ANEXO A. MODELO DE LONGITUD DE MEZCLA PARA EL FLUJO

ANEXO A. MODELO DE LONGITUD DE MEZCLA PARA EL FLUJO
TURBULENTO
A.1 Flujo Turbulento y Viscosidad de Vórtice
Si el número de Reynolds es suficientemente alto, virtualmente cada tipo de flujo será
turbulento. La turbulencia se encuentra en la atmósfera, en el océano, en el flujo alrededor
de aviones y misiles, en la mayoría de flujos en tuberías, en estuarios y ríos, y en las estelas
de vehículos en movimiento. Tal turbulencia se genera principalmente por efectos de
fricción en las paredes sólidas o por la interacción de las corrientes que se mueven sobre
tale paredes con diferentes velocidades. Varios autores han sugerido que lo mejor que se
puede hacer, ante la dificultad de definir con precisión la turbulencia, es listar las
características del flujo turbulento, ver Street et al., 1996. Tales características se listan
como :
•
Irregularidad o aleatoriedad en tiempo y espacio.
•
Difusividad o mezclado rápido.
•
Altos números de Reynolds.
•
Fluctuaciones de vorticidad tridimensionales.
•
Disipación de la energía cinética de la turbulencia debido a esfuerzos viscosos.
•
La turbulencia es un fenómeno continuo aún a las escalas menores.
•
La turbulencia es una característica del flujo de fluidos, y no una propiedad intrínseca
de los fluidos.
Para analizar la turbulencia es conveniente concentrarse en las partículas del fluido. Las
partículas viajan aleatoriamente moviendo masas de fluido de variados tamaños llamados
remolinos; esto causa que en cualquier punto del flujo, haya una rápida e irregular
pulsación de la velocidad alrededor de un valor medio bien definido. En general, la
195
intensidad de la turbulencia se incrementa con la velocidad, y la escala aumenta con las
dimensiones de las fronteras. Esto último puede verse como que los remolinos turbulentos
serán mayores en un canal grande que en un tubo pequeño para la misma velocidad. De
hecho, el mayor tamaño esperado del remolino es igual a la longitud característica del flujo,
esto es, en un tubo, el radio del mismo, en un canal el ancho o profundidad, el espesor de la
capa límite, etc.
Esfuerzos cortantes en un flujo turbulento paralelo simple pueden visualizarse al considerar
dos puntos adyacentes en una sección transversal del flujo (ver figura A.1). En uno de tales
puntos sea la velocidad media temporal u, y en el otro, u + Δu. Si la pequeña distancia
transversal es lm, se infiere un gradiente de velocidad du/dy (de la velocidad media). Si u y
u + Δu se toman como las velocidades medias de las capas de flujo, la velocidad turbulenta
u’ representa el movimiento transversal observado de las pequeñas masas de fluido entre
capas, tales masas se transfieren en una dirección o en la otra. Sin embargo, antes de la
transferencia tales masas fluidas tienen velocidades (u y u + Δu) y después de la
transferencia quedan con velocidades u + Δu y u, respectivamente; esto significa que su
momentum se intercambia durante el proceso de transferencia.
El primer intento por expresar el esfuerzo turbulento en forma matemática fue hecho por
Boussinesq, que siguió el patrón de la ecuación del flujo laminar y escribió
Figura A.1. Longitud de mezcla.
196
τ = ε
∂u
∂y
(A.1)
donde la viscosidad de remolino (o de vórtice), ε, era una propiedad del flujo (y no del
fluido mismo) que depende principalmente de la estructura de la turbulencia. Esta expresión
para el flujo turbulento se usa frecuentemente hoy a causa de la comparación entre μ y ε
aunque no es teóricamente satisfactoria sí es satisfactoria en la aplicación a muchos
problemas ingenieriles.
