NÚMEROS RACIONALES - IES LA BASÍLICA MATEMÁTICAS

1
Números racionales
1
NÚMEROS
RACIONALES
E
l desarrollo del sentido numérico iniciado en cursos previos continúa en este con la ampliación de los conjuntos de números a utilizar y la
consolidación de los ya estudiados. Esto se pone de manifiesto al establecer relaciones entre distintas formas de representación numérica,
como es el caso de fracciones, decimales y porcentajes. Es especialmente importante una comprensión de las operaciones que permita el
uso razonado de las mismas, en paralelo con el desarrollo de la capacidad de estimación y cálculo mental que facilite ejercer un control sobre
los resultados y posibles errores y no solo la consecución de los algoritmos de cálculo. Se incrementa en este curso, y en particular en esta
unidad, el dominio del uso de la calculadora científica.
Será importante poner énfasis en la funcionalidad de los aprendizajes. Se tratará de aplicar los conceptos y procedimientos adquiridos en la
resolución de cuestiones cotidianas del ámbito personal, social y laboral, en las que las matemáticas son fundamentales, puesto que habrá que
traducir situaciones habituales al lenguaje matemático utilizando números, gráficos, tablas, etc., realizar operaciones y facilitar la información
resultante de forma precisa y clara. Además, para lograr un aprendizaje significativo es preciso relacionar los conocimientos y experiencias
previos del alumnado con los nuevos. Por ello, los contenidos de la unidad se presentan partiendo de problemas extraídos de situaciones cotidianas, de otras ciencias y de contextos sociales.
En la mayoría de las actividades propuestas el alumnado trabajará varias competencias al mismo tiempo.
Comunicación lingüística (CL)
El lenguaje matemático está presente en los medios de comunicación a través de datos numéricos, tablas, gráficas, porcentajes, etc. A lo largo
de la unidad se desarrollará la comprensión e interpretación de textos imbricados en la realidad social, científica y tecnológica.
Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)
La competencia matemática requiere de conocimientos sobre números y medidas, así como de las operaciones y representaciones matemáticas, que se trabajan a lo largo de la unidad, contribuyendo al desarrollo del pensamiento científico.
Competencia digital (CD)
A lo largo de la unidad se muestra la funcionalidad de la calculadora científica.
Competencias sociales y cívicas (CSC)
Para poder participar plenamente en la sociedad actual es fundamental adquirir los conocimientos que permitan comprender y analizar de
manera crítica modelos y pautas comunes que se presentan en la publicidad y los medios que incitan al consumo. En esta unidad se trabaja
dicha competencia en la sección de Matemáticas vivas.
Competencia aprender a aprender (CAA)
De modo progresivo se plantean situaciones que obligan a trabajar contenidos diversos que contribuyen a integrar conocimientos vistos en
otros cursos e incluso en otras materias, condición imprescindible para que el aprendizaje resulte significativo. A este respecto se propone el
análisis de una factura telefónica.
Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)
En la resolución de problemas confluyen la funcionalidad de los aprendizajes, las destrezas de razonamiento y las estrategias de resolución
gestionando los propios conocimientos y habilidades para alcanzar el fin propuesto. Se desarrolla especialmente en varias de las últimas actividades de cada sección (Investiga o Desafío).
El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de 2 semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos.
Objetivos
Los objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:
❚❚ Emplear las fracciones y los números decimales, así como sus operaciones, en distintos contextos.
❚❚ Expresar un número decimal exacto o periódico en forma de fracción, y viceversa.
❚❚ Clasificar números reales en los distintos conjuntos numéricos.
Unidades didácticas 2
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Números racionales
1
❚❚ Construir intervalos que describan conjuntos numéricos definidos por desigualdades.
❚❚ Aproximar un número por truncamiento y por redondeo a un orden determinado.
❚❚ Estimar los errores absoluto y relativo cometidos al trabajar con números aproximados.
❚❚ Comprender y resolver problemas en los que es necesario el uso de números racionales.
❚❚ Realizar una tarea de trabajo cooperativo utilizando números racionales.
Atención a la diversidad
El profesor podrá diseñar itinerarios de aprendizaje diversificados en la unidad con la inclusión de actividades de refuerzo y de ampliación
que aborden los mismos conocimientos que se presentan en la unidad situando el objeto a estudiar con distintos niveles de dificultad.
Material complementario
En el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de
problemas relacionadas con el estudio de los distintos tipos de números. Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con
un repaso de los contenidos y procedimientos estudiados sobre números y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos
contenidos.
Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar conceptos relacionados con los números enteros pueden acceder a la lección
1066 de la web www.mismates.es.
PROGRAMACIÓN DE LA UNIDAD
Contenidos
Criterios de evaluación
Estándares de aprendizaje evaluables
Relación de
actividades del
libro del alumno
Competencias
clave
Fracciones
Comparación de
fracciones
1. Simplificar y comparar fracciones.
1.1. Identifica fracciones equivalentes.
1.2. Ordena y representa fracciones.
1, 2, 11, 55, 56
5-10, 35-37, 57, 58
CM1, CM2
CMCT
CD
CAA
Operaciones con
fracciones
2. Realizar operaciones con fracciones.
2.1. Resuelve operaciones combinadas con
fracciones.
3. Resolver problemas extraídos de
situaciones reales empleando las fracciones.
3.1. Soluciona problemas empleando una
fracción como operador.
3.2. Aplica las fracciones a la resolución de
problemas.
12-14
20, 21
59-62
3, 4, 15
63, 66
16-19, 22, 64, 65,
67, 68, 75, 76
CL
CMCT
CSC
CSIEE
4. Ordenar números decimales.
4.1. Compara números decimales e interpola un
número decimal entre dos dados.
29, 34
5. Operar con números decimales.
5.1. Realiza operaciones combinadas con
números decimales.
31-33, 73, 74
CL
CMCT
CD
CAA
CSIEE
6. Resolver problemas aritméticos empleando
números decimales.
6.1. Resuelve problemas en los que intervienen
números decimales.
Fracciones y
números decimales
Tipos de números
decimales
Fracciones generatrices
7. Expresar un número decimal exacto o
periódico en forma de fracción y viceversa.
Números racionales
e irracionales
Intervalos
Aproximaciones
Error absoluto y error
relativo
Unidades didácticas 30, 82, 84
Matemáticas vivas
1-3
7.1. Transforma fracciones en números decimales. 23-25, 28, 69-71
7.2. Calcula la fracción generatriz de un número 26, 27
decimal exacto o periódico.
72
8. Representar números racionales.
8.1. Emplea el teorema de Tales para representar
números racionales.
35-37
9. Identificar los distintos tipos de números
reales.
9.1. Clasifica los números reales en los diversos
conjuntos numéricos.
38-41, 45
77, 78
10. Definir y expresar intervalos de números
reales.
10.1. Identifica y representa intervalos en la recta 42
real.
79, 80
10.2. Escribe en forma de intervalo conjuntos
43, 44
numéricos definidos por desigualdades y
viceversa.
11. Hallar la aproximación por truncamiento y 11.1. Aproxima números decimales a un orden
por redondeo a un orden determinado.
determinado.
12. Calcular el error absoluto y relativo
cometido al aproximar números.
12.1. Estima resultados y errores en la solución
de problemas.
3
46, 49, 81
Matemáticas vivas 3,
Trabajo cooperativo
47, 48
50-54
82-85
CMCT
CD
CAA
CL
CMCT
CD
CSC
CAA
CSIEE
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
1
Números racionales
MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD
PARA EL PROFESOR
PARA EL ALUMNO
Presentación de la unidad
Ideas previas
Repasa lo que sabes
Actividades de Refuerzo
Actividades de Ampliación
Matemáticas en el día a día
Contenido WEB. Tablas y reglas de
cálculo
1.Fracciones
• Comparación de fracciones
2. Operaciones con fracciones
Propuesta de Evaluación A
Propuesta de Evaluación B
Vídeo. Operaciones con fracciones
3. Fracciones y números decimales
• Tipos de números decimales
• F racciones generatrices
4.Números racionales e irracionales
• Intervalos
GeoGebra. Representación de números
racionales
5.Aproximaciones
• Error absoluto y error relativo
MATERIAL COMPLEMENTARIO
Comprende y resuelve
problemas
Practica+
MisMates.es
Lección 1066
de la web www.mismates.es
¿Qué tienes que saber?
• Operaciones con fracciones
• F racción generatriz
• Aproximaciones
Actividades finales
Actividades interactivas
Matemáticas vivas
Interpretación de facturas
• Importancia de los números reales y
las operaciones aritméticas en la vida
cotidiana
Trabajo cooperativo. Tarea cuya
estrategia es Búsqueda de información,
de Mel Silberman
Avanza
Representación gráfica de números
irracionales tipo
n
Cálculo mental
Estrategia para comparar fracciones
Unidades didácticas 4
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Números racionales
1
Sugerencias didácticas
1
La unidad se inicia proponiendo unos ejercicios de prospección con los que se pretende recordar aquellos contenidos
mínimos de aritmética que consideramos imprescindibles
para comprender los conceptos que más tarde se presentan.
NÚMEROS
RACIONALES
S
IDEAS PREVIA
ros.
❚ Números ente
con números
❚ Operaciones
enteros.
❚ Divisibilidad.
ún divisor
❚ Máximo com
y mínimo común
múltiplo.
Es evidente que el nivel de los estudiantes al comenzar la
exposición del tema no es el mismo para todos. Por ello es
necesario homogeneizar los conocimientos relativos a conceptos y algoritmos de cálculo con números reales, pues los
contenidos aquí tratados aparecerán a lo largo del curso en
distintas ocasiones.
En multitud de ocasiones, los números enteros no bastan para
expresar la cantidad que deseamos representar. Por ejemplo,
la elaboración de una tarta en la que hubiera que incorporar
a la masa medio vaso de aceite, o el alquiler de una pista de
tenis por tres cuartos de hora; en ambos casos empleamos
las fracciones para identificar valores numéricos que no son
enteros.
REPASA LO QUE SABES
En todos los apartados hay gran profusión de ejemplos resueltos, casi todos relacionados con situaciones reales, de
modo que podremos trabajar los contenidos de la unidad
planteados en diversos contextos de la vida real.
1. Ordena de menor a mayor estos números enteros.
−3
7
−19
11
15
2. Efectúa las siguientes operaciones.
a) 3 ⋅ (9 − 15) + (7 + 4) ⋅ (3 − 5)
b) (1 − 3 + 2 − 4) ⋅ (−1 + 3 − 2 + 4)
c) 5 ⋅ (−2) ⋅ (−8) − (−4) ⋅ 5
d) 25 : (−5) + 8 − (−2) + (−7) − (−15)
3. Factoriza estos números como producto de números primos.
a) 180
b) 255
Contenido WEB. GEROLAMO CARDANO
c) 330
4. ¿Cuántos divisores positivos tiene 330?
En la sección Matemáticas en el día a día se introduce un recurso TIC para complementar la página de inicio con información
relativa a la unidad. En este caso se explican los usos antiguos
y actuales de las tablas y reglas de cálculo. Puede utilizarse para
motivar a los alumnos antes de comenzar a trabajar la unidad o
como ampliación para aquellos alumnos que muestren un interés
especial.
5. Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de
los números 1 155 y 588.
[
Matemáticas en el día a día
mac3e1
]
Antes de las calculadoras electrónicas que podemos utilizar
hoy en día, los matemáticos se servían de tablas y reglas de
cálculo para agilizar la resolución de problemas.
5
Repasa lo que sabes
Soluciones de las actividades
1.Ordena de menor a mayor estos números enteros.
7 −3 −19 11 15
−19 < − 3 < 7 < 11 < 15
2.Efectúa las siguientes operaciones.
a) 3 ⋅ (9 − 15) + (7 + 4) ⋅ (3 − 5)
c) 5 ⋅ (−2) ⋅ (−8) − (−4) ⋅ 5
b) (1 − 3 + 2 − 4) ⋅ (−1 + 3 − 2 + 4)
d) 25 : (−5) + 8 − (−2) + (−7) − (−15)
a) 3 ⋅ (−6) + 11 ⋅ (−2) = −18 − 22 = −40
c) −10 ⋅ (−8) − (−20) = 80 + 20 = 100
b) (−4) ⋅ 4 = −16
d)−5 + 8 + 2 − 7 + 15 = 13
3.Factoriza estos números como producto de números primos.
a) 180
a) 180 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5
2
2
b) 255
c) 330
b) 255 = 3 ⋅ 5 ⋅ 17
c) 330 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11
4.¿Cuántos divisores positivos tiene 330?
A partir de la factorización de 330 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11 obtenemos los divisores positivos de 330:
1 2 3 5610
1115
330 165 110 66 55 33 30 22
Tiene 16 divisores positivos.
5.Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los números 1 155 y 588.
1 155 = 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11
588 = 22 ⋅ 3 ⋅ 72
m.c.d. (1 155, 588) = 3 ⋅ 7 = 21
m.c.m. (1 155, 588) = 22 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 72 ⋅ 11 = 32 340
Unidades didácticas 5
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
1
Números racionales
1. Fracciones
1
Aprenderás a…
●
Utilizar fracciones en
diferentes contextos.
●
Reconocer los números
racionales.
1. FRACCIONES
1
Lenguaje matemático
a
a
c
y
son
d
b
equivalentes si: a ⋅ d = b ⋅ c
Dos fracciones
5
Ordena de menor a mayor estas fracciones.
1
de dos números enteros, donde b ≠ 0.
b)
d)
a)
EJERCICIO RESUELTO
es una
5
fracción equivalente a ellas; además,
es una fracción irreducible, porque
no puede simplificarse.
Se dice que una fracción
}
EJERCICIO RESUELTO
}
Determina la fracción irreducible equivalente a esta otra:
Solución
200
225
225
=
512
512
512
512
403
401
402
404
9 762
9 762
9 762
9 762
9 123
9 121
9 124
La pizza completa, esto es, ocho octavos de pizza, pesa
50 ⋅ 8 = 400 g.
Como 384 < 390, resulta que
Presta atención
Toda fracción negativa es menor
que cualquier fracción positiva.
64
80
=
384
480
<
384
3
390
=
96 480
m.c.m. (80, 96) = 480
=
480
390
480
y
=
78
78
96
, esto es:
7
9
9 119
Dados tres números naturales, a, b y c, tales que
a
a
b < c, ¿qué fracción es mayor:
o ?
b
c
9
Ordena de menor a mayor estas fracciones, sin
reducirlas a común denominador.
−
35
23
31
18
−
7
11
11
13
EJERCICIO RESUELTO
29
Sitúa la fracción
entre dos números enteros
12
consecutivos.
24
80
−
36
Dividimos estas desigualdades por el denominador y
obtenemos el siguiente resultado:
9
En el siguiente partido que disputó el equipo local, el base consiguió 78 de los
