Tema 3. Trabajo, energ´ıa y conservación de la energ´ıa

Fı́sica I. Curso 2010/11
Departamento de Fı́sica Aplicada. ETSII de Béjar. Universidad de Salamanca
Profs. Alejandro Medina Domı́nguez y Jesús Ovejero Sánchez
Tema 3. Trabajo, energı́a y conservación de
la energı́a
Índice
1. Introducción
3
2. Concepto de trabajo
3
2.1. Sistemas unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2. Expresión general de trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3. Potencia
7
4. Energı́a cinética. Teorema trabajo-energı́a
8
5. Fuerzas conservativas y energı́a potencial
9
6. Análisis de curvas de energı́a potencial
11
7. Conservación de la energı́a
15
7.1. Sistemas conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
7.2. Sistemas no conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7.3. Principio de conservación de la energı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8. Problemas
19
Índice alfabético
25
Tema 3. Trabajo, energı́a y conservación de la energı́a
2
3
Tema 3. Trabajo, energı́a y conservación de la energı́a
1.
Introducción
En principio, si se conociera la fuerza que actúa sobre una partı́cula como función del tiempo,
f~ = f~(t), serı́a fácil obtener la ecuación de su trayectoria, ~r = ~r(t), que es uno de los problemas
fundamentales que se plantea la Mecánica Clásica:
f~(t) = m ~a(t)
−→
f~(t)
~a(t) =
m
Z
−→
~v (t) =
Z
~a(t) dt
=⇒
~r(t) =
~v (t) dt
Pero generalmente las fuerzas que actúan sobre las partı́culas se conocen en Fı́sica en función de
su posición y el método anterior no es aplicable. Por lo tanto, se introducen nuevos conceptos
(trabajo y energı́a) con los que conociendo sólo algunas propiedades de la fuerza se pueden
resolver muchos problemas.
2.
Concepto de trabajo
2.1.
Sistemas unidimensionales
Consideremos una fuerza, f , constante o variable, que actúa sobre una partı́cula para provocar sobre ella un desplazamiento unidimensional. Se define el trabajo infinitesimal que realiza
la fuerza sobre la partı́cula para provocar un desplazamiento, dx, como,
dW = fx dx,
donde fx es la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento. Para un desplazamiento finito, entre dos puntos x1 y x2 , se define el trabajo como:
Z x2
W =
fx dx
x1
Es decir, que en problemas unidimensionales, el trabajo realizado por una fuerza no es más que
el área encerrada bajo la curva, fx = fx (x).
Como por definición el trabajo es una fuerza por un desplazamiento, sus dimensiones son:
[W ] = M L2 T −2 y sus unidades en el sistema internacional son N.m, que se denomina joule o
julio y se representa como J. En el sistema cegesimal, la unidad del trabajo es el ergio (erg)
que se define como 1 erg= 1 dina ×1 cm. Factor de conversión: 1 J= 107 erg.
4
Tema 3. Trabajo, energı́a y conservación de la energı́a
fx
fuerza constante
x1
x2
fx
x
fuerza variable
x1
x2
x
Conviene resaltar que el concepto de trabajo en Fı́sica no se corresponde exactamente con
la noción que tenemos en la vida cotidiana. Por ejemplo, empujar una pared, aunque, por
supuesto, no consigamos derribarla, supone un trabajo en la vida ordinaria, pero en Fı́sica,
como no hay desplazamiento, el trabajo realizado es nulo. Igual sucede cuando un levantador
de pesas no consigue elevarlas o cuando sujetamos un objeto en el aire sin desplazarlo.
2.1 Ejemplo
Un bloque apoyado sobre una mesa sin rozamiento está sujeto a un muelle horizontal que ejerce
una fuerza f = −k x, donde k = 400 N/m. El bloque se comprime hasta la posición xi = −5
cm. Calcula el trabajo que realiza para llevar el bloque hasta la posición xf = 0.
m
k
xi
xf
Resolveremos el problema de dos maneras, analı́ticamente y geómetricamente a partir de la
representación de la función fuerza.
5
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i) Analı́ticamente.
Z
Z xf
f (x) dx =
W =
xf
xi
xi
x2
(−kx) dx = −k
2
xf
=−
xi
k 2
xf − x2i = 0,5 J
2
ii) Geométricamente1 .
f
a
xi
x
xf
b
1
1
W = b a = (xf − xi )f (xi ) = 0,5 J
2
2
2.2.
