Sucesiones y Series de Funciones

Sucesiones y Series de Funciones
Consideremos una sucesión {fn }, donde fn : I ⊂ R → R, entonces decimos que {fn } es una sucesión
de funciones.
Ejemplos:
i) {fn }, donde fn : R → R está dada por
fn (x) =
x2n
1 + x2n
Tenemos
ii) {fn }, donde fn : [0, 1] → R está dada por fn (x) = nx(1 − x)n .
fn alcanza su valor máximo , donde fn0 = 0. Pero fn0 = −n2 x(1 − x)n−1 + n(1 − x)n , de donde
1
se deduce que el valor donde fn alcanza su valor máximo es x = n+1
.
1
iii) {fn }, donde fn : [0, 2] → R, está dada por
 2
n x
si 0 ≤ x ≤ n1



fn (x) = 2n − n2 x si n1 ≤ x ≤ n2



0
si n2 ≤ x ≤ 2
iv) {fn }, donde fn : [0, 1] → R está dada por fn (x) = xn .
v) {fn }, donde fn : [−π, 3π] → R está dada por.
fn (x) = sin x −
sin 2x sin 3x sin 4x
sin nx
+
−
+ · · · + (−1)n−1
2
3
4
n
2
Si dada una sucesión de funciones {fn } en un intervalo I, evaluamos cada uno de los términos de
{fn } en x0 ∈ I, obtenemos una sucesión numérica {fn (x0 )}.
Ejemplos:
i) fn (x) = xn
Al evaluar fn en 0, se obtiene 0, 0, 0, 0, · · · , si se evalúa en x = 1, se obtiene 1, 1, 1, · · · , si se
evalúa en x = 21 , se obtiene 12 , 41 , 213 , 214 , · · · .
Definicion.- Decimos que una sucesión de funciones {fn }, donde fn : I ⊂ R → R converge en
x0 ∈ I a f (x0 ), si {fn (x0 )} converge, es decir, ∀ > 0 ∃ N (, x0 ) tal que
|fn (x0 ) − f (x0 )| < ∀ n > N (, x0 ).
Si fn (x) = xn y x0 = 12 la sucesión de funciones converge a 0, ya que dado > 0, 2n >
n > log2 1 , |0 − 21n | < , ∀ n > N () = [log2 1 ] + 1
1
ii) Sea {fn }, donde fn : [0, 1] → R está dada por fn (x) = nx(1 − x)n , si x = 0 se obtiene
0, 0, 0, 0, · · · , al evaluar cada fn ; si x = 1 se obtiene 0, 0, 0, 0, · · · , al evaluar cada fn . Si
1
x = n+1
se obtiene (1 − 12 )2 , (1 − 31 )3 , (1 − 14 )4 , · · ·
fn
=
1−
1
n+1
1
n+1
n
=
n+1
1−
1−
1
n+1
1
n+1
1
1−
n+1
n
1−
=
n
→
n
1
n+1
n+1
1
Definicion.- Decimos que una sucesión de funciones {fn } converge puntualmente a f en I si para
cada y cada x ∈ I, ∃ N (, x) tal que |fn (x) − f (x)| < ∀ n < N (, x).
Ejemplos:
i) {fn }, donde fn : [0, 1] → R está dada por fn (x) = xn converge a f : [0, 1] → R dada por
f (x) =
3
(
0
si x 6= 1
1
si x = 1
ii) {fn }, donde fn : R → R está dada por fn (x) = n1 x converge a f (x) = 0.
h i
0 − 1 x < si n > x + 1 = N (, x)
n iii) {fn } donde fn : R → R está dada por fn (x) = nx no converge a una función.
4
Consideremos fn donde fn : R → R está dada por
fn (x) =
x2n
1 + x2n
¿Converge fn ?
Definición.- Decimos que una sucesión de funciones {fn }, donde fn : I ⊂ R → R, converge uniformemente a f : I ⊂ R → R, si ∀ > 0 ∃ N () tal que |fn (x) − f (x)| < . ∀ n > N (), ∀ x ∈ I.
