Unidad_II_Concepto_intuitivo_limites

GIMNASIO VIRTUAL SAN FRANCISCO JAVIER
“Valores y Tecnología para la Formación Integral del Ser Humano”
UNIDAD II
CONCEPTO INTUITIVO DE LÍMITES
Situación
Dada la función f(x) = + 1, elaboremos una tabla de datos
con valores muy cercanos a x = 0, determinemos hacia qué
valor se aproxima f(x) y hagamos la gráfica.
Solución
x se aproxima a cero por la x se aproxima a cero
izquierda
por la derecha
x
-0,5
-0,25 -0,1 ... , ... 0,1 0,25
0,5
f(x)
1,25
1,06
1,01 ... ... 1,01 1,06
1,25
De la tabla anterior y de la gráfica de f (una parábola) se
puede ver que cuando x se aproxima a 0 (por cualquier lado
de 0), f(x) se aproxima a 1; escribimos
( + 1) = 1.
Se escribe
f(x) = L y se dice “el límite de f(x) cuando x tiende a a, es
igual
a
L”,
si
se
puede
hacer que los valores de f(x) se aproximen arbitrariamente a L (tan
Conclusión
cercanos a L como se quiera) tomando x
suficientemente cercano al valor a
pero no igual a a. Además, si tanto los límites por la derecha como por la izquierda de f
existen cuando x tiende a a y son iguales, entonces
la derecha y por
la izquierda de f existen en a y no son iguales, entonces
f(x) no existe. Así:
f(x) =
L si, y solo si,
f(x) =
f(x) = L.
Determinar el límite cuando x tiende al valor a, si existe, de cada una de
las siguientes funciones, calculándolo para los valores próximos a a.
1. f(x) = x + 4, a =1
2. h(x) = 4 - x, a = 0
3. p(x) = + 2x + 1, a = -4
4. r(x) = 2 + 4 + 2x - 1, a =1
Matemáticas
Unidad 2
Ejercicios
f(x) existe; pero si los límites por
Undécimo 1
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
Límites,
integrales
derivadas,
ÁLGEBRA DE LÍMITES
Calculemos los siguientes límites:
Situación
a.
b.
c.
d.
1
Para calcular cada uno de los límites, realizamos tablas de valores,
haciendo que x se aproxime a 2 por la derecha y por la izquierda (tomamos
valores cercanos a 2).
x tiende a 2 por la izquierda
f(x)
x
1,9
x
6,8
59
3,6
1
1,9
1
1
1,9
5
7,4
15
3,8
02
1,9
5
1
1,975
...
7,704
...
3,901
...
1,975
...
1 ...
f(x)
tiende
al
valor:
8
4
2
1
x tiende a 2 por la derecha
...
2,025
...
8,304
...
4,101
...
2,025
... 1
2,0
5
8,6
15
4,2
02
2,0
5
1
2,1
x
9,2
61
4,4
1
2,1
x
1
1
f(x)
De la tabla anterior podemos concluir que:
a.
= 8 = 2³
b.
= 4 = 2³
c.
x=2
d.
1=1
Matemáticas
Unidad 2
Solución
x
Undécimo 2
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Si n
Conclusión
, c R, entonces
=
y
c=c
Encontrar el resultado de los siguientes límites.
Ejercicios
1.
3
2.
-2
3.
(
x + 5)
4.
- x - 7)
+
(2
5.
(5
+ 2 - 1)
LÍMITES INFINITOS
Analicemos la función f(x) =
cuando x tiende a cero; es decir,
Solución
Para dicho análisis es necesario hacer una tabla de valores.
Matemáticas
Unidad 2
Situación
Undécimo 3
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x tiende a 0 por la izquierda
x tiende a 0 por la derecha
x
-0,5
-0,25
-0,10
-0,05
-0,01
0,01
0,05
0,10
0,25
0,5
f(x)
-2
-4
-10
-20
-100
100
20
10
4
2
f(x)
f(x)
A medida que x se aproxima a cero por la izquierda, f(x) se hace más pequeño, tendiendo a - , y a
medida que x se aproxima a cero por la derecha, f(x) se hace más grande tendiendo a + es
decir,
=-
que
y
= + ; por tanto, los límites laterales no existen, de donde se concluye
no existe.
Analicemos el comportamiento de la función f(x) =
gráfica.
x tiende a 0 por la izquierda
x -0,5
-0,25
x tiende a 0 por la derecha
-0,10 -0,05 -0,01... ...0,01
f(x) 4 16 100 400 10000...
f(x)
cuando x se aproxima al valor cero, y elaboremos la
0,05
...10000 400 100 16
0,10
0,25
0,5
4
f(x)
Cuanto más cercano se tome el valor de x a 0, la función f(x) se vuelve más grande y, además, se
puede hacer que el valor de f(x) sea tan grande como se quiera tomando x suficientemente cercano a
0; es decir,
= .