Expresión general de trabajo
Consideremos ahora una partı́cula con vector de posición ~r desplazándose en el espacio bajo
la acción de una fuerza, f~, variable. Se define el trabajo realizado por la fuerza como:
Z f
W =
f~.d~r.
i
En componentes,
Z
W =
f
(fx dx + fy dy + fz dz).
i
La integral se evalúa sobre la curva que conforma la trayectoria de la partı́cula y se denomina
por esa razón integral de lı́nea. En general, cuando evaluamos el trabajo que realiza una fuerza
para trasladar la partı́cula desde i hasta f , no es lo mismo hacerlo por la trayectoria c1 que por
la c2 . En cada caso la integral se realizará de forma diferente y los resultados serán distintos.
1
Nótese que el trabajo, en general, puede tener un valor positivo o negativo. Con el método geométrico sólo
se puede obtener el valor del trabajo en módulo, puesto que un área es, por definición, un número positivo.
6
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c1
f
i
c2
2.2 Ejemplo
Calcúlese el trabajo realizado por la fuerza f~ = xy ~i (N) para desplazar una partı́cula desde
i : (0, 3) hasta f : (3, 0) a lo largo de las trayectorias:
1) Recta que une i y f .
2) Arco de la circunferencia centrada en el origen de coordenadas que pasa por esos puntos.
y
i
c2
c1
f
1) Ecuación de la recta: y = 3 − x.
Z f
Z f
Z
Wif =
f~.d~r =
xy dx =
i
i
0
3
x
3 2 x3
x(3 − x) dx = x −
= 4,5 J.
2
3
2) Ecuación de la circunferencia: x2 + y 2 = 9.
Z f
Z f
Wif =
xy dx =
x(9 − x2 )1/2 dx.
i
i
2
Haciendo el cambio de variables: u ≡ 9 − x resulta −2xdx = du.
3
Z
1
1
1
1 2 3/2
1/2
2 3/2
Wif = −
u du = − u = − (9 − x )
= 93/2 J = 9 J
2 3
2
3
3
0
Como vemos, el trabajo realizado en las dos trayectorias, aunque coincidan los puntos inicial y
final son diferentes.
7
Tema 3. Trabajo, energı́a y conservación de la energı́a
En un desplazamiento infinitesimal, la expresión general del trabajo viene dada por:
~
δW = f~.dr.
La notación, δ, para el trabajo elemental se utiliza en algunos libros para representar que
depende de la trayectoria recorrida. Se dice que la diferencial es inexacta.
Cuando varias fuerzas, {fi } (i = 1, 2 . . . n) actúan sobre una partı́cula, el trabajo neto es la
suma de cada uno de los trabajos:
dW =
n
X
dWi =
i=1
3.
n
X
f~i .d~ri .
i=1
Potencia
Desde un punto de vista práctico, es a menudo más interesante saber no sólo el trabajo
realizado por una fuerza sobre un objeto, sino la rapidez con que se realiza. Esto es especialmente
importante en Ingenierı́a, donde es relevante tanto el trabajo que realiza, por ejemplo, un motor
como el tiempo que tarda en ejecutarlo.
Se define la potencia media al realizar un trabajo W como:
Pm =
W
,
t
donde t es el tiempo que se emplea en su realización. Las dimensiones de la potencia son:
[Pm ] =
[W ]
M L2 T −2
=
= M L2 T −3 .
t
T
Unidades habituales de la potencia:
S.I. −→ watio (W)=J/s
Caballo de vapor (CV) −→ 1 CV=735,50 ' 736 W. Se define como la potencia necesaria
para elevar una masa de 75 kg 1 metro de altura en 1 s. No debe confundirse con el
horsepower (HP ó hp), unidad de potencia de origen anglosajón equivalente a 745,70 '
746 W.
A partir del watio se define una unidad de trabajo muy utilizada, el kw.h:
1 kw.h = 1000 J/s × 3600 s = 3,6 × 106 J.
8
Tema 3. Trabajo, energı́a y conservación de la energı́a
Se define la potencia instantánea realizada por una fuerza como:
P = lı́m
t→0
W
dW
=
,
t
dt
es decir, es el trabajo infinitesimal realizado por la fuerza por unidad de tiempo. De otro modo:
dW = f~.d~r = f~.~v dt
−→
P =
dW
= f~.~v .
dt
3.1 Ejemplo
Un elevador tiene una masa de 1000 kg y lleva una carga de 800 kg. Una fuerza de rozamiento
constante de 4000 N se opone a su movimiento. ¿Cuál debe ser la potencia mı́nima del motor
para subir la carga con una velocidad constante de 3 m/s?