96 puntos que obtuvo su equipo. Para saber en qué partido fue más efectivo,
64
78
comparamos las siguientes fracciones:
y
80
96
64
15
Situamos el numerador, 29, entre dos múltiplos
consecutivos del denominador: 24 < 29 < 36
8
Comparación de fracciones
Las reducimos a común denominador:
−
Solución
m.c.d. (200, 225) = 25
200
11
48
8
}
Calculamos el máximo común divisor del numerador y el denominador:
Dividimos el numerador y el denominador por 25:
b)
5
3
Después de comernos
de pizza, quedan
de la
8
8
misma.
3
1
Entonces
de la pizza pesan 150 g, y
pesa:
8
8
150 : 3 = 50 g
es irreducible si m.c.d. (m, n) = 1.
n
¿Cuánto pesaba una pizza si, después de comernos
cinco octavos de la misma, quedan 150 g?
Solución
5
12
Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones,
sin reducirlas a común denominador.
35
Halla la fracción equivalente a
cuyo numerador
91
es 5.
2
−
4
7
64
80
y
representan
80 100
el mismo número, es decir, el base
tiene un 80 % de acierto. Son
fracciones equivalentes.
m
1
3
tiene más capacidad?
Las fracciones
4
2
de litro, y la de una
5
de litro. ¿Cuál de los dos recipientes
La capacidad de un vaso es
botella es
6
b
Todos los números que se pueden escribir como fracción reciben el nombre de
números racionales.
También la fracción
Recuerda
Expresa en forma de fracción la parte coloreada de
estas figuras.
a)
c)
En un partido de baloncesto, el base del equipo local ha anotado 64 de los 80
64
puntos marcados por su equipo. Es decir, ha conseguido
de la puntuación total.
80
Utilizamos una fracción para representar el número de aciertos con respecto al total.
Una fracción es un cociente
Al conjunto de los números
racionales lo designamos
por la letra .
1
Actividades
Números racionales
4
64
80
<
78
¿Con cuántos euros salió Eva de casa si, después de
2
gastar
de su dinero, le quedan aún 15 €?
7
5
¿Cuál es la capacidad de una vasija si, tras sacar
7
de su contenido, quedan 34 litros?
12
En conclusión: 2 <
10
29
12
<
29
12
<
36
12
<3
Sitúa entre dos números enteros consecutivos los
siguientes números racionales.
a)
23
5
b)
19
c)
8
96
8
9
DESAFÍO
De este modo, el base fue más efectivo en el segundo partido.
11
Para comparar dos fracciones, se reducen a común denominador, y es menor
aquella cuyo numerador es menor.
Dados dos números naturales distintos no nulos, a y b, ¿son equivalentes las fracciones
a
b
y
a +1
b +1
?
6
7
Sugerencias didácticas
El alumno ya ha trabajado con fracciones en cursos previos,
por lo que le resultará sencillo este epígrafe. En él se explica
cuándo dos fracciones son equivalentes y cómo encontrar
la fracción irreducible equivalente a una dada.
numerador y el denominador de la misma por el máximo
común divisor de ambos.
También se repasa el procedimiento para comparar fracciones expresándolas con el mismo denominador positivo.
Es conveniente que al finalizar la sección el alumno sepa
simplificar fracciones en un solo paso, esto es, dividiendo el
Soluciones de las actividades
1 Expresa en forma de fracción la parte coloreada de estas figuras.
a)
b)
c)
a)
1
2
b)
7
9
2 Calcula la fracción equivalente a
35
91
=
5
c)
35
91
d)
1
3
d)
2
3
cuyo numerador es 5.
13
3 ¿Con cuántos euros salió Eva de casa si, después de gastar
2
de su dinero, le quedan aún 15 €?
7
5
1
Como 15 € son
del dinero de Eva,
de ese dinero son 3 €. En consecuencia, Eva salió de casa con: 7 ⋅ 3 = 21 €
7
7
Unidades didácticas 6
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Números racionales
5
4 ¿Cuál es la capacidad de una vasija si, tras sacar
2
Como 34 L son
7
5 La capacidad de un vaso es
2
6
=
1
6
=
2
5
de su contenido, quedan 34 litros?
7
1
de la capacidad de la vasija,
7
son 17 L. Así, la capacidad de la vasija es: 7 ⋅ 17 = 119 L
de litro, y la de una botella es
5
<
6
→
1
<
5 15
3 15
15 15
3
6 Ordena de menor a mayor estas fracciones.
1
−
4
1
2
5
1
de litro. ¿Cuál de los dos recipientes tiene más capacidad?
3
→ La capacidad del vaso es mayor que la de la botella.
5
11
12
48
−
15
−
36
7
9
m.c.m. (4, 12, 48, 36, 9) = 144
1
=
4
−
36
144
112
<−
144
5
−
60
12
=−
144
=−
60
144
60
11
144
48
<
33
144
<
=
36
144
33
144
→−
15
−
7
<−
9
=−
36
5
12
=−
60
−
144
15
36
<
11
48
<
7
9
=−
112
144
1
4
7 Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones, sin reducirlas a común denominador.
512
a)
403
a)
512
404
<
512
512
512
401
402
404
512
403
<
512
402
<
512
401
b)
b)
9 762
9 762
9 762
9 762
9 123
9 121
9 124
9 119
9 762
9 124
<
9 762
9 123
<
9 762
9 121
8 Dados tres números naturales, a, b y c, tales que b < c, ¿qué fracción es mayor:
Como los números b y c son positivos y b < c se cumple que:
1
<
1
<
a
b
9 762
9 119
o
a
c
?
c
b
9 Ordena de menor a mayor estas fracciones, y sin reducirlas a común denominador.
35
7
23
11
−
−
31
18
11
13
La fracción −
35
31
es menor que −1, mientras que −
Por otro lado, 0 <
11
13
< 1<
23
18
, así que: −
35
<−
31
7
11
7
11
es negativa pero mayor que −1. En consecuencia, −
<
11
13
<
35
31
<−
7
11
.
23
18
10 Sitúa entre dos números enteros consecutivos los siguientes números racionales.
a)
23
5
b)
a) 4 =
20
5
<
23
5
<
25
5
= 5
19
8
c)
b) 2 =
16
8
<
19
8
<
24
8
= 3
8
9
c) 0 =
0
9
<
8
9
<
9
9
=1
Desafío
11 Dados dos números naturales distintos no nulos, a y b, ¿son equivalentes las fracciones
Si las fracciones fuesen equivalentes se cumpliría la igualdad:
a
=
a +1
a
b
y
a +1
b +1
?
b b +1
Entonces: a(b + 1) = b(a + 1) → ab + a = ab + b → a = b, lo que es falso, pues a y b son distintos.
Por tanto, las fracciones no son equivalentes.
Unidades didácticas 7
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
1
Números racionales
2. Operaciones con fracciones
1
2. OPERACIONES CON FRACCIONES
Aprenderás a…
●
1
Actividades
Números racionales
Realizar operaciones con
fracciones.
12
Andrea ha plantado tomates, pimientos y patatas en su huerta. Si los tomates
1
7
ocupan
del total de la superficie de la huerta, y los pimientos,
, podemos
6
10
hallar la fracción de la huerta que Andrea destinó a las patatas.
Efectúa las siguientes operaciones con fracciones, y simplifica el resultado, si es
posible.
a)
b)
13
b)
❚ Para sumar fracciones,
debemos reducirlas a común
denominador; para ello
podemos utilizar el mínimo
común múltiplo.
Calculamos la extensión dedicada a los tomates y a los pimientos sumando las
5
21 26 13
1 7
fracciones correspondientes: +
=
+
=
=
6 10 30 30 30 15
❚ Cuando restamos fracciones,
sumamos a la primera la
opuesta de la segunda.
Por tanto, la fracción de la superficie de huerta destinada a las patatas es la diferencia
2
13 15 13
del total menos la fracción calculada, es decir: 1−
=
=
−
15 15 15 15
2
Si después de una tormenta, solo
mantiene practicable, entonces
2
⋅
3
7
3
7
9
+
−
4
c)
7
2
d)
3
3
2
7
4
+
+
3
7
−
1
6
3
e)
4
−
4
3 8
⋅
4 5
3
4
g) 2 :
9 6
f)
:
5 5
h) 3 ⋅
7
7
9
Realiza las operaciones y simplifica.
a)
Recuerda
5
1111
2222
5
6
−
+
1111
c)
4 444
9
765 908
10
⋅
5
765 908
100 10
d)
:
77 11
20
14
¿Cuántos vehículos hay en un garaje si dos tercios de las 531 plazas de las que
dispone están libres?
15
¿Cuántas botellas de tres cuartos de litro se necesitan para guardar 333 litros de
agua?
16
¿Cuántos vasos de un sexto de litro
se pueden llenar con dos litros
y medio de agua?
de la superficie dedicada a los pimientos se
3 10
que Andrea podrá recoger pimientos.
=
14
30
=
7
En tu vida
diaria
es la fracción de la huerta de la
15
El día de la cosecha, Andrea avisa a 5 amigos, de modo que cada uno se encargará
7
7 1
7
de recoger los pimientos de
de la superfice de la huerta.
:6 =
⋅ =
15
15 6 90
Presta atención
El producto de una fracción
por su fracción inversa es igual
a la unidad.
❚ La suma de fracciones es la fracción que se obtiene reduciendo a común
denominador y sumando los numeradores.
17
❚ El producto de fracciones es la fracción que se obtiene multiplicando los
numeradores y los denominadores.
3 4 12
⋅ =
=1
4 3 12
18
❚ El cociente de dos fracciones es la fracción que resulta de multiplicar la primera
por la fracción inversa de la segunda.
Calcula:
3
7
−
6 2 5 ⎜⎛ 6 1 ⎞⎟
: ⋅ + ⎜ − ⎟⎟
7 3 6 ⎜⎜⎝ 4 4 ⎟⎠
9
de la superficie
Una finca dedica a la producción de aceite 720 ha, que suponen
10
cultivable; ¿cuál es la superficie total de la finca?
19
¿Durante cuánto tiempo ha sido depositado, a un interés del 2 %, un capital de
3 000 € que ha generado unos intereses de 30 €?
20
Calcula y simplifica.
EJERCICIO RESUELTO
}
María tiene ahorrados 12 €, que son tres cuartos del precio del libro que se quiere
comprar. ¿Cuánto cuesta dicho libro?
⎛2
2 784
1 ⎞⎟
⎜
⋅
a) 1: ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟ +
⎝ 5 10 ⎠ 784 9
Solución
21
Si las operaciones con
fracciones aparecen
combinadas,
aplicamos la misma
jerarquía que en el
caso de los números
naturales y enteros.
3
8
⎛
I = C ⋅ ⎜⎜ i ⎟⎟⎞ ⋅
⎝⎜ 100 ⎠⎟⎟ t
⎛
1⎞ 2 1
+ 2 ⋅ ⎜⎜⎜ 3 − ⎟⎟⎟ + :
⎜⎝
4 ⎟⎠ 3 6
Efectúa las siguientes operaciones.
2 3 1 1 1
⋅ − + ⋅
9 4 2 3 4
1 5 3 ⎜⎛
4⎞
+ ⋅
− ⎜ 3 − ⎟⎟⎟
b)
2 6 10 ⎜⎝⎜
5 ⎟⎠
a)
22
b) −
Cuando deposit
as en un
banco una can
tidad de
dinero durante
cierto
tiempo, este
devuelve
al cliente la can
tidad
depositada más
unos
intereses. El
interés I que
produce un cap
ital C
depositado dur
ante un
tiempo t (exp
resa
años) a un inte do en
rés del i %
anual es:
c)
d)
1
7
+
2 3 1 ⎛⎜ 3 5 ⎞⎟
⋅ + ⋅ ⎜ − ⎟⎟ + 2
3 4 5 ⎜⎜⎝ 2 7 ⎟⎠
5 2 ⎜⎛ 2 5 ⎟⎞ 2
⋅ − ⎜ − ⎟⎟ :
3 4 ⎜⎝⎜ 3 3 ⎟⎠ 7
DESAFÍO
Un depósito dispone de dos grifos. Abriendo solo el primero, el depósito se llena en 6 h, y, abriendo ambos a
la vez, tarda 4 h en llenarse. ¿Cuánto tardará en llenarse el depósito si solo se abre el segundo grifo?
mac3e2
8
9
Sugerencias didácticas
También se trabajan las operaciones combinadas con fracciones, donde es importante insistir en que la jerarquía que
se aplica es la misma que la que ya se había trabajado con
los números naturales y enteros en cursos anteriores.
En estas páginas podemos enfatizar que la suma, el producto y la división de números racionales son operaciones
internas.
Es conveniente indicar a los alumnos que cuando expresen
varias fracciones con denominador común, para posteriormente efectuar su suma, empleen como tal el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones dadas, pues esto hace más sencillo el proceso de simplificar el
resultado obtenido.
Vídeo. OPERACIONES CON FRACCIONES
En el ejercicio resuelto se propone el cálculo de una operación
combinada y en el vídeo puede verse la resolución del mismo haciendo hincapié en la jerarquía de las operaciones y mostrando el
paso a común denominador de las fracciones. Puede reproducirse
en clase explicando el proceso que se sigue o como recurso para
que los alumnos repasen este tipo de ejercicios.
Soluciones de las actividades
12 Efectúa las siguientes operaciones con fracciones, y simplifica el resultado, si es posible.
a)
b)
a)
b)
5
3
7
9
21
9
7
−
35
7
4
+
2
3
+
−
c)
d)
12
21
6
9
=
Unidades didácticas =
1
9
47
21
c)
d)
3
2
7
4
3
+
7
+
42
28
21
12
−
1
6
+
+
−
12
28
2
12
3
4
e)
3 8
⋅ 4 5
g) 2 :
f)
9 6
: 5 5
h) 3 ⋅
4
3
−
−
21
28
16
12
=
=
33
28
7
12
e)
f)
8
6
5
3
2
g)
h)
4
7
7
9
7
2
7
3
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Números racionales
1
13 Realiza las operaciones y simplifica.
a)
a)
1 111
2 222
3
4
1 111
+
4 444
b)
b)
5
6
−
23
60
9
20
c)
c)
765 908
10
1
2
⋅
5
765 908
d)
d)
100 10
:
77 11
10
7
14 ¿Cuántos vehículos hay en un garaje si dos tercios de las 531 plazas de las que dispone están libres?
1
1
= 177 vehículos
3
3
15 ¿Cuántas botellas de tres cuartos de litro se necesitan para guardar 333 litros de agua?
Como
de las plazas están ocupadas, en el garaje hay: 531 ⋅
3
= 444 botellas.
4
16 ¿Cuántos vasos de un sexto de litro se pueden llenar con dos litros y medio de agua?
Se necesitan 333 :
5 1
: = 15 vasos.
2 6
17 María tiene ahorrados 12 €, que son tres cuartos del precio del libro que se quiere comprar. ¿Cuánto cuesta dicho libro?
Se pueden llenar
3
= 16 €.
4
9
18 Una finca dedica a la producción de aceite 720 ha, que suponen
de la superficie cultivable; ¿cuál es la superficie total
10
de la finca?
9
La superficie total de la finca es 720 :
= 800 ha.
10
19 ¿Durante cuánto tiempo ha sido depositado, a un interés del 2 %, un capital de 3 000 € que ha generado unos intereses
de 30 €?
⎛ 2 ⎞⎟
1
⎟⎟ ⋅ t → t = Ha sido depositado medio año.
30 = 3000 ⋅ ⎜⎜⎜
⎝ 100 ⎠
2
El libro cuesta 12 :
20 Calcula y simplifica.
⎛2
1⎞
2 784
a) 1: ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟ +
⋅
⎝ 5 10 ⎠ 784 9
a) 1:
3
10
+
2
9
=
10
3
+
2
9
=
32
9
b) −
b) −
⎛
1⎞ 2 1
+ 2 ⋅ ⎜⎜⎜ 3 − ⎟⎟⎟ + :
⎝
8
4⎠ 3 6
3
3
8
+ 2⋅
11
4
+4=−
3
+
8
11
2
+4=
73
8
21 Efectúa las siguientes operaciones.
a)
a)
b)
2 3 1 1 1
⋅ − + ⋅ 9 4 2 3 4
1
6
1
2
−
+
1
2
1
4
+
−
1
12
11
5
=−
=−
3
12
29
20
b)
=−
1
1
2
+
⎛
4⎞
− ⎜⎜⎜ 3 − ⎟⎟⎟ 6 10 ⎝
5⎠
5
⋅
3
c)
c)
d)
4
1
7
1
7
5
6
+
+
2 3 1 ⎛⎜ 3 5 ⎞⎟
⋅ + ⋅ ⎜ − ⎟⎟ + 2 3 4 5 ⎜⎝ 2 7 ⎠
1
2
+
d)
5 2 ⎛⎜ 2 5 ⎞⎟ 2
⋅ − ⎜ − ⎟⎟ :
3 4 ⎝⎜ 3 3 ⎠ 7
1 11
196 14
⋅
+2=
=
5 14
70
5
− (−1) :
2
7
=
5
6
+ 1:
2
7
=
5
6
+
7
2
=
26
6
=
13
3
Desafío
22 Un depósito dispone de dos grifos. Abriendo solo el primero, el depósito se llena en 6 h, y, abriendo ambos a la vez, tarda
4 h en llenarse. ¿Cuánto tardará en llenarse el depósito si solo se abre el segundo grifo?
En una hora, el primer grifo llena
1
6
del depósito, mientras que entre los dos grifos llenan
1
4
del mismo.
1
1 1
Por tanto, en una hora, el segundo grifo llena − =
del depósito. Estos significa que si solo se abre el segundo
4 6 12
grifo, el depósito tardaría 12 h en llenarse.
Unidades didácticas 9
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
1
Números racionales
3. Fracciones y números decimales
1
3. FRACCIONES Y NÚMEROS DECIMALES
Aprenderás a…
●
1
Actividades
Números racionales
Expresar un número decimal
exacto o periódico en forma
de fracción, y viceversa.
23
Halla la expresión decimal de estas fracciones.
8
Tipos de números decimales
a)
Podemos expresar cualquier fracción como un número decimal si dividimos el
numerador por el denominador.
b) −
❚ Si el denominador de la fracción irreducible contiene en su descomposición factorial
solo los factores primos 2 o 5, el número decimal que resulta es exacto.
75
100
=
3
4
= 0,75
c)
Es un número decimal exacto porque tiene
un número limitado de cifras decimales.
d)
4 = 22
❚ Si el denominador de la fracción irreducible no contiene en su descomposición los
factores 2 y 5, el número decimal que resulta es un número decimal periódico puro.

