Apuntes sobre fenomenología Luis Rico Para muchos

Apuntes sobre fenomenología
Luis Rico
Para muchos filósofos griegos el fenómeno es lo que parece ser, tal como realmente se
manifiesta.
El fenómeno se contrapone entonces al ser verdadero y, aún, es un encubrimiento de
este ser. El concepto de fenómeno es, desde el comienzo de la filosofía, sumamento
equívoco; se presentan tres nociones entrelazadas:
* fenómeno: es lo aparente y evidente, muestra la verdad, lo que es;
* fenómeno: es lo aparente que encubre la verdad, muestra el falso ser;
* fenómeno: aquello por los cual la verdad se manifiesta, el camino hacia lo
verdadero.
El fenómeno es la intuición de los objetos exteriores y la que el espíritu tiene de
sí mismo representadas en las formas del espacio y del tiempo. El fenómeno se
convierte en objeto de experiencia posible frente a lo que es simple apariencia ilusoria
y frente a lo que se halla mas allá de esta experiencia misma.
Por ser objeto de experiencia siempre, el fenómeno no puede negarse. La
legitimación del fenómeno coincide con la legitimización de la experiencia (Kant).
El concepto de fenómeno y su relación con la realidad ha sido analizado con
gran detalle por E. Husserl en su teoría fenomenológica.
Fenómeno es un concepto complejo que significa:
1. La vivencia concreta de la intuición (tener presente o representado cierto
objeto).
2. El objeto intuido (aparente) como el que parece aquí y ahora.
3. Los elementos reales del fenómeno, en el sentido del acto concreto de
aparición o intuición.
E. Husserl (1859-1937)
Interés de Husserl por las Matemáticas:
Tesis Doctoral; “Calculo de variaciones”
Tesis Habilitación: “Sobre el Concepto de Número”
Filosofía de la Aritmética.
Interés por la lógica: “Investigaciones Lógicas”
Fenómeno: Todo dato de la conciencia que, al suspender el juicio sobre su existencia,
es contemplado como tal dato, prescindiendo de suvalor existencial.
Intencionalidad: Propiedad esencial de la conciencia por la que todo acto de la misma
apunta a algo distinto de sí mismo, en cuanto toda conciencia es “conciencia de”.
Husserl trata de hacer frente al escepticismo de la ciencia positivista, estableciendo las
bases de un saber radical y universal. Sometió a crítica a las teorías del conocimiento
de su época y propuso una solución en el desarrollo de la filosofía como ciencia
universal, en donde se integran la teoría y la práctica.
Polémica Logicismo-Intuicionismo. Russell vs. Poincaré
La cuestión del constructivismo; los procesos infinitos y la ley del tercio excluso.
J. Brouwer: Intuicionismo como fundamento de la matemática. Confrontación con
Hilbert. Escuela holandesa.
Freudenthal y la Escuela holandesa: En 1930 se trasladó a Amsterdam para
trabajar con Brouwer, interesado por el Intucionismo, y allí desarrolla toda su carrera.
El planteamiento de H.F. era así: las matemáticas son un instrumento cognitivo
(conocimiento público) para organizar, estructurar y matematizar partes de la realidad.
Mediante este organizar, estructurar y matematizar cada individuo se apropia
personalmente de las matemáticas. Por tanto, hay que buscar aquellos fenómenos del
entorno de los niños que pueden matematizarse mediante ciertas partes de las
matemáticas. Hay que volver a la historia, en particular, y comprobar cómo fue
descubierta mediante ensayo y error en su época. Describir cómo las matemáticas
organizan los fenómenos, etc. Mostrar cómo las cosas pensadas (noumena) describen
los fenómenos (phenomena), los analizan y los hacen accesibles para el pensamiento y
el cálculo, ayudan a entenderlos mejor, permiten predecirlos, etc. Esto se denominó
fenomenología, el método fenomenológico como lo vió H.F.
Mediante el análisis fenomenológico se logro una realización cognitiva que expresa
cómo la cosa pensada puede organizar un fenómeno. La fenomenología didáctica se
orienta en particular a la adquisición de todo aquello que se necesita para tal
organización. De este modo revisó una gran cantidad de fenómenos. (F. Goffree, 1994).