Ahora, la ecuación se escribe usualmente como
τ = (μ + ε )
∂u
∂y
(A.2)
para cubrir la situación combinada de ambas, la acción viscosa y la acción turbulenta, en un
flujo. Según sea el flujo completamente turbulento o laminar se elimina la viscosidad
opuesta para la descripción adecuada del flujo
Tomando las fluctuaciones aleatorias de velocidad del fluido como u’ y v’,
respectivamente, normal y paralela a la dirección del movimiento medio general, Reynolds
confirmó que tales componentes aleatorias de velocidad causan un esfuerzo cortante medio
efectivo en flujo turbulento y mostró que tales esfuerzos podrían escribirse como
τ = − ρ u ′v ′
(A.3)
en donde u ′v ′ es el valor medio del producto u ′v ′ . Términos de la forma ρ u′v ′ se llaman
hoy esfuerzos de Reynolds. Prandtl consiguió relacionar las velocidades de turbulencia con
las características generales del flujo proponiendo que las pequeñas agregaciones de las
partículas del fluido se transportan por la turbulencia una cierta distancia media lm, desde
las regiones de una velocidad a otras y así haciendo sufrir cambios en las velocidades
197
generales de movimiento. Prandtl llamó la distancia lm longitud de mezcla y sugirió que el
cambio en la velocidad Δu, incurrida por una partícula de fluido moviéndose a través de la
distancia lm era proporcional a u’ y v’, esto es, lmdu/dy ∝ u’ y lmdu/dy ∝ v’.
A partir de esto él sugirió
τ = − ρ u ′v ′ = ρ lm
2
⎛ ∂u ⎞
⎜
⎟
⎝ ∂y ⎠
2
(A.4)
como una ecuación valida para la descripción del esfuerzo cortante en flujo turbulento.
Así pues la viscosidad de remolino se puede expresar como
⎛ du ⎞
ε = ρlm ⎜ ⎟
⎝ dy ⎠
2
2
(A.5)
En el caso de flujo cerca a una pared de borde, la turbulencia es fuertemente influida por la
pared, u’ y v’ deben ser cero en la pared. Intuitivamente se puede proponer que la longitud
de mezcla varíe con la distancia a la pared y, de acuerdo con la figura A.1, esto produce
lm= ky
(A.6)
La constante k es la llamada constante de Von Kármán la cual ha sido determinada a partir
de datos experimentales (aunque como se sabe hoy en día ésta realmente no es constante, la
discusión de este aspecto está fuera de las pretensiones de este trabajo). El valor nominal
que se acepta es 0.41. Incorporando la suposición anterior entonces el esfuerzo de Reynolds
puede expresarse como
τ = ρk
2
⎛ ∂u ⎞
y2⎜
⎟
⎝ ∂y ⎠
2
= ρk
2
y
2
du ⎛ du ⎞
⎜
⎟
dy ⎝ dy ⎠
198
(A.7)
A parte de la ecuación A.6, Von Kármán propuso otra expresión para regiones lejos de las
paredes sólidas donde lm probablemente dependería mayormente de las variaciones locales
de la velocidad, esto es, du / dy , d 2 u / dy 2 , etc. Eligiendo la cantidad más simple con las
dimensiones de longitud formada por estas derivadas, él propuso
lm = k
⎛ du ⎞
⎜ ⎟
⎝ dy ⎠
(A.8)
d 2u
dy 2
donde k es una constante experimental. Puede mostrarse que la constante k en la ecuaciones
A.6 y A.8 es la misma (ver Li - Lam, 1964). Estas fórmulas para lm no se entienden
físicamente correctas. Por ejemplo, uno espera que la longitud de mezcla en flujo en un
tubo debería ser influenciada por el tamaño del tubo, pero como se ve, el tamaño no está
incluido en estas fórmulas. Por el centro del tubo donde la mezcla es más intensa, con du/dy
= 0, la ecuación 8 sugiere que lm = 0 !. A pesar de todo esto, tales fórmulas se han usado
exitosamente para predecir la distribución de la velocidad media. El valor de k debe
determinarse experimentalmente, pero se supone que es esencialmente el mismo flujos
turbulento paralelos. En cuanto a esto, por ejemplo autores como Lambert y Sellin, 1996,
toman k = 0.6 (que ellos llaman coeficiente de longitud de mezcla Cml) para todos los
cálculos de los perfiles de velocidades promediadas verticalmente a lo ancho de la sección
transversal de los canales compuestos, que es lo que nos interesa en el presente estudio.
