Ecuaciones de Maxwell y campos electromagnéticos

Interacciones electromagnéticas1
I.H.Hutchinson
1
I.H.Hutchinson 1999
Capítulo 1
Ecuaciones de Maxwell y campos
electromagnéticos
1.1 Introducción
1.1.1 Ecuaciones de Maxwell (1865)
Ecuaciones de gobierno de electromagnetismo:
E
B
campo eléctrico, describe la fuerza que experimenta una carga (estacionaria) q: F = qE
campo magnético, describe la fuerza que experimenta una corriente
es decir, una carga en movimiento (velocidad v): F = qv ΛB
Por consiguiente, la fuerza de Lorentz (sobre la carga q) es:
ρ
densidad de carga eléctrica (culombios/m3). Carga total Q = ∫V ρ d 3 x
j
densidad de corriente eléctrica (culombios/s/m2)
La corriente que cruza el elemento de superficie dA es j. dA culombio/s = Amperios.
1.1.2 Nota histórica
Durante la segunda mitad del siglo XIX, mucha de la controversia científica atañía a la cuestión de si
E, B eran cantidades físicas “reales” de la ciencia o si, por el contrario, eran simples conveniencias
matemáticas para expresar las fuerzas que ejercían unas cargas sobre otras. La ciencia inglesa
(Faraday, Maxwell) hizo hincapié en los campos y los alemanes, en su mayor parte, en actuar a una
distancia. Aproximadamente, desde 1900, esta cuestión se ha considerado resuelta a favor de los
campos. La física moderna, si cabe, tiende a considerar que el campo es más fundamental que la
práctica.
Figura 1.1. La densidad de carga es la carga local por unidad de volumen. La densidad de corriente es
la corriente por unidad de superficie.
1.1.3 Campos auxiliares y medios electromagnéticos
A menudo, los textos electromagnéticos tratan dos campos “auxiliares” adicionales: D, el
“desplazamiento eléctrico” y H, la “intensidad magnética”, que representan las propiedades
dieléctricas y magnéticas de los materiales. Estos campos no son fundamentales e introducen
complicaciones innecesarias y posibles confusiones en la mayoría de los tópicos que tratamos, por lo
que, trataremos de evitarlos en la medida de lo posible.
Para el vacío, 0E = D y B = µ0H.
1.1.4 Unidades
Históricamente, existen dos o más sistemas diferentes de unidades: uno define la cantidad de carga en
cuanto a la fuerza que experimentan dos cargas estacionarias (las unidades “electrostáticas”) y otro
define la cantidad de carga en términos de las fuerzas que se dan entre corrientes (sin carga) (el
sistema “electromagnético”). Las unidades electrostáticas se basan en la ley de Coulomb ∇.E = ρ / 0 y
las unidades electromagnéticas en la (versión de estado estacionario de la) ley de Ampere ∇ Λ B = µ0j.
Por lo tanto, las cantidades 1/ 0 y µ0 son, principalmente, factores de calibración que determinan el
tamaño de la carga unitaria. La selección de cualquiera de ellas para que sea 4π equivale a elegir
unidades electrostáticas o electromagnéticas. Sin embargo, con la unificación del electromagnetismo y
la subsiguiente comprensión de que la velocidad de la luz es una constante fundamental, se hizo
patente que las unidades de electromagnetismo debían definirse únicamente en cuanto a una de estas
leyes y a la velocidad de la luz. Por lo tanto, las unidades del “Sistema Internacional” SI (en ocasiones
denominado MKSA) adoptan la definición electromagnética, puesto que se pueden medir de forma
más sencilla, pero con un valor µ0 diferente, tal y como se indica a continuación. “Un amperio es
aquella corriente que, cuando fluye por dos cables paralelos infinitesimales separados por una
distancia de 1m, produce una fuerza de 2 × 10– 7 neutonios por metro de su longitud”. Un amperio
equivale a un culombio por segundo, con lo cual queda definida la unidad de carga. Más adelante,
mostraremos que esta definición viene a determinar que:
debido a que la proporción de unidades electromagnéticas con unidades electrostáticas es c2.
µ0 se denomina la “permeabilidad del espacio libre”. 0 se denomina la “permitividad del espacio
libre”. [Para más información véase el apéndice de J.D. Jackson, 3ª Ed.].
1.2 Cálculo vectorial y notación
Las cantidades electromagnéticas incluyen los campos vectoriales E, B, etc., de manera que el
electromagnetismo utiliza, en gran medida, el cálculo vectorial. ∇ es la taquigrafía para un operador
vectorial (gradiente):
dado un gradiente vectorial de un campo escalar o/ . ∇ puede operar también sobre campos vectoriales
por medio de la multiplicación escalar (.) o vectorial (Λ).
