Cap 02 Energia y momentum

___________________________________Capitulo 2.Ecuaciones de masa, Energía y Momentum
CAPITULO 2. ECUACIONES DE CONSERVACIÓN DE
LA MASA, LA ENERGÍA Y EL MOMENTUM
Este capítulo se dedicará al estudio de la ecuación de conservación de la energía y de la
ecuación de conservación de la cantidad de movimiento. Ambas ecuaciones combinadas
independientemente o conjuntamente con la ecuación de conservación de la masa permiten
realizar estudios detallados del flujo en un cauce. Las ecuaciones son simples desde el punto
de vista de las variables pero complejas en su concepto, una detallada descripción de todas
ellas es necesaría.
Las ecuaciones de conservación en hidráulica de ríos tienen la complejidad dada por la
propia geometría del cauce del río, la morfología es muy compleja y de allí que sea muy
difícil encontrar una solución única del desarrollo de la lámina de agua. Únicamente
estudiando todas las posibilidades que ofrecen estas tres ecuaciones se puede llegar a dar una
solución aceptable del flujo y de la lámina de agua. Para ello primero se deben entender cada
una de las ecuaciones y sus interrelaciones.
1 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD.
Se utiliza como la expresión más simple de un flujo de un fluido incompresible en nuestro
caso el agua. Si se toma como referencia un tubo de flujo o volumen encerrado por las líneas
de corriente en régimen permanente y debido a que no hay pérdida de masa o ganancia de la
misma en el interior de este tubo se cumple que:
Q = v1 A1 = v2 A2 = ...
(2.1)
Esta expresión sencilla es una ayuda significativa a la hora de analizar cualquier flujo, pues
se cumple siempre. Intuitivamente la expresión (2.1) lo que indica es que el volumen se
conserva pues la densidad es independiente de la posición y del tiempo. En esta ecuación Q es
el caudal, v la velocidad y A el área normal al flujo. Esta idea sencilla de flujo normal hay que
tenerla en cuenta a la hora de desarrollar modelos numéricos de flujo en cauces como se verá
más adelante.
La ecuación de continuidad se puede expresar para canal rectangular o su equivalente para
un cauce de un río. En la figura 1 se observa la representación de un cauce natural y un canal.
Figura 1. Cauce y canal con llanura de inundación y cauce de aguas altas
1
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Así el caudal se puede expresar por unidad de anchura de canal o anchura media de río.
Q
→ q = vy
B
Q
Q = vA = Byv → q = → q = v y
B
Q = vA = Byv → q =
En donde
Canales
(2.2)
Cauces
Q : es el caudal total que fluye por la sección
v : Velocidad media del flujo en la sección
B : Anchura del canal
B : Anchura media del cauce
y : Profundidad media del flujo
y : Profundidad máxima del flujo
Estos valores son validos pero dan lugar a dudas a la hora de establecerlos en el caso
específico de un cauce natural, el uso de la “anchura media” del cauce es una solución
adecuada y en la práctica muy útil.
2 ECUACIÓN DE ENERGÍA
En la Figura 2 se observa el esquema de un tramo de canal y dos secciones separadas una
distancia ∆x , en las que se indican las tres magnitudes de energía que se deben equilibrar.
Línea de
energía
L
Lámina de
agua.
∆h
V2
2g
h1
y
V
z
h2
h =y+z
Figura 2. Balance de energía en un tramo de cauce.
2
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El equilibrio energético se hace simplemente mediante la relación:
H 1 = H 2 + ∆H
v2
H = z+ y+
2g
(2.3)
En donde la energía total H se expresa mediante la suma de tres términos, el potencial, el
de presión y el cinético.
La energía total siempre se relaciona con un nivel de referencia único para todas las
secciones. Debido a que el valor de la energía potencial se debe medir desde el punto más
bajo de la sección hasta el nivel de agua, y desde este último hasta la línea de energía se mide
la altura de energía cinética del flujo y que esto es así para cualquier sección
independientemente de su posición respecto de la cota de referencia; a esta suma se le suele
denominar energía específica de esa sección. Esta energía se puede escribir de muchas formas
entre otras como se plantea a continuación:
v2
E = y+
(a)
2g
E = y+
Q2
2 gA2
→ con
v=
Q
A
(b)
(c)
Q
B
(d)
q2
E = y+
2 gy 2
→
con
Q
q=
B
q2
E = y+
2 gy 2
→
con
q=
(2.4)
Todas son ecuaciones de la energía específica de una sección de flujo y todas se componen
de dos términos: el potencial y el cinético. Desde el punto de vista ingenieril todos los
términos se expresan en magnitudes de “longitud” y las unidades son los “metros”. Una
simple inspección dimensional del segundo término del miembro izquierdo de la expresión
1.4 c) lo muestra.
