Juegos matriciales y su aplicación a la teoría de Perron

ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Núms. 112-113, 1986, p^ga. 3i a 43
Juegos matriciales y su aplicación a la teoría de
Perron-Frobenius
_
por BEG(JNA SUBIZA MARTINEZ
Universidad de Al^cante
RESUMEN
En este trabajo se presenta una prueba alternativa del Teorema de Perron-Frobenius, a partir de la Teoría de Juegos, utilizando el Teorema de von Neumann que garantiza la existencia
de estrategias mixtas en equilibrio para juegos matriciales.
Palabras clave: 1Viatrices no negativas, raiz de Frobenius, Juego matricial,
Estrategias mixtas en equilibrio, Valor del juego.
I.
INTRODUCCIQN
Los teoremas de Perron-Frobenius garantizan la existencia de un valor
propio ^,* (A) > 0, que acota en módulo el resto de valores propios de la matriz, y tíene asociado un vector propio semipositivo. Este hecho juega un papel importante como instrumento para conseguir condiciones de existencia,
unicidad, positividad y estabilidad de las soluciones en rnodelos lineales multisectoriales tanto estáticos como dinámicos. En la literatura aparecen diversas pruebas alternativas a las iniciales de Perron (1907) y Frobenius (1908,
* E1 autor agradece las sugerencias dadas a este trabajo por C. Herrero.
32
EST'AUfSTIC'A ESPAN()LA
19()^, 1^ 1?): entre ellas, la rnás conocida entre los economistas es probabiemente la cíe VVielandt (1 ^5O) yue utilila el teorema del punto fijo de Brouwer, y yue se pupularizó por el trahajo de Debreu & Herstein (1 ^53). Las
pruebas de ^arlín (1959) y Nikaido (19fi9) son elementales sin utilizar teoremas de punto fija, Murata (197?) ofrece una prueba parecida a la inicial de
Frobenius, rnientras que la yue aparece en el libro de Arrow & I--Iahn es
muy similar a la de Karlin,
En este trabajo se presenta una nueva prueba del Teorema de PerronFrobenius, a partir cie la Teoría de Juegos, utilizando en particular el Teorema de ^on Neu^nann que garantiza la existencia de estrategias mixtas en
equilibrio, para juegos bipersonales de suma cero. Simultáneamente a la
existencia de la raír de F robenius, se obtienen, a lo largo de la prueba, las
ac;otaciones de F^isher (1965) que sitúan este valor propio entre el máximo y
el mínimo de las sumas de columnas (o filas} cíe la matriz.
En la sección II, se presenta un resumen de los resultados de Juegos Matriciales, utiliza.dos a lo largo del trabajo; en la sección III se ofrece, como
resultado principal, la prueba del teorema de Perron-Frobenius para matrices indescomponibles, y como corolarios el resultado análogo para matrices
descomponibles y el teorema de acotación de Fisher. Algunas observaciones
finales, en la sección IV, cierran el trabajo.
La notación utilizada a lo largo del trabajo es la usual. Señalemos, no
obstan te, q ue en la comparación de vectores:
.^ ? y significa .^; > _y; i = l , 2, ..., n.
_^ > ^^ significa .ti > y con ^ ^ ^^.
x> y^ significa x; > y; i= 1, 2, ..., rz.
II.
JUEGQS MATRIC'IALES
Un juego bipersonal queda descrito por una terna (S, T; M), donde S y T
son los conjuntos cie estrategias puras para 1os jugadores I y II respectivamente, y
n: S x T-^ R2
^(s, t) =(^ 1( s, t), T2{s, t))
es la función de resultados del juego.
s E S, t E T
JUEGOS MATRICIALES Y SU APLICACIÓN A LA TEORÍA DE PERRON-FROBENIUS
^3
Se dice que el juego es de suma cerca, cuando
^I(s, t}+n2(s, t}=^
s E S, r^ T
Si además el número de estrategias para cada jugador es finito, estos juegos
se denominan matriciales, ya que es posible representarlos mediante una matriz que proporciona los resultados para el jugador I. De esta forma si
S = '^S1,
S2, ..., SnÍ
T`^ ^tl,
t2, ..., tm^^
la matriz de pagos al j ugador I es
A =(u;^)n x rn,
donde
u^.i ^ ^1 (S^^ t^).
La matriz de resultados para el jugador II vendrá, obviamente, representada
por -A.
Def nición
Una situación (sk, t^) E S x T es un equilibrio de Nash si
^ ^(sk^ t^) ^ ^ ^ (s^ ^ t^)
i= 1, 2, ..., n
^z(sk, tr) ^^2(Sk^ t^)
j= 1, 2, ..., m
es decir, ningún jugador puede obtener un mejor resultado cambiando de
estrategia unilateralmente.
