Algebra Lineal X:Sumas y Sumas Directas

Algebra Lineal X:Sumas y Sumas Directas
José Marı́a Rico Martı́nez
Departamento de Ingenierı́a Mecánica
Facultad de Ingenierı́a Mecánica Eléctrica y Electrónica
Universidad de Guanajuato
email: [email protected]
1.
Sumas y Sumas Directas
En estas notas definiremos sumas y sumas directas de subespacios vectoriales.
Definición de suma de subespacios. Considere un espacio vectorial V sobre un campo K y dos
subespacios U y W de V. Entonces la suma de U y W, se define como:
U + W = {u + w|
u ∈ U, w
∈ W}
Teorema. Sean U y W subespacios de un espacio vectorial V sobre un campo K. Entonces U+ W ≤
V.
Prueba: Suponga que v1 , v2 ∈ V son dos elementos arbitrarios. Entonces existen vectores u1 , u2 ∈ U
2 ∈ W tales que:
y vectores w
1, w
v1 = u1 + w
1,
v2 = u2 + w
2
y sea λ ∈ K arbitrario. Entonces, la suma U + W está cerrada respecto a la suma
v1 + v2 = (u1 + w
1 ) + (u2 + w
2 ) = (u1 + u2 ) + (w
1 + w
2)
puesto que U y W son subespacios, entonces u1 + u2 ∈ U y w
1 + w
2 ∈ W y v1 + v2 ∈ U + W.
Similarmente, la suma U + W está cerrada respecto a la multiplicación por escalar
1 ) = (λu1 ) + (λw
1)
λv1 = λ(u1 + w
puesto que U y W son subespacios, entonces λu1 ∈ U y λw
1 ∈ W y λv1 ∈ U + W.
Definición. Considere un espacio vectorial V sobre un campo K y dos subespacios U y W de V.
Entonces la suma de U + W, se dice que una suma directa, denotada por U ⊕ W si, y sólo si, para
cada v ∈ U + W existe un único elemento u ∈ U y un único elemento w
∈ W tal que
v = u + w
∈ U + W.
Teorema. Considere un espacio vectorial finito-dimensional V sobre un campo K y dos subespacios
U y W de V. La suma S = U + W es una suma directa si, y solo si, U ∩ W = {0}.
Prueba. Suponga que U ∩ W = {0} y sea v ∈ U + W y considere dos “posibles”, representaciones
de v , dadas por:
1 v = u2 + w
2
v = u1 + w
1
donde u1 , u2 ∈ U y w
1, w
2 ∈ W, entonces
0 = v − v = (u1 + w
1 ) − (u2 + w
2 ) = (u1 − u2 ) − (w
2 − w
1)
Por lo tanto
2 − w
1) ∈ U ∩ W
(u1 − u2 ) = (w
Pero puesto que U ∩ W = {0}, entonces:
u1 = u2
y w
1 = w
2.
De modo que las representaciones son iguales y la suma de subespacios es una suma directa. Suponga
ahora que existe un v ∗ = 0 que pertenece a U ∩ W, y sea v ∈ U + W donde una posible representación
está dada por:
v = u + w,
donde u ∈ U y w
∈W
Entonces
− v ∗ )
v = v − 0 = u + w
+ v ∗ − v ∗ = (u + v ∗ ) + (w
pero
(u + v ∗ ) ∈ U y(w
− v ∗ ) ∈ W
Por lo tanto, no existe una única representación y la suma no es directa.
Teorema. Sea V un espacio vectorial finito-dimensional sobre un campo K, tal que V = U ⊕ W.
Entonces la unión de una base de U y una base de W es una base de V. Por lo tanto, la dimensión de
V es la suma de la dimención de U y la dimensión de W.
1, . . . , w
n } es una base de
Prueba: Suponga que Bu = {u1 , . . . , um } es una base de U y Bw = {w
W. Entonces para todo v ∈ V = U + W, se tiene que:
v = u + w
= (λ1 u1 + . . . + λm um ) + (μ1 w
1 + . . . + μn w
n ).
Por lo tanto, Bu ∪ Bw = {u1 , . . . , um , w
1, . . . , w
n } es un conjunto generador de V. Para probar la independencia lineal de Bu ∪ Bw considere una combinación lineal de este conjunto
= 0
(λ1 u1 + . . . + λm um ) + (μ1 w
1 + . . . + μn w
n ) = 0
λ1 u1 + . . . + λm um + μ1 w
1 + . . . + μn w
n
o, escribiendo la ecuación, como
(λ1 u1 + . . . + λm um ) = −(μ1 w
1 + . . . + μn w
n ),
donde
(λ1 u1 + . . . + λm um ) ∈ U
− (μ1 w
1 + . . . + μn w
n ) ∈ W.
y
Sin embargo, puesto que la suma es directa, U ∩ W = {0}. Por lo tanto, la ecuación se reduce a:
λ1 u1 + . . . + λm um = 0 y
μ1 w
1 + . . . + μn w
n = 0
Finalmente puesto que Bu = {u1 , . . . , um } es una base de U y BW = {w
1, . . . , w
n } es una base de W, se
tiene que ambos conjuntos son linealmente independientes y la única solución es la trivial. Es decir:
λ1 = . . . = λm = 0
y
μ1 = . . . = μn = 0.