5
Ejemplos:
i) La sucesión de funciones {fn }, donde fn : R → R está dada por fn (x) = n1 sin nx, converge
uniformemente en R a la función idénticamente cero.
En efecto, dado
1
1
1
1
y ∀x ∈ R
1 > > 0, sin nx − 0 = | sin nx| ≤ < ∀n >
n
n
n
ii) La sucesión de funciones {fn }, donde fn : [0, 1] → R está dada por fn (x) = xn ¿Converge
uniformemente? No converge uniformemente, ya que dado > 0, y x ∈ I
ln ln −
|xn − 0| = xn < , ∀ n > ln
x , pero ln x → 0 cuando x → 1 , en consecuencia ln x → +∞
cuando x → 1− .
Si en lugar de tomar fn : [0, 1] → R, se toma fn : [0, 1 − δ] → R donde δ es tan pequeño como
ln se quiera, pero fijo, entonces |xn − 0| < , ∀ n > ln(1−δ)
y ∀ x ∈ I.
Entonces la sucesión de funciones, donde fn (x) : xn está definida en [0, 1 − δ] converge uniformemente a la función idénticamente 0.
iii) La sucesión de funciones {fn }, donde fn : R → R está dada por fn (x) =
verge? ¿Converge uniformemente?
Sı́ converge y converge a f : R → R con


−1
f (x) = 0


1
si x < 0
si x = 0 No converge uniformemente
si x > 0
= sgnx
6
2
π
arctan nx ¿Con-
Definición.- Si {fn (x)} es una sucesión de funciones en I decimos que {Sn (x)}, donde Sn (x) = f1 (x) +
f2 (x) + · · · + fn (x) es una serie de funciones y se denota
∞
X
fn (x)
n=1
A fn (x) se le llama término enésimo de la serie y a Sn (x) se le llama suma parcial enésima de la
serie.
Definición.- Decimos que la serie de funciones
∞
X
fn (x) en I
n=1
converge en x0 ∈ I, si la sucesión de sumas parciales {Sn (x)} converge en x0 .
Definición.- Decimos que una serie de funciones
∞
X
fn (x) en I
n=1
converge uniformemente en I, si la sucesión de funciones {Sn (x)} converge uniformemente en I.
Teorema
Si se tiene una serie
∞
X
fn (x)
n=1
que converge uniformemente en I y cada término de la serie se multiplica por una función acotada
ϕ en I, entonces la serie
∞
X
ϕ(x)fn (x)
n=1
converge uniformemente en I.
Demostración:
Como la serie converge uniformemente, entonces dado > 0 ∃ N ()tal que Sn (x) − S(x) <
M ∀ n > N () y ∀ x, es decir,
∞
X
fn x <
n=N ()+1
M
7
en consecuencia
X
X
X
∞
∞
∞
fn (x)
ϕ(x)fn (x) = |ϕ(x)| fn (x) < , pero M
n=N ()+1
n=N ()+1
n=N ()+1
X
∞
fn (x) < −M ≤ ϕ(x) ≤ M ≤ M n=N ()+1
por lo tanto la serie
∞
X
ϕ(x)fn (x) converge uniformemente en I.
n=1
Teorema
Si
∞
X
fn (x) y
n=1
∞
X
gn (x)
n=1
Son series de funciones que convergen uniformemente en I, entonces la serie
∞
X
fn (x) +
n=1
∞
X
gn (x)
n=1
converge uniformemente.
Demostración:
Sean
Sn (x) = f1 (x) + · · · + fn (x)
Sn0 (x) = g1 + · · · + gn (x)
•
•
•
S(x) =
∞
X
fn (x)
n=1
S 0 (x) =
∞
X
n=1
8
gn (x)
Sea > 0, entonces ∃ N () tal que |Sn (x) − S(x)| <
|s0n (x) − S 0 (x)| <
2
2
y |Sn0 (x) − S 0 (x)| <
2
y
∀ n > N () y ∀ x ∈ I. Entonces
|Sn (x) + Sn0 (x) − S(x) + S 0 (x)| ≤ |Sn − S(x)| + |Sn0 (x) − S 0 (x)|
<
+ =
2 2
∀ n > N () y ∀ x ∈ I, por lo tanto
∞
X
fn (x) +
n=1
∞
X
gn (x) Converge uniformemente
n=1
Definición.- Dada una serie de funciones
∞
X
fn (x) en I
n=1
decimos que una serie numérica
∞
X
Mn (donde Mn > 0)
n=1
de números positivos domina la serie de funciones si
|fn (x)| ≤ Mn ∀ n y ∀ x ∈ I
A la serie
∞
X
Mn
n=1
se le llama serie dominante y a la serie
∞
X
n=1
se le llama serie dominada.