10 2
Es un número decimal periódico puro porque
= = 0,666… = 0,6
el período comienza después de la coma.
15 3
24
c)
d)
Al dividir el numerador por el denominador de una fracción, se puede obtener un
número entero, un número decimal exacto o un número decimal periódico
puro o mixto.
25
Fracciones generatrices
Si conocemos un número decimal exacto o periódico, podemos hallar la fracción
cuya expresión decimal coincide con dicho número.
❚ Si el número decimal es exacto, multiplicamos
por la unidad seguida de tantos ceros como
cifras decimales tenga la expresión decimal y
despejamos.
a = 0, 35
100 a = 35
35
7
a=
=
100 20
❚ Si el número decimal es periódico puro,
multiplicamos por la unidad seguida de tantos
ceros como cifras decimales tenga el período y
restamos las igualdades para despejar.

100 b = 134, 34
26

b = 1, 34
−
b=

1, 34
28
g)
70
h)
9
9
e)
20
33
f)
77
5
b) 6,032 121 212…
c) 24
35
90
d) 5,370 371 372…
143
220
2
h)
9
29
Ordena de menor a mayor estos números decimales.


0,34
0,3
0,33

0,34
0,34
0,3
30
¿Es posible pagar en tres plazos un artículo que cuesta
178 € si en cada plazo se paga la misma cuantía?
3086
495
15
EJERCICIO RESUELTO
90
908
}
100
g) −
6
45
50
Clasifica los siguientes números decimales en exactos,
periódicos puros o periódicos mixtos.
a) 3,26
f) 3,578 312 831 283…
b) 54,060 060 060…
g) 87,567 01


c) 2,36
h) 4,08


d) 53,68
i) 21,3


e) 28,5
j) 0,972
Halla la fracción generatriz de estos números.

a) 7,34
f) −7,53
b) −2,55

g) −1,19
c) 0,000 3

d) 1, 4

e) 2,3

h) 1,241

i) 2,009

j) 0,38
Calculamos sus fracciones generatrices:


a = 0,176
b = 0, 437


1 000 a = 176, 6
1 000 b = 437,7


−100 a = 17, 6
−100 b = 43,7
900 a = 159
a=
553
900
31
b) 0,013 333…
f) 2,365 656…
33

3, 85
c) 6,324 324…
g) 25,84
d) 7,18
h) 13,555…
382
990
=
191
900
Sumamos las fracciones:

= 385, 85
= 382 → c =
900 b = 394
394
b=
900
159
159
900
+
394
900
=
553
900
Obtenemos, así, la expresión decimal del resultado:

= 0, 385
=

Calcula la suma de los números decimales 0,176
.
y 0, 437
Solución
15
17
32
27
99
Razona cuál de los siguientes números no es la
expresión decimal de un número racional.
a) 3,27
12
Determina la fracción generatriz de los siguientes
números decimales.
a) −3,004 444…
e) 4,121 212…
99 b = 133 → b =
❚ Si el número decimal es periódico mixto,
c
multiplicamos por la unidad seguida de
1 000 c
tantos ceros como cifras decimales tenga el
anteperíodo y el período. Volvemos a multiplicar − 10 c
por la unidad seguida de tantos ceros como
cifras decimales no periódicas tenga el número
990 c
decimal. Restamos las igualdades obtenidas y
despejamos.
133
f)
21
7
b) −
6=2⋅3
56
28
15
Indica, sin realizar operaciones, cómo es la expresión
decimal de los siguientes números.
a)
❚ Si el denominador de la fracción irreducible contiene en su descomposición otros
factores primos además del 2 o del 5, decimos que el resultado es un número decimal
periódico mixto.

75 25
Es un número decimal periódico
=
= 4,1666… = 4,16
mixto porque tiene anteperíodo.
18
6
e) −
3

= 0,614
Determina la expresión decimal del valor de 2a − b,

 y b = 0, 473
.
si a = 1,276

 y q = 1,7,
calcula:
Dados los números p = 3, 412
a) p ⋅ q
b) p : q
Expresa como fracción irreducible el resultado de
0,8
− 1, 4
esta operación:
0,36
495
DESAFÍO
34
Todo número decimal exacto o periódico puede expresarse en forma de fracción.
La fracción irreducible equivalente a ella se denomina fracción generatriz.


¿Son iguales los números 5,9 y 6? ¿Y los números 7,59 y 7,6? Para responder a estas preguntas, determina
las fracciones generatrices de estos números. ¿Qué conclusión puedes extraer?
10
11
Sugerencias didácticas
En este epígrafe se explica que al efectuar la división del
numerador entre el denominador de una fracción se obtiene un número decimal que puede ser o bien exacto o bien
periódico.
De forma recíproca, todo número decimal, exacto o periódico, puede expresarse en forma de fracción. La fracción
irreducible así obtenida se denomina fracción generatriz del
número decimal dado.
Es conveniente señalar que podemos averiguar si una fracción irreducible se puede expresar como un número decimal exacto, periódico puro o periódico mixto sin necesidad
de realizar la división del numerador entre el denominador,
estudiando los factores primos de este último.
Al terminar el estudio de esta sección los alumnos deben
ser capaces de obtener la fracción generatriz de números
decimales exactos y periódicos puros o mixtos para realizar
operaciones con ellos de forma exacta.
Soluciones de las actividades
23 Halla la expresión decimal de estas fracciones.
a)
8
3

a) 2,6 b) −
56
21

b) −2,6 c) 28
70
c) 0,4
d) 7
e) −
9

d) 0,7 15
12
e) −1,25
f) 35
90

f) 0,38 g) 143
h) 220
g) 0,65
3 086
495

h) 6,234
24 Indica, sin realizar operaciones, cómo es la expresión decimal de los siguientes números.
a)
9
b) −
33
20
77
a)Exacta
b)Periódica pura
Unidades didácticas c) 5
d) 2
6
9
c) Periódica mixta
e) 15
f) 908
90
100
e) Periódica mixta
d) Periódica pura
f) Exacta
10
g) −
45
15
g) Exacta
h) 17
50
h) Exacta
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
1
Números racionales
25 Clasifica los siguientes números decimales en exactos, periódicos puros o periódicos mixtos.

e) 28,5 b)54,060 060 060…

c) 2,36 
d) 53,68
a)Exacto
b)Periódico puro
a)3,26
f) 3,578 312 831 283…
g) 87,567 01

h) 4,08 
i) 21,3

i) 0,972
c) Periódico mixto
e) Periódico puro
g) Exacto
i) Periódico puro
d) Periódico puro
f) Periódico mixto
h) Periódico mixto
i) Periódico mixto

e) 2,3 
f) −7,53

g) −1,19 
h) 1,241

i) 2,009

j) 0,38
26 Halla la fracción generatriz de estos números.
a)7,34
c) 0,0003

d) 1, 4 b)−2,55
a)
367
b) −
51
3
c) d) 13
e) 7
f) −
746
g) −
10 000
50
20
9
3
99
27 Determina la fracción generatriz de los siguientes números decimales.
6
5
h) 1 229
990
a)−3,004 444….
c) 6,324 324…
e)4,121 212…
g)25,84
b)0,013 333…
d)7,18
f) 2,365 656…
h)13,555…
a) −
676
b)
1
c)
234
d)
359
e)
136
f)
1 171
225
75
37
50
33
495
28 Razona cuál de los siguientes números no es la expresión decimal de un número racional.
a)3,27
b)6,032 121 212…
c) 24
i) g)
646
25
201
100
j) h)
7
18
122
9
d)5,370 371 372…
Los números 3,27 y 24 son decimales exactos, mientras que 6,032 121 212… es un número decimal periódico mixto;
luego son racionales. Sin embargo 5,370 371 372… no es un número decimal exacto ni periódico, luego no es racional.
29 Ordena de menor a mayor estos números decimales.


 0,34 0,3
0,34 0,3 0,33 0,34



0,3 < 0,33 < 0,3 < 0,34 < 0,34 < 0,34
30 ¿Es posible pagar en tres plazos un artículo que cuesta 178 € si en cada plazo se paga la misma cuantía?
No es posible porque
178
no es un número decimal exacto.
3

 y b = 0, 473
31 Determina la expresión decimal del valor 2a − b, si a = 1,276
.
1 264 492 7 228 1 807

2a − b =
−
=
=
= 0,7301
990
900 9 900 2 475
 y q = 1,7 , calcula: a) p ⋅ q b) p : q
32 Dados los números p = 3, 412
3 378 16 9 008
⋅
=
990 9
1 485
3 378 16 1 689
:
=
990
9
880

0,8
−1, 4
33 Expresa como fracción irreducible el resultado de esta operación:

0,36
8
10 − 13 = 11 − 13 = 34
9
5
9
45
36
a) p ⋅ q =
b) p : q =
99
Desafío


34 ¿Son iguales los números 5,9 y 6? ¿Y los números 7,59 y 7,6? Para responder a estas preguntas, determina las fraccio-
nes generatrices de estos números. ¿Qué conclusión puedes extraer?


Si a = 5,9 entonces 10 a = 59,9 , por lo que restando las expresiones: 9a = 54 → a = 6



684 76
Si b = 7,59 entonces 100 b = 759,9 y 10 b = 75,9 . Así, restando las expresiones: 90 b = 684 → b =
=
= 7,6
90
10
Por tanto, los números son iguales y podemos concluir que los decimales periódicos cuyo período es 9 coinciden con el
decimal exacto que resulta al aumentar en una unidad la cifra anterior al período.
Unidades didácticas 11
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
1
Números racionales
4. Números racionales e irracionales
1
4. NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES
Aprenderás a…
●
Representar números
racionales.
Reconocer los distintos tipos
de números reales.
●
Definir y expresar intervalos
de números reales.
a)
4
b)
9
}
Representa
❚ Los números cuya expresión decimal tiene infinitas cifras sin ninguna periodicidad
reciben el nombre de números irracionales.
36
❚ El conjunto de los números
reales lo denotamos con la
letra .
a)
Un intervalo es un conjunto de números reales comprendidos entre dos números
denominados extremos.
c)
Intervalo cerrado

Indica cuáles de estos números son racionales y
cuáles irracionales:


a) −2,3
e) 1,254
b)
[a, b]
(a, b)
(a, +∞)
a<x<b
x>a
–3 –2 –1 0
π
1 2
14
3
12
5
6
e) −
5
25
f) −
4
37
g)
8
d) −
37
4
2
2
3
41
Indica cuáles de las siguientes afirmaciones son
verdaderas y cuáles son falsas.
a) Si x es un número irracional, entonces x2 también
es un número irracional.
b) La suma de dos números irracionales siempre es
un número irracional.
c) Todo número decimal periódico es un número
racional.
42
Dibuja estos intervalos en la recta real. Indica si son
abiertos, cerrados o semicerrados.
a) [0, 2)
e) [4, +∞)
b) (1, 3]
f) (−∞, 3)
c) (−1, 2)
g) (−∞, 1]
d) [2, 5]
h) (−3, +∞)
43
Escribe en forma de intervalo los conjuntos formados
por los números reales x tales que:
a) 1 ≤ x < 4
b) 3 < x < 5
c) −4 < x ≤ 1
d) 13 ≤ x ≤ 15
44
Describe mediante desigualdades los intervalos
representados.
a)
c)
5
7
14
3
4
5
6
3
4
5
(−∞, b)
x<b
6
7
–1
0
1
2
[−2, 1]
(3, 5)
(4, +∞)
(−∞, 2)
−2 ≤ x ≤ 1
3<x<5
x>4
x<2
3
0 1
Intervalos semiabiertos o semicerrados
0,51
[a, b)
7
(a, b]
a≤x<b
❚ Para expresar que el
conjunto de los números
reales no tiene fin,
utilizamos el símbolo del
infinito: ∞
0
1
2
3
[1, 3)
[a, +∞)
a<x≤b
4
0
1
−4 < x ≤ −2
0
x≤b
2
[0, +∞)
(−4, −2]
1≤x<3
–1
b)
(−∞, b]
x≥a
–5 –4 –3 –2 –1
x≥0
3
3
¿Es un número racional la longitud del lado de un
cuadrado inscrito en una circunferencia de 1 dm de
radio?
5
¿Qué fracción representa cada punto destacado en
esta recta real?
6−
40
3
h) −
9
g) 4 5
h)
900
Clasifica los siguientes números en racionales o
irracionales.
a) 4,131 311 131 111 111 3…
b) 1,234 567 892 435 678 9…
c) 2,010 010 001 000 010 0…
d) 3,445 566 778 899 001 122 334 4…
e) 0,235 711 131 719…
f) 3,123 412 341 234…
7
4
13
f) π + 2
7
c) −4,32
d)
39
Intervalos abiertos
a≤x≤b
15
–2
5
en la recta real.
Representa en la recta real estos números racionales.

