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ESTADÍSTICA EN RRLL - CURSO 2010
TURNO NOCTURNO
•
MODULO 3: Medidas de tendencia central
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Docentes:
Mariana Cabrera - Laura Noboa - Verónica Curbelo
•
11
•
ANALISIS DESCRIPTIVO UNIVARIADO
1.
Tablas, gráficos (Módulo 2)
2.
Estadísticos:
1.
Medidas de tendencia central (Módulo 3)
2.
Medidas de posición y dispersión (Módulo 4)
•
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Estadísticos que indican dónde se encuentra el centro de la distribución o
•
punto central sobre el que gravitan el conjunto de valores de la distribución.
Están sujetos al nivel de medición de la variable
•
Para las variables cuantitativas la elección del estadístico depende del tipo de
•
distribución de la variable
Nivel de medición de la variable
Moda
Medidas de
tendencia
central
Mediana
Media
aritmética
o promedio
Nominal
Ordinal
Cuantitativa
(distr asimétrica)
Cuantitativa
(distr. simétrica)
X
X
X
X
X
X
X
X
•
MEDIA ARITMÉTICA O PROMEDIO
Definición: Es la suma de todos los valores de la variable, dividida por el total
de observaciones.
Notación: X
Ejemplo:
¿Cómo calcularla?:
1) A partir de una matriz de datos
•
Dados los valores de una variable
en una tabla:
x1; x2; x3; ………xi
x=
∑
xi
Trab1
Trab2
Trab3
Trab4
Trab5
Trab6
Trab7
Trab8
Trab9
Nº de hijos
0
2
2
2
3
4
4
5
6
N
3.1
•
MEDIA ARITMÉTICA O PROMEDIO: ¿Cómo calcularla?
2) A partir de tablas de frecuencias simples
Cálculo:
En este caso la media es la suma ponderada de los valores de la variable por las
frecuencias absolutas, sobre el total de observaciones (N)
Con frecuencias absolutas
1
x = ( x1 f i + .......xk f k ) =
n
∑
xi f i
n
Matriz de datos
Con frecuencias relativas
x = x1 fr + ......xk f k =
∑
xi f r
Trab1
Trab2
Trab3
Trab4
Trab5
Trab6
Trab7
Trab8
Trab9
Nº de hijos
0
2
2
2
3
4
4
5
6
Tabla de frecuencias simples
Nº HIJOS
fi
fr
0
1
0,1
2
3
0,3
3
1
0,1
4
2
0,2
5
1
0,1
6
1
0,1
Total
9
1
MEDIA ARITMÉTICA O PROMEDIO: ¿Cómo calcularla?
3) A partir de tablas de frecuencias con datos agrupados en intervalos
de clase
Cálculo:
Dada la pérdida del dato original, en estos casos la media es la suma de las
«marcas de clase» (xc) –no de los valores originales- ponderada por sus
frecuencias relativas, o bien del producto de esa ponderación por sus
frecuencias absolutas dividido el total de casos.
x ==
x ==
∑
∑
Ejempl
o:
xc * f i
n
xc * f r
•
66
Nº HIJOS
fi
fr
Marca de clase
(Li+Ls)/2
0-2
4
0,4
1
3-4
3
0,3
3,5
5-6
2
0,2
5,5
Total
9
1
2.8
•
Cálculo de media con datos agrupados en intervalos de clase
La media aritmética obtenida a partir de las marcas de clase (xc),
en general diferirá de la media obtenida con los valores reales, xi.
•
Es decir, habrá una pérdida de precisión que será tanto mayor
cuanto mayor sea la diferencia entre los valores reales y las marcas
de clase, o sea, cuanto mayores sean las amplitudes de los intervalos
de clase (ai).
•
la media calculada sobre datos agrupados en intervalos dependerá
siempre de la división en intervalos de clase.
•
•
77
•
•
•
•
•
•
Propiedades de la MEDIA
Es un número comprendido entre el mínimo y el máximo de los valores
observados.
No tiene por qué coincidir con algún valor observado en la población.
Si la distribución de la variable no es muy dispersa (porque se concentra
en unos pocos valores) entonces el promedio es un buen indicador de la
“posición” de la distribución.
La media calculada sobre datos agrupados en intervalos dependerá
siempre de la división en intervalos de clase.
Como medida de tendencia central, tiene el defecto de estar muy influida
por los valores extremos de la distribución. Ya que todas las observaciones
intervienen en el cálculo de la media, la aparición de una observación con
un valor extremo hará que la media se desplace en esa dirección. En
consecuencia, no es recomendable usar la media como medida central en
las distribuciones muy asimétricas.
•
88
•
SIMETRÍA
Supongamos que hemos representado gráficamente una
distribución de frecuencias.