a) Caudal unitario constante
La ecuación de energía específica en una sección, vista como la expresión (c) es la
utilizada en canales rectangulares de ancho B. Igualmente la (d) que es parecida a la (b) es
utilizada en ríos en los que la anchura media es B . La similitud entre ambas permite por lo
menos hacer una aproximación para ríos, como si estos fueran un canal rectangular y aplicar
los conocimientos teóricos adquiridos en canales a los cauces; salvando las diferencias de
concepto que se verán a lo largo del documento.
Así se utilizará la ecuación (c) para comenzar el estudio teórico. Esta ecuación contiene
tres variables: el calado de agua, el caudal unitario y el valor de la energía específica. Es una
función de tres variables que para entenderla podremos estudiarla por cortes: por ejemplo
haciendo cortes para caudal unitario constante. Así se pueden construir gráficas de energía E
en función de y como lo muestra la figura 3. En la ecuación en cuestión se puede observar que
el límite de E cuando el valor de y 0 es ∞ y cuando el valor de y tiende a ser muy grande
la energía cinética tiende rápidamente a 0 y la energía específica tiende al valor del calado y.
Esto se ve representado por dos asíntotas con un mínimo en medio, como se muestra en la
Figura 3. Usualmente se usa la representación (a) de esta figura pero la representación (b) de
esta figura es muy gráfica “valga la redundancia” en cuanto al mínimo de la función.
3
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Figura 3. Izquierda: Calado función de la energía específica. Derecha: Energía específica función del calado.
El significado de la expresión E trata de la compensación de la energía potencial y cinética
del flujo en una sección para poder transportar un caudal unitario q. Obsérvese que el caudal
unitario q no se puede transportar para ciertos valores de E por debajo de un límite mínimo.
Ese límite es la energía mínima que debe disponer el flujo para poder transportar a q, con
menos energía le sería imposible hacerlo. Se presentan dos soluciones diferentes para la
misma energía específica, a estas dos soluciones se les denomina alturas o calados alternos.
Para encontrar el mínimo de energía se deriva la ecuación 1.4 c) respecto de y, de manera
que se obtiene la siguiente expresión:
dE
q 2 min
= 1 − 3 
→0
dy
gy
(2.5)
De forma que :
 q2 
yc =  
 g 
1
3
(2.6)
También denominada profundidad crítica, calado crítico o profundidad a la que se da el
valor mínimo de la energía especifica para transportar al caudal q. La velocidad del flujo para
esta profundidad crítica es la siguiente:
2
vc2 = ( q / yc ) = gyc → vc = gyc
(2.7)
La expresión (2.7) recuerda que la celeridad de una onda de gravedad, tiene la misma
expresión: lo que implica que la velocidad crítica, aquella que se da para un calado crítico, es
la misma que la de la celeridad de onda. Es decir que:
c = v = gyc
(2.8)
4
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En forma simple se dice que cuando la velocidad que representa a las fuerzas de inercia
( ρ v ) v iguala a las fuerzas de masa representadas por el peso de agua involucrado en el canal
por unidad de longitud y unidad de anchura: ρ gyB ∆x /( B ∆x) simplificando e igualando se
obtiene que v 2 / gy . Que es exactamente la misma expresión (2.8) que esta valorada para
cuando se da yc es decir cuando ambos valores coinciden. Se define el número de Froude o
relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas de peso como:
Fr =
v2
gy
(2.9)
Observe que la expresión (2.9) es idéntica a la unidad cuando se cumple (2.8).
La ecuación (c) de las (2.4) se puede dividir por yc y obtener la siguiente ecuación de
energía adimensional:
yc2
E
y
q2
y
= +
=
+
(2.10)
yc yc 2 gy 2 yc yc 2 y 2
Esta expresión adimensional se puede observar graficada en la Figura 4, observe que la
expresión (2.10) representa dos formas más de expresar la energía específica. Si se define a
y = α , entonces la ecuación adimensional queda:
yc
E
1
=α + 2
2α
yc
(2.11)
5
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Figura 4. Energía específica adimensional.