Los números 2,1; 2,5 ; 2,68697… y 2,999 están comprendidos entre 2 y 3. Decimos
que estos números pertenecen al intervalo abierto (2, 3), es decir, al conjunto
formado por los números reales mayores que 2 y menores que 3.
Hay diferentes tipos de intervalos dependiendo de si los extremos están incluidos
o no. También se pueden expresar mediante intervalos los conjuntos de valores
mayores o menores que un número.
Lenguaje matemático
–8
3
3
Intervalos
–1
14
Otro número que no podemos expresar como número racional es el cociente entre
la longitud de una circunferencia y la de su diámetro, es decir, el número π.
❚ A los números que son racionales o irracionales se les llama números reales.
Estos números se representan en la recta real.
4
3
4
Solución
Como 12 < 14 < 15, dividimos las desigualdades por el
12 14 15
denominador y resulta:
<
<
3
3
3
14
Así, 4 <
< 5; por tanto, podemos descomponer la
3
2
14
fracción en esta suma:
=4+
3
3
Los números 2 , 3 , 5 , no son racionales, es decir, no podemos expresarlos
en forma de fracción y, por tanto, tampoco es posible escribir su expresión decimal
como números decimales exactos o periódicos.
2 =0

c)
7
b)
2⋅ 2 =2

5
EJERCICIO RESUELTO
Al realizar operaciones con
números irracionales, podemos
obtener números racionales.

38
Representa en la recta real estos números racionales.
mac3e3
Presta atención
2−
35
Veamos cómo representar los números racionales sobre la recta numérica.
●
1
Actividades
Números racionales
1
2
3
4
1
0 1
d)
0 1
0 1
DESAFÍO
5
(−∞, 4]
45
x≤4
¿Es un número racional el resultado de la operación
1+
6+
5+
16 ?
12
13
Sugerencias didácticas
En este epígrafe el alumno podrá familiarizarse con la representación gráfica de los números racionales y de los intervalos de números reales, además podrá reconocer los
números irracionales como los números reales que no son
racionales. Es conveniente insistir en que no admiten una
expresión en forma de fracción y que su expresión decimal
tiene infinitas cifras decimales no periódicas.
reales de variable real o para agrupar los datos de las variables estadísticas continuas.
GeoGebra. REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
En el recurso puede verse la representación de un número racional aplicando el teorema de Tales para dividir la unidad en partes
iguales. Puede utilizarse pulsando sobre la barra de navegación
para ver paso a paso dicha representación, o activando el botón
Reproduce de modo que la construcción se realizará automáticamente sin necesidad de interacción con el archivo.
La introducción de los distintos tipos de intervalos de la recta tomará importancia en unidades posteriores para para
determinar el dominio y el recorrido de algunas funciones
Soluciones de las actividades
35 Representa en la recta real estos números racionales.
4
5
3
a) b)
c)
9
7
4
a)
b)
c)
4
9
–1
0
Unidades didácticas 5
7
•
1
2
3
4
5
–1
0
3
4
•
1
12
2
3
4
5
–1
0
•
1
2
3
4
5
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
1
Números racionales
36 Representa en la recta real estos números racionales.
a)
12
b)
25
c)
37
d) −
2
5
4
8
9
a)
e) −
5
4
f) −
13
5
0
1
–
•
2
3
4
5
6
7
8
3
7
h) −
14
3
e)
12
5
–1
g)
–5
9
–4
–3
•
–2
5
4
–1
0
1
2
3
4
5
–2
–1
0
1
2
3
4
–2
–1
0
1
2
3
4
–4
–3
–2
–1
0
1
b)
25
4
3
4
5
6
f)
–
•
7
8
9
10
11
12
–6
13
–5
–4
13
5
–3
•
c) g)
37
8
1
2
3
4
–
•
5
6
7
8
9
10
–6
11
–5
–4
13
5
–3
•
d)
–
–4
–3
–2
–1
•
0
h)
2
9
–
1
2
3
4
5
–9
6
–8
–7
–6
14
3
–5
•
37 ¿Qué fracción representa cada punto destacado en esta recta real?
0
– 17
3
1
– 5
4
0 3 1
13
3
7
38 Indica cuáles de estos números son racionales y cuáles irracionales:

a) −2,3 
e) 1,254
b) 7 a)Racional
c) −4,32
d) 900 f) π + 2
g) 4 5
h) 6 −
c) Racional
e)Racional
g)Irracional
b)Irracional
d)Racional
f) Irracional
h)Irracional
Unidades didácticas 13
3
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
1
Números racionales
39 Clasifica los siguientes números en racionales o irracionales.
a)4,131 311 131 111 111 3…
c) 2,010 010 001 000 010 0…
e)0,235 711 131 719…
b)1,234 567 892 435 678 9…
d)3,445 566 778 899 001 122 334 4…
f) 3,123 412 341 234…
Son irracionales los números de los apartados a), b), c) y e), y racionales los de d) y f).
40 ¿Es un número racional la longitud del lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 1 dm de radio?
Si el radio mide 1 dm, el diámetro mide 2 dm y forma con dos lados consecutivos del cuadrado inscrito un triángulo
rectángulo.
Si llamamos l a la longitud del lado del cuadrado, aplicando el teorema de Pitágoras tenemos que: l2 + l2 = 22
Entonces: l2 = 2 → l =
2 que no es un número racional.
41 Indica cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas.
a)Si x es un número irracional, entonces x2 también es un número irracional.
b)La suma de dos números irracionales siempre es un número irracional.
c) Todo número decimal periódico es un número racional.
2
2 es un número irracional pero ( 2 ) = 2 es un número racional.
b)También esta afirmación es falsa. Por ejemplo, 2 y − 2 son números irracionales, pero su suma es 0, que es un
número racional.
a)Esta afirmación es falsa. Por ejemplo,
c) Esta afirmación es verdadera.
42 Dibuja estos intervalos en la recta real. Indica si son abiertos, cerrados o semicerrados.
a)[0, 2)
c) (−1, 2)
e)[4, +∞)
g)(−∞, 1]
b)(1, 3]
d)[2, 5]
f) (−∞, 3)
h)(−3, +∞)
a)e)
0
1
2
3
4
5 –2 –1
0
1
2
3
–4 –3 –2 –1
4
5
6
7
SemicerradoSemicerrado
b)
0
1
2
3
4
–2 –1
5
6
7
f)
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
–2
–1
0
1
2
3
4
5
–2
–1
0
1
2
3
4
SemicerradoAbierto
c) 0
1
2
–4 –3 –2 –1
3
4
5
g)
–4
–3
SemicerradoSemicerrado
d)
0
1
2
3
4
–2 –1
5
6
h)
7 –5
–4
–3
CerradoAbierto
43 Escribe en forma de intervalo los conjuntos formados por los números reales x tales que:
a)1 ≤ x < 4
b)3 < x < 5
c) −4 < x ≤ 1
d)13 ≤ x ≤ 15
a)[1, 4)
b)(3, 5)
c) (−4, 1]
d)[13, 15]
44 Describe mediante desigualdades los intervalos representados.
a)
a)−4 ≤ x < 1
0 1
b)
0 1
c) b)0 ≤ x ≤ 5
d)
0 1
0 1 c) x ≤ −1
d)2 < x < 4
Desafío
45 ¿Es un número racional el resultado de la operación
1+
6+
5+
16 ?
Sí, es un número racional porque:
1+ 6 + 5 + 16 = 1+ 6 + 5 + 4 = 1+ 6 + 9 = 1+ 6 + 3 = 1+ 9 = 1+ 3 = 4 = 2
Unidades didácticas 14
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Números racionales
1
5. Aproximaciones
1
5. APROXIMACIONES
46
●
Hallar la aproximación por
truncamiento y por redondeo
a un orden determinado.
Si observamos en un folleto publicitario que el precio de una piruleta es 0,90 €; el de
un balón, 4,95 €; y el de un abrigo, 99,90 €; inmediatamente pensamos que cuesta
la piruleta, 1 €, el balón, 5 € y el abrigo, 100 €. Damos un precio aproximado.
Elabora en tu cuaderno una tabla en la que indiques el truncamiento y el redondeo
a las centésimas de estos números.


4,0725
7,34
12,78
●
Calcular el error absoluto
y relativo cometido al
aproximar números.
47
Habitualmente usamos dos métodos para aproximar: el truncamiento y el
redondeo.
Miguel ha tenido que rellenar un formulario con datos de sus padres. En él ha
incluido como peso de su madre 62 kg y de su padre 75 kg. ¿En cuál de los dos
casos fue más acertada la aproximación realizada si el peso real de ambos es,
respectivamente, de 62,3 kg y 74,7 kg?
48
La carga máxima que puede soportar un ascensor es de 475 kg. Eduardo y María
quieren subir a su piso 14 cajas de 24,95 kg cada una. Si Eduardo pesa 75,45 kg,
y María, 50,4 kg, ¿podrán subir los dos y todas las cajas a la vez? Si aproximas los
pesos a las unidades, ¿llegas a la misma conclusión? Indica las cifras significativas
en cada caso.
Aprenderás a…
Truncar un número decimal a un determinado orden consiste en eliminar todas
las cifras decimales de los órdenes inferiores a él.
Redondear un número decimal a un determinado orden consiste en:
Lenguaje matemático
Al número de cifras que se
conocen con certeza más
una de cuyo valor no se está
seguro lo denominamos
cifras significativas.
0,0305
Tiene 3 cifras significativas
porque hay 3 cifras decimales
contadas desde la primera
no nula: 3, 0 y 5
Recuerda
El valor absoluto de un número
real, x, lo denotamos por | x |,
y es el mismo número, si es
positivo, y el opuesto, si es
negativo.
1
Actividades
Números racionales
❚ Si la cifra decimal del orden inferior es menor que 5, truncar el número a ese
orden decimal.
❚ Si la cifra decimal del orden inferior es mayor o igual que 5, truncar el número a
ese orden decimal y sumarle una unidad decimal del mismo orden.
EJERCICIO RESUELTO
}
 . ¿Se trata
Halla la aproximación por redondeo a las centésimas del número 0, 46
de una aproximación por exceso o por defecto?
49
EJERCICIO RESUELTO
}
Halla las aproximaciones por truncamiento y por redondeo a las décimas
y a las unidades de los precios del ejemplo anterior.
Solución
Truncamiento
a las décimas
Redondeo
a las décimas
Truncamiento
a las unidades
0,9
0,9
0
1
4,95
4,9
5
4
5
99,90
99,9
99,9
99
100
Redondeo
a las unidades
Calculamos la fracción generatriz de ambos números:
 = 57 = 19
0,57
99 33
Hallamos el error absoluto cometido: x − a =
Error absoluto y error relativo
Cuando decimos que los precios son 1 €, 5 € y 100 €, usamos aproximaciones que
difieren de los precios reales en 0,10 €, en 0,05 € y en 0,10 €, respectivamente. Estos
valores miden el error absoluto cometido en cada caso.
Si el valor a es una aproximación del número x, la diferencia en valor absoluto de
ambos números se denomina error absoluto.
=
0,1
0,9
= 0,11… → 11%
| 99,90 −100 |
| 99,90 |
=
0,1
99,9
19
33
−
2
3
=
19 − 22
33
=
3
33
=
1
11
 por su
Halla el error absoluto que se comete al reemplazar el número 0, 48
aproximación por redondeo a las décimas.
51
Los números 0,5 y 0,6 son dos aproximaciones del número
52
53
Podemos observar que el error absoluto que cometemos al aproximar el precio de
la piruleta y del abrigo coincide: 0,10 €. Para comparar el error cometido según el
número que hemos aproximado en cada caso, calculamos el error relativo:
 6 2
0,6 = =
9 3
50
Error absoluto = | x − a |
| 5 | = | −5 | = 5
| 0,90 |
 por el
Halla el error absoluto que se comete al sustituir el número 0 ,57

número 0 ,6.
Solución
0,90
| 0,90 −1 |
Lenguaje matemático
Decimos que un número,
a, obtenido al truncar o
redondear otro número,
b, es una aproximación
por defecto si a < b, y que,
es una aproximación por
exceso cuando a > b.
6
. Calcula el error
11
absoluto en cada caso. ¿Cuál de los dos es mejor aproximación?