•
Si trazamos una perpendicular al eje de abscisas por la media y
tomamos esta perpendicular como eje de SIMETRÍA, una
distribución es simétrica respecto a la media si existe el mismo
número de valores a ambos lados de dicho eje, equidistantes de
uno a uno, y tales que cada par de valores equidistantes tengan
la misma frecuencia. En caso contrario, las distribuciones serán
Simétrica
Asimétrica a la derecha
asimétricas.
•
x
x
Asimétrica a la izquierda
x
•
Ejemplo
Sea X una variable que ha presentado los siguientes valores
Si cambiamos la última observación por otra anormalmente grande, esto
afecta a la media:
•
En este caso la media no es un posible valor de la variable, y se ha visto muy
afectada por la observación extrema.
•
•
1010
•
MEDIANA
Definición: Dada una variable X cuyas observaciones en una tabla
estadística han sido ordenadas de menor a mayor, la mediana es el
primer valor de la variable que deja por debajo de sí al 50% de las
observaciones y por encima de sí al restante 50%.
•
Notación: Xdn
¿Cómo se puede calcular?:
Ejercicio:
1) Con matriz de datos original
Dado N impar: Xdn = [N+1]/2
•
Dado N par: Xdn = [N/2] y [N/2] *
•
* En las variables de razón se
puede hacer promedio [((N+1)/2)+
(N/2)]/2
Trab1
Trab2
Trab3
Trab4
Trab5
Trab6
Trab7
Trab8
Trab9
Nº de hijos
0
2
2
2
3
4
4
5
6
Trab1
Trab2
Trab3
Trab4
Trab5
Trab6
Nivel educativo
Bajo
Bajo
Medio
Medio
Medio
Alto
•
¿Cómo se puede calcular?:
2) Con tabla de frecuencias
Debe leerse (o calcularse) la
columna de frecuencia relativa
acumulada.
•
Aquí la mediana es el valor o
categoría que acumula antes el 50%
de las observaciones
•
MEDIANA
Ejercicio:
Nº accidentes
laborales 2008
(Xi)
3
4
5
6
7
8
Total
fi
3
6
5
4
1
1
20
fr
0,15
0,3
0,25
0,2
0,05
0,05
1
Fi
3
9
14
18
19
20
Fr
0,15
0,45
0,7
0,9
0,95
1
Como veremos, es un estadístico que no se ve afectado por los datos
extremos, ya que no depende de los valores de la variable sino del orden
de las mismas. De ahí que es utilizado en distribuciones asimétricas
•
•
MEDIANA
¿Cómo se puede calcular?:
2) Con tabla de frecuencias agrupadas en intervalos de clase
(no lo trataremos en clase por ser bastante poco común recurrir a esto)
En el caso de variables continuas, las clases vienen dadas por
intervalos, y aquí la fórmula de la mediana se complica un poco más
debido a que supone una interpolación de datos.
•
fórmula para interpolar:
•Sin embargo, sugerimos que para
facilitar la comprensión del tema
se maneje con el concepto de
‘intervalo mediano’. Así, al igual
que en las tablas de frecuencias,
basta con identificar cuál es el
intervalo que primero deja por
debajo de sí el 50 % de las
observaciones más pequeñas.
•
 N

− Fiant 

 * Ai
Mdn = = Li +  2
fi






Donde:
Li = límite inferior del intervalo mediano
N= total de observaciones de la población
Fiant= frecuencias acumuladas en la clase anterior del
intervalo mediano
fi= frecuencia absoluta simple del intervalo mediano
Ai = amplitud del intervalo mediano
•
•
•
PROPIEDADES DE LA MEDIANA
Cálculo rápido e interpretación sencilla
Es función de los intervalos escogidos.
Como medida descriptiva, tiene la ventaja de no estar afectada por
las observaciones extremas, ya que no depende de los valores que
toma la variable, sino del orden de las mismas. Por ello es adecuado
su uso en distribuciones asimétricas.
•
Puede ser calculada aunque el intervalo inferior o el superior no
tenga límites.
•
A diferencia de la media, la mediana de una variable discreta es
siempre un valor de la variable que estudiamos (ej. La mediana de
una variable número de hijos toma siempre valores enteros).
•
•
1414
•
Ejemplo (Módulo 3)
Sea X una variable que ha presentado los siguientes valores
Si cambiamos la última observación por otra anormalmente grande, esto no
afecta a la mediana, pero si a la media:
•
En este caso la media no es un posible valor de la variable, y se ha visto muy
afectada por la observación extrema. Este no ha sido el caso para la mediana.
•
•
1515
•
MODA O MODO
Definición: Es el valor máximo de la distribución de frecuencias; es
decir, el valor de la variable que posee una frecuencia mayor a los
restantes.
En el caso de variables continuas es más correcto hablar de intervalos
modales.
•
Notación: Xmo
Ejercicio:
¿Cómo se reconoce la(s) moda(s) en una
tabla estadística?:
Observando el valor o valores con mayor
frecuencia relativa
¿Cómo se conoce la moda en el diagrama
de barras?:
Observando el valor de la variable que
representa la barra más alta.