1.2.1 Divergencia
1.2.2 Bucle
1.2.3 Integración de volumen
d3x es la taquigrafía para dxdydz = dV , el elemento de volumen.
Figura 1.2. Elementos para las integrales de superficie y de línea.
1.2.4 Integración de superficie
El elemento de superficie dA o, a menudo, dS es una normal vectorial para el elemento.
1.2.5 Integración lineal (de contorno)
Elemento lineal dl.
1.2.6 El significado de la divergencia: ∇.
Figura 1.3. Elemento de volumen cartesiano.
Considere un elemento de volumen. Evalúe el flujo total de un campo vectorial v a través de la
superficie del elemento. Éste corresponde a la suma v.dA sobre las seis caras del cuboide.
Por lo tanto, para este volumen elemental:
Figura 1.4. Las caras adyacentes se anulan en la suma de la divergencia procedente de muchos
elementos.
No obstante, se puede considerar cualquier volumen finito arbitrario como la suma de muchos
elementos cuboidales pequeños. La contribución de la cara interna adyacente se anula, de ahí que
solamente permanezcan las contribuciones de la cara externa. Por lo tanto:
para cualquier volumen V de superficie S y campo vectorial arbitrario v. Este es el Teorema de Gauss.
1.2.7 El significado de bucle: ∇Λ
Figura 1.5. Elemento de superficie rectangular con ejes seleccionados de tal forma que la normal se
encuentra en la dirección z.
Considere un elemento arbitrario de superficie rectangular. Seleccione ejes de forma que la normal se
encuentre en la dirección z y que los bordes se ubiquen a lo largo de x e y. Campo vectorial arbitrario
v(x). Evalúe la integral de contorno de v, alrededor de dC en el sentido de las agujas del reloj,
alrededor del límite del elemento.
Por consiguiente, la integral v.dl alrededor del elemento es igual al elemento del área del producto
escalar del bucle. Aplicar a la superficie arbitraria; dividir la superficie en muchos elementos dA.
Todas las integrales del borde interno quedan canceladas. Por lo tanto,
Este es el Teorema de Stokes.
1.3 Electrostática y Teorema de Gauss
El teorema de Gauss es la clave para comprender la electrostática en cuanto a la ley de Coulomb ∇.E
= ρ / 0.
Figura 1.6. La superficie arbitraria puede dividirse en la suma de muchos elementos rectangulares. Las
contribuciones de las integrales del borde se anulan.
1.3.1 Carga puntual q
Aplique el teorema de Gauss a una esfera que rodee a q
Figura 1.7. Volumen esférico V sobre el que representamos una integral de la ley de Coulomb para
deducir E.
No obstante, por simetría esférica, E debe ubicarse en dirección radial y Er tiene una magnitud
2
constante sobre la esfera. De ahí que ∫ S E.dA = ∫ S Er dA = Er ∫ S dA = Er 4π r . Por consiguiente:
Por tanto, la fuerza sobre una segunda carga a la distancia r es:
Ley del cuadrado inverso de la fuerza electrostática.
1.3.2 Carga esféricamente simétrica ρ(r)
Observe que la derivación de carga puntual únicamente dependía de la simetría. De ahí que el
argumento sea el mismo para una densidad de carga distribuida que sea simétrica, es decir:
El campo eléctrico debido a una densidad de carga esféricamente simétrica es igual al de una carga
puntual con la misma magnitud que la carga total dentro del radio, ubicada en el centro esférico.
1.3.3 Distribución de carga arbitraria
En el caso de que no exista ninguna simetría específica, seguirá siendo aplicable el teorema de Gauss:
Figura 1.8. Volumen arbitrario para el teorema de Gauss.
q es la carga total (integral de la densidad de carga) sobre el volumen. ∫ S E.dA es el flujo total del
campo eléctrico a través de la superficie S.
1.3.4 Representación intuitiva
Cada carga (+ve) corresponde al punto de origen de una línea de campo eléctrico. [Cada carga –ve
tiene la misma terminación]. La carga total en el volumen V determina el número de líneas de campo
que comienzan en V. Las líneas de campo únicamente comienzan o terminan en cargas (ley de
Coulomb), por lo que todas deben escaparse del volumen, atravesando la superficie S (en algún lugar).
