Una forma de tratar la transformación isogonal. Todo va

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Date: 24/10/01
Time: 18:11:08
Una forma de tratar la transformación isogonal.
Todo va a estar centrado en el círculo inscrito. Las
bisectrices van a tener así una forma sencilla y es de esperar
que la transformada de un punto M(m,n) se pueda escribir con
una expresión sin complicaciones y sin trigonometría.
El círculo inscrito va a ser
2
#1:
x
2
+ y
- 1 = 0
Un vértice A va a ser
#2:
[u, v]
Supondremos que A está fuera del círculo inscrito (u^2+v^21>0)
Trazamos las tangentes desde A al círculo, que son los lados
del triángulo por el vértice A
#3:
u·x + v·y - 1 = 0
#4:
x
#5:
SOLVE(u·x + v·y - 1 = 0, y)
2
+ y
2
- 1 = 0
#6:
1 - u·x
y = —————————
v
#7:
2
2
2
2
x ·(u + v ) - 2·u·x - v + 1
——————————————————————————————— = 0
2
v
#8:
€ 2
2
2
2
‚
¦ x ·(u + v ) - 2·u·x - v + 1
¦
SOLVE¦——————————————————————————————— = 0, x¦
¦
2
¦
•
v
ƒ
Los puntos de tangencia son de abscisa
#9:
2
2
2
2
u - v·‹(u + v - 1)
v·‹(u + v - 1) + u
x = —————————————————————— • x = ——————————————————————
2
2
2
2
u + v
u + v
Las ordenadas correspondientes son
#10:
2
2
u·‹(u + v - 1) + v
y = ——————————————————————
2
2
u + v
Page: 1
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2
2
v - u·‹(u + v - 1)
y = ——————————————————————
2
2
u + v
#11:
y así los puntos de tangencia son
#12:
„
2
2
2
2
†
¦ u - v·‹(u + v - 1)
u·‹(u + v - 1) + v ¦
¦——————————————————————, ——————————————————————¦
¦
2
2
2
2
¦
…
u + v
u + v
‡
#13:
„
2
2
2
2
†
¦ v·‹(u + v - 1) + u
v - u·‹(u + v - 1) ¦
¦——————————————————————, ——————————————————————¦
¦
2
2
2
2
¦
…
u + v
u + v
‡
***************
Vamos comprobando con u=2, v=3
#14:
„
¦ 2
2
comprobando1(u, v) := ¦x + y - 1 = 0, [u, v],
¦
…
„
2
2
2
2
†
¦ u - v·‹(u + v - 1)
u·‹(u + v - 1) + v ¦
¦——————————————————————, ——————————————————————¦,
¦
2
2
2
2
¦
…
u + v
u + v
‡
„
2
2
2
2
††
¦ v·‹(u + v - 1) + u
v - u·‹(u + v - 1) ¦¦
¦——————————————————————, ——————————————————————¦¦
¦
2
2
2
2
¦¦
…
u + v
u + v
‡‡
#15:
comprobando1(2, 3)
#16:
„ 2
2
„ 2
6·‹3
4·‹3
3 † „ 6·‹3
¦x + y - 1 = 0, [2, 3], ¦———— - ——————, —————— + ————¦, ¦—————— +
…
… 13
13
13
13 ‡ … 13
2
3
4·‹3 ††
————, ———— - ——————¦¦
13
13
13 ‡‡
La primera solución corresponde al lado que llamaríamos AB en
el orden acostumbrado.