El valor que toma la energía específica adimensional para cuando el calado es yc es:
Ec
3
= 1+ 1 =
(2.12)
2 2
yc
Así para transportar un caudal q en condiciones de mínima energía es necesario que la
energía específica tenga el valor de 1.5 veces el valor del calado crítico, dado por la expresión
(2.6). Valor que tendrá mucho significado en el diseño de cruces bajo vía. Observe que la
expresión adimensional no tiene explícitamente el valor del caudal unitario lo cual hace que la
Figura 4 sea general. A veces es necesario utilizar una gráfica más explicita como la
representada en la Figura 5 para estudiar los efectos de la geometría sobre la lámina de agua.
Figura 5. Representación de la energía específica para varios caudales unitarios.
En la Figura 5 se observa como el calado crítico aumenta con el caudal unitario. Esta
relación es importante tanto por que permita realizar diseños hidráulicos como por que
permite comprender los cambios de régimen en los cauces. También indica la idea de
necesidad de más energía específica de la sección para poder llevar un aumento de caudal
unitario. Cuando una sección se estrecha, el nivel crítico de la sección aumenta y la energía
específica para transportar el mismo caudal total (no unitario) es mayor.
La energía específica se compone de dos términos diferenciados uno que representa la
energía potencial y el otro que representa la energía cinética como se advirtió anteriormente.
Esta representación queda muy clara en la Figura 6.
6
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Figura 6. Relación entre la energía potencial y cinética en una sección.
En la Figura 6 se puede observar como la relación entre las dos energías cambia radicalmente
a lado y lado del calado crítico. Para valores de calado superiores al crítico domina la energía
potencial en el flujo y para valores menores que el calado crítico domina la energía cinética.
Este división también se ve reflejada en el propio flujo y por ello se denomina al flujo lento o
fluvial al dominado por la energía potencial (energía almacenada) y flujo rápido o torrencial
al dominado por la energía cinética. Un valor del número de Froude menor que uno es un
régimen fluvial y mayor que 1 un régimen toreencial.
Otra forma de escribir la ecuación de energía y de continuidad es introducir el número de
Froude en las expresiones de conservación, para ello realizamos el siguiente cambio:
v
c2
v2
Fr = → c = gy → y = → y =
c
g
gFr 2
(2.13)
Con esta relación la ecuación de continuidad se puede expresar como:
1
v = ( gq ) 3 Fr
2
3
(2.14)
y la ecuación de energía se escribe como:
2
1  gq  3  Fr 2 
E =   1 +

g  Fr  
2 
(2.15)
La ecuación (2.15) expresa la energía específica en función del caudal unitario y el número
de Froude. Lo que la hace especialmente interesante para diseño, a través de la imposición
directa del número adimensional de Froude. La ecuación (2.15) se puede dar de forma
adimensional dividiendo por el valor de yc quedando así:
7
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E
1
= 2
yc Fr 3
 Fr 2 
1 + 2 


(2.16)
Esta ecuación es interesante desde el punto de vista de diseño y tiene casi la misma forma
geométrica que la observada en la Figura 3 como se muestra en la Figura 7. Esa figura es
única para todos los flujos con cauce rectangular o casi rectangular. Esta ecuación y figura
servirá para el diseño de estructuras y su compatibilidad con los cauces naturales.
Figura 7. Energía específica adimensional en función del número de Froude, única para todos los cauces
rectangulares.
b) Energía específica constante
Tómese nuevamente la ecuación dada por la expresión (2.4) (c) y realicemos los cortes
ahora manteniendo la energía específica E constante. Esto quiere decir que las variables libres
son el caudal unitario q y el calado y. Retomemos la ecuación (2.4) (c) pero reescrita de otra
forma:
q 2 = 2 gy 2 E − 2 gy 3
(2.17)
La Figura 8 muestra la representación gráfica de la ecuación (1.16), ecuación de la energía
en la que ahora se toma a E constante. Los límites los podemos explorar así: para
y → 0; q = 0 , pero q=0 también para:
q 2 = 2 gy 2 E − 2 gy 3 = 0
(2.18)
E=y
Por otra parte en esta expresión se presenta un máximo, como se ve en la Figura 8, que se da
exactamente en y = 2 E = yc . El calado crítico será el valor de y para transportar el máximo
3
caudal con una energía disponible E. Con esta energía se pueden transportar en régimen lento
8
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y en régimen rápido todos los caudales hasta qmáx. El régimen lento se da evidentemente para
todos los niveles por encima del valor correspondiente a calado crítico y el resto de niveles
por debajo del calado crítico corresponde al régimen rápido.
Figura 8. Descripción de la ecuación de la energía específica para E constante.
