y Posiciones Crı́ticas en el Mecanismo de
Biela Manivela Corredera.
En esta sección, se mostrará como las condiciones de rotabilidad deducidas para el mecanismo
plano de cuatro barras pueden emplearse para determinar la rotabilidad del mecanismo de biela
manivela corredera y sus posiciones crı́ticas.
Considere el mecanismo de biela manivela corredera mostrado en la figura 17.
Debe recordarse que un par prismático es equivalente a un par de revoluta localizado en el
infinito en una dirección perpendicular a la dirección de movimiento relativo del par prismático.
Por lo tanto, la longitud de los eslabones 1 y 4 del mecanismo de biela manivela corredera estará
dada por
a1 = ∞ + e y a4 = ∞
(28)
donde e > 0. Con estos datos, es posible analizar la rotabilidad de los eslabones 2 y 4 del mecanismo
de biela manivela corredera.
13
Figure 17: Mecanismo de biela manivela corredera, con los eslabones equivalentes a un mecanismo
plano de cuatro barras.
9.1
Rotabilidad del eslabón 2 del mecanismo de biela manivela corredera.
En esta sección se analizará la rotabilidad del eslabón 2 del mecanismo de biela manivela corredera
mostrado en la Figura 17.
De la primera condición de rotabilidad se tiene que
a1 + a2 ≤ a3 + a4 ,
(29)
sustituyendo los valores a1 = ∞ + e y a4 = ∞, se tiene que
∞ + e + a2 ≤ a3 + ∞.
(30)
Por lo tanto, la condición se reduce a
a2 ≤ a3 − e
o a2 − a3 ≤ −e
o finalmente
a3 − a2 ≥ e
(31)
De la segunda condición de rotabilidad se tiene que
| a2 − a1 | ≥ | a4 − a3 | .
(32)
sustituyendo los valores a1 = ∞ + e y a4 = ∞, se tiene que
| a2 − (∞ + e) | ≥ | ∞ − a3 | .
14
(33)
o, notando que ∞ + e > a2 y que ∞ > a3 ,
∞ + e − a2 ≥ ∞ − a3
(34)
o
e − a2 ≥ −a3
o finalmente
a3 − a2 ≥ −e.
(35)
Ambas ecuaciones, (31) y (35) pueden reducirse a
a3 − a2 ≥| e |
(36)
Las ecuaciones 31 y 35 son las ecuaciones que determinan si el eslabón 2 puede rotar. En
particular, si la excentricidad del mecanismo de biela manivela corredera es nula, un caso muy
común, ambas condiciones de rotabilidad del eslabón 2, la biela, se reducen a
a2 ≤ a3 .
(37)
Si la ecuación 31 no se satisface, es decir si
a2 > a3 − e o
a2 + e > a3 ,
(38)
el eslabón 2, la biela, es incapaz de rotar y se presenta una posición de puntos muertos como la
que se muestra en la figura 18
Figure 18: Mecanismo de biela manivela corredera en la primera posición de puntos muertos.
Si la ecuación 35 no se satisface, es decir si
a2 > a3 + e o
a2 − e > a3 ,
(39)
el eslabón 2, la biela, es incapaz de rotar y se presenta una posición de puntos muertos como la
que se muestra en la figura 19
9.2
Rotabilidad del eslabón 4 del mecanismo de biela manivela corredera.
En esta sección se analizará la rotabilidad del eslabón 4 del mecanismo de biela manivela corredera
mostrado en la Figura 17.
De la primera condición de rotabilidad se tiene que
a1 + a4 ≤ a2 + a3 ,
15
(40)
Figure 19: Mecanismo de biela manivela corredera en la segunda posición de puntos muertos.
sustituyendo los valores a1 = ∞ + e y a4 = ∞, se tiene que
∞ + e + ∞ ≤ a2 + a3 ,
o
2 ∞ + e ≤ a2 + a3 .
(41)
Es evidente, que esta condición no puede satisfacerse y se presenta la posición lı́mite indicada en
la Figura 20. El valor máximo de la carrera de la corredera está dado por
p
s1 = (a2 + a3 )2 − e2 .
(42)
Figure 20: Mecanismo de biela manivela corredera en la segunda posición lı́mite.
De la segunda condición de rotabilidad se tiene que
| a4 − a1 |≥| a3 − a2 |,
(43)
sustituyendo los valores a1 = ∞ + e y a4 = ∞, se tiene que
| ∞ − (∞ + e) |≥| a3 − a2 |,
o
e ≥| a3 − a2 | .
(44)
Si esta condición no se satisface, es decir si
e <| a3 − a2 |
(45)
se presenta la posición lı́mite indicada en la Figura 21, en la que se supone que a3 ≥ a2 . El valor
mı́nimo de la carrera de la corredera está dado por
p
s2 = (a3 − a2 )2 − e2 .
(46)
16
Figure 21: Mecanismo de biela manivela corredera en la segunda posición lı́mite.
17