En los juegos matriciales (sk, t^) es un equilibrio de Nash si, y sólo si,
uk^^uk^^a^^
i= 1, 2, ..., n; j
, ..., m
o, lo que es lo rnismo, ak^ es un punto de silla de la matriz A(valir mínimo
de su fila y máximo de su columna).
No todas las matrices poseen punto de silla y, por tanto, no todos los
juegos matriciales tienen equilibrio de Nash. Así pues, es necesario ampliar
el concepto de estrategia para los jugadores.
E^rADiSTICA ESPAIriol.A
l^^^nic•ic'^n
Una estrategia mixta para el jugador I es un vector de conjunto
^
^ x^= 1
^=^
donde cada coordenada x; indica la probabilidad con que el primer jugador
utiliza la estrate,gia pura s^.
De forma análoga y con la misma interpretación, se define una estrategia
mixta para el segundo jugador como un vector de
m
^ y^ _
i=1
}
La función de resultados se extenderá, para estas nuevas estrategias
(x, y) E^„ x E,„, en términos de esperanza matemática, siendo el pago esperado para el jugador I
^e^(x, y)-x A y'.
E1 conjunto de situaciones posibles S x T queda, de esta forma, ampliado
a^(S) x C(T), donde C(S) y C(T) son las envolturas convexas de S y T,
generalizándose el concepto de equilibrio para este conjunto.
Con esta generalización se puede garantizar la existencia de situaciones
en equilibrio.
Teoremu (Von Newmann, 1928)
Todo juega bipersonal finito de suma cero posee estrategias mixtas en
equilibrio.
Nota
Si (x*, y* ) y (^c, y) son dos situaciones en equilíbrio para el juego dado
por la matriz A, se curnple
x*Ay*'=zAy'
lo que supone que el pago esperado, cuando se ^ uegan situaciones de equilibrio, es constante.
JUEGOS MATRIC[ALES Y SU APLICACIÓN A LA TEORÍA DE PERRUN-FROBEN[US
3S
Definición
Dado un juego bipersonal de suma cero, definido por la matriz A, si
(x*, y*) es un par de estrategias en equilibrio, al número
v(A)=x* A y*'
se le denomina valor del j uego.
Propiedades
Si (x*, y* ) es un equilibrio del juego que describe la matriz A, se verihca:
(1)
x* A? v(A) e
x* E^,,,
(2)
A y*' ^ v(A) e'
y* E E„,
donde e es el vector con todas sus coordenadas iguales a la unidad. Además,
v(A) es el valor máximo que curnple (1), para un vector x E^n, y el mínimo
que cumple (2}, para y E^,„ .
Proposición (Owen)
Sea M„xm (R) el espacio de matrices reales de orden nxm, entonces:
i)
La función u: M,,,rm(IZ) --^ R
que a cada matriz le hace corresponder el valor del juego que representa, es
contínua.
Veamos, por último, como la existencia, en algunos casos, de estrategias
que hacen que el resultado del juego sea independiente del comportamiento
del oponente, puede dar un método sencillo para determinar las estrategias
en equilibrio y el valor del juego.
Definición (Shubik)
En un juego matricial, de matriz A, una estrategia mixta x*, es un igualador para el jugador I si
x* A= k e, k E R constante
Análogamente se de^ne el igualador para el segundo jugador.
ESTA©ISTICA ESPAÑOLA
f'rotnc?s i E^ i ^^n
Si un juego posee igualadores x*, ti^* para ambas jugadores,
x*Á-k,e
Ay*,lk^e,
entonces:
i)
(x*, y*) son estrategias en equilibrio.
kl-k2=v(A).
TEOREMA DE PERI^OI'^I-FROBENIUS
III.
Tearemc^ ( Perron-Frobenius, 1907-1912)
Sea A=( a^; ) una rnatriz cuadrada de orden n semipositiva e indecomponible*. En estas condiciones.
i)
A posee un valor propio ^,* (A), positivo.
ii) Asociado a^,* (A), existe un vector propio x*, con todas sus componentes positivas.
iii)
^,* (A) crece cuando alguna componente de A aumenta.
iv) Si ^, es otro valor propio de A, distinto de ^,* (A), no existe ningún
vector propio semipositivo asociado a él.
v)
E1 módulo de los restantes valores prapios de A, no excede a^,* (A).
^,* (A) es un valor propio simple.
* Una matriz A es descomponible si, por medio de permutaciones simultáneas de filas y
columnas, se puede expresar en la forma
f4>>
AiZ
^
A22
A=
donde A11, A22, son matrices cuadradas, no necesariamente del mismo orden. Una matriz es
indescomponible, cuando no es descomp©nible.