[Las líneas de campo que comienzan y terminan en V no interviene en ∫ E.dA ni en q, debido a la
cancelación]. ∫ S E.dA se puede considerar como el cálculo del “número de líneas de campo” que
atraviesan la superficie. [Por supuesto, el tamaño que consideramos que posee la carga es una elección
arbitraria que da lugar a una línea de campo]. Visión intuitiva de la “intensidad” del campo eléctrico:
la fuerza de E es proporcional al número de líneas de campo por unidad de superficie. Todas estas
visiones intuitivas son útiles como concepto, pero no son formalmente necesarias. Se considera que el
electromagnetismo queda completamente descrito en las ecuaciones de Maxwell sin necesidad de
utilizar estas representaciones.
Figura 1.9. Representación intuitiva de cargas y líneas de campo.
Líneas de campo e intensidad de campo.
∂
→ 0)
∂t
En la ecuación estática no existe inducción y la ley de Faraday se transforma en: ∇ Λ E = 0. A
propósito, esta ecuación podría derivarse también de la ley del cuadrado inverso, observando que:
1.3.5 Potencial eléctrico (para problemas estáticos
por lo que mediante la linealidad del operador ∇Λ, la (integral de la) suma de todas las contribuciones
del campo eléctrico de cualquier distribución de carga es irrotacional y sin bucle:
[Esto demuestra que el argumento de simetría esférica que funciona únicamente en ausencia de
definiría una dirección preferente; asimétrica]. Para cualquier campo vectorial E, ∇ Λ E
inducción B
= 0 es una condición necesaria y suficiente que E se pueda escribir como el gradiente de un escalar E
= −∇o/ .
Necesario
Figura 1.11. Cada elemento aporta un componente irrotacional a E. Por lo tanto, la E total es
irrotacional.
El bucle de un gradiente es cero.
Suficiente (prueba mediante construcción)
Figura 1.12. Dos trayectorias diferentes de 0 a x componen un contorno cerrado cuando se invierte una
de ellas.
Aplique el teorema de Stokes a un contorno cerrado que conste de dos trayectorias cualesquiera entre
los puntos 0 y x.
Por consiguiente, ∇ Λ Ε = 0 ⇒ ∫ ox E.dl es independiente de la trayectoria elegida, es decir, define una
cantidad única 1 . Denomínela −o/ ( x) . Considere ∇o/ la definición del límite δ o/ entre puntos
adyacentes.
Muchos de los problemas electrostáticos se resuelven de forma más sencilla en cuanto al potencial
eléctrico o/ , dado que es un escalar (por lo tanto, más sencillo). Ecuación de gobierno:
1.3.6 Potencial de una carga puntual [solución de potencial general]
Se puede demostrar por diferenciación directa que:
Por lo que, mediante nuestra expresión anterior, E =
q
r
, podemos identificar:
4πε 0 r r 3
3
como el potencial de una carga q (en el origen x = 0).
__________________________________________________________________________________
1
El potencial siempre puede modificarse añadiendo una constante, sin modificar E. Esta libertad puede considerarse como
el equivalente a seleccionar el origen en el que o/ = 0.
1.3.7 Función de Green para la laplaciana
Para un operador lineal diferencial, , los matemáticos definen algo llamado “la función de Green” de
forma simbólica mediante la ecuación:
Si podemos resolver esta ecuación en general, las soluciones de:
se pueden construir para ρ arbitrario de la siguiente forma:
dada la propiedad (definida) de la función δ :
Cuando
es la laplaciana, ∇2, la función de Green es:
Este hecho puede derivarse directamente de la solución para el potencial para una carga puntual. De
hecho, una carga puntual es exactamente la situación de la función delta cuya solución es la función de
Green. En otras palabras, la densidad de carga para una carga puntual de magnitud q en la posición x´
es:
por lo que el potencial de la carga puntual, concretamente:
es la solución de la ecuación:
Por consiguiente, la solución de la ecuación de Poisson se puede escribir como la integral de la
función de Green:
De manera informal, la distribución de carga regular ρ se puede aproximar como la suma ( → ∫ ) de
muchas cargas puntuales ρ (x´) d3 x´, y el potencial sería la suma de sus contribuciones.
1.3.8 Condiciones de contorno
Estrictamente hablando, nuestra solución de la ecuación de Poisson no es única. Siempre podemos
añadir a o/ una solución de la ecuación homogénea (de Laplace) ∇2 o/ = 0. La solución solamente es
única cuando se especifican las condiciones de contorno. La solución:
es correcta cuando las condiciones de contorno son tales que:
no se aplica campo externo alguno.
En la práctica, la mayoría de los cálculos electrostáticos interesantes suponen contornos específicos.