Fuerzas sobre el ascensor:
T − fr − (ma + mc )g = 0
−→
T = fr + (ma + mc ) g = 2,16 × 104 N
P = f~.~v = T~ .~v = T v = (fr + mg)v = 64,9 kW
4.
Energı́a cinética. Teorema trabajo-energı́a
Todo cuerpo en movimiento tiene la capacidad de realizar un trabajo a partir de una dismi-
nución de su velocidad. Como ejemplos se pueden considerar un martillo golpeando un clavo,
una bala impactando contra una pared de acero o una piedra golpeando a otra piedra. Estos
hechos sugieren estudiar con más detalle la relación existente entre el estado de movimiento de
una partı́cula y su posible capacidad para realizar trabajo.
Como la fuerza que la partı́cula ejerce sobre el exterior es la misma que se ejerce sobre ella
(principio de acción y reacción):
dW = f~.d~r = m ~a.d~r = m ~a.~v dt = m ~v .d~v
Por otra parte, se puede expresar:
d(v 2 ) = d(~v .~v ) = 2 ~v .d~v
Sustituyendo en la primera ecuación:
1
dW = f~.d~r = m d(v 2 )
2
Z
−→
W =
i
f
1
f~.d~r = m
2
Z
i
f
1
1
d(v 2 ) = mvf2 − mvi2
2
2
9
Tema 3. Trabajo, energı́a y conservación de la energı́a
W =∆
1 2
mv
2
≡ ∆Ec
Este resultado se denomina teorema trabajo-energı́a. La magnitud Ec = (1/2) mv 2 se llama
energı́a cinética de la partı́cula y el teorema afirma que el trabajo que realiza la partı́cula es
igual a la variación de su energı́a cinética. Pero también se puede interpretar en sentido opuesto.
Para cambiar la energı́a cinética de la partı́cula hay que realizar un trabajo sobre ella que es
igual a su variación.
La energı́a cinética es una magnitud escalar, que sólo depende de la masa y la velocidad de
la partı́cula y que tiene las mismas dimensiones que el trabajo ([Ec ] = M L2 T −2 ). No puede ser
nunca negativa.
5.
Fuerzas conservativas y energı́a potencial
Se dice que una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza para trasladar una partı́cula
desde un punto cualquiera i hasta otro cualquiera f es independiente de la trayectoria que
recorre la partı́cula.
y
y
f
i
i
x
x
O de modo equivalente, una fuerza es conservativa si el trabajo que realizaIsobre una partı́cula cuando esta describe una trayectoria cerrada es cero. Matemáticamente: f~.d~r = 0.
Basándonos en esta definición, si una fuerza es conservativa siempre se puede definir una
función, U , de manera que el trabajo realizado por la fuerza sea, Wif = Ui − Uf . Esto es una
expresión matemática de que el trabajo sólo depende de las caracterı́sticas de los estados inicial
y final de la partı́cula.
Z
∆U = Uf − Ui = −Wif = −
i
f
f~.d~r.
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Tema 3. Trabajo, energı́a y conservación de la energı́a
En un desplazamiento infinitesimal:
dU = −f~.d~r.
Esta función, U , con dimensiones de trabajo o energı́a se denomina energı́a potencial asociada
a f~.
5.1 Ejemplo
Energı́a potencial del campo gravitatorio terrestre (en las proximidades de la superficie de la
Tierra).
dU = −f~.d~r = −P~ .d~r.
Si elegimos P~ = −mg~j,
dU = mgdy
−→
U = U0 + mgy,
donde U0 = U (y = 0).
Este es un ejemplo particular de una fuerza constante que es conservativa. Veremos a continuación que cualquier fuerza constante (en módulo, dirección y sentido) es conservativa. Sea
f~ una fuerza vectorialmente constante que desplaza una partı́cula desde ~ri hasta ~rf . Veremos
que el trabajo que realiza para desplazarla sólo depende de los puntos inicial y final.
Z f
Z f
Z f
Z f
Wif =
f~.d~r =
fx dx +
fy dy +
fz dz = f~.~rf − f~.~ri .
i
i
i
i
Luego el trabajo es independiente de la trayectoria, y entonces la fuerza es conservativa. Para
encontrar la energı́a potencial asociada a esta fuerza hay que obtener la función que verifica,
Wif = Ui − Uf . En este caso es evidente que U = −f~.~r.
Pero no sólo las fuerzas constantes son conservativas. Una fuerza dependiente de la distancia,
como es por ejemplo la que ejerce un muelle sobre una cierta masa es otro ejemplo de fuerza
conservativa.