JUEGOS MATRICIALES Y SU APLICACIÓN A LA TEORÍA DE PERRON-I"ROBENIUS
37
Demostración:
i)
Consideremos las matrices
B( í^ )-- A-- ^.1,
i^^ E R
como matrices de un juego bipersonal de surna cero, y sea
v(^,)^_= v(B(^))
su valor; v es así función continua de i^^.
vearnos que existe ^,*, para el cual el juego definido por la matriz B{^,*)
tiene valor cero.
n
Dado ^,1, tal que ^, I< min ^ ui^ , el vector x--= (1 /n) e E^„ , con lo cual,
f ^_^
n
A--^^ll)=(1/n)
> 0;
^ a^;!%^^
i=i
l zn
por tanto v (í^ 1) > (^.
n
Por otro lado, si ^,2 > máx ^ ai^ , para todo _x E^,,, la k-ésima coorde.1
i- 1
nada del vector x(A -- ^.21), siendo x k= máx x; , es
n
n
^ xi Sik - xk /^,2 C ^
i-1
(xi ^ ^k)aik ^ Os
i-1
por 1 o q ue v ( í^ 2)< o.
De la continuidad de v, se deduce que existe un ^,*, cornprendido entre
n
h
mín ^ ai^ y máx ^ ui^ , tal que L^ (^,*) = 0. Además, como A es indescom.1
i- 1
^
i- 1
n
ponible,
mín ^ ut^ > 0, con lo cual ^,* es positivo.
.%
i=1
Para el juego que la matriz B(^,*) = B defÍne, el teorema de ^on Neumann asegura la existencia de estrategias mixtas en equilibrio, Tendremos,
por tanto, x*, y* tales que
x* B y*' =0
38
ESTADfSTiCA ESPAÑOLA
B ^., * ^ ^
x* B > 0
Si x* B^ 0, mediante las permutaciones de filas y columnas en x*, y*, B
necesarias obtendriamos
*
B 11 .B 12 = (0, Z,Í Con Z> o
B
x 8=(x^`, x^) B
22
21
_., ^`
o=X*By*^Z ) y^
i(o^
^ ^y
Y
de donde y^ = o. Suponienda y^` > 0
B11
B12
v^`
B21
B22
^
B11 yl
co
- B21 y1
como B21 = A21 >^, se obtiene que A21 = o, en contra de la indescomponibilidad de A.
f7^e este modo x* B= o, con lo que ^,* es valor propio de A, siendo x* un
vector propio por la izquierda asociado a él.
De forma análoga se prueba que y* es vector propio por la derecha asociado a ^,*.
ii} Veamos que x* > 0. Si posee alguna componente nula, efectuando
una reordenación conveniente en x*, y la correspondiente permutación de
filas y columnas en B, podemos escribir
x* B-(o, x)
B11
B12
B21
B22
=(o, 0) con x>0
luego x B21 = x A21 =^, que contradice la indescomponibilidad de A. Por
tanto, el vector x* es estrictamente positivo.
111) Sea M otra matriz cuadrada del mismo orden que A tal que
M> A> 0. Existen, por la condición i), ^,* (A) y ^* (M) positivos tales que los
juegos que rep^resentan las matrices A-^.* (A) I y M-^* (M)1 tienen valor
cero.
Si í^* (A) >^,* (M), M-^.* (M)1 > A-^.* (A) I y tomando x* la estrategia
óptima para el primer j ugador, de A-- ^,* (A)1, se deduce que
x* (M - ^,* ( M) I ) > x* (A - ^.* (A) I ) = 0,
JUEGOS MATRIC[ALES Y SU APLICACIbN A LA TE©RÍA DE PERRON-FROBENIUS
39
siendo x* estrategia en equilibrio del primer jugador, para el juego
M - ^,* (M)1. can lo cual
.t*(M-^.*(M) I)=x*(A-^.*(A) 1)=0.
Esto implica que
0 ^ x* (M -- A) = (^.* ( M) - ^.* (A)) x*,
lo cual contradice que ^,* (M) ^.^* (A). Por tanta, í^* (A) <^.* (M). Además, la
igualdad implicaría que x*(M - A) = 0, y como consecuencia M= A, ya que
x*>0.
iv) Sea ^^ valor propio de A con vectores propias a izquierda y derecha
semipositivos, x* e y* respectivamente, que pueden tomarse en ^„
x* (A - ^,I) _ (A -- ^,1) y* = 4,
De este modo, x* e y* serian igualadares uno para cada jugador, del juego
que representa la matriz A-- ^.1 que tendría por tanto valor cero.
Veamos que los juegos de la forma A-- ^.I, donde A es indescomponible,
tienen valor cero para un único ^, y se tendrá probado iv).
Supongamos ^, > µ tales que B = A-^,1 y C= A- µI representan juegos
con valor cero. Sea x estrategia óptima del primer jugador en el _juego representado por B, entonces
xB=O, x>0
xC=xA --µx=(^,--µ) x>0
en contra de que el valor del juego dado por C sea cero.