9
fn (x)
Teorema
Si
∞
X
fn (x)
n=1
es una serie de funciones y
∞
X
Mn
n=1
es una serie dominante convergente de la serie de funciones, entonces ésta converge uniformemente.
Demostración:
Como la serie numérica
∞
X
Mn
n=1
es convergente, entonces dado > 0 ∃ N () |Sm − S| < ∀ m > N (), es decir
∞
X
Mn < ∀ m > N ()
n=m+1
es decir
Mm+1 + Mm+2 + · · · < ∀ m > N ().
En consecuencia |fm+1 (x)| + |fm+2 (x)| + · · · < ∀ m > N () y ∀ x ∈ I. Por lo tanto
|fm+1 (x) + fm+2 (x) + · · · | < ∀ m > N () y ∀ x ∈ I, es decir
∞
X
fn (x) < ∀ m > N () y ∀ x ∈ I
n=m+1
entonces, la serie de funciones converge uniformemente.
10
Ejemplos:
i) La serie de funciones
∞
X
sin nx
Converge uniformemente
n2
n=1
En efecto como la serie numérica
∞
X
1
2
n
n=1
es una serie dominante de la serie de funciones y sabemos que
∞
X
1
2
n
n=1
converge, en consecuencia la serie de funciones converge uniformemente
sin 2x 1
sin nx ≤1
4 ≤ 4 ···
1 ii) La serie de funciones
∞
X
x
, x ∈ [0, 1].
1 + n4 x2
n=1
¿Converge uniformemente?. Derivemos fn (x),
fn0 (x) =
(1 + n4 x2 ) − 2n4 x2
1 − n4 x2
=
(1 + n4 x2 )2
(1 + n4 x2 )2
entonces el máximo de fn (x) es x =
1
n2 ,
entonces el valor máximo de fn (x) es
11
fn
1
n2
=
1+
1
n2
n4
1
n2
=
1
2n2
Entonces la serie
∞
X
1
2
2n
n=1
es una serie dominante de la serie de funciones, por lo tanto la serie converge uniformemente.
iii) La serie
∞
X
(−1)n
n=1
1
x ∈ [0, ∞)
x + n1
¿Converge uniformemente?. No existe una serie dominante de la serie que sea convergente
∞
X
fn (x) < ∀ m > N () y ∀ x ∈ I
n=m
∞
X
1 1
1
n
(−1)
<
≤
x+n
x+m
m
n=m
Criterio M de Weierstrass
Teorema (Criterio de Cauchy)
Una sucesión de funciones {fn (x)} definidas en [a, b] converge uniformemente a una función f en
[a, b] si y sólo si para todo > 0 existe N () tal que:
|fn+p(x)−fn (x) | < para todo n > N (), p > 0 y para todo x ∈ [a, b].
Demostración:
⇒) Como {fn (x)} converge uniformemente a f en [a, b], dado > 0 ∃ N () tal que
|fn (x) − f (x)| <
2
y
|fn−p (x) − f (x)| <
2
para todo n > N (), p > 0 y para todo x ∈ [a, b].
En consecuencia:
|fn+p (x) − fn (x)| = |fn+p (x) + f (x) − f (x) − fn (x)|
12
≤ |fn+p (x) − f (x)| + |fn (x) − f (x)| <
+ =
2 2
para todo n > N (), todo p > 0 y ∀ x ∈ [a, b].
⇐) Como ∀ > 0, ∃ N () tal que |fn+p (x).fn (x)| < · · · · · · (1) ∀ n > N (), p > 0 y para todo
x ∈ [a, b].
