Método Aitken El método ∆² de Aitken es un método de aceleración

Método Aitken
El método ∆² de Aitken es un método de aceleración de la convergencia. Lleva
el nombre de Alexander Aitken, quien introdujo este método en 1926.
Es muy útil para acelerar la convergencia de una sucesión que converge
linealmente independientemente de su origen.
Cuando se aplica el método de Aitken a una sucesión obtenida mediante una
iteración de punto fijo se conoce como método de Steffensen.
Supóngase que
es una sucesión que converge linealmente al limite p
y que, para todos los valores suficientemente grandes de n, tenemos (xn p)(xn+1 - p) > 0. Entonces, la
definida por sucesión:
converge a p con mayor rapidez que
La forma despejada de la formula
en el sentido de que:
seria
Ejemplo
Pn = cos(1/n),converge linealmente a p=1
N
Xn
^xn
1
0.54630
0.96178
2
0.87758
0.98213
3
0.94496
0.98979
4
0.96891
0.99342
5
0.98007
0.99541
6
0.98614
7
0.98981
Nótese que con
sucesión de Pn.
se obtiene un valor que converge mas rápido que la
Ejemplo2
X
G(x)
|xn-xn-1|
0
4
1
3,31662479
0,68337521
2
3,10374767
0,21287712
3
3,0343855
0,06936217
4
3,01144002
0,02294548
5
3,00381092
0,0076291
6
3,00127004
0,00254088
7
3,00042332
0,00084672
Ahora aplicando la aceleración de Aitken:
Tómanos el X0,X1,X2
Para generar un X3 con la formula de Aitken
X
G(x)
|Xn-Xn-1|
0
4
1
3,31662479
0,68337521
2
3,10374767
0,21287712
3
3.00742
0.09632
X
G(x)
|Xn-Xn-1|
3
3.00742
0.09632
4
3,00247231
0,00494769
5
3,00082399
0,00164832
Luego de ese X3 se obtiene los X4 y X5 por medio de punto fijo