5.2 Ejemplo
Supongamos un muelle horizontal unido a una masa m. La fuerza que ejerce el muelle es
proporcional a su elongación y se puede poner como: f = −kx. Calculemos el trabajo que hace
el muelle para desplazar la masa entre dos puntos arbitrarios.
Z f
Z xf
k
~
Wif =
f .d~r = −
kx dx = − (x2f − x2i ).
2
i
xi
11
Tema 3. Trabajo, energı́a y conservación de la energı́a
Luego el trabajo efectuado en una trayectoria arbitraria no depende de las peculiaridades de la
trayectoria, sino simplemente de las posiciones inicial y final de la partı́cula. En conclusión, la
fuerza es conservativa.
k
Wif = −∆U −→ U = U0 + x2 .
2
Esta es la energı́a potencial asociada al muelle. U0 es un valor de referencia que suele tomarse
igual a cero. De este modo, la energı́a potencial del muelle en su posición de equilibrio (x = 0)
es nula.
6.
Análisis de curvas de energı́a potencial
Supongamos por sencillez un sistema unidimensional con una única coordenada x. Si sobre
el sistema actúa una fuerza conservativa, f , se verifica:
dU = −f~.d~r = −fx dx.
Por lo tanto, la fuerza es la derivada de U respecto a x:
fx = −
dU
.
dx
Dedicaremos esta sección a estudiar cómo el análisis de la función energı́a potencial de un sistema permite conocer su comportamiento dinámico. Es decir, considerando como dato conocido
de un cierto problema la función energı́a potencial, nos preguntaremos cómo es la dinámica del
sistema. Este tipo de planteamiento en Fı́sica es muy habitual, pues en muchas ocasiones es la
energı́a potencial de un sistema la magnitud más directamente calculable.
Como ejemplo de análisis de curvas de energı́a potencial, estudiaremos el comportamiento
dinámico de una masa conectada a un muelle horizontal, a través de su energı́a potencial, que
como vimos anteriormente vale: U = 21 kx2 . Esta función se representa en la figura adjunta.
U
U' < 0
U' > 0
fx
fx
x
U'= 0, f x = 0
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Tema 3. Trabajo, energı́a y conservación de la energı́a
Su derivada en cada punto, es decir, la pendiente de la recta tangente, representa la fuerza (con
signo opuesto) que actúa sobre la masa.
ã Para x < 0, la pendiente es negativa, luego la fuerza es positiva. Además la pendiente,
es mayor (en módulo) cuanto más alejados estamos del origen. Luego la fuerza aumenta
con la distancia a x = 0. En ese punto, U 0 = 0 y la partı́cula no experimenta fuerza ni
aceleración (lo cual no quiere decir que en ese punto esté en reposo).
ã Para x > 0
−→
U 0 > 0, con lo cual la fuerza es negativa. Si está situada la partı́cula
inicialmente en x = 0, y se la somete a una pequeña perturbación tratando de alejarla
de ese punto, el muelle reacciona con una fuerza que se opone a esa perturbación y
trata de retornar la partı́cula a x = 0. Se dice que este punto es de equilibrio estable.
Matemáticamente se caracteriza porque es un mı́nimo de la función U = U (x): U 0 = 0 y
U 00 > 0.
Consideremos ahora otro tipo de función U = U (x), con un máximo local, tal y como
muestra la figura.
U
U'= 0, f x = 0
U' > 0
U' < 0
fx
fx
x
Ahora si la partı́cula está inicialmente en el máximo de la función (x = 0 en este caso
sencillo) y se ve sometida a una pequeña perturbación, la fuerza que experimenta es tal que
tiende a alejarla definitivamente de ese punto. Se dice que la posición del máximo de U , es
un punto de equilibrio inestable. Puede haber también curvas de energı́a potencial con puntos
de equilibrio indiferente o neutro que son aquellos puntos de equilibrio, en que una pequeña
perturbación hace que la partı́cula pase a otro punto de equilibrio adyacente. Geométricamente
estas regiones son mesetas en U (x).
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Tema 3. Trabajo, energı́a y conservación de la energı́a
U
equilibrio inestable
equilibrio neutro
equilibrio estable
x
6.1 Ejemplo
La energı́a potencial de un par de átomos (denominado potencial de Lennard-Jones) de un gas
tiene la forma:
U (x) = 4ε
σ 12
x
−
σ 6 x
,
donde ε y σ son constantes que dependen de las peculiaridades de los átomos.
a) Obténganse los estados de equilibrio.
b) Dibújese la curva de energı́a potencial.
a)
dU
=0
dx
−→
−12σ 12 x−13 + 6σ 6 x−7 = 0 −→ 2σ 6 x−13 = x−7
=⇒
xe = 21/6 σ.