Escribe una aproximación del número 7,3 de modo que el error absoluto que
cometas al emplear dicha aproximación sea menor que una centésima.
Al medir el radio de cierta circunferencia, hemos cometido un error menor que
2 cm. Utilizando este dato, ¿puede asegurarse que el error que cometemos al
aproximar el valor correcto del área del círculo encerrado es inferior a 4 cm2?
Razona tu respuesta.
= 0,001… → 0,1%
Investiga
Según los resultados que hemos obtenido, deducimos que el error cometido al
aproximar el precio de la piruleta es relativamente mayor que el de la aproximación
que hicimos para el abrigo.
54
El error relativo cometido al emplear una aproximación, a, de un número, x,
es el cociente entre el error absoluto y el valor absoluto del número. Se expresa
como porcentaje.
| x −a |
Error relativo =
|x|
Vamos a viajar desde Lugo a Ourense. Estima, midiendo sobre el mapa
con una regla, la distancia que separa ambas ciudades. Haz también
una estimación del error que cometerías si supieras que al medir te has
equivocado a lo sumo en 1 mm. (Observa que el mapa está realizado a
una escala de 1:5 000 000).
14
15
Sugerencias didácticas
Se exponen dos modos de aproximar un número real dado:
por redondeo y por truncamiento. En ambos casos, al sustituir el número por su aproximación se comete un error y es
conveniente conocer una cota del error cometido.
grave cometer un error de 1 cm al medir la longitud de una
autopista que al medir el largo de una cama. Es por ello que
resulta imprescindible introducir la noción de error relativo,
que da cuenta de la precisión de la medida realizada independientemente del tamaño de la magnitud original.
Se introducen las nociones de error absoluto y error relativo
de una medida. El primero nos informa de la desviación
existente entre el valor real de la magnitud y el valor obtenido en la medida. Ahora bien, es obvio que no es igual de
Es conveniente incidir en que el error absoluto se indica en
la misma unidad que el número, pero el error relativo debe
expresarse como porcentaje.
Soluciones de las actividades
46 Elabora en tu cuaderno una tabla en la que indiques el truncamiento y el redondeo a las centésimas de estos números.
 12,78
4,0725 7,34
Unidades didácticas Truncamiento
a las centésimas
Redondeo
a las centésimas
4,0725
4,07
4,07

7,34
7,34
7,34

12,78
12,78
12,79
15
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
1
Números racionales
47 Miguel ha tenido que rellenar un formulario con datos de sus padres. En él ha incluido como peso de su madre 62 kg
y de su padre 75 kg. ¿En cuál de los dos casos fue más acertada la aproximación realizada si el peso real de ambos es,
respectivamente, de 62,3 kg y 74,7 kg?
La aproximación al peso del padre es más acertada porque, aunque en ambos casos el error absoluto es:
62,3 − 62 = 74,7 − 75 = 0,3 kg, el error relativo cometido al aproximar el peso del padre es menor que el cometido
0,3
0,3
= 0,00401<
= 0,0048
al aproximar el peso de la madre:
62,3
74,7
48 La carga máxima que puede soportar un ascensor es de 475 kg. Eduardo y María quieren subir a su piso 14 cajas de
24,95 kg cada una. Si Eduardo pesa 75,45 kg, y María, 50,4 kg, ¿podrán subir los dos y todas las cajas a la vez? Si aproximas los pesos a las unidades, ¿llegas a la misma conclusión? Indica las cifras significativas en cada caso.
La suma de los pesos de Eduardo, María y las 14 cajas es: 75,45 + 50,4 + 14 ⋅ 24,95 = 475,15 kg
Luego no pueden subir a la vez en el ascensor.
Las aproximaciones a las unidades de los pesos de Eduardo, María y cada caja son 75 kg, 50 kg y 25 kg, respectivamente.
La correspondiente suma es: 75 + 50 + 14 ⋅ 25 = 475 kg.
Así que, si aproximamos los pesos, llegamos a la conclusión contraria.
Las cifras significativas en el peso de Eduardo y de las cajas son 2 y en el peso de María es 1.
 . ¿Se trata de una aproximación por exceso o por
49 Halla la aproximación por redondeo a las centésimas del número 0, 46
defecto?
 es 0,46.
La aproximación por redondeo a las centésimas de 0, 46

Es una aproximación por defecto, pues: 0,46 < 0, 46
 por su aproximación por redondeo a las décimas.
50 Halla el error absoluto que se comete al reemplazar el número 0, 48
 − 0,5 =
La aproximación por redondeo a las décimas es 0,5. El error absoluto cometido es: 0, 48
51 Los números 0,5 y 0,6 son dos aproximaciones del número
es mejor aproximación?
6
− 0,5 =
6
1
1
= 0,045 6
11
− 0,6 =
33
−
1
2
=
1
66
. Calcula el error absoluto en cada caso. ¿Cuál de los dos
6
3
−
=
3
= 0,054
11
11 2
22
11
11 5
55
Es mejor aproximación 0,5 porque el error absoluto cometido es menor.

52 Escribe una aproximación del número 7,3 de modo que el error absoluto que cometas al emplear dicha aproximación
sea menor que una centésima.
−
=
6
16


2 201
1
22
1
Respuesta abierta, por ejemplo: 7,3 +
=
+
=
= 7,336
300
3 300
300
53 Al medir el radio de cierta circunferencia, hemos cometido un error menor que 2 cm. Utilizando este dato, ¿puede asegurarse que el error que cometemos al aproximar el valor correcto del área del círculo encerrado es inferior a 4 cm2? Razona
tu respuesta.
No se puede asegurar. Para probarlo basta observar que si 2 cm es el valor exacto del radio de la circunferencia y 1 cm es
el valor aproximado, el error cometido al medir el radio es: 1 < 2
Pero el error cometido al medir el área es: π ⋅ 22 − π ⋅12 = 3π > 4
Investiga
54 Vamos a viajar desde Lugo a Ourense. Estima, midiendo sobre el mapa con una regla, la distancia que separa ambas
ciudades. Haz también una estimación del error que cometerías si supieras que al medir te has equivocado a lo sumo en
1 mm. (Observa que el mapa está realizado a una escala de 1:5 000 000).
Al medir sobre el mapa obtenemos que la distancia entre Lugo y Ourense es de 16 mm.
Como la escala es 1:5 000 000, la distancia real entre ambas ciudades es de: 16 ⋅ 5 000 000 = 80 000 000 mm = 80 km
Como 1 mm sobre el mapa equivale a 5 000 000 mm = 5 km, el error que se comete tras equivocarnos 1 mm en la medición sobre el mapa es de 5 km.
Unidades didácticas 16
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Números racionales
1
¿Qué tienes que saber?
?
¿QUÉ
1
Actividades
tienes que saber
Fracciones
55
Ten en cuenta
Operaciones con fracciones
Para realizar operaciones
combinadas con fracciones:
Calcula: 1 +
1 Se resuelven los paréntesis.
2 Se calculan las multiplicaciones y
las divisiones en el orden en que
aparecen.
3 Se resuelven las sumas.
56
3 ⎜⎛ 2 1 4 ⎟⎞
⋅ ⎜ − : ⎟⎟
5 ⎜⎝⎜ 7 3 5 ⎟⎠
62
2
Halla la fracción equivalente a
cuyo numerador
89
es 100.
Para sumar, reducimos a
común denominador.
3 ⎛ 11 ⎞⎟
33
3 ⎛ 24 35 ⎞⎟
420
33
387 129
⎟⎟ = 1+ ⋅ ⎜⎜ −
⎟⎟ = 1−
= 1+ ⋅ ⎜⎜⎜
−
=
−
=
=
5 ⎜⎝⎜ 84 ⎟⎠
420 420 420 420 140
5 ⎝⎜ 84 84 ⎟⎠
❚ La fracción irreducible equivalente
a un número decimal exacto o
periódico se denomina fracción
generatriz del número decimal.
c =
59
213
90
=
30
Aproximación
Error absoluto
5
Por redondeo
1,7
5
3
−
17
10
=
1
3
−
17
10
5
30
1
1
= 30 =
= 0,02 = 2%
5
50
3
5
Por truncamiento
1,6
5
3
−
16
10
=
1
3
−
5
15
61
10
1
−
63
2
de los alumnos de un centro escolar hacen
5
uso del servicio de comedor.
Los
7 022
214
41
241
103
241
103
241
103
82
734
3668
2 15
⋅
4
+
c)
5
d)
3
6
4 3
⋅
−
:
51 23 17 34
46
4
12 1
⋅
−
:
8 27 13 26
3
Realiza estas operaciones y observa cómo la aparición
del paréntesis altera el resultado.
3 5
13
−
⋅
15 25 18
⎛ 13
3 ⎟⎞ 5
⎜
⎟⋅
d) ⎜⎜ −
⎜⎝ 15 25 ⎟⎟⎠ 18
c)
Calcula el número de alumnos matriculados en el
centro, sabiendo que 324 se quedan a comer en el
colegio.
64
Tres hermanos reciben una herencia. Al mayor le
corresponden dos quintos de la misma, y al mediano,
la tercera parte. ¿Qué fracción de la herencia le han
dejado al hermano pequeño?
65
Pilar tiene contratada una tarifa de telefonía móvil
que incluye la realización de llamadas a otros móviles
durante 600 min a lo largo del mes. Si la primera
semana consume tres cuartos del tiempo establecido,
y la segunda semana, la tercera parte de lo que le
quedaba, ¿de cuántos minutos dispone aún Pilar
según dicha tarifa?
Efectúa las siguientes operaciones y expresa el
resultado en forma de fracción irreducible.
b)
1
= 15 =
= 0,04 = 4%
5
25
3
3
8
a) 5 +
3
16
789
−
a)
Error relativo
|x|
365
241
103
2 5 16
+
⋅
9 12 27
⎛ 2 5 ⎟⎞ 16
⎜
⎟⋅
b) ⎜⎜ +
⎜⎝ 9 12 ⎟⎟⎠ 27

Determina las aproximaciones a las décimas por redondeo y por truncamiento de 1, 6 .
Calcula el error absoluto y el error relativo que se comete en cada caso.
| x −a |
−
9 1
b)
− :
40 8 5
❚ Error absoluto = | x − a |
❚ Error relativo =
8
15
Aproximaciones
Si a es una aproximación del
número x:
17
5
Efectúa las siguientes operaciones, simplificando
cuando sea posible y teniendo presente la jerarquía
de las operaciones.
a)
71
60
Ten en cuenta
84
140
334 4 4442424242
7427 713
77
131313
13
3 3 34
c) −− −−−
−− −−−
29292929
5 5 5529292929
15
529
12
29
121212
15
12
151515
90c = 213
9 b = 15
15 5
=
b=
9
3
800
241
103
b) −
200

c)
c = 2,36

100c = 236,6

− 10c = 23,6

10 b = 16,6

− b = 1,6
184
Ordena las fracciones de menor a mayor.
Halla la fracción generatriz de estos números racionales.


a) 1,234
b) 1, 6
c) 2, 36
a = 1,234
a)
1 000 a = 1 234
1 234 617
a=
=
1 000 500
5
12
58
a)