La expresión (2.17) se puede expresar en forma adimensional si se divide toda ella por el
valor gyc3 , que una vez simplificada y observando que E = 1.5 , queda así:
yc
q = 3α 2 − 2α 3
(2.19)
En donde se ha definido que:
α=
y
yc
(2.20)
q=
q2
gyc3
(2.21)
y
La Figura 9 muestra esta nueva descripción simplificada de la ecuación de la energía
específica para E=cte.
9
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Figura 9. Descripción de la energía específica adimensional para E=cte.
3 LOS MÁXIMOS RELATIVOS EN UNA SECCIÓN
Si la sección no es rectangular la función puede variar muchísimo, tanto que a lo largo de
la misma pueden aparecer varias discontinuidades o también varios máximos relativos que
impidan obtener con facilidad el valor del calado crítico y por tanto no distinguir una solución
en un cauce. Para demostrarlo vamos a verificarlo con el siguiente ejemplo ilustrativo. Un
cauce casi siempre tiene una forma como el de la Figura 10.
Este tipo de cauces son típicos de llanura pues contienen un cauce de aguas altas y un
cauce de avenida al contrario de los ríos de montaña que carecen prácticamente de la llanura
de inundación. Las aguas contenidas en el cauce de aguas altas normalmente son suficientes
para moldear a lo largo del tiempo la forma del mismo, ancho y profundidad. Se dice que
existe un caudal medio tal que circulando todo el año es capaz de modelar este cauce y
además es aquel que transporta un volumen sólido equivalente al que transportaría las aguas
naturales todo el año. Lo interesante de esta morfología es que cuando el caudal desborda o
sale por encima del terreno que lo contiene las tensiones disminuyen drásticamente, e
hidráulicamente se presenta como una pérdida de energía cinética. En la misma Figura 10 se
muestra se hace un esquema del cauce, el que contiene dos anchos b1 para el cauce de aguas
altas y b2 para el cauce de avenidas. En la se presenta la función de distribución de anchos,
áreas y Froude para un caudal determinado y constante.
10
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Figura 10. Cauce y canal con llanura de inundación
Figura 11. Cambio de ancho y área en la llanura de inundación
Figura 12. Froude y energía específica en una llanura de inundación
Figura 13. Análisis de la llanura de inundación de un cauce.
11
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En la Figura 12a se observa la discontinuidad en el número de Froude justo a la altura de
calado donde el cauce sufre un cambio de ancho. Visto para varios caudales en la Figura 12b
se observa como la discontinuidad afecta a varias líneas de energía. Un acercamiento a la
zona de interés se observa en la Figura 13a donde se ve como la discontinuidad introduce
otro pico en los mínimos relativos de la ecuación de energía, esto que visualmente se observa
de manera gráfica a la hora del cálculo se convierte en un problema, pues pueden aparecer
más de uno de estos picos. En la Figura 13b se observa como los picos relativos pueden tener
más o menos altura, cosa que depende de la altura relativa del cambio de sección y del caudal
circulante.
4 USO DEL GRÁFICO DE ENERGÍA ESPECÍFICA.
Este gráfico se puede utilizar para el diseño de canal o entender los cambios que puede
sufrir el flujo al cambiar las secciones del cauce. Así es interesante describir algunos de los
cambios existentes representados a través de la energía específica.
En primer lugar se verifica que para un flujo uniforme el nivel de agua y la velocidad
media son constantes a todo lo largo del cauce o canal y por tanto cada sección tendrá la
misma energía específica. En la Figura 14 se observa esta situación. Se puede observar que
siempre en este tipo de flujo la ganancia de energía por posición se pierde por fricción
manteniendo constante la energía específica.
En un flujo lento si se gana energía específica se aumenta el calado en cambio en un flujo
rápido es justo al contrario, el calado disminuye.
Cuando se pasa de una sección a otra de diferente ancho cambia el caudal unitario y por
tanto se cambia de curva en el gráfico de energía específica, por simplificación podemos
prescindir de las pérdidas de carga (aunque hay que tenerlas en cuenta pues pueden cambiar la
situación final del flujo). En la Figura 15 se observa el paso de una sección más ancha (menor
caudal unitario) a una más estrecha (mayor caudal unitario), observe que son líneas verticales
pues no se pierde ni gana energía en el paso de una a otra (canal horizontal sin pérdidas). Es
posible entonces entender por que cuando se pasa de un canal ancho a uno estrecho el flujo
tiende a pasar por el crítico, tal y como se observa en la figura. No es malo que esto suceda si
realmente se quiere que el flujo pase por el crítico, pero en ocasiones no es así y se desea
evitarlo. Sobre todo por que cuando se pasa a régimen rápido y no se desea después se pasa a
régimen lento mediante resalto hidráulico (pérdidas de energía adicionales).
