1.1.7. Solución de ecuaciones por integración directa
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1.1 Introducción
1.1.7.
Solución de ecuaciones por integración directa
Barra sección constante
Determine la función, (), que satisface el PVF del elemento barra de definido en la ec. (1.14).
Se considerando que la fuerza de cuerpo () es constante y que las ecs. (1.14 y ) se satisfacen
a priori. En este problema se busca que la función (), satisfaga el equilibrio interno de la ec.
(1.14)
()
+ () = 0
(1.36)
Considerando un elemento diferencial de volumen Ω = , fig. 1.6, e integrando dos veces
sucesivas la ec. (1.36):
()
+ + 1 = 0
() +
2
+ 1 + 2 = 0
2
(1.37)
(1.38)
Despejando 1 y 2 de las ecs. (1.38) y (1.38),
()
+
2
+ 1
= () +
2
−1 =
(1.39)
−2
(1.40)
Considerando las siguientes condiciones naturales y esenciales:
Condiciones
Naturales
()
= =
Esenciales
(1.41)
(0) = 0
los valores de 1 en la ec. (1.39) y 2 en la ec. (1.14 ):
1 = −
−
(1.42)
2 = 0
Por lo que de la ec. (1.38) se tiene el valor de la función ,
+
() =
c
°Gelacio
Juárez, UAM
µ
¶
2
−
2
(1.43)
21
1.1 Introducción
Viga simplemente apoyada
Determine la función, (), que satisface el PVF de una viga simplemente apoyada definido en
la ec. (1.15). Se considera que las ecs. (1.15 ) se satisfacen a priori, y se impone la condiciones
esenciales ∗ = 0 en = 0 y = , definida en la ec. (1.15). En este problema se busca que la
función , satisfaga el equilibrio interno de la ec. (1.15)
2
2
− =0
2
2
(1.44)
Considerando un elemento diferencial de volumen Ω = , fig. 1.7, e integrando cuatro veces
sucesivas la ec. (1.44) se tiene:
3 ()
= + 1
3
2 ()
1
() =
= 2 + 1 + 2
2
2
1 3 1
()
= + 1 2 + 2 + 3
() =
6
2
1
1 4 1
3
+ 1 + 2 2 + 3 + 4
() =
24
6
2
() =
(1.45)
(1.46)
(1.47)
(1.48)
Considerando las siguientes condiciones naturales y esenciales:
Condiciones
Naturales
(0) = − 12
(0) = 0
Esenciales
¡ ¢
12 = 0
(1.49)
(0) = 0
Se obtienen los valores de las constantes de las ecs. (1.45) a (1.48)
1
2
= 0
1
= − 3
24
= 0
1 =
2
3
4
(1.50)
Sustituyendo el valor de las constantes de la ec. (1.50) en la ec. (1.48) se tiene el valor de la
función (),
() =
c
°Gelacio
Juárez, UAM
¢
1 ¡ 4
− 23 + 3
24
(1.51)
22
1.1 Introducción
Viga con carga triangular
Una viga con carga triangular como se muestra en la figura 1.12 está apoyada sobre un resort en
su extremo derecho. Determine la función, (), que satisface el PVF de una viga simplemente
apoyada definido en la ec. (1.15). Se considera que las ecs. (1.15 ) se satisfacen a priori, y se
impone la condiciones esenciales ∗ = 0 en = 0 , definida en la ec. (1.15).
Figura 1.12: Viga con resortes.
Las condiciones esenciales en está viga son:
(0) = 0
() =
3
(1.52)
(1.53)
y las condiciones naturales:
6
() =
3
(0) = 0
(0) = −
() = 0
c
°Gelacio
Juárez, UAM
(1.54)
(1.55)
(1.56)
(1.57)
23
1.1 Introducción
En este problema se busca que la función , satisfaga el equilibrio interno de la ec. (1.15)
2
2
− () = 0
2
2
2
2
− = 0
2
2
(1.58)
(1.59)
Integrando cuatro veces sucesivas la ec. (1.44) se tiene:
3 ()
1 2
+ 1
=
3
2
2 ()
1 3
() =
=
+ 1 + 2
2
6
1 4 1
()
=
+ 1 2 + 2 + 3
() =
24
2
1
1 5 1
+ 1 3 + 2 2 + 3 + 4
() =
120
6
2
() =
(1.60)
(1.61)
(1.62)
(1.63)
Se obtienen los valores de las constantes de las ecs. (1.52) a (1.57)
1 = −
2 = 0
3 =
4 = 0
6
µ
73
+
3
360
(1.64)
¶
Sustituyendo el valor de las constantes de la ec. (1.64) en la ec. (1.63) se tiene el valor de la
función (),
() =
() =
¶
µ
1 5 3
73
−
+
+
120
36
3
360
∙
¶ ¸
µ
1
3
73
5
− +
+
120
36
3
360
Viga con resortes
Para la viga mostrada en la fig. (1.13), determine las funciones () y () que satisfacen el PVF
definido en la ec. (1.17) correspondiente a la teoría de vigas de Timoshenko. En este problema
se busca que las funciones () y (), satisfagan el equilibrio interno de la ec. (1.17)
c
°Gelacio
Juárez, UAM
24
1.1 Introducción
()
− () = 0
()
− () = 0
(1.65)
(1.66)
Figura 1.13: Viga con resortes.
