act-marte retrogrado

 1 ACTIVIDAD
EL MOVIMIENTO RETRÓGRADO DE MARTE  DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD El Sol y la Luna parecen moverse de una forma más o menos regular, a lo largo del zodiaco, avanzando siempre de este a oeste, pero los planetas viajan de una forma más irregular, desplazándose a lo largo del zodíaco de oeste a este; sin embargo, dicho movimiento se ve interrumpido durante breves intervalos por un movimiento retrógrado de este a oeste. El más conocido y estudiado de estos movimientos retrógrados es el de marte. Tycho Brahe midió con gran precisión el movimiento de Marte en el cielo. Los datos sobre el movimiento retrógrado aparente (lazos) permitieron a Kepler hallar la naturaleza elíptica de su órbita y determinar las leyes del movimiento planetario conocidas como leyes de Kepler. En esta actividad pretendemos estudiar, de forma básicamente geométrica, el modo en que las teorías geocéntricas de Ptolomeo y las heliocéntricas de Copérnico trataban de explicar con círculos este movimiento retrógrado tan claramente visible en el cielo.  CONTENIDOS TEÓRICOS BÁSICOS Geometría plana elemental. Trigonometría básica. Coordenadas polares y cartesianas. Ecuaciones en coordenadas polares.  INTRODUCCIÓN HISTÓRICA. Platón (428-­‐347), el sabio griego, llegó a afirmar que Dios, el creador del Universo, utilizaba siempre procedimientos geométricos. Convencido de la actuación de Dios como geómetra, en su diálogo Timeo defiende un modelo geométrico para explicar el universo físico. Dicho modelo estaba basado en las formas perfectas: círculos, esferas y poliedros regulares. Para Aristóteles (384-­‐322), un poco más realista, el objeto de las matemáticas son las formas extraídas de la naturaleza, es la modificación de las regularidades empíricas que se producen en la realidad. Desde entonces, tras la aparición de los Elementos de Euclides, los puntos, las rectas, los ángulos, los círculos y las esferas … las formas perfectas, los poliedros regulares van a constituirse en las armas casi exclusivas para interpretar la naturaleza. Las formas imperfectas quedan excluidas y expulsadas del universo matemático. Desde Platón la historia de la ciencia será la búsqueda de ese modelo geométrico, de esas leyes que controlan el funcionamiento del Cosmos, la búsqueda de ese orden inmutable capaz de explicar todos los fenómenos naturales. La comprensión y el dominio de la naturaleza al alcance de la mente humana. Aristóteles situará la Tierra en el centro del Universo y la órbita lunar es la línea que separa el orden y el caos. Por encima de la luna, se encuentra el mundo celeste, perfecto y perpetuo, el reino del orden. Por debajo, el mundo terrestre constituido por los cuatro elementos: tierra, agua, aire y fuego. Un mundo imperfecto e impredecible. El reino del caos. Sin embargo, un fenómeno observable rompe la armonía perfecta del mundo celestial: las erráticas órbitas de los planetas contra el fondo de estrellas fijas. De ahí su nombre, errático. A veces hay incluso un paso atrás en sus órbitas. ¿Cómo estos hechos encajan con un modelo geométrico perfecto e ideal? Aristóteles utiliza un modelo de esferas de éter en el que se mueven los planetas, que se está acelerando o frenando. Este modelo se mantendrá intacta desde hace dos mil años, los astrónomos todavía tienen que realizar proezas matemática real para adaptarse a las observaciones del movimiento de las estrellas con la teoría aristotélica. 2  USO DE GEOGEBRA HERRAMIENTAS Y COMANDOS / CONSTRUCCIÓN PASO A PASO / EJEMPLO DE CONSTRUCCIÓN / PROPUESTAS DE CONSTRUCCIÓN Herramientas que se utilizan: NUEVO PUNTO DESLIZADOR CIRCUNFERENCIA DADO CENTRO Y UN PUNTO ÁNGULO DADA SU AMPLITUD INTERSECCIÓN DE DOS OBJETOS SEGMENTO ENTRE PUNTOS PARTE 1: EL MODELO DE EPICICLOS Y DEFERENTES DE PTOLOMEO. Claudio Ptolomeo, astrónomo alejandrino griego que vivió en el siglo II d.C., ideó un modelo geométrico muy sofisticado en el que sólo con los círculos era posible explicar el movimiento de los objetos astronómicos. El más importante de la obra de Ptolomeo que ha sobrevivido es el Almagesto, un tratado en 13 libros. Se