Gran parte del trabajo se basa en resolver la ecuación de Laplace con las condiciones de contorno
adecuadas. Éstas son a menudo la especificación de o/ sobre superficies (conductoras). La densidad de
carga sobre los conductores no se especifica casi nunca al principio.
1.3.9 Condensador de placa paralela
Idealice como unidimensional ignorando los efectos del límite. La ecuación unidimensional de
Laplace en el espacio de vacío (donde ρ = 0) es:
Figura 1.13. El condensador de placa paralela.
Solución o/ = a – Ez
a, E const.
Por lo tanto, el campo eléctrico es E = E ẑ .
d
d

Observe como esto surge simplemente de la invarianza traslacional de o/  = = 0 
 dx dy

Seleccione z = 0 como una de las placas del condensador y la otra en z = d.
Seleccione o/ (z = 0) = 0: potencial de referencia, haciendo que a = 0.
Potencial de otra placa: V = o/ (d) = –Ed.
La pregunta es: ¿qué cantidad de carga por unidad de superficie existe en las placas cuando el campo
es E?
Responda teniendo en cuenta un volumen elemental plano con un área A rodeando la placa +ve.
Figura 1.14. Volumen elemental para el cálculo de la relación carga / campo.
Aplique la ley de Gauss:
Por lo tanto:
Por consiguiente, si el área total es A, la carga total Q y la tensión V entre las placas están relacionadas
mediante:
El coeficiente
•
•
ε0 A
d
se denomina capacitancia, C. Fíjese en nuestro enfoque:
Resuelva la ecuación de Laplace seleccionando coordenadas consistentes con la simetría del
problema.
Obtenga una carga utilizando la ley de Gauss a un volumen de prueba adecuado.
1.3.10 Carga sobre un conductor arbitrario
Considere un conductor, cargado electrostáticamente. La corriente es cero.
Figura 1.15. El conductor de forma arbitraria solamente posee cargas de superficie relacionadas con el
campo de la normal local.
Por lo tanto, E es igual a cero en cualquier lugar del interior debido a la conductividad.
Seleccione cualquier volumen internamente: E = 0 ⇒ ∇.E = 0 ⇒ ρ = 0 . No existe carga interna. Todo
reside en la superficie. En ella existe una E justo fuera. E es perpendicular a la superficie ds, dado que
ésta es un equipotencial (& E = – ∇ o/ ). Por lo tanto, se aplica la ley de Gauss a una caja de píldoras:
donde σ = densidad de carga de superficie. Por lo tanto, σ = 0E. Por supuesto, en este caso general E
(= Enormal) no es uniforme en la superficie, pero varía de un lugar a otro. De nuevo, el procedimiento
sería: resolver o/ externamente a partir de ∇2 o/ = 0 y, a continuación, deducir σ; en lugar de hacerlo a
la inversa.
1.3.11 Visualización del potencial y los campo eléctricos
Considere un diagrama de contorno (bidimensional) de o/ . El valor de o/ puede considerarse como la
energía potencial de una carga de 1 culombio. De este modo, existe una analogía perfecta con la
energía gravitacional potencial y los contornos de altura. La fuerza en cualquier punto de la colina
tiene dirección descendente (en una carga +ve), que es perpendicular a los contornos de la constante
o/ . La resistencia de la fuerza (E) es proporcional a la pendiente de la colina: es decir, a la cercanía de
los contornos (de o/ ). Cuando se trazan líneas de campo, es decir líneas que siguen la dirección del
campo eléctrico, generalmente consideramos también que la intensidad del campo eléctrico es el
número de líneas de campo por unidad de superficie. Por lo tanto, la cercanía de las líneas de campo
también indica la resistencia de campo. En las regiones sin carga, ∇.E = 0 implica que las líneas de
campo no tiene ni principio ni fin. Sin embargo, si ρ ≠ 0 , las líneas de campo eléctrico posiblemente
tendrán límite (en las cargas). Los contornos potenciales nunca tienen límites.
Figura 1.16. Contornos de líneas de campo (marcadas con flechas) potenciales y correspondientes.
Solamente se dibujan las líneas de campo que proceden del conductor elíptico mayor.