*****************
Ahora trazamos los lados
La recta AB es
2
#17:
x·(v·‹(u
2
+ v
2
- 1) - u) - y·(u·‹(u
Page: 2
2
+ v
2
- 1) + v) + u
2
+ v
= 0
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La recta AC es
#18:
x·(v·‹(u
2
+ v
2
- 1) + u) + y·(v - u·‹(u
2
+ v
2
- 1)) - u
2
- v
2
= 0
********************
comprobamos
#19:
„ 2
2
2
2
comprobando2(u, v) := …x + y - 1 = 0, [u, v], x·(v·‹(u + v - 1)
- u) - y·(u·‹(u
2
+ v
+ u) + y·(v - u·‹(u
2
2
- 1) + v) + u
+ v
2
- 1)) - u
2
2
+ v
- v
2
2
= 0, x·(v·‹(u
2
+ v
2
†
= 0‡
#20:
comprobando2(2, 3)
#21:
„ 2
2
…x + y - 1 = 0, [2, 3], x·(6·‹3 - 2) - y·(4·‹3 + 3) + 13 = 0,
†
x·(6·‹3 + 2) + y·(3 - 4·‹3) - 13 = 0‡
Parece que va bien
***********************
El lado BC va a ser
#22:
y + 1 = 0
y así los vértices van a ser los siguiente, B es
#23:
„
2
2
2
†
¦ u·‹(u + v - 1) + u + v·(v + 1)
¦
¦———————————————————————————————————, -1¦
¦
2
2
¦
…
u - v·‹(u + v - 1)
‡
y C es
#24:
„
2
2
2
†
¦
u·‹(u + v - 1) - u - v·(v + 1)
¦
¦- ———————————————————————————————————, -1¦
¦
2
2
¦
…
v·‹(u + v - 1) + u
‡
********************
Comprobamos
Page: 3
- 1)
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Date: 24/10/01
#25:
„
„
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦ 2
2
¦
comprobando3(u, v) := ¦x + y - 1 = 0, ¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
¦
…
…
u
2
2
2
u·‹(u + v - 1) + u + v·(v + 1)
———————————————————————————————————
2
2
u - v·‹(u + v - 1)
2
2
2
u·‹(u + v - 1) - u - v·(v + 1)
- ———————————————————————————————————
2
2
v·‹(u + v - 1) + u
u
#26:
Time: 18:11:08
v ††
¦¦
¦¦
¦¦
-1 ¦¦
¦¦
¦¦
¦¦
¦¦
¦¦
-1 ¦¦
¦¦
¦¦
¦¦
v ‡‡
comprobando3(2, 3)
„
„
2
¦
¦
¦ 2
2
¦ - ‹3 - 1
¦x + y - 1 = 0, ¦
¦
¦ ‹3 - 1
¦
¦
…
…
2
#27:
3 ††
¦¦
-1 ¦¦
¦¦
-1 ¦¦
¦¦
3 ‡‡
Va bien
**********************
Las bisectrices las obtenemos muy fácilmente ahora. Son las
siguientes:wsuba
#28:
v·x - u·y = 0
wsubb es
#29:
y·(u·‹(u
2
+ v
2
- 1) + u
2
+ v·(v + 1)) - x·(v·‹(u
2
+ v
2
- 1) - u) = 0
y wsubc es
#30:
y·(u·‹(u
2
+ v
2
- 1) - u
2
- v·(v + 1)) - x·(v·‹(u
************************
Comprobamos
Page: 4
2
+ v
2
- 1) + u) = 0
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Date: 24/10/01
#31:
Time: 18:11:08
„
2
2
2
comprobando4(u, v) := …v·x - u·y = 0, y·(u·‹(u + v - 1) + u +
v·(v + 1)) - x·(v·‹(u
2
+ v
2
u
2
- 1) - u) = 0, y·(u·‹(u
2
- v·(v + 1)) - x·(v·‹(u
2
+ v
2
+ v
2
- 1) -
†
- 1) + u) = 0‡
#32:
comprobando4(2, 3)
#33:
[3·x - 2·y = 0, x·(2 - 6·‹3) + y·(4·‹3 + 16) = 0, y·(4·‹3 - 16) x·(6·‹3 + 2) = 0]
Va bien
*************************
Ahora tomamos un punto genérico M(m,n) (para comprobar tomamos
m=4, n=1, u=2, v=3) y vamos a tratar de hallar su transformado
isogonal M'.
