soluciones

Examen 01/oct/2011
Problema 1: Factorice las siguientes expresiones:
a) 8x 2+14x+3
(8x)2+14 (8x )+24 (8x+12)( 8x+2) 4 (2x+3) 2(4x+1)
8x 2+14x+3=
=
=
=¿
8
8
8
(2x+3)(4x+1)
b) 30 x 2 y+53xy +21y
30 x 2 y+53xy +21y= y (30x 2+53x+21)= y ((30x2 −10x)+(63x+21))=¿
y (10x (3x−1)+21(3x+1))= y (10x+21)(3x+1)
c) x 2+14x+3
2
x −2x+63=(x−9)(x +7)
d) x 2−7
2
x −7=( x− √7)(x+ √ 7)
e) 8x 3−12x 2+18x−27
8x 3−12x 2+18x−27=4x 2 (2x−3)+9( 2x−3)=(4x2 +9)(2x+3)
f) a 2x+4 x 4 y 2+8a x+2 x 2 y+16
a 2x+4 x 4 y 2+8a x+2 x 2 y+16=(ax+2 x 2 y+4)2
Problema 2: Demuestre que AP*PB=CP*PD
<CPA=<BPD Por ser opuestos por el vertice
<CAP=<BDP Por subtender el mismo arco
<ACP=<DBP Por subtender el mismo arco
Por lo tanto ΔAPC~ ΔDPB y entonces se tiene
AP PD
=
⇒ AP∗PB=CP∗PD
CP PB
Problema 3: Compré cierto número de libros por 40 pesos y cierto número de plumas por
40 pesos. Cada pluma me costó 1 peso más que cada libro. ¿Cuántos libros compré y a qué
precio si el número de libros excede al de plumas en 2?
Denotemos n L el numero de libros, n P el numero de plumas, L el precio de cada
libro y P el precio por pluma. Entonces tenemos las siguientes ecuaciones:
1. n L=nP +2
2. L=P−1
3. n L L=40
4. n P P=40
Sustituyendo 1 en 3 y 2 en 4, obtenemos el sistema:
5. (n P+2)( P−1)=40
6. n P P=40 ⇒ P=40 /nP
Sustituyendo 6 en 5 obtenemos:
2± √(4+320)
40
80
2
(n P+2)( −1)=40⇒ 40−n P+ −2=40 ⇒−(nP ) −2n P +80=0⇒ n P=
nP
nP
−2
⇒n P=
2±18
⇒n P =8
−2
sustituyendo nuestro ultimo resultado en 1 y en 4 obtenemos:
n L=10
P=5
y sustituyendo n L en 3 obtenemos
L=4
Por lo tanto nuestra respuesta es 10 libros a 4 pesos cada uno
Problema 4: En la figura a la izquierda se muestra un
rectángulo ABCD, AEFD es cuadrado, y se satisface que:
AB BC
=
AD CF
AB
Encuentre el valor de
AD
Denontemos x= AB y y=CF entonces tenemos la siguiente razon:
y±√ ( y 2+4y 2)
y+ y √ (5)
AB x+ y x
2
2
2
2
=
= ⇒ y +xy= x ⇒ x −xy− y =0 ⇒ x=
⇒ x=
AD
x
y
2
2
De modo que :
y+ y √(5)
1+ √ (5)
AB x
2
= =
=
AD y
y
2
Problema 5: Pruebe que el número de 4 dígitos 1000a+100b+10c+d
a+b+c+d tiene el mismo residuo al dividirlo entre 3.
y el número
1000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+(a+b+c+d )=3(333a+33b+3c )+( a+b+c+d )
entonces al dividir entre 3 el numero obtenemos que el primer termino tiene residuo 3 y
solo nos falta calcular el residuo de l segundo termino que obviamente es el mismo que el
residuo de a+b+c+d al dividrilo entres 3