Las condiciones v) y vi) se obtienen por cálculo matricial y pueden encontrarse en [6], capítulo I.
Una versión más débil de este teoremá, para matrices descornponibles, se
deduce como consecuencia del resultado anterior.
Corolario 1
Sea A una matriz cuadrada de orden n semipositiva. Entonces
i)
A posee un valor propio ^,* (A) > 0.
40
ESTAD^STICA ESPA[VOi_A
ii)
iii ^
iv)
Asociado a^.*(A), existe un vector propio .x* >().
Si A> B> 0, entonces ^*( A 3>,^.* ( B).
^^* (A) >^^.^, siendo^ ^t otro valor propio de A.
Demostraeión:
Si la matriz A es descomponible,
A=
AI1
A12
0
A22
podemos definir para cualquier t, > 0
A f^ -
Aii
A^2
T(^^
A22
donde T(F) es una matriz con todos sus elementos iguales a E.
Para esta nueva matriz A^> 0, indescomponible, se deduce del teorema
anterior la existencia de ^,^> 0 y x; vector de ^„ estrictamente positivo, tales
que
xf^(A -^.^^1)=0.
Construyendo una sucesión de números positivos {Ek} con limite cero,
obtendríamos las sucesiones:
^ AEk} que converge a la matriz A,
{^.Ek} con ^.^k > 0 para cualquier k,
^ JC^ k} d onde X^'k E^„ .
Estas dos últimas sucesiones están acotadas y tienen, por tanto, subsucesiones convergentes a^,* > 0 y x* > 0, respectivamente. De este modo, como
x* {A -^.* I)=^, ^.* será valor propio de A y x* un vector propio asociado a
él.
Las restantes condiciones se prueban de forma análoga a como se ha hecho en el teorema anterior.
Es interesante señalar que una acotación de la raíz de Frobenius, ^,*{A),
se deduce de f©rma inmediata en esta prueba del Teorema de Perron-Frobenius.
JUEGOS MATRICIALES Y sU APLICACICSN A LA TEORfA DE PERRON-FRQBENIUS
41
^orolurir^ 2 (Fisher, 1965)
Sea A=(u^;) una matriz semipositiva. Se verihca la siguiente acotación
n
mín
.^
n
^ ui^ ^ ^,* (A) < máx ^
i= 1
.1
U^ j.
i= 1
Este resultado, en el caso de matrices indescomponibles, se obtiene simultáneamente a la existencia de ^,* (A) en la condici©n i) del teorerna. En el
caso de matrices descomponibles, esta acotación resulta evidente observando
que ^,*(A) es el límite de la sucesión {^,^^. Una acotación semejante, para suma de filas, se deduce razonando con las estrategias del segundo jugador.
IV.
CJBSERVACI(^NES FINALES
En este trabajo se ha presentado un nuevo método para estudiar las propiedades de las matrices semipositivas (en particular la existencia de la denominada raíz de Frobenius) utilizando resultados de Teoría de Juegos y, por
medio de éstós Programación lineal. Inversamente, la Teoría de Matrices 5emipositivas puede aplicarse a la Teoria de Juegos.
r
Por ejemplo, la propiedad ergódica (1) permite hallar las estrategias mixtas en equilibrio de determinados j uegos mediante un proceso iterativo. En
efecto, dado un juego matricial, cuya matriz es de la forma
B=A-^.*(A)I, A>0
(2)
entonces
i)
v(B)=0
,
*
Akx
x =1^m ,^
^^A x^^
y
* = lím
x E ^n
XAk
IIx^lkll
A kx
(1) Dada A> 0, x^ 0, ^^x^^ = 1, se cumple que la sucesión xk =----- -- - converge al vector prollAk-x^l
pio asociado a la raíz de Frobenius de A. La norma yue se utiliza es x=^ (x,^.
(2) También se podría aplicar a matrices de la forma
Bk=(A-^*(A)1)+k
I
1
1
1
k^R
n.xn
42
ESTADÍSTiCA ESPAÑOLA
son estrategias mixtas en eyuilibrio del juega definido por B.
Queda así abierta una vía, en dos sentidos de relación entre la Teoría de
Juegos y la Ter^ria de Matrices Semipositivas.
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JUEGOS MATRICIA.LES Y SU APLICACIÓN A LA TEORfA DE PERRON-FROBENIUS
43
SUMMARY
«MATRIX GAMES AND THE PERR4N-FRC^BENIUS
THE(JREM»
In this paper an alternative proof of the Perron-Frobenius
Theorem is exposed by using the Games theary and specia:lly the
von Neumann theorern which guarantees the existence of rnixed
strategies in equilibrium for matrix games.
^ey words: Nonnegative matrices, Fobenius root, Matrix game, Mixed strategies in equilibrium, Game value.
AMS 1980 Subject classification: 90 D 40.