fundamenta en detalle la teoría matemática de los movimientos del Sol, la Luna y los planetas. En este trabajo se propone un modelo geométrico ingenioso: el de los epiciclos y deferentes. Cada planeta, incluyendo el Sol y la Luna, se les asigna un círculo imaginario llamado deferente. La Tierra está dentro de ese círculo, aunque no necesariamente en el centro. El planeta gira en un círculo que llamaban epiciclo cuyo nuevo centro será un punto del círculo deferente. Al mover el centro del epiciclo a lo largo del deferente, el planeta se está moviendo hacia o lejos de la Tierra, explicando thchanges en el brillo del planeta misma que se observó en diferentes momentos del año. De hecho, Ptolomeo no creía que los planetas se movían de esa manera, sin embargo, este modelo se explica con bastante precisión todo lo que cualquier astrónomo veía en el cielo. Este modelo fue tomado como un dogma y complicados cálculos matemáticos se realizaron para predecir la posición de los planetas en el cielo. Usamos GeoGebra para simular el movimiento de un planeta alrededor de la Tierra según el modelo geocéntrico del universo. Para ello, primero debe obtener las ecuaciones del movimiento, por lo que hemos construido un modelo al que aplicar algunos conceptos básicos de la trigonometría. Figura 1: Construcción del epiciclo y deferente de un planeta. Deducimos la ecuación que sigue el planeta P cuando describe una circunferencia (epiciclo) cuyo centro se encuentra en una circunferencia (deferente) cuyo centro a su vez es la tierra. Las coordenadas de P relativas al centro C son: (r cos ϕ, r sin ϕ). 3 Las coordenadas de C relativas al origen (T) son: (R cos θ, R sin θ). Así, las coordenadas de P relativas al centro del deferente son: (1) Si observamos la figura 1 nos damos cuenta que los ángulos θ y ϕ no son independientes. La relación que existe entre ellos es que la longitud de los arcos QQ’ y Q’P deben ser iguales, es decir, l(QQ’) = l(Q’P). Observando la figura 1 podemos establecer que l(QQ’) =(R+r)θ y que l(QQ’) =r(θ+ ϕ). Por lo tanto, igualando las longitudes (R+r)θ = r(θ+ ϕ). Podemos despejar de esta última ecuación, obteniendo la relación . Ahora sustituyendo en (1) tendremos las ecuaciones del planeta P en torno a la Tierra, que son (2) Así pues, las ecuaciones (2) representan el movimiento de un planeta en un sistema de deferentes y epiciclos que supone una concepción geocéntrica del universo. Podemos hacer una construcción con geogebra de este sistema realizando el siguiente protocolo de construcción: 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Comenzamos definiendo el centro como T=(0,0). Este es el punto que representa el centro del universo y en el que se encuentra la Tierra. Definimos una circunferencia de radio 8 unidades, que va a ser el deferente, con lo que en la ventana 2
2
algebraica nos aparecerá c: x + y = 64. Después construimos un ángulo θ (de 0 a 2π) utilizando un deslizador, utilizando la instrucción . En nuestro ejemplo tomamos R = 8 y r = 1, es decir, los radios del deferente y del epiciclo. Una vez establecidos estos parámetros, construimos el punto a partir de las ecuaciones dadas por (2). Es decir, lo que hacemos es indicarle al punto P las ecuaciones que debe seguir al ir avanzando el valor del ángulo, P  (R cos θ + r cos(R θ / r), R sin θ – r sin(R θ / r)). Establecemos el movimiento del centro del epiciclo en torno al deferente. Para este paso debemos definir un punto A e indicarle las ecuaciones de su movimiento, que serán las ecuaciones en coordenadas polares de una circunferencia dada por (R cos θ, R sin θ). Finalmente, dibujamos el epiciclo mediante una circunferencia centrada en A (un punto del deferente) y de radio igual a r. 4 La figura siguiente nos muestra una imagen de la construcción realizada, donde dibujamos la trayectoria que sigue el planeta en torno a la Tierra. Figura 2: Trayectoria de un planeta siguiendo el modelo geocéntrico. Si observamos la figura 2, no apreciamos adecuadamente los bucles que describen los planetas en su recorrido en la bóveda celeste. Para visualizar este efecto debemos modificar la relación entre los arcos QQ’ y Q’P. Si hacemos que el planeta P se mueva en su epiciclo en una proporción distinta a como se mueve el centro del epiciclo C en el deferente en torno a la tierra, conseguimos visualizar los movimientos de adelanto y retroceso. Así, por ejemplo, si establecemos que llegaríamos a establecer la relación # 2R + r &