La Fenomenología de los conceptos, estructuras e ideas matemáticas significa su
descripción mediante sus relaciones con los fenómenos para los que fueron creados y
a los que se ha extendido en el proceso de aprendizaje de la humanidad; en tanto que
se implica en el proceso de aprendizaje de las generaciones jóvenes, se trata de
Fenomenología Didáctica, un camino para mostrar al profesor los lugares por donde el
aprendiz debe caminar en el proceso de aprendizaje humano. No en su historia sino
en el proceso de aprendizaje que aún continúa, lo cual significa que se debe prescindir
de las vías muertas y reforzar y aprovechar las raices vivas. (Freudenthal)
Los conceptos son el núcleo de nuestras estructuras cognitivas. Pero en las
actuaciones usuales no se consideran como materia de enseñanza. Aunque los niños
aprenden lo que es una silla, lo que es un alimento o la salud, no se les enseñan los
conceptos de silla, alimento y salud. Las matemáticas no son diferentes. Los niños
aprenden lo que es un número, lo que es un círculo, lo que es sumar, lo que es trazar
una gráfica. Ellos lo captan como objetos mentales y los utilizan en actividades
mentales. Es un hecho que los conceptos de número y círculo, de suma y trazado de
gráficas son suceptibles de mayor precisión y claridad que los de silla, alimento y
salud. Por ello, es usual que los profesores prefieran enseñar el concepto de número
antes que los números y, en general, los conceptos antes que los objetos y actividades
mentales.
La diferencia entre fenomenología y fenomenología didáctica puede hacerse
explícita. En el primer caso una estructura matemática se tratará como producto
cognitivo que describe sus objetos posiblemente no matemáticos de una determinada
forma; en el segundo caso, se considerará como materia de enseñanza y aprendizaje,
que es un proceso cognitivo.
Las matemáticas surgen de los fenómenos : abstraen, organizan y estructuran
grandes familias de fenómenos, dando lugar a los conceptos matemáticos.
Fenomenología de los conocimientos. Bloque de Números.
Reconocer y distinguir mediante ejemplos los diferentes fenómenos y situaciones en los
que se utilizan cada uno de los conceptos numéricos considerados. Entre los más
significativos, señalamos:
1. Números naturales: Secuencia, recuento, cardinalidad, medida, ordinalidad, código o
símbolo, representación figurativa, operatividad.
2. Números enteros: situaciones relativas mediante comparaciones y transformaciones
entre números naturales; situaciones lógico-duales, basadas en el concepto de
opuestos; situaciones de cambio de origen y estructura relativa local; situaciones
prealgebraicas; situaciones métricas.
3. Números fraccionarios: fracción como parte de un objeto físico; fracción de un
segmento o polígono regular; fracción de las unidades fundamentales del sistema
internacional de medidas, fracciones de unidades de tiempo; fracciones en situaciones
de contrato, convenio o reparto; fracciones en situaciones culturales o históricas;
fracción como razón de dos cantidades, porcentaje, frecuencia relativa o probalidad;
fracción como ley o relación entre conjuntos.
4. Modelos decimales: números decimales: números con coma; expresión decimal de
una división entera; expresión decimal de una raiz cuadrada; decimales en la
calculadora.
Fenomenología de los conocimientos. Bloque Iniciación al Algebra.
Al comenzar el estudio del álgebra los alumnos inician el aprendizaje de un
segundo nivel de abstracción en el lenguaje de las matemáticas. El aprendizaje de la
aritmética constituyó un primer nivel en el que las colecciones de objetos pasaron a
simbolizarse mediante números y las acciones sobre esas colecciones mediante
operaciones. A partir de aquí pasamos a trabajar sobre cantidades o números
generales, al estudio de las relaciones entre ellas y de las reglas de transformación
entre esas relaciones. Tenemos un ejemplo de los problemas que se generan al
modificar un lenguaje anterior mediante un cambio de perspectiva y para lo que son
necesarias nuevas reglas de transformación. Se trata de la formalización del lenguaje
aritmético y las ventajas e inconvenientes derivadas de los lenguajes formales. Hay que
tener en cuenta que para estos alumnos, en principio, la formalización es un medio y no
una meta.