Sea f una función definida en ambos lados de a, excepto posiblemente en el propio
Matemáticas
Unidad 2
Conclusión
valor de a.
Undécimo 4
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Entonces
f(x) = significa que los valores de f(x) se pueden hacer arbitrariamente grandes (tan
grandes como se quiera) tomando x lo suficientemente cercano a a y x a.
Sea f una función definida en ambos lados de a, excepto posiblemente en el propio valor a.
Entonces
f(x) = - significa que los valores de f(x) se pueden hacer arbitrariamente pequeños,
tomando x lo suficientemente cercano a a y x a.
Si f(x) =
f(x)
Ejercicios
, donde
r(x) = k 0 y
s(x) = 0, entonces:
= , si k es positivo y s(x) tiende a cero por valores positivos.
= - , si k es negativo y s(x) tiende a cero por valores positivos.
= - , si k es positivo y s(x) tiende a cero por valores negativos.
= , si k es negativo y s(x) tiende a cero por valores negativos.
Encontrar el límite indicado.
1.
(
)
2.
(
)
3.
(
)
4.
(
5.
(
)
)
Sea (M,g) una variedad de Riemann (o variedad seudoriemanniana) entonces hay una
Matemáticas
Unidad 2
TEOREMA DE RIEMANN
Undécimo 5
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conexión única
que satisface las condiciones siguientes:
1. para cualesquiera campos vectoriales X,Y,Z tenemos
, donde Xg(Y,Z) denota la derivada de la
función g(Y,Z) a lo largo del campo vectorial X.
2. para cualesquiera campos vectoriales X,Y tenemos
[X,Y] denota el corchete de Lie para los campos vectoriales X,Y.
, donde
FORMAS INDETERMINADAS
Formas indeterminadas de tipo
/
Situación
Analicemos el comportamiento de la función f(x) = (x² - 4)/(x² + 4) cuando x adquiere
valores muy grandes y muy pequeños, y elaboremos la gráfica de f(x).
Solución Cuando el valor de x decrece arbitrariamente, los valores de f(x) se aproximan a 1.
-
x x
x
-100
-50
-25
-10
0
10
25
50
100
f(x)
0,9992
0,9968
0,9872
0,9230
-1
0,9230
0,9872
0,9968 0,9992
f(x)
1
1
f(x)
0,5
2
Sea f una función definida en algún intervalo (a, ). Entonces, el límite de
f(x) = L, significa que
los valores de f(x) se pueden hacer arbitrariamente cercanos a L, tomando valores de x lo
suficientemente grandes.
Matemáticas
Unidad 2
Conclusión Sea f una función definida en algún intervalo (- , a). Entonces, el límite de
f(x) = L,
significa que los valores de f(x) pueden acercarse arbitrariamente a L tomando valores negativos de x
suficientemente pequeños.
Undécimo 6
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Sea f una función racional f(x) =
a. Si m < n,
, donde m y n son los grados de los dos polinomios, entonces:
f(x) = 0.
b. Si m > n,
f(x) = ± . (El signo apropiado se determina por medio de los polinomios pm(x),
qn(x); si ellos tienen el mismo signo cuando x se hace mayor, el cociente es positivo, en caso contrario
el cociente es negativo).
c. Si m = n,
f(x) = , donde a es el coeficiente de
en el denominador.
Si
r(x) =
indeterminada.
y
en el numerador y b es el coeficiente de
s(x) = , decimos que
s(x) =
tiene la misma forma
Ejercicios
Encontrar el resultado de los siguientes límites, si es posible.
1.
2.
3.
4.
5.
-
Matemáticas
Unidad 2
Formas indeterminadas de tipo
Undécimo 7
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Situación
Calcular:
a.
b.
Solución
Estos límites tienen la forma indeterminada de - , en estos casos multiplicamos el numerador y el
denominador por la expresión conjugada del numerador.
Conclusión
Si
f(x)=
y
g(x) = , entonces
[f(x) - g(x)] se llama forma indeterminada del
tipo - ; para solucionar este tipo de límites se convierte la diferencia en un cociente (por ejemplo,
usando un común denominador, racionalizando o factorizando) de manera que se tenga una forma
indeterminada del tipo 0/0 o / .
Ejercicios
Encontrar el resultado de los siguientes límites, si es posible.
1.
3.
Matemáticas
Unidad 2
2.
Undécimo 8
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4.
5.
Matemáticas
Unidad 2
Límites, derivadas, integrales
Undécimo 9