12
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Figura
14. Energía específica para flujo normal lento.
Figura 15 . Cambio de sección de un ancho B a uno b (B>b).
Cuando el flujo cambia bruscamente de nivel (escalón-régimen lento) también suelen
cambiar las condiciones de flujo, la ecuación de la energía para el escalón de la Figura 16, es
así:
z 1 + E1 = z 2 + E 2
(2.22)
En donde z es la posición del fondo o cota y en donde se han despreciado las pérdidas de
energía al paso del flujo por el escalón. Si el escalón es ascendente en la dirección del flujo, la
energía especifica sobre el escalón es menor que en la aproximación E1 > E 2 . En dado caso
13
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como se mantiene el caudal unitario constante no hay cambio de curva y el valor del calado
en la sección sobre el escalón se acerca al crítico. En caso de que el escalón sea justo de
descenso en la dirección del flujo, en el mismo tipo de régimen la relación queda: E 2 > E1 , y
el nivel de agua se aleja del crítico como se observa en la figura.
Q1
w.sen(θ)
PA1
τ0
Q2
P
PA2
θ
A
Figura 16 . Escalón
En régimen rápido la cuestión es más compleja pues lo que puede suceder es que exista un
cambio brusco de régimen al pasar por encima del escalón ascendente y una aceleración del
flujo en caso de un escalón descendente.
5 FUERZA ESPECÍFICA.
Para definir la fuerza específica vamos a expresar la conservación de la cantidad de
movimiento entre dos secciones diferentes de un cauce, la Figura 17 se muestra el volumen de
control escogido, las variables y los detalles del flujo.
Q1
w.sen(θ)
PA1
τ0
θ
Q2
P
PA2
Figura 17. Equilibrio de fuerzas en un tramo de canal de longitud
A
∆x
14
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La ecuación unidimensional de la conservación de la cantidad de movimiento expresa que:
(2.23)
∑ F = ρQ∆V
Esto es que la suma de fuerzas aplicadas al volumen de control es igual al cambio de
cantidad de movimiento del sistema de partículas. Aplicado al volumen escogido se tiene que:
P1A1 − P2A2 − τ P ∆x + ρgA∆x sin (θ ) = ρQ ∆V
(2.24)
Esta expresión se puede expresar de la siguiente forma:
P1A1 − P2A2 − ρQ [V2 −V1 ] = τ P ∆x − ρgA∆x sin (θ )
(2.25)
Dejando en el miembro de la derecha de la ecuación magnitudes intrínsecas del flujo y en
el miembro de la derecha sólo las fuerzas externas. Aquí se considera que la presión es una
fuerza intrínseca aunque a simple vista parezca una fuerza exterior. Siendo así se pueden
separar y agrupar a la izquierda las magnitudes de la sección 1 y la sección 2, así:
P1A1 + ρQV1 − (P2A2 + ρQV2 ) = τ P ∆x − ρgA∆x sin (θ )
(2.26)
Por definición el flujo uniforme es aquel en el que las magnitudes hidráulicas no cambian a
lo largo del flujo. En este caso de flujo unidimensional implica que el calado y la velocidad
permanecen constantes a lo largo del cauce o canal analizado. Esto sugiere que las cantidades
situadas en el miembro izquierdo de la ecuación (2.26) se anulen ya que las magnitudes
hidráulicas evaluadas en 1 son idénticas a las evaluadas en 2. Por lo tanto queda que:
τP ∆x − ρgA∆x sin (θ ) = 0
(2.27)
Esto nos indica que en condiciones de flujo uniforme las fuerzas de fricción compensan
exactamente a las fuerzas de peso. De aquí se puede extraer una de las relaciones más
utilizadas en el estudio de cauces y es:
A
τ = ρg sin (θ ) = γ Rh sin (θ )
(2.28)
P
Esta expresión en la que aparece el radio hidráulico o relación entre el área de flujo y el
perímetro de resistencia al flujo de esa sección se puede simplificar para el caso de cauces
anchos de manera que la tensión es de la forma:
τ = γyS 0
(2.29)
En el que S 0 es la pendiente del cauce cuando en ángulo θ es muy pequeño y el seno, el arco
y la tangente son muy similares. La tensión transmitida por el flujo hacia el fondo es
proporcional a la profundidad del flujo y la pendiente del cauce y que será muy útil a la hora
de diseñar, reparar o ajustar cauces.