Recogemos alguna herramienta útil de la caja de herramientas.
+++++++++++++++++++++++++
ALGUNAS HERRAMIENTA UTILES
#34:
SIMETRICOPUNTORESPECTORECTA(v, m, n, p) :=
„
2
2
¦ v ·(n - m ) - 2·v ·m·n - 2·p·m
¦ 1
2
¦—————————————————————————————————,
¦
2
2
…
m + n
2
2
†
v ·(m - n ) - 2·v ·m·n - 2·p·n ¦
2
1
¦
—————————————————————————————————¦
2
2
¦
m + n
‡
#35:
RECTAPORDOSPUNTOS(a, b, c, d) := x·(b - d) + y·(c - a) + a·d - b·c =
0
#36:
„ ß·µ - ¼·¿
¼·´ - ©·µ †
INTERSECCIONRECTAS(©, ß, ¼, ´, ¿, µ) := ¦———————————, ———————————¦
… ©·¿ - ß·´
©·¿ - ß·´ ‡
++++++++++++++++++++++++++
Trazamos el simétrico de M respecto de wsuba, que es
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„
2
2
2
2 †
¦ m·(u - v ) + 2·n·u·v
2·m·u·v + n·(v - u ) ¦
¦———————————————————————, ———————————————————————¦
¦
2
2
2
2
¦
…
u + v
u + v
‡
#37:
Unimos este punto con A obteniendo una recta en la que está M'
2
#38:
x·(2·m·u·v + n·(v
2
- u
2
2
2
2
2
- u ) - v·(u + v )) - y·(m·(u - v ) + u·(2·n·v
2
2
2
- v )) - (u + v )·(m·v - n·u) = 0
Ahora obtenemos el simétrico de M respecto de wsub
#39:
„
¦
¦¦
…
2
2
2
4
2
2
2~
(m·(u·‹(u + v - 1)·(u + v·(v + 2)) + u + u ·(v + v - 1) + v ~
——————————————————————————————————————————————————————————————————~
~
~
2
2
2
2
2
~
·(v + 1)) + n·(u·‹(u + v - 1) + u + v·(v + 1))·(v·‹(u + v - 1~
——————————————————————————————————————————————————————————————————~
6
4 2
2 4
6
2
~
(u + 3·u ·v + 3·u ·v + v )·(v + 1)
~
2
2
2
2
4
2
3
~
) - u))·(u·(u + v )·‹(u + v - 1) - u - u ·v·(2·v + 1) - v ·(v ~
——————————————————————————————————————————————————————————————————~
~
~
+ 1))
——————,
2
2
2
4
2
2
2~
(n·(u·‹(u + v - 1)·(u + v·(v + 2)) + u + u ·(v + v - 1) + v ~
——————————————————————————————————————————————————————————————————~
~
~
2
2
2
2
2
~
·(v + 1)) - m·(u·‹(u + v - 1) + u + v·(v + 1))·(v·‹(u + v - 1~
——————————————————————————————————————————————————————————————————~
6
4 2
2 4
6
2
~
(u + 3·u ·v + 3·u ·v + v )·(v + 1)
~
2
2
2
2
4
2
3
~
) - u))·(u·(u + v )·‹(u + v - 1) - u - u ·v·(2·v + 1) - v ·(v ~
——————————————————————————————————————————————————————————————————~
~
~
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†
+ 1)) ¦
——————¦
¦
‡
Unimos este punto con B, obteniendo otra recta en la que está