1.3.12 Representación potencial compleja bidimensional
En la región sin carga, ∇.E = 0 ⇒ ∇2 o/ = 0. Esto produce que haya una relación estrecha entre las
líneas de campo y los contornos o/ . En una perspectiva bidimensional, esta relación permite la
utilización de una análisis complejo para realizar a su vez un profundo análisis de los problemas
potenciales. Considere una función compleja f ( z ) = o/ ( z ) + iυ/ ( z ) , donde z = x + iy corresponde al
argumento complejo con partes reales e imaginarias x & y, y donde f posee partes reales e imaginarias
o/ & υ/ . f es “analítico” si existe un derivado complejo bien determinado
df
dz
(que también es analítico),
 f ( z ′) − f ( z ) 
definido de la forma habitual como lim z′→ z 
 . Para que este límite sea el mismo, sin
z′ − z


importar la dirección en la que se tome (x, y), f debe cumplir las “relaciones de Cauchy-Riemann”:
que, mediante sustitución, suponen que ∇ 2 o/ = 0, ∇ 2υ/ = 0 , y, a su vez:
considerando x, y como coordenadas bidimensionales. Esto demuestra que:
1. La parte real de una función analítica resuelve que ∇ 2υ/ = 0 .
2. Los contornos de la parte imaginaria correspondiente, υ/ , coinciden con las líneas de campo
eléctrico.
Una de las técnicas de solución analítica más poderosa es hallar representaciones complejas de
problemas potenciales. Sin embargo, ahora predominan técnicas de solución numérica para los
cálculos prácticos.
1.4 Corriente eléctrica en medios distribuidos
La ley de Ohm, V = IR, relaciona la corriente de tensión con la resistencia para un circuito o un
elemento discreto. Sin embargo, a menudo nos preocupamos no sólo por la corriente total si no
también por la densidad de corriente en los conductores de tamaño finito (por ejemplo, los
electroimanes). Esto requiere una ley local de Ohm que es:
donde η es la resistividad eléctrica del medio. A menudo, se utiliza la conductividad σ = 1η . j = σE,
(pero trataré de evitar confusiones con la densidad de carga de superficie σ). Dicha relación es
aplicable a la mayoría de los metales.
1.4.1 Conducción de estado estacionario
La conservación de la carga se puede escribir de la siguiente forma:
por lo que, en estado estacionario, ∇.j = 0, es decir:
Si la conductividad es uniforme (∇
1
η
= 0) o invariable a lo largo de E, tenemos, por lo tanto, que ∇.E
= 0 ⇒ ρ = 0. “Los conductores de conductividad uniforme obtienen una densidad de volumen de
carga en estado estacionario”.
1.4.2 Condiciones de contorno de los conductores (corrientes estacionarias)
Figura 1.17. Conductor distribuido de conductividad finita que porta una corriente.
Si las corrientes fluyen, de forma que E ≠ 0 en el conductor, entonces los conductores no son
superficies equipotenciales para las soluciones del exterior de la ecuación de Laplace. Las cargas de
superficie (solamente) están presentes en el conductor (η uniforme). No fluye ninguna corriente a
través de la superficie del conductor (excepto en los contactos), de forma que:
dentro del conductor, mientras que fuera tenemos:
una densidad de carga de superficie. Componentes normales:
Figura 1.18. Condiciones de contorno a través de la interfaz del conductor / vacío (o aislante).
Componentes tangenciales:
En concreto, para resolver ∇ 2 o/ = 0 dentro de un conductor uniforme η, en el límite del conductor:
a diferencia de las condiciones de contorno habituales de la electrostática o/ = dada . En contactos
eléctricos el valor dado de o/ debe ser el adecuado. Un enfoque general para resolver un problema de
corriente estacionaria distribuida con media uniforme η es el siguiente:
1. Resuelva la ecuación de Laplace ∇ 2 o/ = 0 dentro de los conductores utilizando las condiciones
de contorno de Dirichlet ( o/ dada) o posiblemente las no homogéneas de Neumann
( ∇ o/ n = dada ) en los contactos y ∇o/ . n = 0 en los contornos aislantes.
2. Resuelva la ecuación de Laplace ∇ 2 o/ = 0 fuera de los conductores utilizando la condición de
contorno o/ = dada (Dirichlet) con el valor de o/ obtenido de la solución interna.
1.5 Potencial magnético
El campo magnético posee una divergencia cero ∇ .B = 0. Para cualquier campo vectorial 2 B, ∇ .B = 0
es una condición necesaria y suficiente que B se pueda escribir como el bucle de un potencial vectorial
B = ∇ Λ A.
1.5.1 ∇ .B = 0 Necesario
Por lo tanto, sólo pueden representarse campos sin divergencia.
________________________________________________________________________________
2
satisfaciendo |B| → 0 como |x| → = ∞ lo suficientemente rápido.