Si tomamos x∗ ∈ [a, b] fijo, a partir de (1) se tiene una sucesión numérica de Cauchy para
cada x ∈ [a, b] fijo. Sea f : [a, b] → R la función lı́mite de {fn (x)}. Si en (1) se hace tender p a
infinito se obtiene:
|fn (x) − f (x)| < ∀ n > N (), y ∀ x ∈ [a, b].
Teorema
Una serie de funciones
∞
X
fn (x) en [a, b]
n=1
converge uniformemente a una función S(x) en [a, b] si y solo si ∀ > 0 ∃ N () tal que
|Sn+p (x) − Sn | < ∀ n > N (), p > 0 y ∀ x ∈ [a, b].
Teorema
Si una sucesión de funciones continuas {fn (x)} en [a, b] converge uniformemente a f : [a, b] → R,
entonces f es continua en [a, b].
Demostración:
Como {fn (x)} converge uniformemente a f en [a, b] dado > 0, ∃ N () tal que
|fn (x) − f (x)| <
3
y
|fn (x + h) − f (x + h)| <
para todo n > N () y ∀ x ∈ [a, b], siempre que (x + h) ∈ [a, b].
Como fn es continua en [a, b], entonces
|fn (x + h) − fn (x)| <
13
si |h| < δ()
3
3
En consecuencia
|f (x + h) − f (x)| = |f (x + h) + fn (x) − fn (x) + fn (x + h) − fn (x + h) − f (x)|
≤ |fn (x + h) − f (x + h)| + |fn (x + h) − fn (x)| + |fn (x) − f (x)|
<
+ + =
3 3 3
si |h| < δ()
Por lo tanto f es continua en [a, b].
Teorema
Si una serie
∞
X
fn (x)
n=1
de funciones continuas en [a, b] converge uniformemente en [a, b] a S(x), entonces: S : [a, b] → R es
continua.
Demostración: (*Llegar a que la función lı́mite de la sucesión es continua)
Consideremos la sucesión de sumas parciales {Sn (x)}. Se tiene que Sn ∈ C[a,b] y {Sn (x)} converge
uniformemente a S(x) en [a, b], por lo tanto:
S : [a, b] → R es continua según el teorema anterior.
1.- Dada la sucesión de funciones {fn (x)}, donde fn : [0, 1] → R está dada por f (x) = xn .
Calcular:
i)
Z
1
lı́m
n→∞
fn (x)dx
0
ii)
Z
1
lı́m fn (x)dx
0 n→∞
2.- Igual que en 1, para la sucesión {fn (x)}, donde fn : [0, 1] → R está dada por
fn (x) = n2 x(1 − x)n
2.1.-
i)
Z
lı́m
n→∞
1
xn dx = lı́m
n→∞
0
14
1
1
xn+1 n+1
0
ii)
1
Z
Z
1
lı́m fn (x)dx =
0dx = 0
0 n→∞
0
(
0
{x } → f (x) =
1
n
2.2.-
si 0 ≤ x < 1
si x = 1
i)
1
Z
n2 x(1 − x)n dx =
lı́m
n→∞
lı́m n
0
1
1 !
−x
1
n+1 n+2 (1 − x)
+
x
=
n+1
(n + 1)(n + 2)
0
0
2
n→∞
n2
n2
= 2 =1
n→∞ (n + 1)(n + 2)
n
lı́m
ii)
1
Z
lı́m n2 x(1 − x)n dx =
1
Z
0dx = 0
0 n→∞
0
4
3.- Igual que en 1 para {fn (x)} donde fn (x) = 4nx3 e−nx , en [0, 1]
i)
1
Z
n→∞
4
4nx3 e−nx dx = lı́m
lı́m
n→∞
0
1−
= lı́m
n→∞
1
en
4 1
−e−nx =
0
=1
ii)
Z
1
3 −nx4
lı́m 4nx e
0 n→∞
Z
dx =
1
0dx = 0
0
Teorema
Si {fn (x)} es una sucesión de funciones continuas en [a, b] que converge uniformemente a
f : [a, b] → R, entonces
Z
x
lı́m
n→∞
Z
fn (t)dt =
x0
Z
x
x
=
f (t)dt
x0
Para todo x0 , x ∈ [a, b].
15
lı́m fn (t)dt
x0 n→∞
Demostración:
Como {fn (x)} converge uniformemente a f en [a, b], entonces dado > 0 existe N () tal que
|fn (x) − f (x)| < si n > N () ∀ x ∈ [a, b];
Como fn ∈ C[a,b] y f ∈ C[a,b] existen
Z
x
Z
fn (t)dt
x
y
f (t)dt
x0
x0
Se tiene:
Z
x
x
x0
Z x
f (t)dt = (fn (t) − f (t))dt
Z
x
Z
fn (t)dt −
x0
x0
≤
|fn (t) − f (t)| dt
x0
Z
x
<
x0
dt =
(x − x0 ) < b−a
b−a
Por lo tanto,
Z
x
lı́m
n→∞
x
Z
fn (t)dt =
x0
Z
f (t)dt
x0
x
lı́m fn (t)dt
x0 n→∞
Teorema
Si una serie de funciones continuas
∞
X
fn (x) en [a, b]
n=1
converge uniformemente a S(x) en [a, b], entonces
Z
∞
xX
fn (t)dt =
x0 n=1
∞ Z
X
n=1
para todo x0 , x ∈ [a, b].
16
x
x0
fn (t)dt
Demostración:
Sn (x) = f1 (x) + · · · + fn (x) es continua en [a, b] ∀ n ∈ N, entonces {Sn (x)} es una sucesión de
funciones continuas que converge uniformemente a S(x).
En consecuencia
Z
x
x
Z
Sn (t)dt =
lı́m
n→∞
S(t)dt
x0
x0
Es decir
Z
x
Z
x
(f (t) + f2 (t) + · · · + fn (t)) dt =
lı́m
n→∞
x0
S(t)dt
x0
de donde se obtiene
Z
x
lı́m
n→∞
Z
x
Z
x
f2 (t)dt + · · ·
f1 (t)dt +
x0
x0
fn (t)dt
x0
Z
x
=
S(t)dt
x0
Por lo tanto
∞ Z
X
n=1
x
Z
fn (t)dt =
x0
∞
xX
fn (t)dt
x0 n=1
Teorema
Si {fn (x)} es una sucesión de funciones donde fn ∈ C[a,b] tal que {fn (x)} converge uniformemente,
entonces:
0
lı́m fn0 (x) = (lı́m fn (x))
para cada x ∈ [a, b]
n→∞
Teorema
Si {fn (x)} es una sucesión de funciones donde fn ∈ C[a,b] , que converge a una función f en [a, b] y
{fn0 (x)} converge uniformemente a una función ϕ, entonces f 0 (x) = ϕ(x).
Demostración:
Como {fn0 (x)} converge uniformemente a ϕ, entonces
Z
x
lı́m
n→∞
fn0 (t)dt =
x0
17
Z
x
lı́m fn0 (t)dt
x0 n→∞
es decir
Z
x
lı́m
n→∞
fn0 (t)dt =
x0
Z
x
ϕ(t)dt
x0
de donde se obtiene
Z
x
lı́m (fn (x) − fn (x0 )) =
n→∞
ϕ(t)dt
x0
En consecuencia
Z
x
f (x) − f (x0 ) =
Z
x
ϕ(t)dt, luego f (x) = f (x0 ) +
x0
ϕ(t)dt
x0
Como f es la suma de funciones continuas, es continua. Entonces f 0 (x) = ϕ(x), es decir
0
lı́m fn (x) = lı́m fn0 (x)
n→∞
n→∞
Si una sucesión de funciones {fn (x)} no satisface el que {fn0 (x)} converja uniformemente, no necesariamente se cumple el resultado.
Ejemplos:
√
Sea {fn (x)}, donde fn : R → R está dada por fn (x) = n1 ln(nx + n2 x2 + 1) ¿Cual es la función limite de {fn (x)}? ¿A que converge? Para calcular el limite de fn (x), usemos el teorema de
L´Hôpital.