1 . . . w
n } es un conjunto linealmente independiente de V y por lo
Por lo tanto Bu ∪ Bw = {u1 . . . um , w
tanto una base. Mas aún, la dimensión de V es la suma de las dimensiones de U y de W.
2
Es importante notar la diferencia entre la unión de subespacios y la suma de subespacios. Considere
la interpretación geométrica usual del espacio vectorial R3 sobre el campo R y dos subespacios de R3
dados por
U = [(1, 0, 0)]
V = [(0, 1, 0)]
Es fácil de observar que U representa a los vectores que están sobre el eje X, mientras que U representa
a los vectores que están sobre el eje Y .
En ese caso, la suma U + V es un subespacio de R3 y está dado por
U + V = {λ1 (1, 0, 0) + λ2 (0, 1, 0) | λ1 , λ2 ∈ R} = {(λ1 , λ2 , 0) | λ1 , λ2 ∈ R}
y representa todos los vectores que yacen en el plano X − Y . Mientras que la union U ∪ V no es un
subespacio de R3 y está dado por
U ∪ V = {(λ1 , 0, 0)} ∪ {(0, λ2 , 0)}
λ1 , λ2 ∈ R
y representa el conjunto de los vectores que están en el eje X o en el eje Y . Este conjunto no es un
subespacio pues (1, 0, 0), (0, 1, 0) ∈ U ∪ V pero
(1, 0, 0) + (0, 1, 0) = (1, 1, 0) ∈
/ U∪V
El conjunto no está cerrado respecto a la adición.
2.
Ejemplos
En esta sección se mostrarán algunos ejemplos de sumas de subespacios y de sumas directas.
Ejemplo 1. Considere el espacio vectorial R3 de triadas ordenadas de números reales, sobre el
campo de los números reales R, con las operaciones usuales de adición y multiplicación por un escalar
real. Considere los siguientes subconjuntos de R3 .
1. U = {(x1 , 0, x3 )|x1 , x3 ∈ R} y W = {(x1 , x2 , 0)|x1 , x2 ∈ R}
2. U = {(x1 , 0, x3 )|x1 , x3 ∈ R} y W = {(0, x2 , 0)|x2 ∈ R}
Pruebe que cada uno de los conjuntos forma un subespacio vectorial de R3
Determine una base para cada uno de los subespacios.
De una representación de la suma de subespacios.
Determine si la suma es directa o no.
Ejemplo 2. Considere el espacio vectorial P3 de polinomios de grado menor o igual que 3 con
coeficientes reales, sobre el campo de los números reales R, con las operaciones usuales de adición y
multiplicación por un escalar real. Considere los siguientes subconjuntos de P3
1. U = {a0 + a1 x + 0x2 + 0x3 |a0 , a1 ∈ R} y W = {0 + 0x + a2 x2 + a3 x3 |a2 , a3 ∈ R}
2. U = {a0 +a1 x+a2 x2 +a3 x3 |a0 , a1 , a2 , a3 ∈ R, a2 = a3 } y W = {a0 +a1 x+a2 x2 +a3 x3 |a0 , a1 , a2 , a3 ∈
R a2 = −a3 }
Pruebe que cada uno de los conjuntos forma un subespacio vectorial de P3
Determine una base para cada uno de los subespacios.
De una representación de la suma de subespacios.
3
Determine si la suma es directa o no.
Ejemplo 3. Considere el espacio vectorial M2×2 de matrices 2 × 2 de coeficientes reales, sobre el
campo de los números reales R, con las operaciones usuales de adición y multiplicación por un escalar
real. Considere los siguientes subconjuntos de M2×2 .
1.
U
=
W
=
2.
a
M1 = 11
0
0
M2 =
a21
0 a11 , a22 ∈ R
a22
a12 ,
a
∈
R
a12 21
0
a12 a11 , a12 , a22 ∈ R
a22
a12 a12 , a21 ∈ R
0
U
W
a
=
M1 = 11
0
0
=
M2 =
a21
Pruebe que cada uno de los conjuntos forma un subespacio vectorial de M2×2
Determine una base para cada uno de los subespacios.
De una representación de la suma de subespacios.
Determine si la suma es directa o no.
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