Una forma más fácil de tratar el teorema de Kariya. Todo va a estar

File: kariyafacil.dfw
Date: 16/12/01
Time: 21:06:50
Una forma más fácil de tratar el teorema de Kariya.
Todo va a estar centrado en el círculo inscrito. De esta forma
los puntos S(a,t), S(b,t), S(c,t) tendrán coordenadas más
sencillas.
Gran parte de este fichero está tomado del fichero
isogonalfacil.dfw construido para estudiar mejor la
transformación isogonal.
El círculo inscrito es
#1:
x
2
+ y
2
- 1 = 0
Un vértice A va a ser
#2:
[u, v]
Supondremos que A está fuera del círculo inscrito (u^2+v^21>0)
Trazamos las tangentes desde A al círculo, que son los lados
del triángulo por el vértice A. Para comprobar pondremos u=2,
v=3.Muchas de las comprobaciones ya han sido hechas en el
fichero isogonalfacil.dfw
2
#3:
x
2
+ y
- 1 = 0
y así los puntos de tangencia desde (u,v) son
#4:
„
2
2
2
2
†
¦ u - v·‹(u + v - 1)
u·‹(u + v - 1) + v ¦
¦——————————————————————, ——————————————————————¦
¦
2
2
2
2
¦
…
u + v
u + v
‡
#5:
„
2
2
2
2
†
¦ v·‹(u + v - 1) + u
v - u·‹(u + v - 1) ¦
¦——————————————————————, ——————————————————————¦
¦
2
2
2
2
¦
…
u + v
u + v
‡
La primera solución corresponde al lado que llamaríamos AB en
el orden acostumbrado.
*****************
Ahora trazamos los lados
La recta AB es
#6:
x·(v·‹(u
2
+ v
2
- 1) - u) - y·(u·‹(u
2
+ v
2
- 1) + v) + u
2
+ v
2
= 0
La recta AC es
#7:
x·(v·‹(u
2
+ v
2
- 1) + u) + y·(v - u·‹(u
El lado BC va a ser
Page: 1
2
+ v
2
- 1)) - u
2
- v
2
= 0
File: kariyafacil.dfw
#8:
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Time: 21:06:50
y + 1 = 0
y así los vértices van a ser los siguiente, B es
#9:
„
2
2
2
†
¦ u·‹(u + v - 1) + u + v·(v + 1)
¦
¦———————————————————————————————————, -1¦
¦
2
2
¦
…
u - v·‹(u + v - 1)
‡
y C es
#10:
„
2
2
2
†
¦
u·‹(u + v - 1) - u - v·(v + 1)
¦
¦- ———————————————————————————————————, -1¦
¦
2
2
¦
…
v·‹(u + v - 1) + u
‡
********************
Comprobamos
„
„
2
¦
¦
¦ 2
2
¦ - ‹3 - 1
¦x + y - 1 = 0, ¦
¦
¦ ‹3 - 1
¦
¦
…
…
2
#11:
3 ††
¦¦
-1 ¦¦
¦¦
-1 ¦¦
¦¦
3 ‡‡
Va bien
**********************
#12:
RECTAPORDOSPUNTOS(a, b, c, d) := x·(b - d) + y·(c - a) + a·d - b·c =
0
#13:
„ ß·µ - ¼·¿
¼·´ - ©·µ †
INTERSECCIONRECTAS(©, ß, ¼, ´, ¿, µ) := ¦———————————, ———————————¦
… ©·¿ - ß·´
©·¿ - ß·´ ‡
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
+++++++++++++
El punto A es
#14:
[2, 3]
El punto B es
#15:
[- ‹3 - 1, -1]
El punto C es
#16:
[‹3 - 1, -1]
Ahora vamos a trazar los puntos S(a,t), S(b,t), S(c,t).