b) b = 1,6
3
576
115
Halla la expresión irreducible de tres números
5
4
y .
racionales situados entre
7
7
Fracción generatriz
❚ Al dividir el numerador por el
denominador de una fracción, se
puede obtener un número entero,
un número decimal exacto o un
número decimal periódico puro o
mixto.
9
57
Simplificamos el resultado.
3 ⎛ 11 ⎟⎞
33
3 ⎛⎜ 24 35 ⎟⎞
420
33
387 129
⎟⎟ = 1+ ⋅ ⎜⎜ −
⎟⎟ = 1−
⋅⎜
−
=
−
=
=
5 ⎜⎝⎜ 84 ⎟⎠
420 420 420 420 140
5 ⎜⎝⎜ 84 84 ⎟⎠
Ten en cuenta
7
306
448
Multiplicamos numerador por numerador y denominador por denominador.
= 1+
216
Calcula y expresa el resultado en forma de fracción
irreducible.
⎡ 2 ⎛ 1 3 ⎞⎟ 1 ⎤
⎜
a) 3 − ⎢⎢ : ⎜⎜⎜ + ⎟⎟⎟ + ⎥⎥
⎣5 ⎝5 4⎠ 2⎦
⎛ 1 4 ⎞⎤
5 ⎡⎢ 3
− + 1: ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟ ⎥
b)
⎜⎝ 4 3 ⎟⎠ ⎥⎦
6 ⎢⎣ 2
⎤
5 ⎢⎡ ⎜⎛ 2 5 ⎟⎞ 4
⎟
:
+
⎜
c)
⎟ ⋅ − 5 ⎥⎥
4 ⎢⎣ ⎜⎝⎜ 3 6 ⎠⎟ 5
⎦
⎡⎛ 3
⎞
⎤ ⎡⎛ 2
⎟
⎟⎞ 6 + 3 ⎤⎥
⎜
⎜
d) ⎢⎢ ⎜⎜⎜ + 1⎟⎟⎟ ⋅ 5 − 2 ⎥⎥ : ⎢⎢ ⎜⎜⎜ + 1⎟⎟⎟ ⋅
⎥
⎠
⎠ 10
⎣⎝ 5
⎦ ⎣⎝ 3
⎦
⎞
⎡ ⎛ 6 7 3 ⎟⎞ 1 1 ⎤ ⎛ 4
⎜⎜ + − ⎟ : + ⎥ ⋅ ⎜⎜ − 2 + 1 ⎟⎟
⎢
e) ⎢ ⎜⎜
⎟⎟
⎟
⎥ ⎜⎝⎜ 5
⎠
⎝
6
4
2
2
3 ⎟⎠
9
⎣
⎦
⎞ 3
⎡⎛ 2
⎤ ⎡ ⎛ 9 9 ⎟⎞ 12
⎤
1
⎟
⎜
+ 1⎟⎟ :
− ⎥ : ⎢ ⎜⎜⎜ − ⎟⎟ :
− 8⎥
f) ⎢⎢ ⎜⎜⎜
⎥
⎢
⎥
⎠⎟ 18 5 ⎦ ⎣ ⎜⎝ 2 3 ⎠⎟ 8
⎣ ⎝ 10
⎦
Copia y empareja en tu cuaderno las fracciones que
sean equivalentes.
Para dividir, multiplicamos por la fracción inversa.
3 ⎛2 1 5⎞
3 ⎛2
3 ⎛2 1 4⎞
5 ⎞
1+ ⋅ ⎜⎜⎜ − : ⎟⎟⎟ = 1+ ⋅ ⎜⎜⎜ − ⋅ ⎟⎟⎟ = 1+ ⋅ ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟ =
5 ⎜⎝ 7 3 4 ⎟⎠
5 ⎜⎝ 7 12 ⎟⎠
5 ⎝⎜ 7 3 5 ⎟⎠
1
Finales
c)
1
2
3
4
2 ⎜⎛ 4 1 3 ⎟⎞
⋅ ⎜ − : ⎟⎟
3 ⎜⎜⎝ 9 3 5 ⎟⎠
−
1 ⎛⎜ 5 2 4 ⎞⎟
⋅ ⎜ + : ⎟⎟
8 ⎜⎝⎜ 6 3 7 ⎟⎠
−
1 ⎜⎛ 7 1 1 ⎟⎞
⋅⎜ − : ⎟
5 ⎝⎜ 3 3 2 ⎟⎠
16
17
Sugerencias didácticas
En esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta
unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:
❚❚ Efectuar operaciones combinadas en las que aparecen fracciones.
❚❚ Obtener la fracción generatriz de números decimales exactos y periódicos.
❚❚ Calcular aproximaciones de números reales por redondeo y por truncamiento.
❚❚ Emplear las nociones de error absoluto y relativo para estimar la aproximación más adecuada de una medida.
Actividades finales
Soluciones de las actividades
55 Halla la fracción equivalente a
2
89
cuyo numerador es 100.
Multiplicamos por 50 numerador y denominador:
100
4 450
56 Copia y empareja en tu cuaderno las fracciones que sean equivalentes.
216
306
7
9
Unidades didácticas 448
576
3
5
115
184
12
17
84
Las parejas de fracciones equivalentes son:
3
216 12 448 7 115 5 84
=
,
= ,
= ,
=
306 17 576 9 184 8 140 5
140
5
8
17
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
1
Números racionales
4
57 Halla la expresión irreducible de tres números racionales situados entre
y
7
5
7
.
Respuesta abierta, por ejemplo: Escribimos las fracciones equivalentes a las dadas con denominador 28; esto es:
4
De modo que:
7
16
=
<
28
17
28
18
<
<
28
19
28
<
20
28
=
5
16
28
y
20
28
7
17 9 19
, ,
28 14 28
58 Ordena las fracciones de menor a mayor.
Así, los tres números racionales son:
a)
800
−
241
103
b) −
200
c) −
a) −
365
−
241
103
−
789
3
4
29
5
365
241
103
<−
−
214
241
103
<
214
41
7 022
241
103
241
103
241
103
82
734
3 668
42
7
13
29
12
15
41
<
800
241
103
<
7 022
241
241
103 103
<−
<
<
<
b) −
82
200 3 668 789 734
c) m.c.m. (5, 12) = 60
4
5
=
35
48
7
60
12
<
48
52
<
=
35
13
60
15
→−
42
<−
3
=
<
52
60
7
<
4
<
13
60 60 60
29
29 12 5 15
59 Efectúa las siguientes operaciones, simplificando cuando sea posible y teniendo presente la jerarquía de las operaciones.
a)
b)
a)
b)
3
8
+
15
40
3
8
3
2 15
⋅
5 4
c)
9 1
: 8 5
d)
−
+
−
3
2
=
45
15
8
=−
42
=−
21
c)
d)
46
⋅
6
51 23
3
4
⋅
−
8 27
4
17
3
8
−
3
4
⋅
−
4
17 34
12
1
:
13 26
=−
−
3
:
12
124
51
:
1
=
1
− 24 = −
8
8
8
4
8 27 13 26 18
60 Realiza estas operaciones y observa cómo la aparición del paréntesis altera el resultado.
5 16
⋅
9 12 27
⎛ 2 5 ⎞ 16
b) ⎜⎜⎜ + ⎟⎟⎟ ⋅
⎝ 9 12 ⎠ 27
a)
a)
b)
2
2
+
+
20
=
38
c)
c)
92
23 16
⋅
=
36 27 243
d)
81
Unidades didácticas 81
−
3
18
5
⋅
15 25 18
⎛ 13
3 ⎞⎟ 5
⎟⋅
d) ⎜⎜⎜ −
⎝ 15 25 ⎟⎠ 18
9
13
431
13
15
−
56
⋅
1
30
5
75 18
18
=
=
25
30
=
5
6
28
135
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Números racionales
1
61 Efectúa las siguientes operaciones y expresa el resultado en forma de fracción irreducible.
a) 5 +
2 ⎛⎜ 4 1 3 ⎞⎟
⋅ ⎜ − : ⎟⎟ 3 ⎜⎝ 9 3 5 ⎠
b)
1
−
1 ⎛⎜ 5 2 4 ⎞⎟
⋅ ⎜ + : ⎟⎟ 8 ⎜⎝ 6 3 7 ⎠
c)
2
⎛
⎛
⎞
⎞
2 4 5
1
133
2
2
a) 5 + ⋅ ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟ = 5 + ⋅ ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟ = 5 −
=
⎝
⎝
⎠
⎠
3 9 9
3
9
27
27
⎛
⎞
1 1
1 1 1
1 1 5 7
b) − ⋅ ⎜⎜⎜ + ⎟⎟⎟ = − ⋅ 2 = − =
⎝
⎠
2 8 6 6
2 8
2 4 4
1 ⎛⎜ 7 2 ⎞⎟ 3 1 5 3 1
5
⋅ ⎜⎜ − ⎟⎟ = − ⋅ = − =
4 5 ⎝ 3 3 ⎠ 4 5 3 4 3 12
62 Calcula y expresa el resultado en forma de fracción irreducible.
⎤
⎡ 2 ⎛ 1 3 ⎞ 1⎤
⎡⎛ 3 ⎞
a) 3 − ⎢ : ⎜⎜⎜ + ⎟⎟⎟ + ⎥ d) ⎢ ⎜⎜⎜ + 1⎟⎟⎟ ⋅ 5 − 2 ⎥
⎢⎣ 5 ⎝ 5 4 ⎠ 2 ⎥⎦
⎢⎣ ⎝ 5
⎥
⎠
⎦
c)
3
4
−
1 ⎛⎜ 7 1 1 ⎞⎟
⋅ ⎜ − : ⎟⎟
5 ⎜⎝ 3 3 2 ⎠
−
⎛ 1 4 ⎞⎤
⎡3
− ⎢ + 1: ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟ ⎥ ⎝ 4 3 ⎠ ⎥⎦
6 ⎢⎣ 2
⎤
5 ⎡⎛ 2 5 ⎞ 4
c) : ⎢ ⎜⎜⎜ + ⎟⎟⎟ ⋅ − 5 ⎥ ⎥⎦
4 ⎢⎣ ⎝ 3 6 ⎠ 5
b)
3
5
⎤
⎡⎛ 2 ⎞ 6
: ⎢ ⎜⎜⎜ + 1⎟⎟⎟ ⋅
+ 3⎥
⎢⎣ ⎝ 3 ⎠ 10
⎥⎦
1⎤
1 1 ⎥⎤ ⎡⎢ 4
+ ⋅ −2+ ⎥
6 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 5
3 ⎥⎦
⎡⎛ 6 7 3 ⎞
e) ⎢ ⎜⎜⎜ + − ⎟⎟⎟ :
⎢⎣ ⎝ 9 4 2 ⎠
⎡⎛ 2
⎞ 3
1⎤
f) ⎢ ⎜⎜⎜
+ 1⎟⎟⎟ :
− ⎥
⎢⎣ ⎝ 10
⎠ 18 5 ⎥⎦
⎤
⎡ ⎛ 9 9 ⎞ 12
: ⎢ ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟ :
− 8⎥
⎢⎣ ⎝ 2 3 ⎠ 8
⎥⎦
⎡ 2 19 1 ⎤
⎡ 8 1⎤
35 79
a) 3 − ⎢ :
+ ⎥ = 3− ⎢
+ ⎥ = 3−
=
⎢⎣ 5 20 2 ⎥⎦
⎢⎣ 19 2 ⎥⎦
38 38
⎛ 13 ⎞ ⎤ 5 ⎡ 3 12 ⎤ 5 15 20 10
5 ⎡3
b) − ⎢ + 1: ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟ ⎥ = − ⎢ − ⎥ = −
=
=
⎢
⎝ 12 ⎠ ⎥⎦ 6 ⎢⎣ 2 13 ⎥⎦ 6 26 78 39
6 ⎣2
⎤ 5 ⎡6
⎤ 5 ⎛ 19 ⎞
5 ⎡3 4
25
c) : ⎢ ⋅ − 5 ⎥ = : ⎢ − 5 ⎥ = : ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟ = −
⎢
⎥
⎢
⎥
4 ⎣2 5
76
⎦ 4 ⎣5
⎦ 4 ⎝ 5⎠
⎤ ⎡5 3
⎤
⎡8
6 3
d) ⎢ ⋅ 5 − 2 ⎥ : ⎢ ⋅ + 3 ⎥ = (8 − 2) : (1+ 3) = =
⎢⎣ 5
⎥⎦ ⎢⎣ 3 5
⎥⎦
4 2
⎡ 11 1 1 ⎤ ⎡ 13 ⎤ ⎡ 11 1 ⎤ ⎛ 13 ⎞⎟
⎛ 13 ⎞
26
e) ⎢
: + ⎥ ⋅ ⎢ − ⎥ = ⎢ + ⎥ ⋅ ⎜⎜⎜ − ⎟⎟ = 6 ⋅ ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟ = −
⎢⎣ 12 6 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 15 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 2 ⎥⎦ ⎝ 15 ⎠
⎝ 15 ⎠
15
⎤ ⎛ 36 1 ⎞⎟
⎡ 6 1 1⎤ ⎡ 3 3
f) ⎢ : − ⎥ : ⎢ : − 8 ⎥ = ⎜⎜⎜
− ⎟⎟ : (1− 8 ) = 7 : (−7) = −1
⎢⎣ 5 6 5 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 2
⎥⎦ ⎝ 5
5⎠
63 Los
2
de los alumnos de un centro escolar hacen uso del servicio de comedor. Calcula el número de alumnos matricula5
dos en el centro, sabiendo que 324 se quedan a comer en el colegio.
2
2
= 810 alumnos
5
5
64 Tres hermanos reciben una herencia. Al mayor le corresponden dos quintos de la misma, y al mediano, la tercera parte.
¿Qué fracción de la herencia le han dejado al hermano pequeño?
Como 324 alumnos son
del número de alumnos matriculados, el total es: 324 :
La fracción que percibe el hermano pequeño es: 1−
2
−
1
=
4
5 3 15
65 Pilar tiene contratada una tarifa de telefonía móvil que incluye la realización de llamadas a otros móviles durante 600 min
a lo largo del mes. Si la primera semana consume tres cuartos del tiempo establecido, y la segunda semana, la tercera
parte de lo que le quedaba, ¿de cuántos minutos dispone aún Pilar según dicha tarifa?
⎛
⎛ 1 1 1⎞
⎛1
3 1 ⎛
3 ⎞⎞
1⎞
1
Pilar dispone de: 600 ⋅ ⎜⎜⎜1− − ⋅ ⎜⎜⎜1− ⎟⎟⎟⎟⎟⎟ = 600 ⋅ ⎜⎜⎜ − ⋅ ⎟⎟⎟ = 600 ⋅ ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟ = 600 ⋅ = 100 min
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎝
⎠
⎠
4 3
4
4 3 4
4 12
6
Unidades didácticas 19
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
1
Números racionales
1
Actividades
Números racionales
Fracciones y números decimales
EJERCICIO RESUELTO
}
De un depósito lleno se ha extraído la mitad
del agua que contenía y, posteriormente, las
tres cuartas partes de lo que quedaba. ¿Cuál
es la capacidad del depósito si después de las
extracciones aún quedan 15 litros?
69
a) −
Solución
b)
c)
Tras la primera extracción, en el depósito ha quedado la
mitad del agua.
7
d)
8
13
e)
15
8
f)
11
3
de
1
2
=
1
−
3
8
=
Fracción
528
3 150
8
=
1
612
8
Fátima ha cortado un tercio de una cinta para hacer
un lazo y con los tres cuartos del resto ha preparado
un regalo para su amiga. Ha sobrado un trozo de
4 cm. ¿Cuánto medía la cinta?
13
99
O
450
72
2
De los 305 m2 de una huerta,
se dedican al cultivo
3
2
de lo que queda se reserva para
5
patatas, y en la superficie restante se han plantado
coles. ¿Cuántos metros cuadrados del huerto se
dedican a las coles?
de lechugas;
Juan sale de su casa con una bolsa de caramelos. Al
llegar al colegio reparte dos tercios de la misma entre
sus compañeros. De regreso a casa se encuentra
con su primo, al que regala la cuarta parte de los
caramelos que le quedaban. ¿Cuántos contenía
inicialmente la bolsa si al volver a casa todavía le
quedan 15 caramelos?
Tipo de
decimal
Análogamente, también debe ser entero el número de
3N
, lo
alumnos que pasó el examen de Inglés, que es
4
que implica que N es múltiplo de 4.
O
El único número menor que 40 que es múltiplo de 9 y
de 4 es el 36.
2
3⋅5 ⋅7
O
Exacto
O
O
O
O
76

d) 8, 45
79
Indica a cuáles de los siguientes intervalos pertenece

El 0, 4 de los habitantes de Villacastín se vacunaron
de la gripe el invierno pasado. Aun así, contrajeron
104
de la población. ¿Cuántos
la enfermedad
181
habitantes tiene el pueblo si lo habitan menos de
3 000 personas?
77
a) a + b
b) a − b
π
c) a ⋅ b
− 81
b
2+
80
(
5, 3
)
)
d) (2,3; 3]
Escribe dos intervalos abiertos a los que pertenezca

el número −2,5 .
Aproximaciones y errores
81
Halla las aproximaciones por redondeo y por
.
truncamiento a las centésimas del número 0,71
Razona si se trata de aproximaciones por exceso o
por defecto.
82
Calcula el error absoluto cometido al emplear las
aproximaciones realizadas en el ejercicio anterior.
83
Elisa quiere hacer un regalo por Navidad, para lo
que dispone de tres botellas de vino, cuyo peso es
de 1,25 kg cada una, 4 quesos y 2 jamones. Cada
queso pesa 3 kg, y cada jamón, 4 kg. La cesta que
quiere regalar no puede pesar más de 19 kg. ¿Cuál
es la composición de la cesta que mejor se aproxima
a dicho peso máximo?
84
Daniel y Joaquín salieron el sábado por la tarde.
El primero estuvo en el cine y vio una película que
duró 89 min, mientras que Joaquín disfrutó de un
espectáculo de magia de 46 min de duración. Daniel
les contó a los amigos que la película había durado
una hora y media, mientras que Joaquín les dijo
que el espectáculo al que él acudió se prolongó por
espacio de tres cuartos de hora. ¿Cuál de los dos dio
una información más precisa? ¿Por qué?
85
Pedro ha ido a las rebajas y ha comprado una
camiseta y un estuche.
4
14

2,345
5
a
c) ⎡⎢ 5 , 3
⎣
a) [2, 3]
En un quiosco se vende una octava parte de las
revistas por la mañana, mientras que por la tarde

se vende el 0,1 . ¿Cuántas revistas había en total
sabiendo que eran menos de 100?
Copia el diagrama en tu cuaderno situando en él
estos números.