M'
#40:
x·(m·(u
2
2
2
2
2
2
2
+ v )·(v + 1) ·(v·‹(u + v - 1) - u) + n·(u·‹(u + v -
1)·(u·‹(u
2
+ v
2
- 1)·(u
2
+ v·(v + 2)) - (u
2
2
2
6
+ v )·(v + 1) ) - u -
4
2
2
2
3
2
u ·(2·v + 2·v - 1) - u ·v·(v + 1)·(v + 2·v - 1) - v ·(v + 1) ) +
4
(u
2 2
4
2
2
2
2
+ 2·u ·v + v )·(v + 1) )·(v·‹(u + v - 1) - u) + y·(u +
2
2
2
2
2
v )·(v + 1)·((v + 1)·(n·(2·u·v·‹(u + v - 1) - u ·(v + 1) 2
2
2
2
2
2
2
v ·(v - 1)) - (u + v )·(u·‹(u + v - 1) + u + v·(v + 1))) 2
m·(‹(u
2
+ v
2
- 1)·(u·‹(u
2
+ v
2
- 1)·(u
2
+ v·(v + 2)) - (u
-
2
5
3
2
2
2
v )·(v + 1)) - u - u ·(v + v - 1) - u·v ·(v + 1))) + (u +
2 2
2
2
2
2
2
2
v ) ·(v + 1) ·(m·(v·‹(u + v - 1) - u) - n·(u·‹(u + v - 1) + u
+ v·(v + 1))) = 0
y finalmente obtenemos la intersección M' de las dos rectas
obtenidas
#41:
„
2
2
2
2
2
3
2
~
¦
(u + v )·(m ·u·(u + v )·(v + v - v - 1) + m·~
¦———————————————————————————————————————————————————————————————————~
¦ 2
4
3
2
2 2
3
2
4
~
… m ·(u ·(v + v - v - 1) + 2·u ·v ·(v + v - v - 1) + v ·(v - 1)·~
2
2 2
2
4
2
4
2
2 ~
((u + v ) ·(v + 1) - n·(u ·(v + 2·v + 1) - v ·(v + 1) )) - n ·u~
——————————————————————————————————————————————————————————————————~
2
2
2 2
2
4
2 2
4 ~
(v + 1) ) + 2·m·u·(u + v ) ·(v + 2·v + 1) + (u + 2·u ·v + v )·~
2
2
2
·(u + v )·(v + 1)·(v + 2·v + 1))
—————————————————————————————————————————————————————,
2
2
2
2
2
(v + 1) ·(n ·(v - 1) - n·(u + v·(v - 2)) - u - v )
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2
2 ~
(u + v )~
——————————————————————————————————————————————————————————————————~
2
4
3
2
2 2
3
2
4
~
m ·(u ·(v + v - v - 1) + 2·u ·v ·(v + v - v - 1) + v ·(v - 1)~
2
2
2
2
2
2
~
·(v + 1) ·(m ·v·(v - 1) - 2·m·n·u·v + n·(n·(u - v) + u + v )) ~
——————————————————————————————————————————————————————————————————~
2
2
2 2
2
4
2 2
4 ~
·(v + 1) ) + 2·m·u·(u + v ) ·(v + 2·v + 1) + (u + 2·u ·v + v )~
†
¦
——————————————————————————————————————————————————————¦
2
2
2
2
2 ¦
·(v + 1) ·(n ·(v - 1) - n·(u + v·(v - 2)) - u - v ) ‡
******************************
Comprobamos
#42:
„„
u
¦¦
¦¦
2
2
2
¦¦
u·‹(u + v - 1) + u + v·(v + 1)
¦¦ ———————————————————————————————————
¦¦
2
2
¦¦
u - v·‹(u + v - 1)
comprobando5(u, v, m, n) := ¦¦
¦¦
2
2
2
¦¦
u·‹(u + v - 1) - u - v·(v + 1)
¦¦ - ———————————————————————————————————
¦¦
2
2
¦¦
v·‹(u + v - 1) + u
¦¦
……
u
v †
¦
¦
¦
-1 ¦
¦
¦
¦, [m, n],
¦
¦
-1 ¦
¦
¦
¦
v ‡
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~
~
~
~
~
„
2
2
2
2
2
3
2
~
¦
(u + v )·(m ·u·(u + v )·(v + v - v - 1) + ~
¦—————————————————————————————————————————————————————————————————~
¦ 2
4
3
2
2 2
3
2
4
~
… m ·(u ·(v + v - v - 1) + 2·u ·v ·(v + v - v - 1) + v ·(v - 1~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
2
2 2
2
4
2
4
2
2~
m·((u + v ) ·(v + 1) - n·(u ·(v + 2·v + 1) - v ·(v + 1) )) - n ~
——————————————————————————————————————————————————————————————————~
2
2
2 2
2
4
2 2
4~
)·(v + 1) ) + 2·m·u·(u + v ) ·(v + 2·v + 1) + (u + 2·u ·v + v ~
~
~
~
~
~
2
2
2
·u·(u + v )·(v + 1)·(v + 2·v + 1))
———————————————————————————————————————————————————————,
2
2
2
2
2
)·(v + 1) ·(n ·(v - 1) - n·(u + v·(v - 2)) - u - v )
~
~
~
~
~
2
2 ~
(u + v )~
——————————————————————————————————————————————————————————————————~
2
4
3
2
2 2
3
2
4
~
m ·(u ·(v + v - v - 1) + 2·u ·v ·(v + v - v - 1) + v ·(v - 1)~
~
~
~
~
~
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Time: 18:11:08
~
~
~
~
~
2
2
2
2
2
2
~
·(v + 1) ·(m ·v·(v - 1) - 2·m·n·u·v + n·(n·(u - v) + u + v )) ~
——————————————————————————————————————————————————————————————————~
2
2
2 2
2
4
2 2
4 ~
·(v + 1) ) + 2·m·u·(u + v ) ·(v + 2·v + 1) + (u + 2·u ·v + v )~
~
~
~
~
~
†
¦
¦
¦
¦
†¦
¦¦
——————————————————————————————————————————————————————¦¦
2
2
2
2
2 ¦¦
·(v + 1) ·(n ·(v - 1) - n·(u + v·(v - 2)) - u - v ) ‡¦
¦
¦
¦
¦
‡
#43:
comprobando5(2, 3, 4, 1)
#44:
comprobando5(2, 3, 0, 0)
#45:
„„
2
¦¦
¦¦ - ‹3 - 1
¦¦
¦¦ ‹3 - 1
¦¦
……
2
#46:
comprobando5(2, 3, 0.2, 0.1)
#47:
comprobando5(2, 3, 0.5, 0.4)
#48:
comprobando5(2, 3, -0.5, 0.4)
3 †
†
¦
¦
-1 ¦
¦
¦, [0, 0], [0, 0]¦
-1 ¦
¦
¦
¦
3 ‡
‡
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Date: 24/10/01
Time: 18:11:08
Tiene pinta de marchar bien
*******************************
Vamos a ver cuál es la transformada isogonal de x+y+1=0
#49:
x + y + 1 = 0
#50:
12·x
2
2
+ x·(17 - 7·y) - 5·y
+ 6·y - 13 = 0
Efectivamente resulta una hipérbola que pasa por los vértices.
Parece que va bien.
De esta forma podemos obtener la transformada de muchas
curvas.