S(a,t) es
#17:
(1 - t)·[0, 0] + t·[0, -1]
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Date: 16/12/01
#18:
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[0, -t]
S(b,t) es
#19:
„
2
2
2
2
†
¦ v·‹(u + v - 1) + u
v - u·‹(u + v - 1) ¦
(1 - t)·[0, 0] + t·¦——————————————————————, ——————————————————————¦
¦
2
2
2
2
¦
…
u + v
u + v
‡
es decir
„
2
2
2
2
†
¦ t·(v·‹(u + v - 1) + u)
t·(v - u·‹(u + v - 1)) ¦
¦——————————————————————————, ——————————————————————————¦
¦
2
2
2
2
¦
…
u + v
u + v
‡
#20:
S(c,t) es
#21:
„
2
2
2
2
†
¦ u - v·‹(u + v - 1)
u·‹(u + v - 1) + v ¦
(1 - t)·[0, 0] + t·¦——————————————————————, ——————————————————————¦
¦
2
2
2
2
¦
…
u + v
u + v
‡
es decir
„
2
2
2
2
†
¦ t·(u - v·‹(u + v - 1))
t·(u·‹(u + v - 1) + v) ¦
¦——————————————————————————, ——————————————————————————¦
¦
2
2
2
2
¦
…
u + v
u + v
‡
#22:
Unimos estos puntos a los vértices opuestos.
AS(a,t) es
#23:
x·(t + v) - u·y - t·u = 0
BS(b,t) es
#24:
2
2
2
2
2
2
2
2
x·(t·(u·‹(u + v - 1) - v) - u - v )·(v·‹(u + v - 1) - u) + y·(t·(u ·(v - 1) +
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
v ·(v - 1)) + (u + v )·(u·‹(u + v - 1) + u + v·(v + 1))) + t·(u + v )·(u·‹(u +
2
2
v - 1) + u + (v + 1)·(v - 2)) = 0
CS(c,t) es
#25:
2
2
2
2
2
2
2
2
x·(t·(u·‹(u + v - 1) + v) + u + v )·(v·‹(u + v - 1) + u) + y·(t·(u ·(v - 1) +
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
v ·(v - 1)) - (u + v )·(u·‹(u + v - 1) - u - v·(v + 1))) - t·(u + v )·(u·‹(u +
2
2
v - 1) - u - (v + 1)·(v - 2)) = 0
Comprobamos el teorema de Kariya, viendo que concurren
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File: kariyafacil.dfw
#26:
Date: 16/12/01
„
t + v
¦
¦
2
2
2
2
2
2
DET ¦ (t·(u·‹(u + v - 1) - v) - u - v )·(v·‹(u + v - 1) - u)
¦
¦
2
2
2
2
2
2
… (t·(u·‹(u + v - 1) + v) + u + v )·(v·‹(u + v - 1) + u)
Time: 21:06:50
2
2
t·(u ·(v - 1) +
2
2
t·(u ·(v - 1) +
-u
2
2
2
2
2
2
2
v ·(v - 1)) + (u + v )·(u·‹(u + v - 1) + u + v·(v + 1))
2
2
2
2
2
2
2
v ·(v - 1)) - (u + v )·(u·‹(u + v - 1) - u - v·(v + 1))
- t·u
†
¦
2
2
2
2
2
¦
t·(u + v )·(u·‹(u + v - 1) + u + (v + 1)·(v - 2)) ¦
¦
2
2
2
2
2
¦
- t·(u + v )·(u·‹(u + v - 1) - u - (v + 1)·(v - 2)) ‡
#27:
0
Como el determinante de los coeficientes es 0 las tres rectas concurren en un cierto
punto S(t), lo que demuestra el teorema de Kariya. A continuación determinamos la
hipérbola, lugar de los puntos S(t). Eliminado la t entre la ecuación de AS(a,t) y
BS(b,t) resulta la ecuación
#28:
2
2
2
2
u·x ·(v - 1) + x·y·(v·(v - 2) - u ) + x·(u + v·(v - 2)) + u·y ·(1 - v) + 2·u·y = 0
#29:
2
2
4·x + x·(7 - y) - 4·y + 4·y = 0
Las pendientes psub1 y psub2 de las asíntotas vienen dadas por la ecuación
#30:
2
2
p ·u·(v - 1) + p·(u - v·(v - 2)) + u·(1 - v) = 0
Claramente las asíntotas son perpendiculares y así la hipérbola es equilátera.
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