Uno de los objetivos del presente trabajo fue la discusión acerca de tal valor constante e
igual a 0.6 y que a nuestro modo de ver no siempre ha de ser 0.6 (o 0.41). La elección de
tal valor corre por cuenta del modelista y es, en general, propia de cada problema particular
a tratar.
199
Otros autores proponen la toma de otras expresiones para el coeficiente de longitud de
mezcla.
Jia y Wang, 1999, proponen en su artículo trabajar con dos modelos de viscosidad de
vórtice. Primero, el coeficiente de viscosidad de remolino ε se calcula usando la
comúnmente aceptada fórmula de viscosidad de remolino parabólica integrada
verticalmente
ε=
Axy
6
kU *h
(A.9)
donde U* es la velocidad de cizalladura; h es la profundidad local del agua; k = 0.41. Axy es
un valor ajustable de la viscosidad de remolino, su valor por defecto es la unidad.
El segundo modelo de la viscosidad de vórtice es el modelo de longitud de mezcla
promediado verticalmente
2
⎛ ∂v ⎞ ⎛ ∂u ∂v ⎞ ⎛ ∂ U ⎞
⎛ ∂u ⎞
2⎜ ⎟ + 2 ⎜ ⎟ + ⎜ + ⎟ + ⎜
⎟
⎝ ∂x ⎠
⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂y ∂x ⎠ ⎝ ∂z ⎠
2
ε = lm
2
2
2
(A.10)
donde,
1
z⎞
1
⎛
lm = ∫ kz ⎜ 1 − ⎟ dz = kh ∫ λ (1 − λ ) dλ ≈ 0.257 kh
⎝ h⎠
h
0
(A.11)
El gradiente de velocidad integrado verticalmente se obtiene a partir de
∂U
U
= Cm *
∂z
kh
(A.12)
200
Este término se introduce para dar cuenta del efecto de turbulencia que se genera por la
superficie del fondo. Cm es un coeficiente al que se le asigna el valor de 2.34375.
Otro problema importante y que muchas veces se desprecia o se pasa por alto es el
relacionado con ambos, la longitud de mezcla y los modelos parabólicos, es el efecto de
pared. En la región muy cercana a la pared, el efecto de humedecimiento en la pared es
significativo. Las distancias desde los nodos (en modelación 2D) a la pared deben
emplearse como longitud de escala en cambio de la profundidad local z desde el fondo del
lecho. La distancia normal desde la pared dp se usa para el cálculo de la longitud de mezcla
en la región dp/h< 0.3245; también se usa para el cálculo del perfil parabólico en el rango
dp/h < 0.21. Los números 0.3245 y 0.21 son las respectivas distancias relativas en que la
longitud de mezcla y la función parabólica son iguales a sus respectivos valores
promediados verticalmente. Esta aproximación elimina la posibilidad de predecir
viscosidades de remolino cerca de la pared.
Si dw es la distancia desde un punto del fluido a la pared, entonces para el cálculo de la
longitud de mezcla y la viscosidad de remolino promediada verticalmente se procede como
sigue
lm = kd w 1 −
dw
h
para
dw < 0.3245h
(A.13)
lm = 0.267 kh
ε = khU *
dw ⎛ dw ⎞
⎜1 − ⎟
h ⎝
h⎠
para
para
dw > 0.3245h
dw < 0.21h
(A.14)
ε = khU* / 6
para
dw > 0.21h
201
Los componentes del esfuerzo cortante de fondo se obtienen a partir de
1
8
1
8
τ ox = ρfuU y τ oy = ρfvU
(A.15)
Un método alternativo es emplear la fórmula de Manning para evaluar los esfuerzos
cortantes
τ ox =
1
1
ρn 2 uU y τ ox = 1/ 3 ρn 2 vU
1/ 3
h
h
(A.16)
donde el coeficiente de Manning n es una constante local para una condición de fondo fija,
que no cambia con las condiciones de flujo. La ecuación A.16 es más eficiente que (A.15),
según se ha podido establecer. Para aplicaciones generales el segundo método usarse, pero
en casos con datos de rugosidad precisos la primera aproximación se recomienda. Cuando
se consideran ríos con fondo y banca flojas, es importante que la altura de rugosidad ks y el
n de Manning usados para el cálculo del esfuerzo cortante deben incluir ambos, el tamaño
del grano y los efectos de resistencia de la forma del lecho.
Los puntos antes señalados son importantes en cuanto tienen que ver con el modelo de
longitud de mezcla utilizado por Lambert y Sellin, 1996, así como nos da argumentos para
decidir qué tipo de fórmulas de rugosidad utilizar, trátese de las fórmula de Manning o
fórmulas que tienen en cuenta el coeficiente f de Darcy – Weisbach.
Nuestro objetivo en este anexo ha sido presentar al lector interesado algunas de las más
recientes y prometedoras metodologías para enfrentar el problema de la modelación de los
flujos turbulentos usando el concepto de la longitud de mezcla
202
Este modelo lo utilizan en forma simplificada (ecuación A.6) Lambert y Sellin, 1996, y sí
proporciona resultados aceptables en el cálculo de la curva de calibración de caudales en
canales compuestos pero necesita refinarse con el objeto de extender su uso no sólo a casos
relativamente simples como los expuestos por tales autores, canales compuestos con
llanuras de inundación y canal principal plenamente identificables con formas regulares,
sino también a canales cuya geometría sea irregular además de contar con rugosidad
compuesta.
En este sentido el autor recomienda aplicar y explorar el modelo de Lambert y Sellin, 1996
en trabajos futuros, cambiando el coeficiente Cml = 0.6 que ellos utilizan y aún el
coeficiente de longitud de mezcla lm por otras expresiones que sean variables en el ancho de
la sección y que dependan de la profundidad de flujo y la distancia a las paredes del canal
tal y como se propone en las ecuaciones A.11, A.13 y A.14. La esperanza que se tiene es
que efectivamente, se logren mejoras en el campo de la predicción no solo en cuanto a las
curvas de calibración de caudales sino en otros campos relacionados con los flujos a
superficie libre dentro de los que se cuenta el cálculo de perfiles de flujo.
A.2 Obtención de la ecuación de movimiento 2.4
Recordemos la figura 2.2 y de la cual extraemos un elemento infinitesimal de volumen
como el que se muestra en la figura A.2.
Figura A.2. Volumen de control usado para determinar las fuerzas que actúan en uno de los
elementos verticales que se muestran en la figura 2.2.
203
Contamos en la dirección del flujo con flujo uniforme. Por equilibrio de fuerzas en
dirección x podemos escribir entonces la siguiente ecuación
ρdVo lg senθ − τ o 1 + sy2 dydx − τ yx zdx + (τ yx +
∂τ yx
∂z
dy ) dx ( z + dy ) = 0
∂y
∂y
(A.17)
donde dVol es el diferencial de volumen del elemento, y puede expresarse como
1
∂z
dVol = zdxd + dxdy 2
y despreciamos el término dy2 para obtener que dVol = zdxdy.
∂y
2
Así entonces podemos reescribir la ecuación A.17 como
zdydxρg senθ − B*τ o dydx − τ yx zdx + τ yx zdx + τ yx dx
∂τ yx
∂τ yx
∂z
∂z
dy +
zdydx +
dydx dy = 0
∂y
∂y
∂y
∂y
Reuniendo términos semejantes y despreciando de nuevo términos de segundo orden dy2,
llegamos a
zdydxρg sen θ − B*τ o dydx + τ yx
∂τ yx
∂z
dxdy +
zdydx = 0
∂y
∂y
(A.18)
Ahora, al reemplazar senθ por So que es la pendiente longitudinal del canal y al dividir
todos los términos de la ecuación A.18 por dxdy obtenemos finalmente
gzSo −
B*τ o
ρ
+
1 ∂
τ yx z = 0
ρ ∂y
( )
(A.19)
que es precisamente la ecuación 2.4 que queríamos demostrar.
204