Sólo hay un punto de equilibrio y es fácil demostrar que es estable. Basta comprobar que
U 00 (xe ) > 0.
"
U (xe ) = 4ε
σ 12
−
22
σ 12
σ6
#
2σ 6
1 1
= 4ε
−
= −ε.
4 2
Ceros de la función:
U (x) = 0 −→
σ 12
x
=
σ 6
x
−→
x = σ.
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Tema 3. Trabajo, energı́a y conservación de la energı́a
150
U (x)
100
50
1/6
1/6
x=2
xe =2
4
5
σ
6
7
x
8
-50
-100
U(xe )= - ε
En el caso de sistemas tridimensionales se puede hacer un planteamiento semejante, pero
introduciendo un operador habitual en análisis diferencial en varias variables, que es el concepto
de gradiente2 .
dU = −f~.d~r
−→
−−→
f~ = −∇U .
6.2 Ejemplo
Calcúlese la fuerza asociada a la energı́a potencial dada por la función: U (x, y, z) = k x2 yz,
donde k es una constante.
−−→
f~ = −∇U
∂U
= −2kxyz
∂x
∂U
= −kx2 z
= −
∂y
∂U
= −
= −kx2 y
∂z
fx = −
fy
fz
=⇒
2
f~ = −k(2xyz~i + x2 z~j + x2 y~k).
Dada una función escalar, f = f (x, y, z), se define su gradiente en coordenadas cartesianas, como el vector
dado por:
−→ ∂f ~ ∂f ~ ∂f ~
∇f =
i+
j+
k.
∂x
∂y
∂z
15
Tema 3. Trabajo, energı́a y conservación de la energı́a
7.
Conservación de la energı́a
7.1.
Sistemas conservativos
Supongamos una fuerza conservativa actuando sobre una partı́cula. Según el teorema trabajoenergı́a, se verifica:
Z
W =
f
f~.d~r = ∆Ec .
i
Además, por ser la fuerza conservativa, existe una función energı́a potencial que satisface:
W = −∆U.
Igualando ambas ecuaciones:
W = ∆Ec = −∆U
−→
∆(Ec + U ) = 0
−→
Ec + U ≡ E = cte.
La suma de las energı́as cinética y potencial de la partı́cula recibe el nombre de energı́a mecánica.
Y la ecuación que acabamos de demostrar significa que si sobre una partı́cula sólo actúan fuerzas
conservativas, la energı́a mecánica total, E = Ec + U , permanece constante. De aquı́ el nombre
de fuerza conservativa.
U
E
Ec
U
-x r
xr
x
Es interesante dar una interpretación geométrica a este principio. Supongamos que una
fuerza conservativa con energı́a potencial, U , actúa sobre la partı́cula. Como la energı́a mecánica
es constante, se puede representar mediante una lı́nea horizontal de un gráfico que representa
las energı́as del sistema frente a su posición. En cualquier punto, U viene dada por la curva,
U = U (x), y la diferencia con E será la energı́a cinética de la partı́cula. Ası́ por ejemplo en un
estado de equilibrio, como el de la figura, la energı́a potencial es cero, y por tanto, E = Ec . En
16
Tema 3. Trabajo, energı́a y conservación de la energı́a
ese punto la velocidad de la partı́cula es máxima. Aquı́ se comprueba cómo en un estado de
equilibrio la partı́cula no tiene porqué estar en reposo. Su aceleración es nula (no hay fuerzas),
pero su velocidad no tiene porqué serlo. En los puntos de corte de E con U , Ec = 0. Se
denominan puntos de retorno y en ellos cambia el módulo de la velocidad de la partı́cula y la
energı́a potencial es máxima.
Conociendo la energı́a mecánica y potencial de una partı́cula, calcular su velocidad en
cualquier posición es sencillo a partir de esta expresión:
1 2
mv + U (x) = E
2
1/2
2
v=
(E − U (x))
.
m
−→
7.1 Ejemplo
Un esquiador inicialmente en reposo en lo alto de una pista (a una altura h respecto a la
horizontal) se dispone a iniciar un descenso. Calcúlese su velocidad en función de la altura.
v(y)
h
y
t=0
t
Si despreciamos el rozamiento, la única fuerza que actúa sobre él es la gravitatoria, que es
conservativa. Para calcular E podemos utilizar cualquier instante, por ejemplo, el inicial. En
este punto:
1
E = mv 2 + mgh = mgh
2
En otro punto cualquiera (cuando el esquiador está a una altura y respecto a la horizontal):
1
E = mv 2 + mgy = mgh
2
−→
v = [2g(h − y)]1/2 .
17
Tema 3. Trabajo, energı́a y conservación de la energı́a
7.2.
Sistemas no conservativos
Cuando sobre un sistema actúan fuerzas no conservativas, su energı́a mecánica total no
permanece constante. Supongamos una partı́cula sometida tanto a fuerzas conservativas como
no conservativas:
f~ = f~c + f~nc .
Como el teorema trabajo-energı́a es válido para cualquier tipo de fuerzas:
Z
Z
~
Wt = fc .d~r + f~nc .d~r = ∆Ec = Wc + Wnc .
Para la fuerza conservativa se puede definir una energı́a potencial de forma que Wc = −∆U .
Entonces:
∆Ec = −∆U + Wnc −→
Wnc = ∆Ec + ∆U = ∆E.
Esta expresión se denomina teorema generalizado trabajo-energı́a y significa que si sobre una
partı́cula actúan fuerzas no conservativas, la variación de su energı́a mecánica total es precisamente el trabajo que estas fuerzas ejercen sobre ella.
7.2 Ejemplo
Una niña de masa 17 kg comienza a deslizarse desde el reposo por un tobogán. La parte superior
está a 2 m de altura sobre el suelo. Si su velocidad final es de 4,2 m/s, ¿cuál es el trabajo
efectuado por las fuerzas de rozamiento?
Las fuerzas que actúan sobre la niña son: peso, rozamiento con el aire y el tobogán y fuerza
normal. Las de rozamiento no son conservativas y la normal no ejerce trabajo, luego el único
trabajo no conservativo es el asociado a las fuerzas de rozamiento:
Wnc = ∆E = ∆Ec + ∆U

∆E
0
c
>= E = 1 mv 2
= Ecf − Eci
cf
f
2
0
∆U
=⇒
7.3.
= U
f − Ui = −mgh
1
Wnc = Ecf − Ui = mvf2 − mgh = −180 J.
2
Principio de conservación de la energı́a
Macroscópicamente las fuerzas no conservativas siempre están presentes. Las más familiares
son las de rozamiento, pero existen otras (como las magnéticas). Por ejemplo, al empujar una
Tema 3. Trabajo, energı́a y conservación de la energı́a
18
caja sobre una superficie rugosa, podemos interpretar que la variación de energı́a mecánica de
la caja es igual al trabajo que hacemos para vencer el rozamiento. Pero la experiencia dice
que en el proceso, la superficie de contacto se calienta. Otra forma de interpretar este hecho es
diciendo que la energı́a mecánica que se pierde se transforma en otro tipo de energı́a, la térmica.
Este tipo de ideas surgió en el s. XIX, con el desarrollo de la Termodinámica. Hoy en dı́a se
admite que la energı́a ni se crea ni se destruye, simplemente se transforma. En Mecánica, sólo
se manejan habitualmente las energı́as cinética, potencial y mecánica, pero si se incluyen otras
energı́as que provienen de otras ramas de la Fı́sica, la energı́a total siempre es constante. Otros
tipos de energı́a son la interna (asociada a la estructura interna de un cuerpo), la quı́mica (que
se pone en juego al producirse reacciones quı́micas), la eléctrica, la magnética, etc. La ley de
conservación de la energı́a no tiene demostración matemática, es un Principio y se admite como
tal. Se justifica diciendo que no se ha observado nunca ninguna situación fı́sica en que no se
satisfaga.
19
Tema 3. Trabajo, energı́a y conservación de la energı́a
8.
Problemas
1. Un cajón de 48 kg es arrastrado 8 m por una rampa hacia arriba mediante una cuerda
de tensión T = 540 N. Si el ángulo que forma la rampa con la horizontal es de 30o y el
coeficiente de fricción cinético es µc = 0,4, determina el trabajo realizado por cada una
de las fuerzas que actúan sobre el cajón.
(Respuestas: WT = 4,3 kJ; Wg = −1,9 kJ; WN = 0; Wr = −1,3 kJ)
2. Un trineo comienza a deslizarse desde el reposo en la cima de una colina siguiendo un
camino cubierto de nieve y con el perfil de la figura. El tramo f q es circular con radio R.
Despreciando cualquier tipo de rozamiento:
a) Determina el módulo de la velocidad del trineo en f .
b) ¿Cuál es la fuerza normal ejercida por la superficie en ese punto?
c) ¿Cuánto valen el módulo de la velocidad y la fuerza normal en el punto q?
(Respuestas: a) vf = (4gR)1/2 ; b) N = 5mg; c) vq = (2gR)1/2 m/s; N = 2mg)
i
2R
R
q
R
f
3. Considérese un automóvil de masa m que se acelera hacia arriba por una pendiente que
forma un ángulo θ con la horizontal. Supóngase que la magnitud de la fuerza de rozamiento
que se opone a su movimiento está dada por:
fa = 218 + 0,7 v 2
(N)
Calcúlese la potencia que debe suministrar el motor. En particular, considérese el caso,
m = 1450 kg, v = 97,2 km/h, a = 1 m/s2 y θ = 10o .
(Respuestas: P = mav + mvg sen θ + 218 v + 0,7 v 3 = 52,0 + 89,0 + 7, 9 + 18,0 = 167,0
CV)
Tema 3. Trabajo, energı́a y conservación de la energı́a
20
4. Un péndulo formado por una cuerda de longitud L y una partı́cula de masa m forma
inicialmente un ángulo θ0 con la vertical. Determina la velocidad de la partı́cula y la tensión de la cuerda en el punto más bajo de la trayectoria cuando se deja oscilar libremente
desde el reposo.
(Respuestas: v = [2gL(1 − cos θ0 )]1/2 ;
T = mg(3 − 2 cos θ0 ))
5. Un muelle de constante k está colgado verticalmente. Se ata a su extremo libre una masa
m y se deja el sistema libre desde el reposo. Determina la máxima distancia que cae el
bloque.
(Respuestas: ym =
2mg
)
k
6. Determina para una máquina de Atwood de masas m1 y m2 la velocidad de los bloques
cuando el más pesado desciende una altura h.
m2 − m1
(Respuestas: v 2 = 2
gh)
m1 + m2
7. Una partı́cula está sometida a una fuerza f~ = 6xy ~i + 3(x2 − y 2 ) ~j (N). Calcula el trabajo
realizado por esta fuerza para desplazar la partı́cula del punto O = (0, 0) al A = (1, 1)
(coordenadas en metros), a lo largo de cada uno de estos caminos:
1) De O a B = (1, 0) por una recta horizontal y de B a A por una recta vertical.
2) De O a A a lo largo de la recta y = x.
3) De O a A a lo largo de la parábola y = x2 .
(Respuestas: W = 2 J en los tres caminos.)
8. La figura muestra un sistema bidimensional formado por dos muelles de constantes k1 y
k2 . Determina las componentes de la fuerza total experimentada por el cuerpo conectado
en el extremo de coordenadas (x, y).
(Respuestas: f~ = −[k1 x + k2 (x − c)]~i − y(k1 + k2 )~j)
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Tema 3. Trabajo, energı́a y conservación de la energı́a
y
(x,y)
k1
k2
(0,0)
(c,0)
x
9. Una partı́cula está sometida a una fuerza f~ = xy ~i (N). Calcula el trabajo realizado por
esa fuerza para desplazar la partı́cula del punto A : (0, 3) al B : (3, 0) a lo largo de los
siguientes caminos:
1) A lo largo de la recta que une A y B.
2) A lo largo del arco de circunferencia con centro en el origen de coordenadas y extremos
A y B.
(Respuestas: a) W = 4,5 J; b) W = 9 J)
10. Un muelle de constante elástica k y masa despreciable está apoyado sobre una superficie
horizontal y mantiene su eje vertical. Sobre su extremo libre se apoya una masa m y se
comprime el muelle una longitud d, en cuyo momento se suelta. Calcula:
a) La altura máxima que alcanza la masa.
b) ¿A qué altura tendrá la masa su velocidad máxima?
c) ¿Qué valor tiene la velocidad máxima?
(Respuestas: a) ym =
kd2
;
2mg
ymax =
d mg
−
)
2
2k
11. Sobre una partı́cula actúa una fuerza F~ = (2y 2 , 3x2 , 0) N. Hállese el trabajo realizado por
dicha fuerza para ir de A a B. Primero por el camino AB de la porción de la parábola
x2
y = . Segundo, a lo largo de la trayectoria AC-CB. Repı́tase el cálculo si la fuerza es:
3
F~ = (2x2 , 3y 2 , 0) N.