Sólo más adelante algunos de ellos considerarán el algebra como objeto de
estudio con interés propio. Dos son los fenómenos que se ejemplifican mejor con estos
contenidos: los símbolos y las variables. El conocimiento y uso de símbolos, las reglas
de su utilización y las diferentes funciones que pueden desempeñar tienen en la
iniciación al álgebra un amplio campo de trabajo. El papel de las variables y su
sustitución formal es otro. Al trabajar sobre expresiones simbólicas el estudio de
simetrías, analogías, cambios de perspectiva y nuevas representaciones son líneas de
desarrollo con interés y potencialidad propias.
Fenomenología de los conocimientos. Bloque Funciones.
Hay fenómenos sociales, físicos y mentales que caen bajo el concepto de
variable. Esto ocurre con el transcurso del tiempo, camino recorrido, meta que cambia,
movimientos de planetas; temperatura que oscila, días que van aumentando, tasas de
mortalidad, impuestos que varían, etc. Las variables sociales, físicas y mentales llevan a
números, magnitudes, puntos y conjuntos variables; y éstos, a su vez, a objetos
matemáticos que los describen.
La noción de dependencia también tiene una procedencia fenomenológica, ya
que puede ser mentalmente experimentada, utilizada, provocada, hecha consciente,
sentida o nombrada como un objeto, etc. Establecemos dependencias en los
movimientos, procesos, cursos, tramos y en las conexiones causales.
Las funciones expresan conexiones entre fenómenos variables mediante la
consideración simultánea de conexiones entre hechos. La variabilidad que pueden
representar es, en primer término, cualitativa y, más adelante, cuantitativa. Los
fenómenos conectados pueden ser discretos o continuos. Prácticamente, cualquier
conexión entre datos o fenómenos variables, de un cierto nivel de complejidad, puede
representarse como una función. Los fenómenos temporales tienen especial interés en
este campo. Dentro de las funciones hay determinados tipos de especial interés por los
fenómenos a los que sirven de modelos. Entre las más conocidas están las funciones
lineales que expresan las situaciones de proporcionalidad directa; las funciones
cuadráticas, que resultan de la acumulación de efectos lineales -espacio recorrido por
un cuerpo en caida libre-; la función exponencial, como expresión de los procesos de
crecimiento proporcional, etc.
Fenomenología de los conocimientos. Geometría del Espacio.
La geometría, en su origen, trata de proporcionar una estructura del espacio; su
desarrollo parece estar ligado al siguiente esquema: objeto material, relaciones entre
posiciones de objetos materiales, espacio intermedio, concepto de espacio. Antes de
llegar a la situación actual de diferentes geometrías abstractas establecidas mediante
conjuntos de axiomas, la geometría fue simplemente geometría física. Esta
consideración que, históricamente abarcó hasta el siglo XIX, describe en términos
generales la secuencia que los niños y jóvenes siguen para construir sus conceptos
geométricos y aprender a utilizar los procedimientos que los ponen en relación. El
medio familiar, social y natural está plagado de fenómenos en base a los cuales se
elaboran las intuiciones geométricas. De todos los campos de la matemática, la
geometría del espacio es el campo conceptual más rico en fenómenos para estructurar
y sobre los que desarrollarse.
Así, el término punto sirve para designar puntos físicos: clases de objetos que se
ejemplifican por la cabeza de un alfiler, dos hilos cruzados, una marca, un pequeño
foco luminoso, etc. Análogamente el término línea se ejemplifica con cuerdas tirantes,
alambres o varillas, rayos de luz, etc. En esta perspectiva los teoremas son enunciados
verificables, susceptibles de experimentación, como en el caso famoso de las medidas
que realizó Gauss sobre la suma de los ángulos de un triángulo.
Es difícil censar los fenómenos que se pueden considerar en la construcción y
desarrollo de los conocimientos geométricos. Una relación de los más importantes debe
incluir los siguientes:
* Fenómenos ópticos, superficies reflectantes.