1.5.2 ∇.B = 0 Suficiente (prueba de contorno mediante construcción)
Considere la cantidad:
como un vector construido a partir de la integral de cada componente cartesiano de B. Si aplicamos
nuestros conocimientos de la solución de la función de Green de la ecuación de Poisson, sabemos que:
Teorema del operador vectorial (para cualquier v):
Por lo tanto,
Hemos probado el teorema de Helmholtz en el que cualquier campo vectorial se puede representar
como la suma de grad. + bucle]. Cuando ∇.B = 0 y |B| → 0 (lo suficientemente rápido) como |x| →
∞ , se puede demostrar que ∇.K = 0 y, por tanto, hemos construido el potencial vectorial necesario:
Observe que hemos construido A de tal forma que ∇.A = 0. Sin embargo, A no queda determinado a
partir de B dado que podemos añadirle el gradiente de un escalar arbitrario sin modificar B, ya que
∇Λ∇χ = 0 . Por lo tanto, en realidad podemos hacer que ∇.A sea igual a cualquier cantidad deseada
υ/ (x) añadiendo a A ∇χ de tal forma que ∇2 χ = υ/ . La selección de ∇.A se conoce como la selección
de un “gauge”, ∇.A = 0 es el “gauge de Coulomb”.
1.5.3 Solución general del potencial vectorial (magnetostático)
Ley de Ampere estática ∇ Λ B = µ0j. Ahora,
Por lo tanto, los componentes cartesianos de A son soluciones de la ecuación de Poisson:
Mediante nuestra solución general de la ecuación de Poisson (véase ec. 1.37):
El resultado, B:
Esta es la versión de la corriente distribuida de la ley de Biot y Savart (que data aproximadamente de
1820). Para un cable portador de una corriente I, se sustituye la integral sobre el volumen j por la
integral I dl, es decir:
La ley de Biot-Savart nos proporciona un medio directo para calcular B mediante la integración sobre
j(x´), de forma numérica si es necesario. Sin embargo, este método de integración de fuerza bruta es
excesivamente intenso desde el punto de vista computacional y, en el caso de que se den simetrías en
el problema, podemos utilizarlas para simplificar.
1.5.4 Simetría traslacional cartesiana (x, y bidimensional)
Figura 1.19. (a) las coordenadas respecto a un filamento recto infinito que porta una corriente I, y (b)
el contorno y la superficie para su uso con la ley de Ampere.
Si tenemos en cuenta una situación en la que ∂ ∂z = 0 , que corresponde a corrientes para las rectas
infinitas en la dirección z, j = j(x, y) ẑ , nuestra solución general de potencial vectorial nos muestra
inmediatamente que A = A ẑ , Ax = Ay = 0. (Suponiendo que A, B → 0 en ∞ , es decir, no existen
fuentes “externas”). Ese hecho nos indica que Bz = (∇ Λ A)z = 0. Podemos considerar que el bloque de
construcción elemental de este problema es el filamento infinitesimal sencillo. Formalmente,
j = I δ ( x)δ ( y ) . Se podría calcular B(x) integrando sobre este filamento, pero resulta mucho más fácil
utilizar directamente la ley de Ampere:
Por simetría
v∫
C
B.dl = 2π rBθ
Por consiguiente:
Además, Br = 0 aplicando el teorema de Gauss a un volumen (de unidad de longitud en la dirección z):
por simetría.
Por lo tanto, las ecuaciones de Maxwell nos muestran inmediatamente la función de Green
bidimensional resolviendo ∇ Λ B = µ0 Izˆ δ (x − x′) :
Cualquier j(x, y) general se puede tratar mediante integración bidimensional utilizando esta función.
1.5.5 Simetría cilíndrica (bucles circulares con eje común)
Si existen coordenadas cilíndricas (r, θ, z) tales que ∂ ∂θ = 0 , j = j θˆ ., entonces por simetría A =
A θˆ, B = 0 . Esta situación resulta ser soluble analíticamente, pero únicamente en términos de las
θ
θ
funciones especiales conocidas como integrales elípticas. Si:
Figura 1.20. Coordenadas cilíndricas próximas a un filamento circular portador de corriente.
Entonces,
donde,
y K, E son las integrales elípticas completas del primer y segundo tipo. Esta forma general es tan
incómoda que no realiza cálculos analíticos generales solubles, pero simplifica las evaluaciones
numéricas utilizando rutinas grabadas para K(k) & E(k). El campo es mucho más simple en el eje (r =
0):
1.5.6 Propiedad general de las situaciones de simetría: función de flujo
Cuando existe una dirección de simetría, el componente de B perpendicular a esa dirección se puede
expresar en términos de una “función de flujo”. El flujo magnético entre dos posiciones se define
como el flujo de campo B que cruza una superficie que abarca el hueco (por unidad de longitud en el
caso de que sea traslacional). Puesto que ∇.B = 0 no importa como llega la superficie del punto de
referencia hasta P (con tal de que permanezca simétrica).