De la fig. (1.13) se obtienen las condiciones esenciales:
(0) =
(1.67)
2
2
(1.68)
() = −
así como las siguientes condiciones naturales:
(0) = −
(1.69)
() = 0
(1.70)
(0) = 0
() = −
(1.71)
2
2
(1.72)
En este tipo de vigas, la curvatura y la deformación por cortante de la ec. (1.17a) se definen,
c
°Gelacio
Juárez, UAM
25
1.1 Introducción
respectivamente, como:
()
()
− ()
() =
() =
(1.73)
(1.74)
El momento y el cortante se obtienen de la ec. (1.17b)
() = () =
()
() = ()
(1.75)
(1.76)
Solución flexión Sustituyendo la ec. (1.75) en la ec. (1.65)
()
= ()
(1.77)
Sustituyendo la ecuación que define el cortante en la viga de la fig. (1.13) en la ec. (1.77)
()
= ( − )
(1.78)
Integrando dos veces secuencialmente la ec. (1.78)
()
=
() =
() =
µ
µ
¶
2
− + 1
2
(1.79)
¶
(1.80)
3 2
−
6
2
+ 1 + 2
De la condición de la ec. (1.71) en la ec. (1.79) se tiene:
1 = 0
(1.81)
Aplicando la condición (1.68) en la ec. (1.80)
2
−
2
2
¶
3 3
−
+ 2
=
6
2
µ 3
¶
2
−
=
3
2
µ
(1.82)
Sustituyendo la ec. (1.82) en la ec. (1.80) se tiene la ecuación que define el giro de la sección
trasversal de la viga:
c
°Gelacio
Juárez, UAM
26
1.1 Introducción
¶
µ 3
¶
2
3 2
−
+
−
() =
6
2
3
2
µ 3
¶
2
3
2
() =
−
+
−
6
2
3
2
µ
(1.83)
Solución por cortante Sustituyendo la ec. (1.74) en la ec. (1.76)
() =
µ
¶
()
− ()
(1.84)
Sustituyendo la ecuación que define el cortante en la viga de la ec. (1.84) en la ecuación de
equilibrio de la ec. (1.66)
µ
¶
()
− () = ()
(1.85)
Sustituyendo () de la ec. (1.83) y la ecuación que define la carga distribuida, () = , de la
fig. (1.13) en la ec. (1.85)
µ
()
−
µ
3 2 3 2
−
+
−
6
2
3
2
¶¶
=
(1.86)
¶¶
= + 3
(1.87)
Integrando dos veces secuencialmente la ec. (1.86)
() =
() =
µ
|
µ
()
−
µ
3 2 3 2
−
+
−
6
2
3
2
{z
4 3 3 2
−
+
−
24
6
3
2
¶
1
+
}
µ 2
¶
+ 3 + 4
2
(1.88)
Aplicando la condición de la ec. (1.69) en la ec. (1.87)
3 = −
(1.89)
Considerando la condición de la ec. (1.67) y sustituyendo la ec. (1.89) en la ec. (1.88)
4 =
(1.90)
Sustituyendo las ecs. (1.89) y (1.90) en la ec. (1.88) se tiene la función que describe el desplazamiento de la viga:
() =
µ
c
°Gelacio
Juárez, UAM
4 3 3 2
−
+
−
24
6
3
2
¶
+
µ
2
− +
2
¶
(1.91)
27
1.1 Introducción
Tarea
1. La viga de la fig. (1.8) está sujeta a la acción de una carga constante . Considerando el
modelo de vigas de Timoshenko, determine.
a) La funciones () y () que satisface la ecuación de equilibrio definida en la ec. (1.17c):
b) Determine y grafique para la teoría de vigas de Timoshenko y de Euler-Bernoulli el desplazamiento transversal (), el () la deformación por cortante , cortante y el momento
, para una viga sujeta a una carga q=-5000× kgf m2 , con longitud = 5 m, sección
rectangular con base = 015 m y peralte = 030 m; módulo elástico = 2214 × 109
kgf m2 .
2. La viga de la fig. (1.14) está sujeta a la acción de una carga () que varía en forma
cuadrática y que en el extremo derecho de la viga tiene una magnitud de . Considerando
el modelo de vigas de Euler-Bernoulli, determine.
a) La función que define la carga ().
2. La función () que satisface la ecuación de equilibrio definida en la ec. (1.15c):
b) Determine y grafique para el desplazamiento transversal (), el (), cortante y el
momento , para una viga sujeta a una carga =-5000 × kgf m2 , con longitud = 5 m,
sección rectangular con base = 015 m y peralte = 030 m; módulo elástico = 2214 ×
109 kgf m2 .
Figura 1.14: Viga con carga cuadrática.
c
°Gelacio
Juárez, UAM
28