" =%
() . $ r '
De esta forma, las ecuaciones del movimiento del planeta por el epiciclo vendrían dadas por !
(3) En la figura 3 se ha modificado la construcción con GeoGebra de manera que ahora el planeta sigue la trayectoria dada por las ecuaciones (3). Figura 3: Bucles que se originan en el sistema de epiciclos y deferentes. 5 Además se ha introducido un deslizador para el valor de r, de manera que podemos comprobar las trayectorias haciendo variar el radio del epiciclo. PARTE 2: EL MODELO HELIOCÉNTRICO DE COPÉRNICO. Filolao (c. 480-­‐385 aC), un filósofo griego de la escuela pitagórica, describe un sistema astronómico en el que la Tierra, la Luna, el Sol, los planetas y las estrellas giraban alrededor de un fuego central, mientras que se debe a Heráclides Poncio (387-­‐312 a. C.) propone que la Tierra gira sobre su eje. Según Arquímedes, Aristarco de Samos (310 -­‐ 230 a. C.) escribió acerca de las hipótesis heliocéntrica en un libro que no sobrevive. Plutarco escribió que Aristarco fue acusado de impiedad por "poner en movimiento de la Tierra". La principal teoría de Copérnico fue publicada en De revolutionibus orbium coelestium (Sobre las revoluciones de las esferas celestes), en el año de su muerte, 1543, a pesar de que había formulado la teoría de hace varias décadas. "Copérnico Commentariolus", resumió su teoría heliocéntrica. Se enumeran los supuestos "en que se basaba la teoría de la siguiente manera: 1. No hay un centro único de todos los círculos o esferas celestes. 2. El centro de la Tierra no es el centro del universo, sino sólo de la gravedad y de la esfera lunar. 3. Todas las esferas giran alrededor del sol como su punto medio, y por lo tanto el sol es el centro del universo. 4. La relación de la distancia de la Tierra desde el Sol a la altura del firmamento (esfera exterior celeste que contiene las estrellas) es mucho más pequeña que la relación entre el radio de la Tierra a su distancia del Sol que la distancia desde la tierra al sol es imperceptible en comparación con la altura del firmamento. 5. El movimiento que aparece en el firmamento no surge de ningún movimiento del firmamento, sino del movimiento de la Tierra. La Tierra realiza una rotación completa sobre sus polos fijos en un movimiento diario, mientras que el firmamento permanece sin cambios. 6. Lo que se nos aparece como movimientos del Sol no surgen de su movimiento, sino debido al movimiento de la Tierra y nuestro entorno, con la que giran alrededor del sol como cualquier otro planeta. La Tierra tiene, entonces, más de un movimiento. 7. El retrógrado aparente y el movimiento directo de los planetas no surge de su movimiento, sino de la tierra. El movimiento de la tierra sola, por lo tanto, basta para explicar las desigualdades aparentes en los cielos. En la figura 4, se muestra una simulación del movimiento retrógrado de Marte, teniendo en cuenta ahora que el sol está en el centro de los círculos que describen sus órbitas. Para realizar esta simulación, se han utilizado algunos datos astronómicos, como por ejemplo las distancias de la Tierra al Sol (1 UA) y la distancia de Marte al Sol (1,52 UA). Hemos asumido que los planetas se mueven alrededor del Sol en círculos y que el período orbital de la Tierra y Marte son de 1 año y 1,88 años, respectivamente. Figura 4: Movimiento retrógrado de Marte. Tenemos un deslizador en la figura 4 (ángulo θ), que controla toda la animación. Se aprecia claramente, (siguiendo la trayectoria del punto de color amarillo en la simulación sobre el arco del firmamento), que el movimiento retrógrado de Marte en la esfera celeste se debe al movimiento orbital de la tierra alrededor del sol. A continuación mostramos el protocolo de constucción de la figura 4. 6 En el protocolo se observa que se realizan los siguientes pasos: 1.
