ejercicio 2.11 solucionado

Una máquina de envasado llena sacos de fertilizante de aproximadamente 30 kg. La cantidad
(en kg) de fertilizante por saco sigue una distribución N(µ =30,σ = 1).
a) Calcular la probabilidad de que la cantidad de fertilizante en un saco esté entre 29 y 31
kg.
b) Una empresa realiza un pedido de 80 de estos sacos de fertilizante. Calcular la probabilidad
de que más de 50 de ellos estén entre 29 y 31 kg.
Solución:
a) Sea X ∼ N (30, 1) la cantidad de fertilizante en un saco elegido al azar. Denotamos por Z
una v.a. N(0,1).
½
¾
29 − 30
31 − 30
P {29 < X < 31}
=P
<Z<
= P {−1 < Z < 1}
1
1
= 1 − P {Z ≤ −1} − P {Z ≥ 1}
= 1 − 2P {Z ≥ 1} = 1 − 2 · 0, 1587 = 0, 6826.
b) El número de sacos de los 80 que tienen un peso entre 29 y 31 kg sigue
p una distribución binomial B(80;0,6826), que se puede aproximar por una N(80·0, 6826; 80 · 0, 6826(1 − 0, 6826)
= N(54,61;4,16). Nos piden
P {B(80;0,6826) > 50}
' P {N(54,61;4,16) > 50}
= P {Z > −1, 11} = 1 − P {Z ≤ −1, 11}
= 1 − P {Z ≥ 1, 11} = 1 − 0, 1335 = 0, 8665.