3
7,2
4
5.
el número
Números racionales e irracionales
 y b = 1,7 , expresa
Dados los números a = 3, 412
como fracción irreducible los resultados de estas
operaciones.
d)
74
Factorización
del denominador
Si N es el número de alumnos de clase, podemos decir
5N
,
que los que aprobaron el examen de Biología son
9
y este ha de ser un número entero por tratarse de un
número de alumnos. Por tanto, N es múltiplo de 9.
e) −3,36

f) 2,965

c) −1,87
73
68

5
La fracción generatriz correspondiente a 0,5 es .
9
1
60
Halla la fracción generatriz correspondiente a cada
número decimal.
a) 0,72

b) 4,7
67
9
75
91
¿Es un número racional la longitud del lado de un
rombo cuyas diagonales miden 4 cm y 6 cm? Razona
tu respuesta.
b)
En consecuencia, en la clase de Omar hay 36 alumnos.
693
285
66
O
O
150
1
Si
de la capacidad del depósito son 15 L, entonces la
8
capacidad total es 15 ⋅ 8 = 120 L.
Fracción
irreducible
En la clase de Omar pasó el examen de Biología

el 0 ,5 del total de alumnos, mientras que tres
cuartas partes aprobaron el examen de inglés.
¿Cuántos alumnos hay en la clase, sabiendo que
son menos de 40?
78
Solución
Copia esta tabla en tu cuaderno y complétala.
3
4−3
8
71
Luego, en el depósito queda:
2
100
¿Cuál es la trigésima cifra decimal del número que se
1583
obtiene al expresar en forma decimal
?
37
8
}
37
70
En la segunda extracción se saca:
4
EJERCICIO RESUELTO
Expresa en forma decimal los siguientes números
racionales e indica qué tipo de número decimal se
obtiene en cada caso.
1
Finales
Indica razonadamente si la expresión:


2,87 + 0, 41
corresponde a un número entero. Haz lo mismo con
la expresión:


2,8 + 0,2
¿En cuál de los dos productos ha conseguido un
descuento mejor? Razona tu respuesta.
18
19
66 Fátima ha cortado un tercio de una cinta para hacer un lazo y con los tres cuartos restantes ha preparado un regalo para
su amiga. Ha sobrado un trozo de 4 cm. ¿Cuánto medía la cinta?
1⎞ 1 3 2 1 1 5
1 3 ⎛
Fátima ha empleado: + ⋅ ⎜⎜⎜1− ⎟⎟⎟ = + ⋅ = + =
de la cinta
3 4 ⎝
3⎠ 3 4 3 3 2 6
Como le ha sobrado un trozo de 4 cm, la cinta medía: 4 :
67 De los 305 m2 de una huerta,
2
1
6
= 24 cm
se dedican al cultivo de lechugas;
2
de lo que queda se reserva para patatas, y en la
3
5
superficie restante se han plantado coles. ¿Cuántos metros cuadrados del huerto se dedican a las coles?
2⎞ 2
2 ⎛
La fracción de huerto plantada con patatas es: ⋅ ⎜⎜⎜1− ⎟⎟⎟ =
5 ⎝
3 ⎠ 15
Luego la fracción destinada a las coles es: 1−
2
3
−
2
15
=
1
5
1
= 61 m2
5
68 Juan sale de su casa con una bolsa de caramelos. Al llegar al colegio reparte los dos tercios de la misma entre sus compañeros. De regreso a casa se encuentra con su primo, al que regala la cuarta parte de los caramelos que le quedaban.
¿Cuántos contenía inicialmente la bolsa si al volver a casa todavía le quedan 15 caramelos?
2⎞ 2 1 1 2 1
3
2 1 ⎛
Juan ha regalado: + ⋅ ⎜⎜⎜1− ⎟⎟⎟ = + ⋅ = +
de los caramelos
=
3 4 ⎝
3 ⎠ 3 4 3 3 12 4
Por tanto, el terreno dedicado a las coles mide: 305 ⋅
Así que Juan salió de casa con: 15 :
Unidades didácticas 1
4
= 60 caramelos
20
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Números racionales
1
69 Expresa en forma decimal los siguientes números racionales e indica qué tipo de número decimal se obtiene en cada caso.
a) −
b) 7
c) d) 8
13
8
11
e) 37
15
100
a)−0,875 → Número decimal exacto

b) 0,86 → Número decimal periódico mixto
 → Número decimal periódico puro
c) 0,72
f) 8
9
1
60
d)0,37 → Número decimal exacto

e) 0,8 → Número decimal periódico puro

f) 0,016 → Número decimal periódico mixto
70 ¿Cuál es la trigésima cifra decimal del número que se obtiene al expresar en forma decimal
1583
37
?
1583
 → La trigésima cifra decimal es 3.
= 42,783
37
71 Copia esta tabla en tu cuaderno y complétala.
Fracción
Fracción
irreducible
528
88
3 150
525
612
102
150
25
91
13
693
99
285
19
450
30
Factorización
del denominador
Tipo de
decimal
3 ⋅ 52 ⋅ 7
Periódico mixto
52
Exacto
32 ⋅ 11
Periódico puro
2⋅3⋅5
Periódico mixto
72 Halla la fracción generatriz correspondiente a cada número decimal.

c) −1,87 
d) 8, 45
a)0,72

b) 4,7 a)
b) 18
25
43
c) −
d) 169
90
93
e) − 3,36

f) 2,965
e) −
f) 84
25
2 669
9
11
900


73 Dados los números a = 3, 412 y b = 1,7 , expresa como fracción irreducible los resultados de estas operaciones.
a)a + b
a)
b)
563
165
563
165
+
b)a − b
16
−
9
16
9
=
=
c)
563 16 9 008
⋅
=
1 485
165 9
d)
880
563 16
:
=
1 689
165 9
2 569
495
809
495
c) a ⋅ b


d)
b
a
74 Indica razonadamente si la expresión: 2,87 + 0, 41 corresponde a un número entero. Haz lo mismo con la expresión:


2,8 + 0,2

 259 37 296 148

2,87 + 0, 41 =
+
=
=
= 3,28 → Es un número decimal periódico mixto, no es un número entero.
90
90
90
45

 26 2 28

2,8 + 0,2 =
+ =
= 3,1 → Es un número decimal periódico puro, no es un número entero.
9
9
9
Unidades didácticas 21
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
1
Números racionales

75 El 0, 4 de los habitantes de Villacastín se vacunaron de la gripe el invierno pasado. Aun así, contrajeron la enfermedad
104
de la población. ¿Cuántos habitantes tiene el pueblo si lo habitan menos de 3 000 personas?
181

4
La fracción generatriz correspondiente a 0, 4 es . Si N es el número de habitantes de Villacastín, podemos decir que
9
4N
los que se vacunaron son
, y este ha de ser un número entero por tratarse de un número de personas. Por tanto, N
9
es múltiplo de 9.
104 N
Análogamente, también debe ser entero el número de enfermos, que es
, lo que implica que N es múltiplo de 181.
181
El único número menor que 3 000 que es múltiplo de 9 y de 181 es el 1 629. Por tanto, en Villacastín hay 1 629 habitantes.

76 En un quiosco se vende una octava parte de las revistas por la mañana, mientras que por la tarde se vende 0,1 . ¿Cuántas
revistas había en total sabiendo que eran menos de 100?

1
La fracción generatriz correspondiente a 0,1 es . Si N es el número de revistas, podemos decir que por la tarde se ven9
N
dieron
revistas, y este ha de ser un número entero. Por tanto, N es múltiplo de 9.
9
N
Análogamente, también debe ser entero el número de revistas que se vende por la mañana: , lo que implica que N es
8
múltiplo de 8.
El único número menor que 100 que es múltiplo de 9 y de 8 es el 72. En consecuencia, había 72 revistas.
77 Copia el diagrama en tu cuaderno situando en él estos números.
N

3
7,2 π 2 + 4
4

2,345
− 81 5
14
14
2+
Z
Q
R
4
– √—
81
2,345
3/4
√—
5
7,2
π
78 ¿Es un número racional la longitud del lado de un rombo cuyas diagonales miden 4 cm y 6 cm? Razona tu respuesta.
Las semidiagonales del rombo miden 2 cm y 3 cm.
Aplicando el teorema de Pitágoras, el lado del rombo mide:
22 + 32 =
79 Indica a cuáles de los siguientes intervalos pertenece el número
a)[2, 3]
b) ( 5 , 3 ) c) ⎡⎣⎢ 5 , 3 ) 13 cm, que no es un número racional.
5.
d) (2,3; 3]
5 solo pertenece a los intervalos [2, 3] y ⎡⎢⎣ 5 , 3 ) .

80 Escribe dos intervalos a los que pertenezca el número −2,5 .

Respuesta abierta, por ejemplo: El número −2,5 pertenece a los intervalos [−3, 0] y [−4, −1].
El número
 . Razona si se trata de apro81 Halla las aproximaciones por redondeo y por truncamiento a las centésimas del número 0,71
ximaciones por exceso o por defecto.
La aproximación por truncamiento a las centésimas es 0,71, y la aproximación por redondeo a las centésimas es 0,72.
 , y la segunda es por exceso, porque 0,72 > 0,71
.
La primera es una aproximación por defecto, pues: 0,71 < 0,71
82 Calcula el error absoluto cometido al emplear las aproximaciones realizadas en el ejercicio anterior.
El error absoluto cometido al aproximar por truncamiento es:
 − 0,71 = 71 − 72 = 71 = 0,0071

0,71
99 100
9 900
Mientras que el error cometido al aproximar por redondeo es:
 − 0,72 = 71 − 72 = 28 = 0,0028

0,71
99 100
9 900
Unidades didácticas 22
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Números racionales
1
83 Elisa quiere hacer un regalo por Navidad, para lo que dispone de tres botellas de vino, cuyo peso es de 1,25 kg cada una,
4 quesos y 2 jamones. Cada queso pesa 3 kg, y cada jamón, 4 kg. La cesta que quiere regalar no puede pesar más de
19 kg. ¿Cuál es la composición de la cesta que mejor se aproxima a dicho peso máximo?
Si Elisa llenase la cesta con todos los productos de que dispone, su peso esta sería: 3 ⋅ 1,25 + 4 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 = 23,75 kg
Ahora bien, como la cesta solo puede alcanzar un peso de 19 kg, Elisa ha de retirar al menos: 23,75 − 19 = 4,75 kg
La mejor aproximación por exceso a 4,75 kg que podemos realizar es: 4 + 1,25 = 5,25 kg
Por tanto, la cesta debe estar formada por 2 botellas, 4 quesos y un jamón, y pesa: 2 ⋅ 1,25 + 4 ⋅ 3 + 4 = 18,5 kg
84 Daniel y Joaquín salieron el sábado por la tarde. El primero estuvo en el cine y vio una película que duró 89 min, mientras
que Joaquín disfrutó de un espectáculo de magia de 46 min de duración. Daniel les contó a los amigos que la película
había durado una hora y media, mientras que Joaquín les dijo que el espectáculo al que él acudió se prolongó por espacio
de tres cuartos de hora. ¿Cuál de los dos dio una información más precisa? ¿Por qué?
Tanto Daniel como Joaquín cometieron el mismo error absoluto: 1 min
Pero mientras el error relativo cometido por Daniel es
1
89
, el cometido por Joaquín es
1
46
, que es mayor.
Por tanto, la información de Daniel es más precisa.
85 Pedro ha ido a las rebajas y ha comprado una camiseta y un estu-
che.
¿En cuál de los dos productos ha conseguido un mejor precio?
Razona tu respuesta.
En el precio de la camiseta la rebaja relativa ha sido:
0,8
11,8
=
4
59
= 0,068
Mientras que en el estuche ha sido:
0, 45
3,95
=
9
79
= 0,11
Como 0,068 < 0,11, concluimos que Pedro ha conseguido un
mejor precio al comprar el estuche.
Unidades didácticas 23
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
1
Números racionales
Matemáticas vivas
1
MATEMÁTICAS VIVAS
Interpretación de facturas
REFLEXIONA
En la factura del servicio combinado de telefonía se utilizan números reales para indicar el coste de los
servicios contratados y el consumo realizado durante el período de facturación. El importe total en euros
de la factura es el resultado de sumar todos los conceptos facturados más los impuestos.
3
1
El cliente ha solicitado el detalle de los consumos de llamadas no incluidas en la tarifa plana para saber
de dónde proceden los importes facturados. La compañía le proporciona esta información.
Móvil 1
N.º llamado
Duración
Importe (€)
02-11-2014 / 13:23
111111111
02 min 09 s
0,6372
05-11-2014 / 10:45
Fecha / hora
222222222
05 min 48 s
1,7190
….…………………
……………
…...……..
…………
30-11-2014 / 17:56
999999999
04 min 22 s
1,2942
38 min 39 s
11,4545
Total
9 llamadas
Móvil 2
Fecha / hora
N.º llamado
Duración
04-11-2014 / 22:38
111111111
04 min 12 s
15-11-2014 / 12:41
222222222
06 min 14 s
1,8474
….…………………
……………
…...……..
…………
27-11-2014 / 09:26
555555555
00 min 28 s
0,1383
17 min 41 s
5,2397
Total
Observa la factura del teléfono anterior.
Fecha / hora
COMUNICA
a. ¿Qué servicios tiene contratados el cliente en la compañía? ¿En qué consiste cada uno de ellos?
b. ¿Crees que la factura es suficientemente clara? ¿Crees que debería llevar más información
o incluir otros conceptos? Razona tus respuestas.
ARGUMENTA
N.º llamado
Duración
Importe (€)
02-11-2014 / 13:23
+33123456789
05 min 22 s
2,7188
05-11-2014 / 10:45
+39123456789
01 min 06 s
0,5573
30-11-2014 / 17:56
+33123456789
06 min 45 s
3,4150
3 llamadas
13 min 13 s
6,6911
Total
a. Determina cuál es la tarifa de facturación en euros por segundo que aplica la compañía
a los teléfonos móviles, así como la que aplica a las llamadas internacionales desde el
teléfono fijo. Redondea tus cálculos a cuatro decimales.
c. ¿Cuál es el porcentaje que se aplica al total de los servicios facturados para obtener el IVA?
RESUELVE
b. ¿Por qué son diferentes las tarifas obtenidas?
d. Utiliza un programa informático para elaborar un diagrama de sectores con los porcentajes
que corresponden a cada concepto de la factura. Comenta el gráfico obtenido.
RESUELVE
ARGUMENTA
UTILIZA LAS TIC
O
TRABAJ IVO
RAT
COOPE
RELACIONA
2
1,2448
Llamadas internacionales (desde telf. fijo)
COMPRENDE
1
5 llamadas
Importe (€)
Fíjate en la tabla que muestra las cantidades
con las que trabaja el ordenador de la
compañía antes de redondear.
UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO
a. ¿A qué conjuntos numéricos pertenecen los
números que indican los totales sin redondear?
Dibuja un diagrama para clasificarlos.
b. ¿Por qué crees que es necesario redondear
las cantidades que aparecen en la factura?
PIENSA Y RAZONA
20
21
Interpretación de facturas
Sugerencias didácticas
En esta sección trabajamos de un modo más concreto las competencias, en particular la competencia matemática.
Se presenta una situación cotidiana, la interpretación de una factura de teléfono, en la que aparecen los números reales y sus
operaciones.
En la resolución de diferentes actividades de comprensión, relación y reflexión, los alumnos desarrollarán algunas de las
competencias matemáticas evaluadas por el estudio PISA: Comunica, Argumenta, Resuelve, Utiliza las TIC, Utiliza el lenguaje
matemático o Piensa y razona.
Se pretende que los alumnos sean capaces de analizar, interpretar la factura y tomar decisiones para argumentar las cuestiones planteadas a lo largo de la sección.
En las actividades de comprensión deberán comunicar los conceptos a los que hace referencia la factura, argumentar decisiones, recordar cómo se obtiene el porcentaje de una cantidad, y utilizar las TIC para elaborar un diagrama de sectores.
En las actividades de relación los alumnos reconocerán que los ordenadores trabajan con números reales, habrán de clasificarlos y razonar porqué se hace necesario el redondeo.
Para terminar, en las actividades de reflexión se plantea que el alumno calcule la tarifa en €/seg que aplica la compañía telefónica en las líneas de móvil y en las líneas fijas, para lo que será necesario utilizar adecuadamente el redondeo y el sistema
de medida horario.
Para finalizar la sección, se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperativa
es Búsqueda de información, de Mel Silberman.
Para desarrollar esta tarea, los alumnos utilizarán Internet para investigar sobre las tarifas de compañías de telefonía. Con los
datos obtenidos, realizarán una factura y representarán en diagramas de sectores los datos de la misma.
Unidades didácticas 24
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Números racionales
1
Soluciones de las actividades
En la factura del servicio combinado de telefonía se
utilizan números reales para indicar el coste de los
servicios contratados y el consumo realizado durante el período de facturación. El importe total en euros de la factura es el resultado de sumar todos los
conceptos facturados más los impuestos.
Comprende
1 Observa la factura del teléfono anterior.
a)¿Qué servicios tiene contratados el cliente en la compañía? ¿En qué consiste cada uno de ellos?
b)¿Crees que la factura es suficientemente clara? ¿Crees que debería llevar más información o incluir otros conceptos?
Razona tus respuestas.
c) ¿Cuál es el porcentaje que se aplica al total de los servicios facturados para obtener el IVA?
d)Utiliza un programa informático para elaborar un diagrama de sectores con los porcentajes que corresponden a cada
concepto de la factura. Comenta el gráfico obtenido.
a)Tiene contratada una línea ADSL (Internet) más las llamadas nacionales desde un teléfono fijo por el precio de una
tarifa plana, y dos teléfonos móviles, que pagan una cuota mensual de conexión más el importe de las llamadas según
el consumo.
b)La factura refleja todos los conceptos, pero es conveniente que se disponga de un anexo con el detalle de los consumos
por si el cliente lo solicita. También se debería incluir un gráfico con el historial de los consumos anteriores durante un
año.
13,5083
= 0,21 → 21%
c) El IVA se aplica sobre el total de los servicios facturados (base imponible), por tanto:
64,3253
d) Tipo de servicio
%
Internet + llamadas nacionales (telf. fijo)
25,6 %
Mantenimiento de línea
19,3 %
Línea móvil 1
18,7 %
Línea móvil 2
10,5 %
Llamadas internacionales (telf. fijo)
  8,6 %
IVA
17,3 %
Total a pagar
17,3 %
25,6 %
8,6 %
10,5 %
19,3 %
Internet + llamadas nacionales (telf. fijo)
Mantenimiento de línea
Línea móvil 1
Línea móvil 2
Llamadas internacionales (telf. fijo)
IVA
18,7 %
100 %
Aproximadamente la cuarta parte del importe de la factura es lo que cobran por Internet + llamadas nacionales. El importe de mantenimiento de línea, la primera línea móvil y el IVA, componen en partes similares casi dos terceras partes de
la factura. El resto, con importes menores, se dedica al pago de la segunda línea móvil y a las llamadas internacionales.
Relaciona
2 Fíjate en la tabla que muestra las cantidades con las que trabaja el ordenador de la compañía antes de redondear.
a)¿A qué conjuntos numéricos pertenecen los números que indican los totales sin redondear? Dibuja un diagrama para
clasificarlos.
b)¿Por qué crees que es necesario redondear las cantidades que aparecen en la factura?
⎧⎪