Podemos poner, por tanto, para experimentar y explorar
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#51:
Time: 18:11:08
„„
¦¦
¦¦
¦¦
¦¦
¦¦
¦¦
TRANSFORMADAISOGONAL(u, v, m, n) := ¦¦
¦¦
¦¦
¦¦
¦¦
¦¦
¦¦
……
u
2
2
2
u·‹(u + v - 1) + u + v·(v + 1)
———————————————————————————————————
2
2
u - v·‹(u + v - 1)
2
2
2
u·‹(u + v - 1) - u - v·(v + 1)
- ———————————————————————————————————
2
2
v·‹(u + v - 1) + u
u
v †
¦
¦
¦
-1 ¦
¦
¦
¦, [m, n],
¦
¦
-1 ¦
¦
¦
¦
v ‡
~
~
~
~
~
„
2
2
2
2
2
3
2
~
¦
(u + v )·(m ·u·(u + v )·(v + v - v - 1) + ~
¦—————————————————————————————————————————————————————————————————~
¦ 2
4
3
2
2 2
3
2
4
~
… m ·(u ·(v + v - v - 1) + 2·u ·v ·(v + v - v - 1) + v ·(v - 1~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
2
2 2
2
4
2
4
2
2~
m·((u + v ) ·(v + 1) - n·(u ·(v + 2·v + 1) - v ·(v + 1) )) - n ~
——————————————————————————————————————————————————————————————————~
2
2
2 2
2
4
2 2
4~
)·(v + 1) ) + 2·m·u·(u + v ) ·(v + 2·v + 1) + (u + 2·u ·v + v ~
~
~
~
~
~
Page: 12
File: haciaelpuntodeFeuerbach.dfw
Date: 24/10/01
Time: 18:11:08
2
2
2
·u·(u + v )·(v + 1)·(v + 2·v + 1))
———————————————————————————————————————————————————————,
2
2
2
2
2
)·(v + 1) ·(n ·(v - 1) - n·(u + v·(v - 2)) - u - v )
~
~
~
~
~
2
2 ~
(u + v )~
——————————————————————————————————————————————————————————————————~
2
4
3
2
2 2
3
2
4
~
m ·(u ·(v + v - v - 1) + 2·u ·v ·(v + v - v - 1) + v ·(v - 1)~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
2
2
2
2
2
2
~
·(v + 1) ·(m ·v·(v - 1) - 2·m·n·u·v + n·(n·(u - v) + u + v )) ~
——————————————————————————————————————————————————————————————————~
2
2
2 2
2
4
2 2
4 ~
·(v + 1) ) + 2·m·u·(u + v ) ·(v + 2·v + 1) + (u + 2·u ·v + v )~
~
~
~
~
~
†
¦
¦
¦
¦
†¦
¦¦
——————————————————————————————————————————————————————¦¦
2
2
2
2
2 ¦¦
·(v + 1) ·(n ·(v - 1) - n·(u + v·(v - 2)) - u - v ) ‡¦
¦
¦
¦
¦
‡
Page: 13
File: haciaelpuntodeFeuerbach.dfw
Date: 24/10/01
#52:
„„
2
¦¦
¦¦ -2.732050807
¦¦
¦¦ 0.7320508075
¦¦
……
2
#53:
Time: 18:11:08
3 †
†
¦
¦
-1 ¦
¦
¦, [-0.4, 0.5], [0.4375, -0.5850694444]¦
-1 ¦
¦
¦
¦
3 ‡
‡
TRANSFORMADAISOGONAL(2, 3, -0.4, 0.5)
Vamos a explorar cuál es la transformada isogonal del círculo
de Feuerbach. Introducimos la función
#54:
€
¦
CIRCUNCIRCULO(m, n, p, q, r, s) := ¦x •
2
2
2
2
2
2
2
~
m ·(q - s) + n ·(q - s) - n·(p + q - r - s ) + p ·s + q·(q·s -~
——————————————————————————————————————————————————————————————————~
2·(m·(q - s) + n·(r - p) + p·s - q·r)
~
2
2 ‚2
€
r - s ) ¦
¦
——————————¦ + ¦y - ƒ
•
2
2
2
2
2
2
2
2
~
m ·(p - r) - m·(p + q - r - s ) + n ·(p - r) + p ·r - p·(r + ~
——————————————————————————————————————————————————————————————————~
2·(m·(q - s) + n·(r - p) + p·s - q·r)
~
2
2
‚2
s ) + q ·r ¦
———————————¦ ƒ
¦„ 2
2
2
2
2
2
2
~
¦¦ m ·(q - s) + n ·(q - s) - n·(p + q - r - s ) + p ·s + q·(q·s~
¦¦————————————————————————————————————————————————————————————————~
¦…
2·(m·(q - s) + n·(r - p) + p·s - q·r)
~
2
2
- r - s )
————————————, 2
2
2
2
2
2
2
2
~
m ·(p - r) - m·(p + q - r - s ) + n ·(p - r) + p ·r - p·(r + ~
——————————————————————————————————————————————————————————————————~
2·(m·(q - s) + n·(r - p) + p·s - q·r)
~
2
2
†
¦2
s ) + q ·r ¦
¦
———————————¦ - [m, n]¦ = 0
‡
¦
Experimentamos con un caso particular primero. Calculamos el
circulo de Feuerbach de ABC con A(u,v) siendo u=2,v=3.
Calculamos los puntos medios de los lados.
El punto A es
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File: haciaelpuntodeFeuerbach.dfw
Date: 24/10/01
#55:
Time: 18:11:08
[2, 3]
El punto B es
#56:
[- ‹3 - 1, -1]
El punto C es
#57:
[‹3 - 1, -1]
El medio de AB es
„ 1
‹3
†
¦——— - ————, 1¦
… 2
2
‡
#58:
El medio de AC es
„ ‹3
1
†
¦———— + ———, 1¦
… 2
2
‡
#59:
El medio de BC es
#60:
[-1, -1]
El círculo de Feuerbach es
#61:
€ 1
‹3
‹3
1
‚
CIRCUNCIRCULO¦——— - ————, 1, ———— + ———, 1, -1, -1¦
• 2
2
2
2
ƒ
#62:
4·x
2
- 4·x + 4·y
2
+ 3·y - 9 = 0
La transformada isogonal de (x,y) cuando u=2, v=3 es
#63:
„
2
2
2
†
¦
4·x + x·(5·y + 13) - 8·y
12·x - 12·x·y + y·(7·y - 13) ¦
¦———————————————————————————————, - ———————————————————————————————¦
¦
2
2
2
2
¦
… 4·x - 4·x + 4·y - 19·y + 13
4·x - 4·x + 4·y - 19·y + 13 ‡
Substituímos en la ecuación del círculo de Feuerbach y resulta
la curva transformada isogonal de éste. Simplificada da
#64:
18·(4·x
2
- 4·x + 4·y
2
- 19·y + 13)
2
3
- (32·x ·(29·y - 40) -
2
2
3
2
8·x ·(8·y + 557·y - 379) + 4·x·(232·y - 181·y + 766·y - 533) 4
64·y
3
- 3323·y
2
+ 3·(4159·y
- 4615·y + 1521)) = 0
que es una curva extraña de cuarto grado.
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Date: 24/10/01
Time: 18:11:08
******************************************
Ahora tratamos de hallar el punto de Feuerbach
El vértice A es
#65:
[u, v]
El vértice B es
#66:
„
2
2
2
†
¦ u·‹(u + v - 1) + u + v·(v + 1)
¦
¦———————————————————————————————————, -1¦
¦
2
2
¦
…
u - v·‹(u + v - 1)
‡
El vértice C es
#67:
„
2
2
2
†
¦
u·‹(u + v - 1) - u - v·(v + 1)
¦
¦- ———————————————————————————————————, -1¦
¦
2
2
¦
…
v·‹(u + v - 1) + u
‡
#68:
CIRCULOFEUERBACH(a, b, c, d, e, f) := x
2
-
2
2
2 ~
x·(a ·(d - f) - 2·a·(b·(c - e) - c·d + e·f) + b ·(f - d) - b·(c ~
——————————————————————————————————————————————————————————————————~
2·(a·(d - f) + b·(e -~
2
2
2
2
2
2
- d - e + f ) + c ·f + 2·c·e·(f - d) - d·(d·f + e - f ))
2
———————————————————————————————————————————————————————————— + y
c) + c·f - d·e)
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File: haciaelpuntodeFeuerbach.dfw
Date: 24/10/01
Time: 18:11:08
2
2
2
2
2
2
~
y·(a ·(c - e) + a·(2·b·(d - f) - c + d + e - f ) + b ·(e - c) ~