Figura 1.21. La trayectoria desde un punto de referencia hasta un punto del campo define una
superficie para la cual se aplica el teorema de Stokes, en una situación de simetría traslacional.
Por lo tanto, la función:
está bien definida. Una consecuencia para la simetría traslacional ( ẑ ) es:
Esto se plantea dado que:
Porque en realidad, υ/ es idéntico al componente z del potencial vectorial y:
B ⊥ es la parte del campo perpendicular a ẑ . Podría ser también Bz.
En el caso de la simetría traslacional se presentan algunas variaciones más a partir del sistema de
coordenadas curvilíneas. Incluso existen otro tipo de simetrías, por ejemplo la simetría helicoidal.
1.6 Electromagnetismo e imanes
1.6.1 Solenoide sencillo
Figura 1.22. Bobina magnética de solenoide largo idealizado.
Un solenoide “largo” tiene una simetría traslacional, por lo que B es independiente de z y de θ.
(Excepto próximo a los extremos). Por tanto,
Por lo que,
Además:
Dentro del diámetro del imán, j = 0, por lo que:
(de hecho, si jz = 0 por todas partes, entonces Bθ = 0 por todos lados, como puede verse
inmediatamente a partir de la ley de Biot-Savart). Además:
Utilice la curva de superficie y la curva delimitadora mostrada y escriba:
Por lo que una corriente µ0× por unidad de longitud (indicada Jθ) proporciona:
Pero (mediante el mismo enfoque) si B = 0 en el infinito, Bz fuera = 0. Por lo que dentro:
El perfil del campo en la bobina viene determinado por la densidad de corriente en la misma:
Figura 1.23. El perfil de campo dentro de la región del conductor de la bobina depende del perfil de la
densidad de corriente.
(al igual que anteriormente). Observe que todo esto es independiente del grosor de la bobina (b – a).
Generalmente, las bobinas son multivuelta por lo que:
donde n corresponde a las vueltas por unidad de longitud, e I es la corriente que se da en cada vuelta.
1.6.2 Solenoide de sección transversal arbitraria
Considere la ley de Biot-Savart expresada como un potencial vectorial:
Si todas las corrientes fluyen en dirección acimutal, es decir, jz = 0, entonces Az = 0.
Entonces, la forma integral de la ley de Ampere sigue siendo:
donde Jp es la corriente total por unidad de longitud en la dirección acimutal.
Figura 1.24. Solenoide de una sección transversal cruzada.
1.6.3 Tipos de bobinas
(a) Alambre (filamento):
Figura 1.25. Sección a través de una bobina magnética de alambre enrollado.
Múltiples capas enrolladas en un carrete. Generalmente, sólo para trabajo de corriente baja y campo
débil.
(b) Cinta enrollada:
Cada bobina consta de una cinta en espiral y nt vueltas. Se apilan muchas bobinas para formar un
solenoide. Digamos que hay nc bobinas por unidad de longitud n = nt.nc.
(c) “Pancake”:
Parecidas a las anteriores pero utilizando conductores cuadrados o rectangulares. (menos
vueltas/bobina).
(d) Bobinas de placas:
Cada vuelta está formada por una placa. La bobina completa es una única hélice (topológicamente).
Las placas pueden estar separadas por aire o por un hueco de aislante sólido. n = nc.
Bobina de cinta enrollada única
Montaje de bobinas apiladas
Figura 1.26. Las bobinas de cinta enrollada se apilan para formar un solenoide.
nc vueltas/unidad de longitud
Figura 1.27. Bobina de placa tipo marco y configuración de un solenoide.
Existen muchas otras configuraciones de electroimanes diseñadas para una inmensa variedad de
aplicaciones. La mayoría requieren de cálculos numéricos para determinar el campo y la variación
espacial.
1.6.4 Dipolo magnético
Figura 1.28. Corrientes localizadas en una región pequeña cercana al origen, con el punto de campo
lejano.
Campo magnético de una distribución de corriente “localizada”. Suponga que deseamos que el campo
se encuentre en un punto x alejado de las corrientes, en el sentido de que, para todos los puntos x´ en
los que j(x´) no es despreciable, |x´| << |x|, (en relación a un origen próximo a las corrientes). La
fórmula general para A,
se puede aproximar escribiendo lo siguiente:
por lo que:
A continuación, convertimos estas integrales en expresiones más convenientes utilizando ∇.j = 0. De
hecho, la primera es cero. Esto va inmediatamente a continuación de la identidad:
para cualquier superficie S que incluye a todas las corrientes, de forma que j = 0 en S. El segundo
término se simplifica mediante la misma identidad pero teniendo procurando distinguir entre x y x´, y
utilizando la notación ∇´ para indicar el operador de gradiente actúa en x´, j(x´), no en x.