2.
Definimos el centro S=(0,0) punto en el que se encuentra el sol. Definimos las circunferencias que describen la Tierra y Marte en torno al Sol; recordemos que los radios de las órbitas de la Tierra y Marte son, respectivamente, 1AU y 1,52AU. (AU = Unidad Astronómica). 3. Posteriormente, establecemos los radios de las órbitas de la Tierra y Marte como rt y rM, respectivamente. 4. A continuación definimos el punto M que se encuentra en la órbita del planeta Marte (rM) y a 45º. Notemos que establecemos su posición en coordenadas polares; de ahí que utilizamos ; en lugar de ,. 5. Establecemos el ángulo θ como un deslizador y tomamos inicialmente θ = 0. 6. Ahora definimos un punto (Earth) sobre la órbita de la Tierra de modo que se encuentre a 0º. 7. Rotamos el punto M un ángulo de 0.4 θ y lo llamamos Mars. 8. Construimos la semirecta que parte del punto earth y pasa por el punto mars. 9. Ahora dibujamos tres puntos A, B, C que nos van a servir para construir un arco representando el firmamento de estrellas. 10. Una vez dibujado A, B, C ya dibujamos el arco de circunferencia que pasa por los tres puntos. El objetivo es visualizar sobre este arco el movimiento de regresión que sufren los planetas sobre el cielo. Este es el arco e. 11. Ahora se calcula el punto de intersección entre el arco del firmamento y la semirecta que pasa por la Tierra y Marte; este punto es D. 12. Por último, para visualizar mejor el movimiento del punto D, trazamos un vector uniendo D con la Tierra. Una vez realizada la construcción, si vamos moviendo el deslizador, de manera que los cuerpos se muevan en sus trayectorias, apreciamos de una forma clara y precisa que se producen movimientos retrógrados en el firmamento.  COMENTARIOS Y REFLEXIONES Notemos que hemos considerado en esta actividad las órbitas de los planetas exteriores; análogamente, podríamos considerar los movimientos de los planetas interiores. También se han considerado órbitas circulares; no fue hasta el siglo XVI en que Kepler estableció las tres leyes planetarias en las que se demuestra que los planetas siguen órbitas elípticas en torno al Sol.  INVESTIGACIONES 1.
2.
Tomando como base la construcción anterior (véase la figura 4), añade la órbita de Júpiter y trata de visualizar el movimiento retrógrado que describiría Júpiter sobre el firmamento. Recuerda que la órbita de Júpiter se encuentra a una distancia de 5,19 AU. Recibe el nombre de hipocicloide a la curva trazada por un punto en un círculo de radio r cuando rueda por dentro de un círculo fijo de radio R. Representa esta curva mediante una construcción con GeoGebra. (Notemos que la construcción es muy semejante a la que se muestra en la figura 1, aunque en este caso el círculo que representa el epiciclo es tangente interior al círculo mayor o deferente).