* Formas arquitectónicas: composiciones de volúmenes, perspectivas de cuerpos,
figuras
simples y combinaciones, cuerpos con simetrías, cúpulas, poliedros.
* Cristalografía, minerales.
* Astronomía: cuerpos en revolución, relaciones espaciales, coordenadas.
* Objetos manufacturados; reproducción industrial.
* Sistemas estáticos y dinámicos, estables e inestables; superficies de tensión mínima.
* Agricultura racional. Urbanismo.
* Empaquetados y apilamientos.
* Reproducción del espacio: perspectiva; fotografía; holografía.
* Juguetes articulados, tipo mecano.
También podemos considerar dentro de la fenomenología de este tema las relaciones
espaciales y el lenguaje.
Fenomenología de los conocimientos. Geometría del Plano.
Reconocemos figuras geométricas en los objetos que nos rodean cuando
hacemos abstracción de casi todas sus propiedades y limitamos su caracterización al
tamaño y la forma. Muchos objetos del entorno social tienen formas geométricas
estándar que invitan a su reproducción, manipulación y transporte.
El concepto de plano se puede presentar como abstracción de las caras o superficies
de determinados objetos, la superficie del agua en reposo, o bien de cortes o secciones
realizadas con una sierra o cuchillo. También los marcos o encuadres como puertas,
arcos, ventanas, sugieren planos. La idea de plano va acompañada por la de línea
recta; la dirección constante es uno de los elementos característicos de la línea. La línea
recta se presenta al dibujar sobre el borde de una regla, como intersección de planos,
mediante corte o doblez, como trayectoria a seguir, camino más corto, eje de simetría o
rotación, rayo de luz y línea de visión.
Las necesidades de reproducir o representar una determinada superficie es lo
que ha llevado a los sistemas de representación; pero los sistemas tienen interés en
tanto que permiten ubicar objetos y representar sus transformaciones.
Fenómenos relativos a figuras y superficies son muy numerosos, entre ellos podemos
considerar los siguientes: láminas; piezas de tela, papel o piel; terrenos y locales;
divisiones políticas y administrativas de un territorio; superficies que limitan líquidos;
superficies en un recinto y modo de cubrirlas (empapelado, enmoquetado, enlosado,
acristalado, etc.); superficies agrícolas, urbanas o de vias de comunicación; pantallas o
superficies reflectantes; huellas y huecos, etc.
La fenomenología de los conceptos de la geometría plana es más amplia y
extensa; las ideas aquí señaladas recogen parte de los fenómenos más importantes de
nuestro medio natural y social para este tema.
Fenomenología de los conocimientos. Magnitudes.
El trabajo con las magnitudes comienza estableciendo comparaciones entre
objetos en relación con una cualidad determinada. Para establecer esas
comparaciones se emplean términos relacionales, que son adjetivos que se pueden
agrupar en parejas opuestas. Así, en el caso de la longitud tenemos: corto-largo, cercalejos, ancho-estrecho, alto-bajo, profundo-superficial, grueso-delgado. En superficie
empleamos: amplio-reducido, holgado-ajustado, ancho-estrecho, ahogadodesahogado; también hay términos que no tienen un opuesto claro: apretado, extenso,
vasto, profundo, dilatado, espacioso, despejado, angosto, etc. Los comparativos de
volumen son más genéricos: grande-pequeño, voluminoso-reducido, o bien remiten a
términos ya citados para la longitud o la superficie.
Idea importante en los fenómenos asociados a estas magnitudes es la rigidez o
indeformabilidad. Para hablar de longitud es preciso tener rigidez en una dirección;
para hablar de superficie es necesaria la rigidez en dos direcciones o permanencia de
un contorno, mientras que la medida del volumen necesita rigidez en las tres
direcciones.
Aunque estamos trabajando con alumnos de Secundaria es adecuado
considerar aquellas trasnformaciones que dejan invariante una longitud, superficie o
volumen y su carácter reversible.