Pero,
Por lo tanto,
por la relación integral que se acaba de probar. [Esta identidad es cierta para cualquier valor de x]. Por
consiguiente, nuestra aproximación para A es:
o:
donde el momento dipolar magnético de la distribución de corriente localizada es:
Hemos derivado esta expresión para una distribución arbitraria de j, pero en el caso en que la corriente
localizada sea un filamento de corriente de bucle:
Figura 1.29. Integración de bucle portador de corriente para proporcionar un momento dipolar.
Si el bucle es planar:
donde ds es el elemento de superficie. Por tanto, m es (corriente x área) para un filamento planar. El
campo magnético se obtiene de B = ∇ Λ A:
1.6.5 Revisión histórica de la inducción electromagnética
Aproximadamente en 1830, Michael Faraday fue el primero en demostrar el efecto de la inducción:
una corriente de transiente puede ser inducida en un circuito mediante cambios en otro. [Faraday no
tenía conocimientos matemáticos más allá de la idea de proporcionalidad del ritmo de variación de
campos electromagnéticos α de flujo B]. Suponga que los acontecimientos históricos hubiesen sido
diferentes y que únicamente conociésemos la ley de fuerza de Lorentz:
De esta forma, hubiésemos podido “probar” la necesidad de inducción por “razón pura”.
Suponga la invarianza galileana: las leyes físicas deben ser invariables a los cambios de los sistemas
de coordenadas en movimiento x´ = x – vt, t´ = t. [Universalmente asumida en la época de Faraday.
Einstein no aparece hasta 1905]. Considere un circuito (de cable) rígido que pasa por delante de un
imán: cada electrón del circuito (revisionista) experimenta una fuerza de Lorentz:
a medida que es arrastrado a través del campo magnético. El campo magnético en el marco de reposo
del imán es cero y la fuerza electromotriz total (fuerza integrada por carga unitaria) alrededor del
circuito es:
Figura 1.30. Una bobina rígida que pasa por delante de un imán estacionario.
Figura 1.31. Elementos de superficie en la aplicación de la ley de Gauss para instantes sucesivos de
tiempo.
Generalmente, esta es una cantidad distinta de cero. De hecho, esta cantidad se puede transformar en
base a consideraciones puramente geométricas. Calculemos el ritmo de variación del flujo magnético
total debido al movimiento del circuito, en un campo B estático. Aplique la ley de Gauss al volumen:
[donde d Φ es el cambio en el flujo]. De esta forma:
(geometría pura cuando ∂B ∂t = 0 ).
Esta ecuación se puede obtener también algebraicamente de la siguiente forma:
y utilizando:
de forma que:
De cualquier manera, la fuerza electromotriz es:
A continuación, consideramos la situación en su totalidad cuando el marco de referencia es sustituido
por otro en el que el circuito es estacionario y el imán está en movimiento. Mediante la invarianza
galileana la fuerza electromotriz total es la misma y:
Pero ahora v = 0, y en su lugar, B cambia, por lo que:
En este caso la fuerza de Lorentz sobre la carga también es:
Debe haber un campo eléctrico en este marco de referencia. Y además:
Aplique el teorema de Stokes a la integral E.dl:
pero esta integral debe ser cero para todo S (y C) que pueda ser cierto únicamente si su integrando es
cero en todas partes:
La ley de “Faraday” (expresada en forma diferencial) (que él mismo entendió intuitivamente pero no
podría haber formulado matemáticamente).
1.6.6 Inductancia
Suponga que tenemos un conjunto de circuitos con corrientes Ii(i = 1...N). Estos están unidos
inductivamente si la corriente de uno de ellos da origen al flujo que conecta a los otros. Dado que la
ley de Ampere es lineal (B α j), el flujo que conecta al circuito j de la corriente Ii es proporcional a Ii.
Por consiguiente, dicho flujo total se puede escribir de la siguiente forma:
(Total sobre Ii) corrientes distintas. M es una matriz. El elemento Mij es una inductancia entre las
corrientes i y j. Sus unidades son:
La fuerza electromotriz o la tensión Vj inducida en el circuito j es, por tanto:
Para el caso más simple de circuito N = 1. Mii → L la autoinductancia.
A partir de la ecuaciones de Maxwell se puede demostrar que Mij es simétrico.