√
0
p
ln(nx
+
n2 x2 + 1)
1
lı́m
ln(nx + n2 x2 + 1) = lı́m
=
n→∞ n
n→∞
(n)0
1
√
= lı́m
n→∞ nx +
n2 x2 + 1
nx2
x+ √
n2 x2 + 1
= lı́m √
n→∞
√
x n2 x2 + 1 + nx2
√
= lı́m √
=
n→∞
n2 x2 + 1(nx + n2 x2 + 1)
x
=0
n2 x2 + 1
Por otro lado
fn0 (x) = √
18
1
n2 x2 + 1
Por lo tanto
lı́m fn0 (0) = 1 6=
n→∞
0
lı́m fn (x)
=0
n→∞
x0
Teorema
Si una serie
∞
X
fn (x)
n=1
de funciones, donde fn ∈ C[a,b] converge a una función S(x) y la serie
∞
X
fn0 (x)
n=1
converge uniformemente a una función σ(x) en [a, b], entonces S 0 (x) = σ(x).
Demostración:
Si consideramos la sucesión de sumas parciales {Sn (x)} de la serie
∞
X
fn (x)
con Sn (x) ∈ C[a,b] ∀ n ∈ N
n=1
Además {Sn0 (x)} converge uniformemente a σ(x). Por lo tanto S 0 (x) = σ(x), es decir
∞
X
!0
fn (x)
=
n=1
∞
X
fn0 (x)
n=1
Teorema
Si
∞
X
fn (x)
n=1
es una serie de funciones que converge uniformemente y
lı́m fn (x) = Cn
x→x0
en un intervalo alrededor de x0 , entonces la serie:
19
∞
X
Cn
n=1
también converge y :
lı́m
x→x0
∞
X
fn (x) =
n=1
∞
X
Cn
n=1
Demostración:
Sea > 0, entonces existe N () tal que
|fm+1 (x) + fm+2 (x) + · · · + fm+p (x)| <
· · · · · · (1)
2
∀ m > N (), p > 0 y todo x en el intervalo alrededor de x0 .
Si hacemos tender x hacia x0 , se obtiene:
|Cm+1 + Cm+2 · · · + Cm+p | ≤
· · · · · · (2)
2
Si en · · · (1) y · · · (2) se hace tender p a infinito, se obtiene
∞
X
fn (x) ≤
3
n=m+1
∞
X
Cn <
3
n=m+1
y
Elijamos δ() > 0 tal que
∞
∞
X
X
fn (x) −
Cn <
3
n=1
n=1
si
0 < |x − x0 | < δ()
Entonces,
∞
∞
X
X
fn (x) −
Cn ≤
n=1
n=1
∞
∞
∞
∞
X
X
X
X
≤
fn (x) −
Cn + fn (x) + Cn n=1
n=1
<
n=m+1
+ + =
3 3 3
20
n=m+1
para 0 < |x − x0 | < δ(). Por lo tanto.
∞
X
lı́m
x→x0
fn (x) =
n=1
∞
X
Cn
n=1
Teorema
Si {fn (x)} es una sucesión de funciones que converge uniformemente y
lı́m fn (x) = ln
x→x0
entonces:
lı́m lı́m fn (x) = lı́m lı́m fn (x)
x→x0 n→∞
n→∞ x→x0
Demostración:
1. Construir una serie como resultado anterior
2. Aplicarla
3. Demostrar teorema
Consideremos la serie de funciones :
f1 (x) + (f2 (x) − f1 (x)) + (f3 (x) − f2 (x)) + · · · (fn (x) − fn−1 (x)) + · · ·
converge uniformemente por lo tanto c/resultado anterior.
Demostración:
Por el resultado anterior:
lı́m
x→x0
=
f1 (x) +
f1 (x) +
∞
X
!
|fn (x) − fn−1 (x)|
=
n=2
∞
X
!
(ln − ln−1 )
n=1
=
l1 +
∞
X
!
(ln − ln−1 )
n=2
es decir
lı́m lı́m fn (x) = lı́m Ln = lı́m lı́m fn (x)
x→x0 n→∞
n→∞
21
n→∞ x→x0