Regresando a la ecuación que se estaba analizando la (2.26), es bueno observar que si el
flujo es uniforme existe una igualdad entre las magnitudes evaluadas en la sección 1 y las que
se evalúan en la sección 2, así:
P1A1 + ρQV1 = P2A2 + ρQV2
M1 = M 2
(2.30)
M = ρQV + PA
En donde a M se le define como fuerza específica. Observen que tiene la magnitud de fuerza,
primero por que la cantidad PA es de hecho una fuerza y segundo por que el primer término
del segundo miembro es el flujo de cantidad de movimiento. Esta expresión es válida para
cualquier tipo de sección, como se puede observar en la Figura 18.
15
___________________________________Capitulo 2.Ecuaciones de masa, Energía y Momentum
Figura 18. Esquema para la integración de las fuerzas de presión en un área cualquiera.C.G. Centro de gravedad.
Si se integra la presión en la sección de flujo se obtiene la siguiente expresión:
PA = ∫ pdA = ∫ γydA = γ ∫ ydA
(2.31)
A
PA = γyA
(2.32)
En donde y es la profundidad del centro de gravedad de la sección de flujo medida desde
la superficie de flujo. La expresión de fuerza específica o fuerza relativa a la sección
considerada se puede expresar de la siguiente forma:
M = γyA + ρQV
(2.33)
Esta expresión es muy utilizada y expresa la fuerza específica o también conocida como el
flujo de cantidad de movimiento, esta fuerza o flujo se compone de dos partes una fuerza
dinámica y una fuerza estática. La fuerza dinámica esta representada por el flujo de cantidad
de movimiento por efecto de la traslación de masa a través de la sección considerada a la
velocidad V, (ρV )V y la otra componente es el impulso que ejerce la presión hidrostática o
fuerza de presión.
Por unidad de masa el flujo de cantidad de movimiento o fuerza específica se escribe
como:
M
(2.34)
= gyA + V 2A
ρ
También se puede expresar como lo hace el HEC-RAS que es expresando a la fuerza
específica por unidad de peso:
M
1
= yA + V 2A
γ
g
(2.35)
ecuación que tiene unidades de volumen (L3) pero es igual de útil.
En caso de canal rectangular se puede expresar por unidad de ancho así la ecuación (2.34)
se puede expresar como:
16
___________________________________Capitulo 2.Ecuaciones de masa, Energía y Momentum
M
y2
=g
+ V 2y
ρB
2
(2.36)
La ecuación (2.36) se puede analizar igual al igual que se hizo para la energía específica,
para ello la escribimos en función del caudal unitario q . Esta expresión es:
M
y2 q2
= Mu = g
+
ρB
2
y
(2.37)
La Figura 19 representa la expresión de la ecuación (2.37). Obsérvese que para el calado
tendiendo a 0 la fuerza específica unitaria M u tiende a infinito y para valores de y muy
grandes domina el primer término del miembro de la derecha y por tanto la expresión tiende a
2
gy 2
. Más aún si el caudal unitario es nulo, la fuerza específica es de ese mismo orden
quedando como asíntota de todas las curvas de igual caudal unitario.
Al igual que para la energía específica, esta curva indica que para una misma fuerza
específica hay dos soluciones diferentes, en este caso se denominan alturas o calados
conjugados, que son diferentes a los calados alternos de la ecuación de la energía específica.
Figura 19. Representación de la ecuación (2.37) y la asíntota para q=0.
La Figura 19 indica que aunque el flujo se nulo (q=0) existe fuerza específica no nula, al
igual que existe energía específica no nula para caudal nulo.
17
___________________________________Capitulo 2.Ecuaciones de masa, Energía y Momentum
Se observa que existe un mínimo en la función, este mínimo se da para cuando la dericada
de la función de M respecto del calado se hace 0. Al realizar esta derivada en la expresión
(2.37) se obtiene que:
dM u
q2
= gy − 2 → 0
dy
y
(2.38)
q2
yc = 3
g
En la expresión (2.38) se observa que da el mismo resultado que el análisis de la energía
específica. El calado crítico es el mismo y define la misma velocidad crítica, esto es que por
definición en este valor obtenemos Fr = 1 , como debería ser.
Que diferencia existe entonces en las soluciones de ambas ecuaciones? En la sección
siguiente se analiza detalladamente esta situación.