(Respuestas: 1) W = 51,3 J;
2) W = 54,0 J; 3) W = 45,0 J;
4) W = 45,0 J)
Tema 3. Trabajo, energı́a y conservación de la energı́a
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12. La función energı́a potencial de una partı́cula de masa 4 kg en un campo de fuerzas viene
descrita por: Ep = 3x2 − x3 para x ≤ 3 y Ep = 0 para x ≥ 3 en donde Ep se expresa
en julios y x en metros. a) ¿Para que valores de x la fuerza Fx es cero? b)Hágase un
esquema de Ep en función de x. c) Discute la estabilidad del equilibrio para los valores
de x obtenidos en a). d) Si la energı́a total de la partı́cula es 12 J ¿cuál es su velocidad
en x = 2 m?
(Respuestas: a) x = 0;
x = 2 m; x ≥ 3 m; d) v = 2 m/s)
13. Considérese el sistema de la figura, en el que m = 4 kg y M = 16 kg. Por acción de la
fuerza F , los bloques deslizan sin rozamiento, encontrándose que el desplazamiento del
bloque mayor viene dado por x = 2t3 (x en m, t en s). Calcúlese: a) La aceleración del
cuerpo pequeño a los 5 s. b) Las tensiones de las cuerdas en el mismo instante. c) El valor
de F a los 2 s. d) El trabajo desarrollado por la fuerza F a los 2 s. e) El incremento de
energı́a cinética de m a los 2 s y comprobar el teorema del trabajo y la energı́a. (Ayuda:
Cuando m se desplaza una distancia x1 , la masa M se desplaza el doble x2 = 2x1 .)
(Respuestas: a) a = 30 m/s2 ;
W = 4896 J; ∆Ec = 288 J)
b) T1 = 1920 N; T2 = 960 N; c) F = 816 N; d)
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Tema 3. Trabajo, energı́a y conservación de la energı́a
14. Una partı́cula, partiendo del reposo, se suelta en la parte superior de un cilindro circular
de radio 3 m, como se muestra en la figura. a) Calcula el punto P donde la partı́cula
abandona el cilindro. b) Calcula la distancia desde el centro O del cilindro hasta el punto
en que la partı́cula toca el suelo.
(Respuestas: a) φ = 41,8o ;
b) d = 3,39 m)
15. Una partı́cula de masa 0, 5 kg parte del reposo, y después de efectuar un rizo de radio 2 m
como indica la figura, comprime un resorte de constante elástica 400 N/m. Si la superficie
BD presenta un rozamiento de coeficiente 0, 15, la velocidad en el instante en que la
partı́cula empieza a comprimir el resorte es la mitad que tiene la partı́cula en el punto
P y la reacción del rail sobre la partı́cula en el punto P es nula. Calcula: a) La altura
desde donde parte la partı́cula. b) La velocidad en el punto P . c) El espacio máximo (en
mm) que se comprime el resorte. d) El espacio horizontal recorrido por la partı́cula hasta
pararse.
(Respuestas: a) h = 5 m;
b) vP = 4,43 m/s; c) x = 76,45 mm;
s = 31,74 m)
Tema 3. Trabajo, energı́a y conservación de la energı́a
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16. Un bloque de 10 kg está unido a un resorte A y se conecta a un resorte B mediante una
cuerda y una polea. El bloque se mantiene en la posición que indica la figura, con ambos
resortes sin deformar, cuando se elimina el soporte C y se suelta el bloque sin ninguna
velocidad inicial. Si la constante de cada resorte es de 2 kN/m, determine la velocidad
del bloque después de que se ha movido hacia abajo 50 mm.
(Respuestas: v = 0,60 m/s)
Índice alfabético
Caballo de vapor
Lennard-Jones
potencial, 13
unidad de potencia, 7
Conservación
de la energı́a, 15
Muelle
horizontal, 4
Conservativa
fuerza, 9
Diferencial inexacta, 7
Energı́a
Potencia, 7
Potencial
Lennard-Jones, 13
Principio
cinética, 8
mecánica, 15
potencial, 9
Equilibrio
de conservación de la energı́a, 17
Punto de retorno, 16
Teorema
generalizado trabajo-energı́a, 17
estable, 12
indiferente, 12
inestable, 12
trabajo-energı́a, 8
Trabajo
expresión general, 5
neutro, 12
infinitesimal, 3
Ergio
neto, 7
unidad de energı́a, 3
Fuerza
Watio
unidad de potencia, 7
conservativa, 9, 15
constante, 10
no conservativa, 17
Gradiente, 14
Integral
de lı́nea, 5
Julio
unidad de energı́a, 3
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