Solución

T3: TRIGONOMETRÍA
1º BCT
8. ESTRATEGIA DE LA ALTURA
LA ANTENA DE RADIO.
Una antena de radio está sujeta al suelo con dos tirantes de cable de acero, como indica la figura.
Calcula:
a) La altura de la torre.
b) La longitud de los cables.
c) El ángulo ABC
B
A
45º
60º
C
126 m
Solución
a)
B
En el triángulo ABT se verifica:
tg 60º =
h
⇒ h = x · tg 60º
x
y
En el triángulo BCT se verifica:
tg 45º =
h
z
60 º
A
h
⇒ h = 126 – x
126 − x
45º
x
T
C
126 – x
Obtenemos el siguiente sistema a resolver:
h = 126 − x 
126
= 46,15 m
 → 126 – x = x · tg 60º → 126 – x = 1,73 x → 126 = 2,73x → x =
2,73
h = x · tg 60º 
Sustituyendo en la primera ecuación del sistema:
h = 126 – 46,15 = 79,85 m
Por tanto, la altura de la torre es 79,85 m
b) Longitud de los cables:
Cable AB: Empleando el triángulo ABT
sen 60º =
h
h
79,85
→ y=
=
= 91, 78 → AB = 91,78 m
y
sen 60º 0,87
Cable AB: Empleando el triángulo ABT
sen 45º =
h
h
79,85
→ z=
=
= 112, 46 → CB = 112,46 m
z
sen 45º 0, 71
c) La suma de los ángulos de un triángulo es 180º, por tanto:
ABC = 180º 1 – (60º + 45º) = 75º
Luisa Muñoz
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T3: TRIGONOMETRÍA
1º BCT
ANCHO DE UN RÍO
Quieres conocer el ancho de un río y la altura de un árbol que está a la orilla opuesta. Para ello te
sitúas frente al árbol, mide el ángulo que forma con la horizontal la visual a la parte alta del árbol
(41º). Te alejas del árbol 25 m, en dirección perpendicular a la orilla, y vuelves a medir el ángulo, 23º.
Realiza un dibujo con los datos indicados y calcula la altura del árbol y la anchura del río.
Solución
Dibujamos la situación, e indicamos los datos, como en la figura.
En el triángulo ACD se tiene :
tg 23º =
D
h
⇒ h = (x + 25) · tg 23º
x + 25
h
En el triángulo BCD se tiene:
tg 41º =
h
⇒ h = x · tg 41º
x
Obtenemos el siguiente sistema a resolver:
23º
A
25 m
B
41º
C
x
h = ( x + 25) · tg 23º 

h = x · tg 41º

Resolviendo el sistema obtenemos:
(x + 25) · tg 23º = x· tg 41º → (x + 25) · 0,42 = 0,87x → 0,42 x + 10,5 = 0,87x → 0,45x = 10,5 → x = 23,33
Sustituyendo en la segunda ecuación:
h = 23,33 · 0,87 = 20,3 m
Por tanto, la anchura del río es 23,33 m y la altura del árbol 20,3 m
Luisa Muñoz
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T3: TRIGONOMETRÍA
1º BCT
DISTANCIA AL FARO
Desde un faro se ve un barco bajo un ángulo de 45º. Cuando el barco se acerca 140m, dicho ángulo es
de 60º. Calcula:
a) La altura del faro.
b) La distancia del barco al faro en el momento de la segunda observación.
45º
60º
140 m
Solución
Dibujamos la situación, e indicamos los datos, como en la figura.
En el triángulo ACD se tiene :
tg 45º =
D
h
⇒ h = (x + 140) · tg 45º
140 + x
h
h = x + 140
En el triángulo BCD se tiene:
h
tg 60º = ⇒ h = x · tg 60º
x
45º
A
140 m
B
60º
C
x
Obtenemos el siguiente sistema a resolver:
h = x + 140 

h = x · tg 60º 
Resolviendo el sistema obtenemos:
x + 140 = x· tg 60º → x + 140 = 1,73 x → 0,73x = 140 → x = 191,78 m
Sustituyendo en la primera ecuación:
H = 191,78 + 140 = 331,78 m
Por tanto, la distancia del barco al faro es 191,78 m y la altura del faro 331,78 m.
Luisa Muñoz
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T3: TRIGONOMETRÍA
1º BCT
ÁREA Y PERÍMETRO DE UN TRIÁNGULO
Calcular el área y perímetro del siguiente triángulo:
C
A
30º
45º
B
4m
Solución
Trazando la altura desde el vértice C, obtenemos:
C
Considerando el triángulo ACD, obtenemos:
tg 45º =
h
→h=4–x
4−x
h
Considerando el triángulo CDB, obtenemos:
tg 30º =
h
→ h = 0,58x
x
A
45º
D
4–x
30º
B
x
Planteamos el sistema:
h = 4−x 
 → 4 – x = 0,58x → 1,58x = 4 → x = 2,54 m → h = 4 – 2,54 = 1,46 m
h = 0,58x 
La altura del triángulo es 1,46 m.
Su área es: A =
4·1,46
2
= 2,92 m
2
Lado AC:
sen 45º =
h
h
1, 46
→ AC =
=
= 2, 06 → AC = 2,06 m
AC
sen 45º 0, 71
Lado BC:
sen 30º =
h
h
1, 46
→ CB =
=
= 2,92 → CB = 2,92 m
CB
sen 30º 0,5
Perímetro: p = 4 + 2,06 + 2,92 = 8,98 m
Luisa Muñoz
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