Los fenómenos en los que se presentan longitudes se pueden considerar en una
de estas tres clases: dimensiones de un objeto, distancias entre objetos y trayectoria de
un móvil. En el caso de las trayectorias las suponemos rectilíneas, pero se puede
generalizar la idea de longitud de una trayectoria poligonal o curvilinea mediante la
noción de rectificación.
Los fenómenos en los que se presentan superficies se pueden considera en una
de estas tres clases: superficies que limitan a un objeto, huellas o marcas dejadas por
un objeto, extensión barrida por un segmento o línea que se desplaza. Los fenómenos
en los que se presentan volúmenes se pueden considerar en una de estas clases:
volumen ocupado por un objeto, volumen o espacio hueco dejado por un cuerpo y
volumen barrido por una superficie que se desplaza según una dirección distinta de la
de su plano.
Los ángulos también los podemos considerar en situaciones estáticas o
dinámicas - y, dentro de las primeras-, con soporte físico presente o ausente.
La proporcionalidad directa entre magnitudes es una relación que se presenta en
multitud de fenómenos naturales, y convencionales. Entre los primeros encontramos las
relaciones que se pueden establecer entre un número de objetos (p.ejp. sillas) y el
número correspondiente de algún elemento destacable dentro de esos objetos (p. ejp.
patas de las sillas); situaciones de mezclas de pinturas u otros productos, que se
necesitan para obtener un determinado resultado; recetas de cocina; dimensiones de
objetos semejantes; problemas de sombras; velocidades; gastos producidos al adquirir
un producto; resultados del trabajo realizados por un número variable de personas;
recorridos de velocidad constante, etc. En todos estos casos se trata de fenómenos a
los que la proporcionalidad directa ofrece un esquema de interpretación y explicación
adecuado. Consideraciones similares se pueden hacer con la proporcionalidad inversa
o la compuesta.
Fenomenología de los conocimientos. Combinatoria.
Los problemas de enumeración y recuento de las diferentes posibilidades de
organizar un número finito de elementos de acuerdo con unas condiciones de contexto
son muy antiguos, y se encuentra información sobre los mismos desde el comienzo de
la memoria escrita. El ejemplo paradigmático son los ejercicios combinatorios que
aparecen en el I Ching (2. 300 a C. aprox.), así como los cuadrados mágicos. Desde
entonces las matemáticas se han ocupado de estudiar problemas en los que intervenía
un número finito de signos, símbolos u objetos simples, tales como letras, números,
colores, sonidos, etc.
Los agrupamientos de un número limitado de personas, procedentes o no de una
misma categoría o clase, para realizar una actividad determinada; por extensión, los
agrupamientos de seres vivos. Las mezclas de ingredientes, las preparaciones de
alimentos o, en sentido inverso, la reducción de los objetos de un universo a unos
elementos simples, cuyas combinaciones permiten explicar los diferentes objetos del
universo.
También son fenómenos estudiados por la combinatoria los agrupamientos de
objetos y las posibles distribuciones o repartos de los objetos de una colección. Las
relaciones geométricas tales como cortes entre rectas; divisiones del plano o del
espacio en regiones mediante rectas o planos; los modos de conectar puntos; etc.
También los grafos o caminos entre objetos y todos los juegos en los que intervienen un
número finito de elementos y de reglas para su ordenación entran en las situaciones
que plantean problemas a los que la combinatoria ha tratado de encontrar respuesta.
Hay un tipo de pensamiento, que podemos denominar combinatorio, y que
intenta explicar unos determinados fenómenos en base a una combinación de
elementos simples. Todas estas situaciones, tanto si han tenido éxito en su justificación
-tabla periódica de los elementos- como si se han reducido a un puro juego intelectual como la cábala o pensamiento esotérico- constituyen parte importante del amplio
campo de fenómenos a los que la combinatoria proporciona una sistemática.
Fenomenología de los conocimientos sobre Sucesiones.
Las sucesiones constituyen conjuntos numéricos infinitos numerables, obtenidos
mediante alguna ley o regularidad; representan la abstracción de conjuntos finitos, junto
con una regla que permite continuar obteniendo términos indefinidamente en función
de la posición que ocupan.
