Función generadora de momentos:

Función generadora de momentos:
Definición: Si X es una variable aleatoria, el momento de orden k de X se define como
E( X k )
siempre que la esperanza exista.
Notemos que
E( X ) = µ
E( X 2 ) = σ 2 + µ 2
E( X 3 )
E( X 4 )
1er momento: posición
2do momento: dispersión
3er momento: relacionado con una medida de asimetría
4to momento: relacionado con la kurtosis
Definición: La función generadora de momentos de una v.a. X es una función a valores
reales M X (t ) , definida como

tx
 ∑ e p X ( x)
 x∈R X
M X (t ) = E (e tX ) = 
 ∞ tx
 ∫ e f X ( x)dx
−∞
siempre que el valor esperado exista para todo
si X es discreta
si X es continua
t ∈ (−h, h), h > 0 . Esta última es una
condición técnica necesaria para que M X (t ) sea diferenciable en 0.
Se denomina función generadora de momentos porque los momentos de X ( E ( X n ) )
pueden ser obtenidos derivando esta función y evaluando la derivada en t = 0, tal como lo
establece el siguiente teorema.
Teorema: Sea X una v.a. para la cual existe la función generadora de momentos M X (t ) ,
entonces
E( X n ) =
∂n
M X (t )
∂t n
t =0
La demostración se basa en el siguiente lema de Cálculo avanzado (ver por ejemplo,
Advanced Calculus, D. Widder (1961)):
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Lema: Si la función g(t) definida por
∞
g (t ) = ∑ e tx p( x)
g (t ) = ∫ e tx f ( x)dx
ó
−∞
x
converge para todo t ∈ (− h, h) para algún h > 0 , entonces existen las derivadas de orden
n de g(t) para todo t ∈ (− h, h) y para todo n entero positivo y se obtienen como
∞
∂ n g (t )
∂ n e tx
= ∑ n p( x)
∂t n
∂t
x
∂ n g (t )
∂ n e tx
f ( x)dx
=∫
n
∂t n
− ∞ ∂t
ó
Demostración del Teorema: Si la función generadora de momentos existe para todo
t ∈ (− h, h) para algún h > 0 , aplicando el lema,
∂ n M X (t )
∂ n e tx
= ∑ n p ( x)
∂t n
∂t
x
ó
∂ n M X (t ) ∞ ∂ n e tx
f ( x)dx
= ∫
n
t
∂t n
∂
−∞
∂ n M X (t )
= ∑ x n e tx p ( x)
n
∂t
x
ó
∂ n M X (t ) ∞ n tx
= ∫ x e f ( x)dx
∂t n
−∞
Evaluando estas derivadas en 0 ,
∂ n M X (t )
= ∑ x n p( x) = E ( X n )
n
∂t
x
t =0
∞
∂ n M X (t )
= ∫ x n f ( x)dx = E ( X n )
n
∂t
−∞
t =0
ó
Ejemplos: 1) Sea X una v.a. con distribución exponencial de parámetro λ , o sea con
densidad
f X ( x) = λ e − λ x I ( 0,∞ ) ( x)
∞
∞
0
0
M X (t ) = E (e tX ) = ∫ e tx λ e − λ x dx = λ ∫ e − ( λ −t ) x dx =
λ ∞
λ
(λ − t ) e − ( λ −t ) x dx =
∫
λ −t 0
λ −t
siempre que t < λ .
Calculemos ahora E(X) y V(X).
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E( X ) =
∂M X (t )
∂t
=
t =0
λ
∂ λ 

 =
∂t  λ − t  t =0 (λ − t ) 2
=
t =0
1
.
λ
Como V ( X ) = E ( X 2 ) − (E ( X ) ) , calculemos E ( X 2 ).
2
E( X 2 ) =
entonces, V ( X ) =
∂ 2 M X (t )
∂t 2
=
t =0
∂ λ

∂t  (λ − t )2

2λ ( λ − t )
 =

(λ − t ) 4
 t =0
=
t =0
2
λ2
2
1
1
− 2 = 2.
2
λ
λ
λ
2) Sea X una v.a. con distribución Binomial de parámetros, n y p, o sea X ~ Bi(n, p). Su
función de probabilidad puntual es
n
p X (k ) =   p k (1 − p) n − k
k 
si 0 ≤ k ≤ n
n
n
n
n
M X (t ) = E (e tX ) = ∑ e t k   p k (1 − p) n − k = ∑  (e t p) k (1 − p) n − k = (e t p + 1 − p) n .
k =0
k =0  k 
k 
Calculemos ahora E(X) y V(X).
∂M X (t )
E( X ) =
∂t
E( X 2 ) =
(
t =0
∂ (e t p + 1 − p ) n
=
∂t
= n(e t p + 1 − p ) n −1 pe t
t =0
∂ 2 M X (t )
∂
n(e t p + 1 − p ) n −1 pe t
=
2
∂t
∂t
t =0
(
( )
= n(n − 1)(e t p + 1 − p) n − 2 pe t
2
+ n(e t p + 1 − p ) n −1 pe t
)
)
t =0
= np .
=
t =0
= n(n − 1) p 2 + np.
0
Entonces, V ( X ) = E ( X 2 ) − (E ( X ) ) = n(n − 1) p 2 + np − (np ) = − np 2 + np = np (1 − p ).
2
2
Propiedad: Sea X una v.a. con función generadora de momentos M X (t ) , entonces si
Y = a X + b , entonces M Y (t ) = e bt M X (at ) .
Dem: Ejercicio.
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Unicidad de M X (t ) : Además de permitir calcular momentos de una v.a., la función
generadora de momentos permite identificar la función de densidad o de probabilidad de
una v.a. debido a la propiedad de unicidad, la cual establece que hay una
correspondencia uno a uno entre funciones de densidad o probabilidad y funciones
generadoras de momentos.
Teorema de Unicidad: Si existe la función generadora de momentos de una variable
aleatoria, es única. Además la función generadora de momentos determina a la función de
densidad o probabilidad de la v.a. salvo a lo sumo en un conjunto de probabilidad 0.
A continuación, presentamos una tabla con la función generadora de momentos de
algunas de las familias de distribución que hemos estudiado.
Distribución
Bi(n,p)
P(λ)
M X (t )
(e p + 1 − p ) n
t
e
λ (et −1)
N(µ,σ2)
σ 2 t 2 +µ t
e 2
E(λ)
λ
λ −t
G(α,λ)
 λ 


λ −t
U(a,b)
e tb − e ta
G(p)
α
t (b − a )
p et
1 − (1 − p ) e t
BN(r,p)

p et

 1 − (1 − p ) e t





r
Ejercicio: ¿Para qué valores de t existe cada una de las funciones generadoras de
momentos de la tabla anterior?
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