La fuerza específica también se puede definir de forma adimensional, simplemente dividiendo
por gyc2 la expresión (2.37), quedando así:
Mu
y2
yc
α2
1
=
+
=
+
2
2
gyc
2yc
y
2
α
(2.39)
6 CALADOS ALTERNOS Y CALADOS CONJUGADOS
En esta sección se compara la energía específica y la fuerza específica o flujo de energía y
flujo de cantidad de movimiento en una sección. Para ello tratarán las ecuaciones escritas en
forma adimensional y en el mismo gráfico. La existencia de soluciones sin restricción en las
ecuaciones indica que es posible su coexistencia en una misma sección de flujo, es decir dos
calados diferentes en una misma sección. Utilizando las ecuaciones (2.11) y (2.39) se puede
observar el resultado conjunto de ambas ecuaciones.
18
___________________________________Capitulo 2.Ecuaciones de masa, Energía y Momentum
Figura 20. Se observan la fuerza específica unitaria Mu y la energía específica unitaria, donde DE es la
diferencia de energía.
En la Figura 20 se observa la evolución de ambas expresiones y en ella se observa que
aunque las dos son tangentes e guales en el punto de calado crítico el resto de la curva no se
parece en nada. El que exista esta diferencia hace pensar que una de ellas no es válida para
representar una discontinuidad o solución múltiple en la misma sección. Como la
discontinuidad prácticamente no hay masa no debería haber perdida ni fuente de cantidad de
movimiento, lo que es lo mismo que debe haber en teoría una igualdad de la fuerza específica
en la discontinuidad (entre el valor que toma el momentum en una y otra sección de la
discontinuidad aguas arriba y aguas abajo). Si esto es así lo que debe cambiar es la energía, lo
que queda bastante claro en la figura. Hay una pérdida de energía que se muestra con el valor
DE . Esta pérdida se encuentra evaluando el momentum y la energía a lado y lado y por tanto
evaluando ambos niveles de agua ( y1 e y2 ). A estos niveles o calados de agua les corresponde
una y sólo una energía, una en régimen rápido o torrencial y otra en régimen lento o fluvial.
Si se observa la Figura 20 se ve que entre estos dos valores hay una diferencia de energía
DE . La consecuencia inmediata de esto es que ocurren en un orden determinado. Es decir,
debido a que la energía siempre se pierde en la dirección del flujo (ley de entropía), el calado
de mayor energía específica se encuentra arriba. Es decir en el caso de la figura el régimen
rápido se encuentra arriba y el lento abajo. Esta figura representa el denominado resalto
hidráulico o discontinuidad en régimen permanente. Esta discontinuidad es una de las
complejidades del flujo en lámina libre y que condiciona de manera fuerte el flujo y por tanto
la solución numérica del mismo. Según la discusión la solución correcta esta expresada por la
igualdad (2.39). Así como se debe cumplir que esta expresión es igual a ambos lados de la
igualdad entonces podemos escribir las siguientes expresiones, para un resalto hidráulico en
un cauce con sección cualquiera:
19
___________________________________Capitulo 2.Ecuaciones de masa, Energía y Momentum
gy1A1 + Q 2 / A1 = gy2A2 + Q 2 / A2
(2.40)
Que se puede denominar ecuación general del resalto hidráulico. En el caso particular de
un cauce rectangular podemos expresar la ecuación de la siguiente forma:
α12
1
α2
1
+
= 2 +
(2.41)
2
α1
2
α2
Que transformándola se convierte en la fórmula de Belanger así:
y1
1
= (−1 + 1 + 8Fr2 )
y2
2
(2.42)
que es una ecuación simétrica por lo que los índices se pueden intercambiar y la ecuación
sigue siendo correcta, es decir cambiar el índice 1 por 2 y 2 por 1.
7 ECUACIÓN ENERGÍA DEL HEC-RAS
El programa Hec-Ras utiliza la ecuación de energía escrita para cauces, con llanura de
inundación a lado y lado de un cauce de aguas altas. La ecuación se escribe así:
y2 + z 2 +
α2v22
α v2
= y1 + z 1 + 1 1 + he
2g
2g
(2.43)
En donde α es el coeficiente de Coriolis que corrige el flujo de energía en la sección
debido al uso de la velocidad media, he representa el término de perdida de energía y se
compone básicamente de dos términos. El término de fricción y el término de pérdidas por
expansión, así este término viene representado por:
he = LS f + Kl
α2v22 α1v11
−
2g
2g
(2.44)
En esta ecuación L representa la longitud ponderada en el tramo de cauce escogido, y
Kl representa el coeficiente de pérdidas por expansión y contracción. Este término debe ser
utilizado con mucho cuidado puesto que representa una perdida por cambio de energía
cinética. Este cambio se da siempre en una curva de remanso en un cauce o canal. Así se
estaría abusando de su uso en caso de que el cauce o canal tenga un comportamiento suave.