Calcular XMo
Trab1
Trab2
Trab3
Trab4
Trab5
Trab6
Trab7
Trab8
Trab9
Nº de hijos
2
2
4
6
5
0
2
3
4
Estado civil
Casado
Casado
Divorciado
Casado
Divorciado
Soltero
Soltero
Soltero
Viudo
•
MODA O MODO
Propiedades
•
Es muy fácil de calcular ( o identificar)
•
Puede no ser única (distribución unimodal, bimodal, etc).
•
Es condicional a los intervalos elegidos a través de su
amplitud, número y límites de los mismos.
•
Aunque el primero o el último de los intervalos no posean
extremos inferior o superior respectivamente, la moda
puede ser calculada.
•
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Estadísticos que indican dónde se encuentra el centro de la distribución o
•
punto central sobre el que gravitan el conjunto de valores de la distribución.
Están sujetos al nivel de medición de la variable
•
Para las variables cuantitativas la elección del estadístico depende del tipo de
•
distribución de la variable
Nivel de medición de la variable
Moda
Medidas de
tendencia
central
Mediana
Media
aritmética
o promedio
Nominal
Ordinal
Cuantitativa
(distr asimétrica)
Cuantitativa
(distr. simétrica)
X
X
X
X
X
X
X
X
•
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Moda:
•
Nivel de medición: cuantitativa, ordinal, nominal
Mediana:
•
Nivel de medición: cuantitativa, ordinal
Si la variable es cuantitativa, se calcula pre-suponiendo una
distribución asimétrica (se debe analizar previamente la
distribución con un gráfico)
•
Dada una variable cuantitativa, si su distribución es simétrica su
mediana = media
•
Media o promedio:
•
Nivel de medición: cuantitativa
Se calcula pre-suponiendo una distribución simétrica (se debe
analizar previamente la distribución con un gráfico)
•
•
EJERCICIO
La siguiente distribución presenta a la población desocupada del interior urbano en 2001, por
grupos de edad.
a.
Completar la tabla con la frecuencia relativa y relativa acumulada de la
distribución.
a.
¿Cuál era el grupo de edad modal de esta población?
a.
¿Qué promedio de edad tenía la población desocupada del interior urbano en
2001?
a.
¿Por debajo de qué edad se encontraba el 50% más jóven de los desocupados?
b.
Comente en forma conjunta los resultados obtenidos.
•
Edad
14-17
18-24
25-34
35-44
45-54
55-64
65 y más (*)
Ni
8.719
28.085
16.956
12.209
8.953
5.057
1.672
81.651
(*) Para cerrar este intervalo utilice como límite
superior 74 años.
•2020
ESTUDIO DEL PERFIL DE PERSONAL DE LA EMPRESA ARLEQUIN
Construya la variable “nivel educativo” considerando las
siguientes categorías:
1.
1.
1.
Secundaria incompleta
2.
Secundaria completa
3.
Terciaria incompleta (menos de 4 años)
4.
Terciaria completa
¿Cuál es el nivel de medición de cada variable y qué
estadísticos de tendencia central pueden calcularse en
cada una?
•
2121
•
EMPLEADO Nº
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
ESTUDIO DEL PERFIL DE PERSONAL DE LA EMPRESA
ARLEQUIN (matriz de datos)
ESCOLA
EDAD (en RIDAD
ANTIGÜEDAD
años)
(en años) (en años)
SEXO
F
F
F
F
F
F
F
F
F
M
M
M
M
M
M
M
M
M
39
25
25
37
26
39
26
26
39
19
19
30
21
20
31
34
62
46
•
2222
12
16
10
16
14
14
16
16
18
12
16
11
12
15
12
14
15
14
9
1
2
4
3
2
5
2
9
0
1
1
3
2
6
6
9
9
SALARIO
(en miles
de pesos)
3,5
3,5
4
4,5
6,5
6,5
7
8,5
10
3,5
3,5
5,2
6,5
7
11
13
15
16
ESTUDIO DEL PERFIL DE PERSONAL DE LA EMPRESA ARLEQUIN
Defina la unidad de análisis y la población de estudio
1.
Construya la variable “nivel educativo” considerando las
siguientes categorías:
2.
1.
1.
Secundaria incompleta
2.
Secundaria completa
3.
Terciaria incompleta (menos de 4 años)
4.
Terciaria completa
¿Cuál es el nivel de medición de cada variable y qué
estadísticos de tendencia central pueden calcularse en
cada una?
•
2323
1.
2.
3.
Construya una tabla de frecuencias de la variable nivel
educativo. ¿Cuál es el nivel educativo más frecuente?
¿Hasta qué nivel educativo alcanzó la mitad de la
población trabajadora menos educada de la empresa?
¿Cuál es el salario promedio de los empleados de la
empresa Arlequín?
¿Cuál es el salario promedio para los hombres y cuál para
las mujeres? Comente los resultados.
•
2424