El estudio de las sucesiones está dirigido prioritariamente a los aspectos
numéricos, algebraicos y analíticos correspondientes, pero no cabe duda de que hay
fenómenos en la vida real en los que una serie de números están relacionados entre sí
mediante una regla que puede combinarse con sentido; los números se obtienen
mediante medición de una determinada magnitud en una colección de objetos.
Hay fenómenos en los que las medidas obtenidas sobre la colección de objetos
tienen un crecimiento o aumento constante (cualquier fenómeno de flujo o incremento
temporal fijo); en otros fenómenos las medidas obtenidas aumentan mediante producto
por un factor constante: cada objeto o unidad inicial da lugar a su vez a n objetos o n
unidades en el objeto siguiente (fenómenos de crecimiento o división) el problema de
los granos de trigo y el tablero de ajedrez es un ejemplo popular de estos fenómenos.
No son las únicas posibilidades. También hay fenómenos en los que el
crecimiento es aditivo pero en cada paso el incremento aumenta en una unidad. Otros
fenómenos que se ajustan a leyes recurrentes son los que se describen con la sucesión
de Fibonacci (descendencia de una pareja de conejos, filotaxia, etc.).
Las sucesiones crecientes con valores enteros, cuyo estudio interesa realizar en
estos cursos responden a varias clases de fenómenos de crecimiento:
* Crecimiento de diferencia o incremento constante;
* Crecimiento de razón o tasa constante;
* Crecimiento de incremento variable, pero en el que el incremento experimenta un
aumento constante;
* Crecimientos recurrentes, en los que cada valor se obtiene por acumulación de
valores anteriores.
Las sucesiones de números racionales y los problemas de convergencia
asociados responden al estudio de otro tipo de fenómenos. Se trata en este caso de
fenómenos de crecimiento controlado o de realización de medidas mediante
procedimientos recurrentes cuando no es posible una medida directa de la cantidad en
cuestión, como es el caso de la diagonal de un cuadrado al medirla con el lado o la
longitud de la circunferencia al medirla con el diámetro.
Todas las situaciones de rectificación de curvas, medida de superficies
curvilíneas, etc., tienen una aproximación matemática con estos conceptos.
Fenomenología de los conocimientos sobre Funciones.
El concepto de función es un buen instrumento matemático para expresar el
cambio que se produce en determinadas magnitudes cuando transcurre el tiempo, o
bien cuando varía otra magnitud. Muchos de estos fenómenos ya se citaron
explícitamente en las referencias que se hicieron al concepto de función para ESO.
Los fenómenos que se estudian mediante el concepto de función no quedan
agotados, y es mucho más amplia la lista de los que quedan sin nombrar que de
aquellos que se citan expresamente. La mayor complejidad conceptual y técnica de los
contenidos de este tema permiten trabajar sobre un tipo de funciones más amplio y
cuyas leyes tienen mayor precisión. Proponemos a continuación algunos ejemplos de
fenómenos que pueden estudiarse con los contenidos de este tema.
Cambio de temperatura a lo largo del día en función del tiempo (horas): C(t)= at 2+bt +
c.
Crecimiento de población de una cierta comunidad en función del tiempo (años): P(t)=
a- b/t+1.
Psicología Experimental. Estudio del tiempo requerido por una rata para atravesar un
laberinto en la
n-esima prueba:
f(x) = a + b/n.
Tiempo de distribución de un producto: guías telefónicas al x por ciento de familias de
una comunidad:
f(x) = ax/b-x ; con igual ley tenemos funciones que estudian el coste para inmunizar al x
por ciento
de una población contra una epidemia.
Periodo de un péndulo simple en función de su longitud: T = 2 Vx .
Velocidad de un móvil en movimientos uniformes, uniformemente acelerado o
retardado; polución del aire,
coste industrial de fabricación de x unidades; demanda de consumo; ventas al por
menor; coste medio de fabricación; cuotas; recibos de la luz, agua o teléfono en función
del gasto; depreciaciones lineales; problemas de conversión de unidades; relaciones
de proporcionalidad directa y de proporcionalidad inversa;
intensidad de sonido en función de la distancia, y muchos otros son los fenómenos que
pueden y deben utilizarse para el trabajo con este tema.