Es decir, debe usarse K ≠ 0 sólo en caso de que el cambio de sección sea brusco y se
produzcan pérdida macroturbulentas por la transición ocurrida, de lo contrario es mejor
anularlo. En el estudio de transiciones se puede ver más objetivamente su uso.
S f , se refiere a la pendiente motriz que analizaremos en la sección siguiente.
La longitud ponderada se hace mediante el caudal, esto es:
L=
LlobQlob + LchQch + LrobQrob
Qlob + Qch + Qrob
(2.45)
20
___________________________________Capitulo 2.Ecuaciones de masa, Energía y Momentum
En donde lob se refiere a la llanura izquierda, rob se refiere a la llanura derecha y ch al
cauce de aguas altas.
8 RESISTENCIA AL FLUJO EN HEC-RAS
La resistencia al flujo se evalúa con la fórmula de Manning, por ello aquí analizaremos esta
fórmula que entre otras cosas es de uso extendido en Europa. La fórmula de Manning es una
derivación para canales modificada de la ecuación de Darcy-Weissbach para la evaluación de
las pérdidas de energía en tuberías. Esta fórmula se escribe así:
Q=
2
1
1
AR 3S f 2
n
(2.46)
En esta ecuación n es el coeficiente de Manning, R es el radio hidráulico y S f la pendiente
de la línea de energía.
Esta ecuación se puede escribir en una forma condensada como:
1
Q = KS f 2
(2.47)
En donde el término K se define como la capacidad de transporte de la sección o
“Conveyance” en inglés. El valor de K es:
K =
2
1
AR 3
n
(2.48)
El radio hidráulico R se define como el área de flujo dividido por el perímetro mojado o
perímetro en el que actúa la resistencia al flujo, así que:
A
R=
(2.49)
P
El uso de la capacidad de transporte de la sección se basa en un principio físico que en
cauces no es tan real, y la idea es que la pendiente motriz es constante a todo lo ancho de la
sección. Esto en la realidad no se da pero es útil, como se observa en la ecuación siguiente:
1
1
1
1
Q = Q1 + Q2 + Q3 + Q4 = K 1S f1 2 + K 2S f22 + K 3S f32 + K 4S f42
1
1
= (K 1 + K 2 + K 3 + K 4 )S f 2 = KS f 2
(2.50)
De esta manera el cálculo del caudal se convierte en una suma de capacidades de
transporte (“Capacidad”).
En la Figura 21 se muestran dos formas de cálculo que ofrece el Hec-Ras para el caudal
que fluye por una sección de cauce, las dos dan diferente por defecto el HR usa por defecto la
que da menor capacidad. El manual de HR indica que después de un estudio sobre muchas
secciones se observan resultados diferentes y con la misma tendencia pero no hay una
indicación de cual es el mejor método.
21
___________________________________Capitulo 2.Ecuaciones de masa, Energía y Momentum
Figura 21. Cálculo de la capacidad de una sección por dos métodos diferentes, el primero se usa por defecto.
Si se quiere utilizar el método por defecto se debe recordar que dará menor capacidad es
decir calados más elevados y por tanto velocidades medias más bajas.
9 EVALUACIÓN DE LA ENERGÍA CINÉTICA MEDIA EN HEC-RAS
HR debe evaluar el flujo de energía cinética, esto se hace mediante la suma de los flujos
parciales, tal y como se muestra en la
Figura 22. Determinación del coeficiente de Coriolis.
 V2
v 12
v 22
Q α  = Q1
+ Q2
 2g 
2g
2g
Q1
v 12
v 22
(2.51)
2g
α=
V2
(Q1 + Q2 )
2g
En general se puede escribir
2g
+ Q2
∑Q v
α=
V ∑Q
2
i i
2
i
∑Q v
=
2
i i
V 2Q
(2.52)
Se puede dar en función de la capacidad de manera que la ecuación (2.52) queda:
22
___________________________________Capitulo 2.Ecuaciones de masa, Energía y Momentum

K3 
At 2  ∑ i2 

Ai 

α=
Kt
(2.53)
En donde el subíndice t indica la totalidad, área total de flujo en sección At y capacidad
total Kt. La valoración de la pendiente motriz en la sección se evalúa mediante la ecuación
(2.47).
1
Q  2
S f =  
K 
(2.54)
Las expresiones implementadas en el HR son:
a) Capacidad media
 Q + Q2 

S f =  1
 K 1 + K 2 
(2.55)
1
(S f + S f2 )
2 1
(2.56)
b) Pendiente motriz media
Sf =
c) Media geométrica de la pendiente motriz
S f = S f1 S f2
(2.57)
23