——————————————————————————————————————————————————————————————————~
2·(a·(d - f) + b·(e~
2
2
2
+ 2·b·(e·f - c·d) + c ·e + c·(2·d·f - e + f ) - d·e·(d + 2·f))
———————————————————————————————————————————————————————————————— +
- c) + c·f - d·e)
2
2
2
2
2
2
2
~
a ·(c·d - e·f) - a·b·(c - d - e + f ) + b ·(e·f - c·d) + c ·e·~
——————————————————————————————————————————————————————————————————~
2·(a·(d - f) + b·(e - c) + c·f - d·e) ~
2
2
2
f + c·d·(f - e ) - d ·e·f
——————————————————————————— = 0
#69:
€
2
2
2
¦
u·‹(u + v - 1) + u + v·(v + 1)
CIRCULOFEUERBACH¦u, v, ———————————————————————————————————, -1, ¦
2
2
•
u - v·‹(u + v - 1)
2
2
2
‚
u·‹(u + v - 1) - u - v·(v + 1)
¦
———————————————————————————————————, -1¦
2
2
¦
v·‹(u + v - 1) + u
ƒ
Pero esto va muy muy lento. Probamos de otra forma, hallando
los puntos medios de los lados.
El punto medio del lado BC es
#70:
„
u
†
¦———————, -1¦
… 1 - v
‡
El punto medio del lado AB es
#71:
„
2
2
2
†
¦ u·‹(u + v - 1)·(v - 1) - 2·u - v·(v + 1)
v - 1 ¦
¦—————————————————————————————————————————————, ———————¦
¦
2
2
2
¦
…
2·(v·‹(u + v - 1) - u)
‡
El punto medio del lado AC es
#72:
„
2
2
2
†
¦ u·‹(u + v - 1)·(v - 1) + 2·u + v·(v + 1)
v - 1 ¦
¦—————————————————————————————————————————————, ———————¦
¦
2
2
2
¦
…
2·(v·‹(u + v - 1) + u)
‡
Page: 17
File: haciaelpuntodeFeuerbach.dfw
Date: 24/10/01
#73:
Time: 18:11:08
„ 2
CIRCUNFERENCIAPORTRESPUNTOS(a, b, c, d, e, f) := …x ·(a·(d - f) +
2
2
2
2
b·(e - c) + c·f - d·e) - x·(a ·(d - f) + b ·(d - f) - b·(c + d 2
e
2
2
2
2
2
- f ) + c ·f + d·(d·f - e - f )) + y ·(a·(d - f) + b·(e - c) +
2
2
2
2
2
2
c·f - d·e) + y·(a ·(c - e) - a·(c + d - e - f ) + b ·(c - e) +
2
2
2
2
2
2
c ·e - c·(e + f ) + d ·e) + a ·(d·e - c·f) + a·(c ·f + d·(d·f e
2
2
2
2
2
2
- f )) - b·(b·(c·f - d·e) + c ·e - c·(e + f ) + d ·e) = 0, [a,
†
b], [c, d], [e, f]‡
#74:
€
¦
u
CIRCUNFERENCIAPORTRESPUNTOS¦———————, -1,
¦ 1 - v
•
2
2
2
u·‹(u + v - 1)·(v - 1) - 2·u - v·(v + 1)
v - 1
—————————————————————————————————————————————, ———————,
2
2
2
2·(v·‹(u + v - 1) - u)
2
2
2
‚
u·‹(u + v - 1)·(v - 1) + 2·u + v·(v + 1)
v - 1 ¦
—————————————————————————————————————————————, ———————¦
2
2
2
¦
2·(v·‹(u + v - 1) + u)
ƒ
Taambién así se le agota la memoria. Probar de otro modo.
Page: 18