8,2396
Racionales → {19,95
14,99
14, 45
a) Reales ⎪⎨
⎪⎪Irracionales → { 6,691 069 100 6...
⎩
b)Es necesario redondear para simplificar los cálculos.
Unidades didácticas 25
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
1
Números racionales
Reflexiona
3 El cliente ha solicitado el detalle de los consumos de llamadas no incluidas en la tarifa plana para saber de dónde proceden
los importes facturados. La compañía le proporciona esta información.
Móvil 1
Fecha / hora
N.º llamado
Duración
Importe (€)
02-11-2014 / 13:23
111111111
02 min 09 s
0,6372
05-11-2014 / 10:45
222222222
05 min 48 s
1,7190
….…………………
……………
…...……..
…………
30-11-2014/ 17:56
999999999
04 min 22 s
1,2942
38 min 39 s
11,4545
Total 9 llamadas
Móvil 2
Fecha / hora
N.º llamado
Duración
Importe (€)
04-11-2014 / 22:38
111111111
04 min 12 s
1,2448
15-11-2014 / 12:41
222222222
06 min 14 s
1,8474
….…………………
……………
…...……..
…………
27-11-2014 / 09:26
555555555
00 min 28 s
0,1383
17 min 41 s
5,2397
Total 5 llamadas
Llamadas internacionales (telf. fijo)
Fecha / hora
N.º llamado
Duración
Importe (€)
02-11-2014 / 13:23
+33123456789
05 min 22 s
2,7188
05-11-2014 / 10:45
+39123456789
01 min 06 s
0,5573
30-11-2014 / 17:56
+33123456789
06 min 45 s
3,4150
13 min 13 s
6,6911
Total 3 llamadas
a)Determina cuál es la tarifa de facturación en euros por segundo que aplica la compañía a los teléfonos móviles, así
como la que aplica a las llamadas internacionales desde el teléfono fijo. Redondea tus cálculos a cuatro decimales.
b)¿Por qué son diferentes las tarifas obtenidas?
a)Móvil 1: 38 m 39 s = 38 ⋅ 60 + 39 = 2 319 s Tarifa:
Móvil 2: 17 m 41 s = 17 ⋅ 60 + 41 = 1 061 s Tarifa:
Teléfono fijo: 13 m 13 s = 13 ⋅ 60 + 13 = 793 s Tarifa:
11, 4545
2 319
5,2397
1 061
= 0,0049 €/s
= 0,0049 €/s
6,6911
= 0,0084 €/s
793
b)Las tarifas en los móviles es idéntica, la tarifa de las llamadas desde teléfono fijo es más cara porque así lo fijan las
compañías telefónicas.
Trabajo cooperativo
Respuesta abierta.
Unidades didácticas 26
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
1
Números racionales
n
Avanza. Representación gráfica de números irracionales tipo
1
Sugerencias didácticas
Números racionales
AVANZA
En esta sección se señala que la raíz cuadrada de un entero
positivo que no es el cuadrado de otro número entero es
un número irracional. También se explica cómo representar
con exactitud estos números reales empleando el teorema
de Pitágoras tantas veces como sea necesario.
n
Representación gráfica de números irracionales tipo
La espiral que aparece en la figura se denomina espiral de Teodoro de Cirene
y proporciona un modo de representar los números
3,
2,
1
5…
4,
3
Partiendo de un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos miden 1 unidad,
obtenemos, por el teorema de Pitágoras, que la hipotenusa mide
2.
Construyendo un nuevo triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1 y
deducimos que la hipotenusa mide
2
1
2,
0
3.
1
2 32
Repitiendo este proceso, generamos la espiral y podemos obtener geométricamente la medida exacta de segmentos
cuya expresión decimal tiene infinitas cifras decimales no periódicas.
Soluciones de las actividades
También es posible reproducir este proceso sobre la recta real para representar gráficamente números irracionales
del tipo
n.
A1.Representa los números
Sobre el intervalo [0, 1] dibujamos un segmento perpendicular de longitud 1 para formar un triángulo rectángulo
isósceles. Así, por el teorema de Pitágoras, la hipotenusa mide
2.
Trasladamos con un compás la longitud de la hipotenusa sobre la recta real
2
y repetimos el proceso para formar un triángulo rectángulo cuyos catetos
midan
2 y 1 y cuya hipotenusa, por tanto, mida
A1. Representa los números
real.
5 y 17 sobre la recta
CÁLCULO MENTAL
3
3 . Reiterando el proceso,
0
n.
podemos representar cualquier número irracional de la forma
A2. Representa los números
recta real.
1
1
1
2 3 2
27 y
5 =
√—
5
1
–3
–2
Para comparar fracciones sin reducirlas a denominador común, se pueden obtener sus expresiones decimales (o
una aproximación de las mismas) y compararlas.
17
36
y
9
10
17 sobre la recta real.
22 + 12
38 sobre la
Estrategia para COMPARAR FRACCIONES
Por ejemplo, si queremos comparar
5 y
–1
17 =
, procedemos del siguiente modo:
0
—
2 √5 3
1
√—
17
17 17 18 18 1 1
9 9
17 17 9 9
< < = = = 0=,50 ,5
y y = 0=,90 ,9 → →
0 ,50 ,5
< 0<,90 ,9
→→ < <
36 36 36 36 2 2
10 10
36 36 10 10
13
13
24
y
26
27
–2
0
1
2
3
A2.Representa los números
real.
27
CM1. Utiliza la técnica anterior para comparar estas
fracciones.
1
3
51
99
11 30
a)
b)
c)
y
y
y
4 10
90
99
200
20
–1
CM2. Utiliza la técnica explicada para comparar estas
fracciones.
36 18
45
54
25 15
a)
b)
c)
y
y
y
77
49
52
65
21 14
6
—
4 √17 5
6
7
1
, hay que proceder así:
24 = 13 ⋅ 27 = 9 < 1 → El numerador es menor que el denominador → 13 < 26
26
24 ⋅ 26 16
24 27
5
42 + 12
Otra estrategia para ordenar dos fracciones consiste en efectuar el cociente de ambas y compararlo con la unidad.
Por ejemplo, para ordenar
4
38 sobre la recta
27 y
22
27 =
2=
2
52 + ( 2 )
2
62 + ( 2 )
38 =
12 + 12
—
√27
5
1
√—
2
1
2
√—
2
–5 –4 –3 –2 –1
2=
0
12 + 12
6
√—
27
3
4
5
6
√—
2
√—
21
7
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
2
√—
38
3 4
5
6 7
8
Cálculo mental. Estrategia para comparar fracciones
Sugerencias didácticas
Es probable que el alumno ya haya aplicado la estrategia que consiste en comparar los números decimales que se obtienen al
efectuar la división del numerador entre el denominador de la fracción. La segunda se basa en el hecho de que para comparar
dos números positivos a y b realizamos su cociente, de modo que si este es menor que 1 concluiremos que a > b, mientras
que si es mayor que 1 entonces a < b.
Soluciones de las actividades
CM1.Utiliza la técnica anterior para comparar estas fracciones. a) a) 0,25 < 0,3 →
1
4
<
3
10
14
11
> 1→
Unidades didácticas 36
77
>
18
49
4
y
3
10
b) 
99
51
b) 0, 495 < 0,56 →
<
200 90
CM2.Utiliza la técnica anterior para comparar estas fracciones. a)
a)
1
b)
10
9
> 1→
25
21
27
>
36
77
15
14
y
18
49
b) 99
y
200
51
90
c) 11
20
y
30
99
 → 11 > 30
c) 0,55 < 0,30
20 99
25
21
y
c)
15
14
312
325
c) < 1→
54
65
54
65
y
<
45
52
45
52
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
1
Números racionales
PROPUESTA DE EVALUACIÓN
PRUEBA A
1. Intercala un número racional entre cada una de las siguientes parejas de números.
a)
a)
3
5
3
y
4
5
=


c) −0,2 y − 0,18 b)1,12 y 1,121
6
<
7
<
8
=
4
d)3,14 y π


c) −0,2 < −0,19 < −0,18
5 10 10 10 5
b)1,12 < 1,1201 < 1,121
d)3,14 < 3,141 < π
2. Calcula el resultado de la siguiente operación y exprésalo en forma de fracción irreducible.
1
2
+
3
4
1
2
+
3
4
2 3
⋅
3 5
+
9
1
=
2
+
2
5
5
=
3
10
+
3
4
10
2 ⎛⎜
2⎞
⋅ ⎜⎜1− ⎟⎟⎟
3 ⎝
5⎠
+
3 15
⋅
5 4
9
=
10
3
=
3
10
4
2
3. Santiago está realizando un circuito en bicicleta. Si ya lleva recorridos 33 km y aún le queda por recorrer
del circuito,
5
¿de cuántos kilómetros consta el circuito?
Lleva recorridos
Por lo que,
2
5
del circuito, lo que supone 33 km.
1
del circuito son 11 km.
5
Entonces el circuito completo tiene 55 km.
4. ¿Cuántos números enteros hay comprendidos entre
Como 252 = 625 y 262 = 676 entonces: 25 <
Por otra parte, 3,1 < π < 3,2 luego: 31 < 10π < 32
Así pues, entre
630 y 10 π ?
630 < 26
630 y 10π hay 6 números enteros ya que:
630 < 26 < 27 < 28 < 29 < 30 < 31 < 10π < 32

 por 0,5.
5. Calcula el error relativo que se comete al aproximar 1, 4 − 0,87
25 <

 = 13 − 87 = 56
Calculamos el valor exacto: 1, 4 − 0,87
9
99 99
56 1
13
56
❚❚ Error absoluto:
− 0,5 =
− =
99
99 2
198
13
❚❚ Error relativo:
198 = 13 = 0,12 → 12%
112
56
99
Unidades didácticas 28
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Números racionales
1
PROPUESTA DE EVALUACIÓN
PRUEBA B
1. Completa el siguiente cuadrado mágico.
O
O
1
1
10
6
2
O
15
1
5
O
O
Recuerda que un cuadrado mágico es aquel en el que sus filas, sus columnas y sus dos diagonales suman lo mismo.
4
1
1
15
30
5
1
1
7
10
6
30
2
3
1
15
10
15
2. Calcula el siguiente número respetando la jerarquía de las operaciones.



3,2 ⋅1,5 − 6,3 : 1,2
23
29 3 57 11 29 57
⋅ −
:
=
−
=−
9 2
9 9
6
11
66
3. ¿Cuál es la vigésimo tercera cifra decimal del número
23
111
23
111
cuando lo expresamos en forma de número decimal?

= 0,207
 coincide con la que ocupa la segunda posición, porque el período es de tres
La vigésimo tercera cifra decimal de 0,207
cifras y 23 = 7 ⋅ 3 + 2. En consecuencia, la vigésimo tercera cifra decimal es 0.
0, n
4. Si n es un número entero tal que 1 ≤ n ≤ 9, ¿cuál es el valor de
 ?
0, n
n
9
0, n 10
=
= 0,9
 =
10
n
0, n
9
5. Indica cuál es el intervalo de extremos los puntos A y B que se ha representado en la figura.
0
Unidades didácticas El intervalo representado es: ⎡⎢⎣ 2 , 4 )
1
1 A
B
29
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO