Cap 4: Potencial eléctrico

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 Cap 4: Potencial eléctrico Segundo Leibniz, el resultado de las interacciones entre partículas se ve por el intermediar de un cambio de energía, cuantificado por el trabajo W El trabajo describe el efecto de una fuerza en un intervalo del espacio-­‐tiempo (desplazamiento de a a b): 
b 
(3.1) Wa→b = ∫ F ⋅ dl a
Cuando no hay perdida de energía (fuerza conservativa): (3.2) Wab = U a − U b = − (U b − U a ) = −ΔU • El trabajo es igual al negativo del cambio de energía potencial U Aplicando la ley de la conservación de energía: (3.3) K a + U a = K b + U b ⇒ K b − K a = − (U b − U a ) El trabajo de una fuerza conservativa es igual a la variación de energía cinética K (3.4) Wab = −ΔU = − (U b − U a ) = K b − K a = ΔK 

Para la interacción eléctrica, la fuerza de Coulomb F = q0 E es conservativa y tenemos para la energía potencial U = q0V donde V es el potencial eléctrico – la energía potencial por unidad de carga 1 Es decir, en estas circunstancias, la energía mecánica total (cinética más potencial) se
782
Wa S b 52DU 5 mgh.
C conserva.
APÍT U LO 23 Potencial eléctrico
b
S
S
Energía
potencial
un campo
23.3 Carga
positiva que
se
a) Laeléctrica
carga positiva en
se desplaza
en direcciónuniforme
de E:
b) La carga positiva se desplaza en dirección opuesta a E:
desplaza a)Aencontinuación
laSdirección del
El campo
realiza
un trabajo
sobre la carga.
• ElEn
campo
realiza un23.2
trabajo
negativo
sobre la carga.
Trabajo
realizado
sobre una carga
se verá• un
ejemplo
eléctrico
de positivo
estos conceptos
básicos.
la figura
campo eléctrico E ySb) en la
y
y
• U disminuye.
• eléctrico
U aumenta.uni- puntual
que se mueve en un campo
23.2
un
par
de
placas
metálicas
paralelas
con
carga
generan
un
campo
dirección opuesta a E.
eléctrico uniforme. Compare esta
+
+ E. El
+ campo
+ ejerce
+ una fuerza hacia+abajo +con +
+
+
forme descendente y con magnitud
ilustración
con la figura 23.1.
Ej. FE5nergía otencial e
léctrica e
n u
n c
ampo e
léctrico u
niforme magnitud
q0E sobrepuna
carga
de
prueba
positiva
q
.
A
medida
que
la
carga
se
0
S
S
E
mueve hacia
d del punto a al punto b, la fuerza sobre E
la carga de
Carga puntual que se mueve en un campo
abajo una distancia
y
prueba es constante e independiente deasu localización.
Por lo tanto, el trabajo reali- b eléctrico uniforme
S
S
Dos placas paralelas separadas por deulana distancia d F 5laqmagnitud
0E
zado por el campo eléctrico es el producto de
fuerza
por
la
compo
+
+
+
+
+
nente deproducen desplazamiento
en claampo dirección
(descendente)Ede=laE
fuerza.
a
un uniforme S
E
yaWa S b 5 Fd 5 q0Ed
yb
(23.4)
q0

d
a
b
Por d
efinición l
a f
uerza e
léctrica, , c
uando F
=
−q
E
ŷ
0
Este trabajo es positivo, toda vez que la fuerza está en la misma dirección
que el desya
yb
F 5 q0E
F 5 q0 E
plazamiento
de la carga
de prueba.
y
la pneto
artícula (positiva) se mueve por abajo sobre el O
O
–
–
– Fy 5–2q0E,– es constante, y no hay
– compo–
–
–
–
La componente y de la fuerza
eléctrica,
eje y, sobre una distancia d = b − a , producen un nente x o z. Esto es exactamente análogo a la fuerza gravitatoria sobre una masa m
b
–
– q se –mueve
O –hacia –
igual al negativo dese mayor
la existe
diferencia d23.3a),
e e
nergía Cuando
que una
yb (figura
laconstancarga de prueba positiva
cerca de trabajo la superficie
de la Tierra;
para estayafuerza,
componente
y
0
S
te Fy 5 2mg,
y las componentes xabajo,
y z son
a cero.
A partir
analogía se
en iguales
la misma
dirección
quedeEesta
tieneEllugar
enrealizado
la misma
; el desplazamiento
trabajo
pordirecla fuerza
potencial: S
S
eléctrica
es ely mismo
para cualquier
puede concluir que la fuerza ejercida
uniforme
la trabajo
F campo
ciónsobre
que laqfuerza
por lo que
el campoenrealiza
positivo
U disminuye.
5 q0 E,eléctrico
0 por el
trayectoria de a a b:
figura 23.2 es conservativa, igual [En
que particular,
la fuerza gravitatoria.
significa
que el23.2,
tra- la ecuación
sibya 2 yb 5 Esto
d como
en la figura
(23.6) da WaSb 5 q0Ed
b
W
5 2DU 5 q Ed.

 enes concordancia
bajo WaSb efectuado por el campo
independiente
de
la
trayectoria
que
sigue
la
parcon ecuación
(23.4).] Cuando ya es menor que ybaSb
(figura 23.3b),0la

Wab puede
= ∫ Frepresentarse
⋅ dl =de−q
E ∫positiva
cos(0
=
−qhacia
− aU,
(barriba,
)en dirección opuesta a ES; el desplatícula de (3.5) a a b. Este trabajo
una
función
energía
potencial
0con
0E
carga
prueba
q0)dl
sedemueve
S
S
S
S
como se hizo para la energíaapotencial
gravitacional
enfuerza,
la sección
7.1. hace
La energía
a a la
zamiento
se opone
el campo
un trabajo negativo y U aumenta.
potencial para la fuerza gravitatoria Si
Fy la5carga
2mgdefue
U 5qmgy;
por consiguiente, la
prueba
0 es negativa, la energía potencial aumenta cuando se mueve
energía potencial para la fuerza eléctrica
2q0E yesdisminuye cuando se mueve en contra del campo (figura 23.4).
y 5
a favorFdel
campo
C APÍT U LO 23
Y esto corresponde a una diferencia de energía potencial Sea positiva o negativa la carga de prueba, se aplica la siguiente regla general: U
U5
(23.5)
(3.6) Wqabsi0Ey
= carga
−ΔUde=prueba
− (Uqb0−seUmueve
−q
(b − aopuesta
) a la fuerza eléctriaumenta
la
la0 E
dirección
a ) = en
S
S
ca Fde5laqaltura
U disminuye si q0 se mueve en la misma direc0 E (figuras
Cuando la carga de prueba se mueve
yaSa la23.3b
alturayy23.4a);
S
b, el trabajo realizado
F
ción
que
(figuras
23.3a
y
23.4b).
Éste es el mismo comportamiento que para
5
q
E
0
sobre laEste cargarpor
el campo está
dado por
esultado implica que U a = qgravitacional,
y de forma general =cual
q0 Eb
0 Ea y U b la
la energía potencial
aumenta si una masa m se mueve hacia arriopuesta a la dirección de la(23.6)
fuerza gravitatoria) y disminuye si m se
Wa S b 5 2DU 5 2 1 Ub 2 Ua 2 ba
5 (en
2 1U
qdirección
0 Eyb 2 q0 Eya 2 5 q0 E 1 ya 2 yb 2
(3.7) U = q0 Ey ⇒ mueve
(en la misma dirección que la fuerza gravitatoria).
V = hacia
= Ey
abajo
q0
CU I DADO Energía potencial eléctrica La relación que hay entre el cambio en la energía
potencial eléctrica y el movimiento en un campo eléctrico es muy importante, y se utilizará con
frecuencia.
También
esiuna
relación que requiere
cierto esfuerzo
para comprenderse del todo.
Que se mide = el efecto real de la nteracción eléctrica = el trabajo Tómese el tiempo necesario para revisar el párrafo anterior y estudie con cuidado las figuras
• Esto es la diferencia de elenergía putilidad
otencial (la energía potencial en un 23.3 y 23.4. ¡Hacerlo
será de gran
más adelante!
❚
punto sólo no tiene sentido físico) Energía potencial eléctrica de dos cargas puntuales
La idea d
dee lala energía
potencial
eléctricapno
se restringe
al ecaso
de undcampo
El movimiento natural carga (trabajo ositivo) va n eespecial
l sentido e una eléctrico uniforme. En realidad, este concepto se puede aplicar a una carga puntual en
disminución d
e l
a e
nergía p
otencial e
léctrica Potencial eléctrico
cualquier campo eléctrico generado por una distribución de carga estática. Recuerde,
S
S
S
S
23.4 Una
Carga positiva
quecarga
se negativa
b) La carga
negativa
desplaza
en dirección
a) La carga
negativaensedirección
desplaza de
en E:
la dirección
decarga
E: positiva
a) La que
carga positiva
se desplaza
b) La
se desplaza
en se
dirección
opuesta
a E: opuesta a E:
a)
en
dirección
za a) enseladesplaza
dirección
del
• El campo
realiza
trabajo
positivo
sobre la carga.
• El campo
realiza
trabajosobre
negativo
sobre la•carga.
• El campo realiza
un trabajo
positivo
la carga.
El campo realiza
un trabajo
negativo
sobre
la carga.
S
S
delEcampo
E• yU disminuye.
y
y
o eléctrico
ySb) eneléctrico
la
y
y
• U aumenta.
• U aumenta. • U disminuye.
b)Sena dirección
opuesta
ión opuesta
E.
+
++
++
++
+
+
+
+ + + + + + + +
+
+
a E. Compare con la
S
S
S
S
figura 23.3.
S
S
F 5 q0 E
E
E
a
S
E
E
a
b
b
S
F 5 q0 E
ya
ya
b
b
yb
–
–
O
– –
yb
S
yb
yb
a
a
O
– – – –
ya
–
–
–
–
S
F 5 q0 E
S
F 5yaq0 E
S
O
––
––
O
––
–
–
Cuando ya es mayor que yb (figura 23.3a), la carga de prueba positiva q0 se mueve hacia
S
abajo, en la misma dirección
que E; el desplazamiento tiene lugar en la misma direcS
S ción que la fuerza F 5 q0 E, por lo que el campo realiza trabajo positivo y U disminuye.
[En particular, si ya 2 yb 5 d como en la figura 23.2, la ecuación (23.6) da WaSb 5 q0Ed
en concordancia con la ecuación (23.4).] Cuando ya es menor que yb (figura 23.3b), la
S
carga de prueba positiva q0 se mueve hacia arriba, en dirección opuesta a E; el desplazamiento se opone a la fuerza, el campo hace un trabajo negativo y U aumenta.
Si la carga de prueba q0 es negativa, la energía potencial aumenta cuando se mueve
a favor del campo y disminuye cuando se mueve en contra del campo (figura 23.4).
Sea positiva o negativa la carga de prueba, se aplica la siguiente regla general: U
aumenta si la carga de prueba q0 se mueve en la dirección opuesta a la fuerza eléctriS
S
ca F 5 q0E (figuras 23.3b y 23.4a); U disminuye
2 si q0 se mueve en la misma direcS
S
ción que F 5 q0E (figuras 23.3a y 23.4b). Éste es el mismo comportamiento que para
la energía potencial gravitacional, la cual aumenta si una masa m se mueve hacia arriba (en dirección opuesta a la dirección de la fuerza gravitatoria) y disminuye si m se
23.1 Energía potencial eléctrica
como un conjunto
alizado sobre una
por una sola carga
una línea radial,
sobre q0 está dada
rente, el trabajo total que se realiza en el desplazamiento de ida y vuelta es igual a cero
[la integral en la ecuación (23.8) es de ra de regreso a ra]. Éstas son las características
necesarias para una fuerza conservativa, según se definió en la sección 7.3. Así, la
fuerza sobre q0 es conservativa.
Se ve que las ecuaciones (23.2) y (23.8) son consistentes si se define qq0 / 4pP0ra
como la energía potencial Ua cuando q0 está en el punto a, a una distancia ra de q, y se
define qq0 / 4pP0rb como la energía potencial Ub cuando q0 está en el punto b, a una
23.5 La carga de prueba q0 se desplaza
a lo largo de una línea recta que se
extiende en forma radial desde la carga q.
Conforme se desplaza de a a b, la
distancia
varía dep
raotencial a rb.
Energía eléctrica relacionada a dos cargas puntuales (23.7)
b
E
S
E
S
La carga de prueba q0
se desplaza de a a b
a lo largo de una
trayectoria
arbitraria
F
b
S
q0
q0
E
(23.8)
S
dl
dr
rb
r
ra
articular depende
dr
f
rb
S
a
2
23.6 El trabajo
q0 por el campo
depende de la t
sino sólo de las
S
La carga q0 se
desplaza de a a b
a lo largo de una
línea radial
desde q
y Fr es positiva; si
Fr es negativa. La
egrar para obtener
e mueve de a a b.
b
783
r
a
q
sibles entre a y b.
figura 23.6) en el
el trabajo efectua-
ra
q
Segunda la ley de Coulomb: (3.8) do durante un desr entre las cargas,
n (23.8) es válida
que efectúa sobre
no de los detalles
a trayectoria difeelta es igual a cero
las características
cción 7.3. Así, la
define qq0 / 4pP0ra
ancia ra de q, y se
el punto b, a una
1 qq0
4πε 0 r 2
Como la fuerza radial no es constante (disminuye con el inverso del cuadrado de la distancia) el trabajo se calcula por un integral de línea: rb
r
b

qq0 b dr
qq ⎛ 1 1 ⎞
Wab = ∫ F ⋅ dl = ∫ Fr dr =
= − 0 ⎜ − ⎟ (3.9) 2
∫
4πε 0 ra r
4πε 0 ⎝ rb ra ⎠
a
ra
Solamente depende de los punto extremos⎯el trabajo correspondiente a una fuerza eléctrica es una integral de línea que no depende del camino La partícula se desplaza de a a b siguiendo dos caminos diferentes: b
  b
23.6 El trabajo efectuado sobre la carga
(3.10) Wab = ∫ F ⋅ dl = ∫ F cosϕ dl q0 por
el campo eléctrico de carga q no
depende de la trayectoria seguida,
sino sólo de las distancias ra y rb.
b
Fr =
a
a
Pero cosφ dl = dr , la proyección de la fuerza sobre el camino es no cero solo en la dirección radial r
b
  b
qq0 b dr
Wab = ∫ F ⋅ dl = ∫ Fr dr =
(3.11) 4πε 0 r∫a r 2
a
a
Esto es un comportamiento propio a una fuerza conservativa, el trabajo no depende del camino, y existe un potencial tal que: (3.12) Wab = −ΔU Por lo tanto para un camino cerrado un fuerza conservativa da siempre:  
Wab = 
F
(3.13) ∫ ⋅ dl = −ΔU = 0 3 La fuerza como gradiente de un potencial Una interpretación equivalente para el trabajo relacionado con una fuerza conservativa es de considerar el gradiente de un potencial Por definición, el trabajo esta igual a una diferencia de energía potencial: (3.14) Wab = −ΔU = U a − U b La energía potencial eléctrica tiene la forma: 1 qq0
(3.15) Ur =
4πε 0 r
1 qq0
Pero como la fuerza de Coulomb tiene la forma Fr =
vemos que 4πε 0 r 2
(3.16) Fr = −∇U r = −
∂ ⎛ 1 qq0 ⎞
1 qq0
=
⎜
⎟
∂r ⎝ 4πε 0 r ⎠ 4πε 0 r 2
En general para una fuerza conservativa: • La fuerza surge de un potencial • La fuerza es el negativo del gradiente de la energía potencial • El trabajo es independiente del camino 4 Ej. Interacción entre positrón y partícula α El positrón e+ es la antipartícula del electrón: tiene la misma masa me = 9.11× 10 −31 kg y carga, pero positiva e+ = +1.60 × 10 −19 C Cuando el positrón se encuentra a una distancia ra = 1.00 × 10 −10 m (1 Å) de una partícula α (el núcleo de un átomo de He con carga 2e+ y masa mα = 2m p + 2mn ) se aleja a una velocidad de 3.00 × 10 6 m s −1 ; cual será su velocidad cuando llegara a 2ra o al infinito ∞ Para resolver este problema basta aplicar el principio de energía cinética K b + U b = K a + U a ⇒ K b = ( K a + U a ) − U b 1
1 qq0
Por definición U a =
≈ 4.61× 10 −18 J y K a = meva2 ≈ 4.10 × 10 −18 J 2
4πε 0 ra
Falta solamente saber la energía potencial a 2ra 1 qq0
1 qq0 1
Ub =
=
= U a ≈ 2.30 × 10 −18 J 4πε 0 rb
4πε 0 2ra 2
Por lo tanto K b = ( K a + U a ) − U b ≈ 6.41× 10 −18 J Usando la definición de la energía cinética vb =
2K b
m
≈ 3.80 × 10 6 me
s
Aplicando la misma relación, la energía potencial al infinito es 1 qq0
U∞ =
= 0 4πε 0 ∞
Por lo tanto K ∞ = ( K a + U a ) ≈ 4.71× 10 −18 J y la velocidad v∞ =
2K ∞
m
≈ 4.40 × 10 6 me
s
5 23.2 Potencial eléctrico
787
Diferentes interpretación de la energía potencial de un sistema de cargas EjemploEn 23.2
Sistema
de cargas
puntuales
caso que tenemos más que una carga, la energía potencial eléctrica es una S
suma algebraica de las energías potenciales individuales: Dos cargas puntuales se localizan en el eje x, q 5 2e en x 5 0 y EJECUTAR: a) El trabajo que debe hacer una fuerza externa Fext sobre
N dos cantidades: la energía potencial U
q 5 1e en x 5 a. a) Determine el trabajo que debe realizar
q ⎛una
q1 fuer-q2 q es igualqaN la⎞ diferencia
q0 entre
qi
za externa (3.17) para llevar una tercera carga puntual
asociada con q cuando
está ∑
en x 5 2a
y la energía potencial que tiene
U q=5 1e0 del⎜infinito
+ a ++
=
⎟
4πε
rN infinitamente
ri segunda de éstas es igual a cero,
x 5 2a. b) Determine la energía potencial total del
sistema
⎠ 4πε 0lejos.
i=1 La
0 ⎝ rde
1 tresr2 cuando está
cargas.
por lo que el trabajo que debe realizarse es igual a U. Las distancias
entre las cargas son r 5 2a y r 5 a, por lo que a partir de la ecuación
(23.10),
Del otro lado, la distribución de cargas m
isma tiene su propia energía potencial: SOLUCIÓN
q q q3 q1 1 q2 5 1e 2e 1 1e 5 1e2
IDENTIFICAR: Este problema implica la relación entre el trabajo 1
W 5 Ui 5j (3.18) U po=
efectuado para
mover una carga puntual y el cambio en la energía
4pP0 r13
r23
4pP0 2a
a
8pP0a
∑
tencial. También implica la expresión para la energía potencial de un 4πε 0 i< j rij
1
2
3
3
3
13
1
23
2
1
2
Si q3 se lleva del infinito a lo largo del eje 1x, es atraída por q1 pero re-
conjunto de cargas puntuales.
pelida connmás
por q ; poriello,
hacerseinteracción un trabajo positivo
= jdebe
La suma se extiende a todas pares de cargas, o sfuerza
e permite (auto para
llevar
q
a
la
posición
x
5
2a.
PLANTEAR: La figura 23.10 presenta el arreglo final de las tres carque no faz sentido físicamente), y se cuenta solamente la total
interacción e ccargas
ada está
pares b) La
energía potencial
del conjunto dedtres
dado
gas. Para determinar el trabajo que se requiere para traer a q del infinipor
la
ecuación
(23.11):
i
<
j
sólo u
na v
ez (
)
to, se usa la ecuación (23.10) para encontrar la energía potencial
qiqj
asociada con q en la presencia de q y q . Después se emplea la ecuaq1q3
q2q3
1 q1q2
1
5
1
1
U5
ción (23.11) para determinar la energía potencial total del sistema.
4pP0 a
r
4pP
r
r
r23
ij
0
12
13
Esto lleva a dos interpretación posible para el i,j
t1rabajo 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2e
e
2e
e
e
e
1
2e2
5
1
1
5
23.10 Dibujo de la situación después de que se ha traído la
4pP0
a
2a
a
8pP0a
tercera carga
del infinito.
Consideramos un ejemplo: EVALUAR: Como el resultado en el inciso b) es negativo, el sistema
3
2
3
3
1
2
1
1
2
2
tiene menos energía potencial que si las tres cargas estuvieran infinitamente alejadas. Una fuerza externa tendría que hacer trabajo negativo para traerlas del infinito y acomodarlas en su arreglo, y trabajo
positivo para llevarlas de regreso al infinito.
Empezamos con dos cargas q1 = −e a x = 0 y q2 = +e en x = a y queremos poner una tercera carga q3 = +e a x = 2a Evalúe su comprensión de la sección 23.1 Considere el sistema de tres
Por d
l trabajo ue e debe acer sobre q3 por una fuerza externa es igual cargas puntuales
delefinición ejemplo 21.4 e
(sección
21.3) yq
que
sesilustra
en la h
figura
21.14.
a) ¿Cuál esa ella signo
de
la
energía
potencial
total
de
este
sistema?
i)
positivo;
ii)
negativo;
diferencia de energía potencial de U ∞ a U 2a ; pero por definición U ∞ = 0 que iii) cero. b) ¿Cuál es el signo de la cantidad total de trabajo que tendría que hacerse para
nos infinitamente
deja que lejos
el tuna
rabajo igual ii)a: negativo; iii) cero.
llevar las cargas
de otra?ei)s positivo;
❚
q3 ⎛ q1 q2 ⎞
+e ⎛ −e +e ⎞
+e2
W = U 2a =
+
=
+
=
⎜
⎟
4πε 0 ⎜⎝ r13 r23 ⎟⎠ 4πε 0 ⎝ 2a a ⎠ 8πε 0 a
23.2 El Potencial
trabajo W eléctrico
> 0 que sugiere que la formación del sistema implica una aumentación de e23.1
nergía potencial gual a U
un trabajo ontra a prueba
repulsión de las cargas del sistema En la sección
se estudió
la energíaipotencial
asociada
con c
una
carga lde
q0 en un campo
eléctrico.
Ahora
interesa
describir
esta
energía
potencial
sobre
una
ba se “por unidad de carga”, al igual que el campo eléctrico describe la fuerza por unidad
Del otro lado, la energía potencial del sistema formado de las 3 cargas es: de carga sobre una partícula con carga en el campo. Esto lleva al concepto de poten- 11.13 Energía potencial eléctrica y potencial
cial eléctrico, al que 1
es frecuente
qi q jllamar 1simplemente
⎛ q1q2 potencial.
⎞
q1q3 Este
q2 q3concepto
1es ⎛ −e2 −e2 e2 ⎞
e2
U
=
=
+
+
=
+
+
=
−
muy útil en los cálculos que∑
implican energías de
con carga. También
faci⎜⎝ partículas
4πε 0 de
rij eléctrico
4πε 0porque
r12el potencial
r13 eléctrico
r23 ⎟⎠se relacio4πε 0 ⎜⎝ a
2a a ⎟⎠
8πε 0 a
i< jcampo
lita hacer muchos cálculos
ONLINE
S
na estrechamente con el campo eléctrico E. Cuando se necesita determinar un campo
La energía potencial del sistema es más baja que la energía potencial cuando las eléctrico, a menudo es más fácil determinar primero el potencial y después, a partir de
partes son separadas al infinito éste, el campo.
El potencial
es la energía potencial por unidad de carga. Se define el potencial V
en cualquier
punto
enael
campo eléctrico
como la energía
potencial UWpor
de llevar sus partes al Se debe umentar la energía del sistema, > unidad
0, para carga asociada con una carga de prueba q0 en ese punto:
infinito⎯la energía potencial es igual al negativo de la energía de enlace del U
sistema V5
o bien, U 5 q0V
(23.12)
q0
Tanto la energía potencial como la carga son escalares, por lo que el potencial es una
cantidad escalar. Sus unidades se encuentran a partir de la ecuación (23.12), dividiendo las unidades de energía entre las de carga. La unidad del SI para el potencial se
6 El potencial eléctrico Segundo la definición de la energía potencial eléctrica se define el potencial eléctrico como: U
(3.19) V = q0
J
Las unidades del potencial eléctrico [V ] = = Volt (Alessandro Volta 1745-­‐1827) C
Donde 1 volt = 1 J/C Por definición del trabajo vemos que: ⎛U U ⎞
Wab
ΔU
(3.20) =−
= − ⎜ b − a ⎟ = Va − Vb = Vab q0
q0
⎝ q0 q0 ⎠
Donde Vab es la diferencia de potencial eléctrico entre a y b = voltaje Cuando se considera una carga unitaria positiva, el voltaje en dos puntos es igual al trabajo realizado por la fuerza eléctrica (o el trabajo que se debe efectuar contra la fuerza eléctrica para mover una carga unitaria positiva de b a a) Se puede medir el voltaje usando un voltímetro (de µV a pV ( 10 −12 V )) Para una carga puntual: U
1 q
(3.21) V= =
q0 4πε 0 r
Para una suma de cargas: 1 N qi
(3.22) V=
∑ 4πε 0 i=1 ri
Para una distribución continua de cargas: 1
dq
(3.23) V=
∫
4πε 0 r
7 Relación con campo eléctrico Es más natural determinar el potencial eléctrico  á partir del campo eléctrico que de la fuerza de Coulomb, usando la relación F = q0 E b
b
 
Wab 1  
(3.24) = ∫ F ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl = Va − Vb q0
q0 a
a
b
 
Para ∫ E ⋅ dl > 0 el potencial eléctrico disminuye Va > Vb a

N V
Por definición la unidad del campo eléctrico ⎡⎣ E ⎤⎦ = = C m
Para sistemas atómicos y nucleares – cuando una partícula de carga se desplaza desde un punto de potencial Vb a un punto de potencial Va, el cambio de energía potencial ΔU es igual a (3.25) U a − U b = q (Va − Vb ) = qVab Si bien−19
se ha definido el electrón volt en términos de energía potencial, se usa para
Si la carga es unitaria e = 1.602
× 10 C , una diferencia de potencial V partícula
= 1volt
cualquier forma de energía, como la energía cinética de unaab
en movimiento.
23.2
−19 de “un millón de electrón volts protón,” significa que hay un protón
Cuando×se10
habla
(3.26) U a − U b = 1.602
J = 1 eV (electrón volt) cuya energía cinética es de un millón de electrón volts (1 MeV), lo que es igual a
6
(10 )(1.602 3 10219 J) 5 1.602 3 10213 J (figura 23.13).
Acelerador lineal 23.13 Este ace
National Accele
Un protón con carga Illinois, da a los
+
−19
e = 1.602 × 10 C se desplaza sobre cinética de 400
Las etapas adici
una distancia d = 0.50m en línea recta incrementan su
dentro del acelerador 980 GeV, o 0.98
El campo uniforme dentro del V
acelerador es de E = 1.5 × 10 7 la m
fuerza correspondiente es F = qE ≈ 2.4 × 10 −12 N en la misma dirección que el desplazamiento El trabajo es igual a Fermi “National accelerator” puede −12
Wab = Fd ≈ 1.2 × 10 J 12
Ejemplo 23.3 Fuerza eléctrica y potencial10
eV ) alcanzar hasta 0.98 Tev ( eléctrico
c) De la ecuación (23.13), la diferen
En el interior de un acelerador lineal, un protón (carga 1e 5 1.602 3
por
unidad de carga, que es
10
C)
se
desplaza
en
línea
recta
de
un
punto
a
a
otro
punto
b
una
1eV
distancia
total≈d7.5MeV
5 0.50 m. A lo largo de esta línea, el campo eléctrico
o en unidad de eV Wab ⋅
−19
Wa S b
1.2 3 10212
1.602 ×es10
J con magnitud E 5 1.5 3 10 V>m 5 1.5 3 10 N>C en
uniforme
5
Va 2 Vb 5
q
1.602 3 1021
la dirección de a a b. Determine a) la fuerza sobre el protón; b) el
5 7.5 3 106 V 5 7.5 MV
trabajo realizado sobre este por el campo; c) la diferencia de potencial
Wab
V 2V.
6 J
≈ 7.5 × 10 ( o V)Se
Esto corresponde a una diferencia de potencial Vab =
obtiene el mismo resultado con más f
electrón volt es igual a 1 volt multiplicad
q
C
SOLUCIÓN
bajo realizado es 7.5 3 10 eV y la carga
IDENTIFICAR: Este problema usa la relación entre el campo eléctrico cial es (7.5 3 10 eV)>e 5 7.5 3 10 V.
(que es un dato conocido) y la fuerza eléctrica (que es una de las varia bles buscadas). También utiliza la relación entre fuerza, trabajo y dife- EVALUAR: El resultado del inciso c) pue
219
7
a
7
b
6
6
rencia de energía potencial.
PLANTEAR: Se da el campo eléctrico, por lo que es fácil encontrar la
fuerza eléctrica que8 se ejerce sobre el protón. El cálculo delStrabajo que
realiza esta fuerza sobre el protón también es fácil porque E es uniforme, lo que significa que la fuerza es constante. Una vez que se conoce
el trabajo, se determina la diferencia de potencial empleando la ecuación (23.13).
6
ciones (23.17) o (23.18) para calcularSla
El ángulo f entre el campo constante E y
cero, por lo que la ecuación (23.17) se co
Va 2 Vb 5 3 E cos f dl 5 3
b
a
La integral de dt de a a b tan sólo es la d
Esfera conductora con carga
Ejemplo 23.8
Una esfera sólida conductora de radio R tiene una carga total q. Encuentre el potencial en todos los lugares, tanto fuera como dentro de la
esfera.
SOLUCIÓN
EVALUAR: La figura 23.17 ilustra el campo y el potencial como función de r para una carga positiva q. En este caso, el campo eléctrico
apunta radialmente alejándose de la esfera. Conforme nos alejamos de
S
la esfera, en la dirección de E, V disminuye (como debe ser). El campo
eléctrico en la superficie tiene magnitud Esuperficie 5 0 q 0 / 4pP0R2.
IDENTIFICAR:
Se usa la leyd
dee Gauss
como en el ejemplo
22.5c(secEjemplos potencial: esfera onductora con carga ción 22.4) para encontrar el campo eléctrico en todos los puntos para
23.17 Magnitud del campo eléctrico E y el potencial V en puntos
esta distribución de carga. El resultado se emplea para determinar el dentro y fuera de una esfera conductora con carga positiva.
potencial en todos los puntos.
PLANTEAR: Se elige como origen el centro de la esfera. Como se conoce E en todos
los valores
la distancia
r desdeeelncontramos centro de la esfeUsando la deley de Gauss ra, se determina V como función de r.
++
+
+
+
que el campo eléctrico al interior de la ++
+
+
EJECUTAR: Del ejemplo 22.5, en todos los puntos fuera de la esfera el
es campo es elesfera mismo que
si c
laero esfera se eliminara y se sustituyera por
una carga puntual
q.
Se
considera
V 5 0 en el infinito, como se hizo
para una carga puntual. Por lo tanto, el potencial en un punto en el exAl eaxterior de r de
la suesfera, campo terior de la esfera
una distancia
centro es e
ell mismo
que el potencial debido a una carga puntual q en el centro:
1 q
eléctrico es igual a E =
1 q
V5
4pP0 r
4πε 0 r 2
E
E5
y en la 1 q
4pP0 R2
E5
1 q
4pP0 r 2
E50
O
1 q
El potencial superficie en la superficie deEla=
esfera es Vsuperficie 5 q / 4pP0R.
2
4πεa cero
En el interior de la esfera, E es igual
0 Ren todas partes; de otra
manera, la carga se movería dentro de la esfera. De esta forma, si una
carga de prueba se desplaza de un punto a otro en el interior de la esfera, no se efectúa
ningún trabajo sobre
Esto significa
que el po-al Considerando elal pcarga.
otencial eléctrico tencial es el mismo en todos los puntos del interior de la esfera y es
infinito como cero, el potencial a una igual a su valor q / 4pP0R en la superficie.
distancia r de la superficie es dado por la eq. (3.21): S
Ionización y descarga en corona
++
+
+
+
+R
+
+
++
V
r
V5
1 q
4pP0 R
V5
O
1
1 q
4pP0 r
r
q
(3.27) de
V =prácticas; una
Los resultados
del ejemplo 23.8 tienen numerosas consecuencias
πε 0 r en el
ellas se relaciona con el potencial máximo que puede aplicarse en un 4
conductor
aire. Este potencial
limitado porque
y en la está
superficie las moléculas de aire se ionizan y el aire se
convierte en un conductor, a una magnitud de campo eléctrico de cerca de 3 3 106
q
V>m. De momento, suponga que q es positiva. Cuando se comparan las1expresiones
(3.28) en
la
V= E
en el ejemplo 23.8 para el potencial Vsuperficie y la magnitud de campo
4πεsuperficie
0 R
superficie de una esfera conductora con carga, se observa que Vsuperficie 5 EsuperficieR.
Así, si Em representa
la magnitud de campo eléctrico a la que el aire se vuelve conductor (lo que
se
conoce
del e
aire),
Al interior como
de lresistencia
a esfera dieléctrica
el campo sta entonces
cero el potencial
máximo Vm que se puede aplicar a un conductor esférico es
•
Quiere decir que no hay trabajo sobre una carga de prueba se desplazando m 5 REm
al interior dVe la esfera Para una esfera conductora
de
1
cm
de
radio
en el aire, Vme5léctrico (1022 m) (3d3
106 s
V>m)
• Implica que el potencial ebe er constante 5 30,000 V. Ninguna cantidad de “carga” puede sobrepasar el potencial de una esfera
1 q
conductora de este
aire en d
más
de s30,000
V, aproximadamente;
in• tamaño
Por leno eltanto, ebe er igual al potencial sieseléctrico a la superficie V =
tenta aumentar el potencial más allá de esto agregando carga adicional, se provocaría
4πε 0 R
que el aire circundante se ionizara y se convirtiera en conductor, y la carga adicional
escaparía al aire.
Para lograr
potenciales aún mayores, las máquinas de alto voltaje como los genera-
dores Van de Graaff usan terminales esféricas con radios muy grandes (véase la figura
22.27 y la fotografía que abre el capítulo 22). Por ejemplo, una terminal de radio R 5 2 m
tiene un potencial máximo Vm 5 1 2 m 2 1 3 3 106 V / m 2 5 6 3 106 V 5 6 MV. Estas
máquinas se colocan a veces en tanques presurizados llenos de un gas como el hexafluoruro de azufre (SF6), que tiene un valor mayor de Em que el del aire y, por consiguiente, es capaz de soportar campos aún más grandes sin volverse conductor.
9 Una consecuencia importante del ejemplo anterior es el potencial máximo de un conductor esférico en el aire • Este potencial esta limitado por la ionización de las moléculas del aire que V
se torna conductor (ruptura dieléctrica) con un campo Em ≈ 3 × 10 6 m
Comparando el potencial a la superficie de una esfera conductor con el campo eléctrico, el potencial máximo es igual a: (3.29) Vm = REm Para R = 1cm, esto corresponde a 30000V; si se intenta aumentar la carga sobre el conductor, se provocaría ionización, el aire sería conductor y la carga se escaparía Para alcanzar alto voltaje se necesita aumentar R • Para una esfera de 2m, Vm llega a 6MV Para aumentar las cargas de los generador de Van de Graaff se colocan en tanques lleno de gas como SF6 (hexafluoruro de azufre) que tiene valor mayor de Em Cuando un conductor tiene un rayo muy pequeño, objeto afilado o alambre fina, pequeñas cargas son suficientemente par ionizar el aire⎯la corriente resultante y su resplandor se llama corona • Para evitar la corona en las antenas radio⎯la corona produce estática⎯se pone una esfera metálica en el extremo as aUntenas 796 de ClAPÍT
LO 23 Potencial eléctrico
El resultado
23.18 p
Elermiten mástil metálico
la parte el exceso Los pararrayos metálicos son otros ejemplos: de en
evacuar de del ejemplo 23.8 tambi
superior del edificio Empire State actúa
carga y cuyo radio de curvatura es mu
carga en la atmósfera, como ocurre durante como
las pararrayos.
tormentas Es azotado por
bre fino. Como el potencial máximo
relámpagos hasta 500 veces al año.
•
•
•
•
las con cargas opuestas que se estudiaron en la sección 23.1 (figura
23.19).
relativamente pequeños aplicados a pu
cientemente elevados inmediatamente
En el extremo romo se acumula rodea y convertirlo en un buen conduc
una cantidad sustancial de carga ciado a ella (visible en un cuarto oscur
del signo contrario. máquinas de fotocopiado utilizan una
cargas sobre el tambor que forma las im
Cuando la carga atmosférica se En situaciones en que es importante
descarga a través de relámpagos, res de radio grande. Ejemplo de esto es
tiende a ser atraída hacia el de radio para automóviles, lo que evita
tática. Otro ejemplo es el extremo rom
pararrayos hay un exceso de carga en la atmósfera
Un cable conductor que conecta tremo romo se acumula una cantidad su
el pararrayos con la tierra sultado, cuando la carga atmosférica se
atraída hacia el pararrayos y no hacia
permite que la carga adquirida dañadas. (Un cable conductor que con
se disipe en forma inofensiva carga adquirida se disipe en forma inof
Un pararrayos con extremo mitiría que se acumulara menos carga y
agudo permitiría que se El mástil metálico en la parte superior acumulara menos carga y por Ejemplo
23.9Empire PlacasState paralelas
cargas opuestas
del edificio actúa con
como ello sería menos eficaz pararrayos Encuentre el potencial a cualquier altura y entre las dos placas parale-
23.19 Las placas
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR: De la sección 23.1 se conoce la energía potencial
eléctrica U, para una carga de prueba q0 como función de y. La meta
aquí es obtener el potencial eléctrico V debido a las cargas en las placas como función de y.
S
E
PLANTEAR: De la ecuación (23.5), U 5 q0Ey en un punto a la distan-
10 cia y sobre la placa inferior. Esta expresión se utiliza para determinar el
potencial V en ese punto.
EJECUTAR: El potencia V(y) en la coordenada y es la energía potencial
por unidad de carga:
EVALUAR: El resu
s con cargas opuestas
tre las dos placas paraleEj. Placas 23.19
paralelas con cargas opuestas de la figura 23.2.
Las placas
paralelas
con carga
n la sección 23.1 (figura
y
oce la energía potencial
mo función de y. La meta
o a las cargas en las pla-
a
q0
S
E
y
b
O
y en un punto a la distanutiliza para determinar el
d
x
a y es la energía potencial
El potencial en la coordenada y es la energía potencial por unidad de carga EVALUAR: El resultado nos dice
medir la densidad de carga soU ( y cómo
) = q0 Ey
V
y
=
Ey En el ejemplo 22.8
)
bre las cargas en las dos( placas
de la figura=23.19.
q
q
0
0
5 Ey
(sección 22.4) se obtuvo la expresión E 5 s>P0 para el campo eléctrico
E entre dos placas conductoras con densidades de carga superficiales
Se punha elegido que U ( b ) = 0 , si no habría sido V ( y ) − Vb = Ey an igual a cero en el
1s y 2s. Al igualar esta expresión con E 5 Vab>d se obtiene lo sipotencial sea diferente de guiente:
El potencial disminuye conforme se mueve de la dirección del campo eléctrico de P0Vab
la placa superior a la placa inferior; por definición s5
d
S
V − V Vab
es directamente
Va − Vbde
= Ed
⇒ en
E =la aplacab positiva
=
n la dirección de E de la La densidad superficial
carga
d
d
nde y 5 d y V(y) 5 Va,
proporcional a la diferencia de potencial entre las placas, y su valor s
midiendo
técnica
esrútil
porque
hayninstruDonde Vabse edetermina
s el potencial de la pVlaca positiva con espeto a la no
placa egativa ab. Esta
mentos disponibles que lean directamente densidades superficiales de
d
la placa pnegativa
lamdensidad
de carga esd2s.
A partir dcarga.
e este En
resultado odemos edir la dsuperficial
ensidad superficial e carga, usando con respecto a la plael hecho que E = σ ε 0 encontramos que CU I DADO El “potencial cero” es arbitrario Quizá piense que
ual a la diferencia de
potencial igual
tancia que las separa. Pa- si un cuerpo conductor tiene
Vab un σ
ε 0Vab a cero, necesariamente
E = carga
= neta⇒de
σ =cero.
debe
tener
también
una
o más pequeña sea la disd ε0
d ¡Pero no es así! Como
agnitud de E del campo ejemplo, la placa en y 5 0 en la figura 23.19 tiene un potencial de cero
(V 5superficial 0), pero tiene
carga
unidad
área, 2s,
de cero.
ple sólo para la geometría
La densidad de una
carga en por
la p
laca pde
ositiva es ddistinta
irectamente que
no
hay
nada
especial
en
la
placa
en
que
el
potencial
es
ales como cilindrosproporcional o es- Recuerde
a la diferencia de potencial entre las placas igual a cero; este lugar se puede definir donde se desee. ❚
co no es uniforme.)
2 Vb
5
Vab
?
11 797
23.3 Cálculo del potencial eléctrico
a de carga infinita o un cilindro conductor con carga
ia r de una línea muy larga de carga 23.20 Campo eléctrico afuera de a) un alambre largo con carga
Ej. Línea de carga infinita o cilindro conductor rga por unidad de longitud).
positiva, y b) un cilindro largo con carga positiva.
b)
a)
este problema consiste en dividir la
esimales, como se hizo en el ejemplo
inar el campo eléctrico que produce
ar como en la ecuación (23.16) para
embargo, en este caso el objetivo se
noce el campo eléctrico.
Er
Er
r
+
+
r
+
+
+ + +
+
+
+ +
+
+ + + +
+
+++++
++++++++
o 21.11 como en el 22.6 (sección
éctrico a una distancia r de una línea
a) sólo tiene una componente radial,
1 l
2pP0 r
+
R
El campo eléctrico a una distancia r de una línea recta de carga tiene la forma ener el potencial por integración
de
en el punto b a una distancia radial
r0. Así, el potencial
1 arbitraria
λ
distancia
radial r está dado por V 2 0 5
V 5 Va en el punto a a una E
r =
2πε 0 r
1 l / 2pP0 2 ln 1 r0 / r 2 , o bien,
tiene una componente radial, el pror
l
r. Así, el potencial de cualquier
punPor definición de la diferencia de potencial 0
V5
ln
2pP0 r
punto b, a distancias radiales ra y rb
b
EVALUAR: De acuerdo
 con bel resultado, λsi l besdrpositiva,
λ entonces
rb V
V
−
V
=
E
⋅
d
l
=
E
dr
=
=
ln
rb
disminuye
conforme
r
aumenta.
Es
así
como
debería
ser:
V
decrece
a
b
r
rb
l
l
dr
S
2
πε
r
2
πε
r
0
0
a
a
dr 5
ln
5
conforme nos movemos
en laa dirección de E. a
2pP0 3ra r
2pP0 ra
Del ejemplo 22.6, la expresión para Er con la que se comenzó
o y se establece que Vb 5 0, se en- también se aplica fuera de un cilindro conductor largo con
λ carga
∞ por
Si se toma el punidad
unto de
b alongitud
l infinito con p23.20b).
otencial ero, forma,
Va = nuestrolnresulta= ∞ l (figura
Decesta
2πε 0 ra
do también da el potencial para ese cilindro, pero sólo para valores
`
de r (la distancia desde el eje del cilindro) mayores o iguales que el
ln 5 `
P0 ra
Este resultado es uRna de uque
na rd
istribución de carga que se extiende radio
delconsecuencia cilindro. Si se elige
0 sea el radio del cilindro R, de
manera
quela Vd5efinición 0 cuando rd5
R, =
entonces
en cualquierepunto
para elque Vb = 0 a infinito; como e V
0 es arbitraria, scogimos efinir V como cero en al el infinito,
en-pero que
r
.
R,
un p
unto r
a
rbitraria; p
or l
o t
anto lquier distancia infinita de la línea0
∫
útil de definir V para este problema.
tribución de carga en sí se extiende
ebe recordar que V puede definirse
e se desee. Se establece que Vb 5 0
e carga
∫
∫
R
l
λ ln r r0
2pP
V ( r ) = 0 ln
V5
2
πε
r
0
En el interior del cilindro, E 5 0, y V tiene el mismo valor (cero) que
S
en la superficie del cilindro.
Para un cilindro, se puede tomar V = 0 a la superficie del cilindro y para r > R V (r ) =
λ
R
ln 2πε 0 r

da de manera uniformeEn alrededor
de 23.21
Toda la carga
con carga
Q está
la misma
E = 0en yun
el interior del cilindro, el anillo
potencial tiene el ma ismo valor (cero) que en arga total Q (figura 23.21). Determi- distancia r de un punto P situado sobre el eje del anillo.
la superficie re el eje del anillo a una distancia x
r5
a
!x 2
10 (sección 21.5), ya se conoce el
tos a lo largo del eje x, por lo que
S
gración de E, como en la ecuación
de este eje. En forma alternativa, se
os infinitesimales y usar la ecuación
stra que es mucho más fácil enconfoque de segmentos infinitesimales.
O
x
1
a2
P
Q
12 continúa
tridimensionales. En cada cruce de una línea equipotencial y una línea de campo, las
800
C APÍT U LO 23 Potencial eléctrico
dos son perpendiculares.
En la figura 23.24 aparecen dibujadas superficies equipotenciales de manera que
las diferencias de potencial
entre superficies adyacentes sean iguales.
En las Cuando
regiones las cargas están en reposo,
23.25
S
en que la magnitud de E es grande, las superficies equipotenciales están cerca entre sí
porque el campo efectúa una
una superficie conductora siempre es una
ga de prueba en un desplazam
superficie equipotencial. Las líneas de
puntual en la figura 23.24a o e
campo son perpendiculares a una
quedeen estas regiones las línea
23.24 Secciones transversales de superficies equipotenciales (líneas azules) y líneas de campo eléctricas (líneas rojas) para arreglos
superficie Compare
conductora.
Superficies quipotenciales entre superficies adyacentes.
cargas
puntuales. Hayediferencias
de potencial iguales
estos diagramas con los de la figura 21.29,
que sólo muestran líneas de campo eléctricas.
a) Una sola carga positiva
–
c) Dos cargas iguales positivas
b) Un dipolo eléctrico
–
–
+
V 5 130 V
V 5 150 V
V 5 170 V
–
+
+
+ + ++
+
+
+ + ++
V 5 230 V
V 5 130 V
V50V
V 5 250 V
V 5 150 V
V 5 270 V V 5 170 V
Líneas de
campo eléctrico
V 5 130 V
–
+
V 5 150 V
Secciones transversales de superficies equipotenciales
S
E
logía directa con la fuerza de l
un mapa topográfico donde la
sa, en las zonas en que el cam
separadas; en la figura 23.24a
negativa o a la derecha de la p
bas cargas en la figura 23.24c
intersecan en el centro de la fi
suceder. De hecho, se trata de
–
CU I DADO E no necesita s
superficie equipotencial dada, el
bargo, en general la magnitud de
–
una superficie equipotencial. Por
V 5 170 V
230 V” en la figura 23.24b, la m
–
que es entre las dos cargas. En la
E 5 0 en el punto medio entre la
–
distinto de cero. ❚
–
Superficies equipotenciales = superficie en 3D sobre la cual el potencial eléctrico Secciones transversales de las
Equipotenciales y co
es igual en todos los puntos superficies equipotenciales
•
•
una espira como la que se ilustra, lo que
es imposible porque la fuerza eléctrica es
conservativa.
Cuando todas las cargas están en reposo, la superficie de un conductor siempre es una superficie equipotencial • Cuando todas las cargas están en reposo, el campo eléctrico justo afuera de un conductor debe ser perpendicular a la superficie en cada punto, si no un trabajo seré hecho por el campo (y habría una corriente) Un campo eléctrico imposible
Si el campo eléctrico inmediatamente afuera
de un conductor tuviera una componente
tangencial E i, una carga podría moverse en
una espira con trabajo neto realizado.
S
E
Vacío
Ei
E'
S
E50
Conductor
23.27 Cavidad en un conductor. Si la
cavidad no contiene carga, todos los
puntos de tal cavidad están al mismo
potencial, el campo eléctrico es igual a
cero en cualquier lugar de ella, y no hay
carga en ningún lugar sobre su superficie.
Sección transversal de una superficie
equipotencial a través de P
B
Superficie gaussiana
(en sección
transversal)
Superficie
de la cavidad
P
A
Conductor
El siguiente es un enunciado
Cuando una partícula se mueve sobre una superficie equipotencial el cCuando
ampo todas las cargas es
23.26 En todos los puntos de la superficie es una superficie equipotenc
eléctrico no hace trabajo de un conductor, el campo eléctrico Sdebe
lar a una superficie equipoten
ser perpendicular
a la superficie.
Si Esiempre Líneas de campo eléctrico y superficies equipotenciales son cuando todas las cargas est
tuviera
una componente
tangencial,que explica perpendiculares (aceleración es cero sobre el equipotencial, conductor
debe ser perpend
se realizaría una cantidad neta de trabajo
S
que el trabajo es cero) sabe que E 5 0 en todos los l
sobre una carga de prueba al moverla en
13 gas se moverían.S En particula
componenteS de E tangente a
gencial de E también es igua
fuera así, una carga podría re
parcialmente fuera (figura 23
neta de trabajo realizado sob
campos electrostáticos, por lo
perficie debe ser igual a cero e
lar a la superficie en cada pun
Por último, ahora es posib
pondiente en la sección 22.5
conductor contiene una cavid
ber carga neta en ningún luga
está dentro de una caja condu
punto de las paredes interiore
rema, primero se demuestra q
cial. En la figura 23.27, la s
equipotencial, como se acaba
tuviera a un potencial diferen
tencial B diferente que incluy
Ahora considere una supe
las dos superficies equipoten
ciales, se sabe que el campo
hacia B, o bien, en todos los
superficie equipotencial esté a
el flujo a través de esta superfi
afirma que la carga encerrada
tradice nuestra suposición ini
potencial en P no puede ser d
Entonces, toda la región d
que esto sea verdadero, el cam
23.27 Cavidad en un conductor. Si la
cavidad no contiene carga, todos los
puntos de tal cavidad están al mismo
potencial, el campo eléctrico es igual a
cero en cualquier lugar de ella, y no hay
carga en ningún lugar sobre su superficie.
Sección transversal de una superficie
equipotencial a través de P
B
Superficie gaussiana
(en sección
transversal)
Superficie
de la cavidad
P
A
Conductor
rema, primero se demuestra que todos
cial. En la figura 23.27, la superficie
equipotencial, como se acaba de demo
tuviera a un potencial diferente; enton
tencial B diferente que incluyera al pu
Ahora considere una superficie gau
las dos superficies equipotenciales. En
ciales, se sabe que el campo en cada
hacia B, o bien, en todos los puntos s
superficie equipotencial esté a un pote
el flujo a través de esta superficie gaus
afirma que la carga encerrada por la su
tradice nuestra suposición inicial de q
potencial en P no puede ser diferente d
Entonces, toda la región de la cav
que esto sea verdadero, el campo eléct
En una situación electrostática: •
•
•
Si un conductor contiene una cavidad en cuyo interior donde no hay carga, entonces no puede haber carga neta en ningún lugar de la superficie de la cavidad Se puede tocar con seguridad cualquier punto de las paredes interiores de la caja sin sufrir una descarga Esto es porque todos los puntos en la cavidad están al mismo potencial Demostración: 1) La superficie conductora A de la cavidad = superficie equipotencial 2) Suponga el punto P a un potencial diferente; sobre una superficie equipotencial B diferente (incluyendo al punto P ) 3) Considere una superficie gaussiana entre A y B 
4) En virtud de la relación entre E y las equipotenciales, el campo en cada punto entre las equipotenciales se dirige de A hacia B, o vice-­‐versa (depende de cuál superficie esté a un potencial mayor) 5) El flujo a través de esta superficie gaussiana es diferente de cero 6) Pero la ley de Gauss afirma que la carga encerrada por la superficie gaussiana no puede ser cero 7) Esto contradice la suposición inicial de que en la cavidad no hay carga 8) Por lo tanto, el potencial en P no puede ser diferente del que hay en la pared de la cavidad 14 Gradiente de potencial y campo eléctrico Por definición del trabajo:  
Va − Vb = ∫ E ⋅ dl b
(3.30) a
Si V → V ( x, y, z ) una función escalar, entonces: (3.31) a
b
b
a
Va − Vb = ∫ dV = − ∫ dV Donde dV (una  diferencial total) es el cambio infinitesimal de potencial que acompaña dl (3.32) b
b
 
− ∫ dV = ∫ E ⋅ dl a
Por lo tanto: (3.33) a
 
−dV = E ⋅ dl En componentes cartesianas:  
E ⋅ dl = Ex dx + Ey dy + Ez dz (3.34) y por definición de la diferencial total: ∂V
∂V
∂V
−dV = −
dx −
dy −
dz (3.35) ∂x
∂y
∂z
De manera que identificamos que: ∂V
∂V
∂V
Ex = −
, Ey = −
, Ez = −
(3.36) ∂x
∂y
∂z
En forma vectorial: 
⎡ ∂V
∂V
∂V ⎤
(3.37) E = − ⎢ iˆ +
ĵ +
k̂ = −∇V ∂y
∂z ⎥⎦
⎣ ∂x
El campo eléctrico es el gradiente del potencial eléctrico 
Por definición, entonces, en cada punto la dirección de E es aquella en la que V disminuye con más rapidez • Esto es ⊥ a la superficie de equipotencial que pasa por el punto 15 Ej. Campo de una carga puntual El potencial de una carga puntual es V =
1 q
donde r = x 2 + y 2 + z 2 4πε 0 r

⎡ ∂V
∂V
∂V ⎤
Aplicando la definición E = − ⎢ iˆ +
ĵ +
k̂ ∂y
∂z ⎥⎦
⎣ ∂x
⎞
∂V
∂ ⎛ 1
q
1
qx
qx
=
Derivamos por x, ⎜
⎟ =−
32 = −
2
2
2
2
2
2
∂x ∂x ⎝ 4πε 0 x + y + z ⎠
4πε 0 ( x + y + z )
4πε 0 r 3
De la misma manera, encontramos que: ∂V
qy
∂V
qz
y =−
=−
3
∂y
4πε 0 r
∂z
4πε 0 r 3
Por definición entonces: 
⎡ ∂V
∂V
∂V ⎤
E = − ⎢ iˆ +
ĵ +
k̂ =
∂y
∂z ⎥⎦
⎣ ∂x
⎡
⎤
qx ˆ
qy
qz
= − ⎢−
i−
ĵ −
k̂ = 3
3
3 ⎥
4πε 0 r
4πε 0 r ⎦
⎣ 4πε 0 r
q ⎛ xiˆ + yĵ + zk̂ ⎞
q
=
=
r̂
2 ⎜
2
⎟
4πε 0 r ⎝
r
⎠ 4πε 0 r
16 
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