Derivadas 2

Derivadas de Funciones Vectoriales 2
Teorema 1. Si f es una función vectorial continua sobre [a, b] y diferenciable sobre (a, b),
entonces existe Ci (a, b) tal que f (b) − f (a) = (b − a)(f10 (C1 ), . . . , fn0 (Cn )).
Demostración: Por hipotesis fi es continua y diferenciable, por lo tanto para cada fi existe
Ci (a, b) tal que fi0 (Ci ) =
fi (b) − fi (a)
.
b−a
por lo tanto
fi0 (Ci )(b − a) = fi (b) − fi (a)
por lo tanto
f (b) − f (a) = (b − a)(f10 (C1 ), . . . , fn0 (Cn ))
Teorema 2. Si ϕ es diferenciable sobre un intervalo I ⊂ R y f es diferenciable sobre un
intervalo que contiene a ϕ(I) = {ϕ(t)|tI}, entonces f ◦ ϕ es diferenciable en I y (f ◦ ϕ)0 =
f 0 ◦ ϕ · ϕ0 sobre I
Demostración: Tenemos que:
(f ◦ ϕ)0 = [(f1 ◦ ϕ)0 , . . . , (fn ◦ ϕ)0 ]
= [f10 ◦ ϕ · ϕ0 , . . . , fn0 ◦ ϕ · ϕ0 ]
= [f10 ◦ ϕ, . . . , fn0 ◦ ϕ]ϕ0
= f 0 ◦ ϕ · ϕ0
Fórmula de Taylor
Si f (t) = (f1 (t), f2 (t), ..., fn (t)) es una función vectorial que es continua y diferenciable hasta
n + 1 − veces entonces para cada i = 1, ..., n se tiene que
fi (t + h) = fi (t) + h · fi0 (t) + +
∴
(f1 (t)+h·f10 (t)++
hn n
h2 00
· fi (t) + ... +
· f (t) + Rin
2!
n! i
f (t + h) = (f1 (t + h), f2 (t + h), ..., fn (t + h)) =
h2 00
hn
h2
hn
·f1 (t)+...+ ·f1n (t)+R1n , ..., fn (t)+h·fn0 (t)+ ·fn00 (t)+...+ ·fnn (t)+R1n ) =
2!
n!
2!
n!
1
h2 00
hn
(f1 (t), ..., fn00 (t)) + ... + (f1n (t), ..., fnn (t))
2!
n!
2
n
h
h
= f (t) + h · f 0 (t) + f 00 (t) + ... + f n (t)
2!
n!
(f1 (t), ..., fn (t)) + h · (f10 (t), ..., fn0 (t)) +
que es la fórmula de taylor para funciones vectoriales
Definición
. . . , fn ) es una funcion vectorial definida sobre [a, b], entonces
1 ,
Z b1. Si f =
Z (f
Z b
b
fn .
f=
f1 , . . . ,
a
a
a
Z b
fi con i = 1, . . . , n existe. En
La integral existe siempre que cada una de las integrales
a
Z b
f (t)dt existe.
particular, si f es continua sobre [a, b] entonces
a
Teorema 3. Si f = (f1 , . . . , fn ) es continua sobre un intervalo I y a I entonces:
Z t
f
d
a
= f (t) ∀ t I
dt
Demostración. La prueba se obtiene por la aplicación del primer teorema fundamental
del cálculo a cada una de las funciones componentes
Z t
Z t
Z t d
f
d
a
=
f1 , . . . ,
fn
dt
dtZ t a
Za t d
d
f1 , . . . ,
fn
dt a
dt a
= (f1 (t), . . . , fn (t))
= f (t)
Teorema
4. Si f = (f1 , . . . , fn ) tiene derivada continua sobre un intervalo I, entonces ∀ a, b I
Z b
f 0 (t) = f (b) − f (a)
a
2
Demostración.
b
Z
f
a
0
b
Z
(f10 , . . . , fn0 )
aZ t
Z t 0
fn0
f1 , . . . ,
=
=
a
a
= (f1 (b) − f1 (a), . . . , fn (b) − fn (a))
= f (b) − f (a)
Teorema 5. Si f (t) = (f1 (t), f2 (t), ..., fn (t)) es integrable en [a, b], para todo vector C =
(c1 , c2 , ..., cn ) entonces el producto escalar C · F es integrable en [a, b] y
Z b
Z b
f (t)dt =
C · f (t)dt
C·
a
a
Demostración. Tenemos que
Z b
Z b
Z b
Z b
f1 (t)dt,
f2 (t)dt, ...,
fn (t)dt =
C·
f (t)dt = (c1 , c2 , ..., cn ) ·
a
a
a
a
Z b
Z b
Z b
c1 ·
f1 (t)dt + c2 ·
f2 (t)dt + ... + cn ·
fn (t)dt =
a
a
b
Z
Z
a
b
Z
c2 · f2 (t)dt + ... +
c1 · f1 (t)dt+,
Z b
C · f (t)dt
cn · fn (t)dt =
a
a
a
a
b
Teorema 6. Si f y kf k son integrables en [a, b] entonces
Z b
Z b
f (t)dt
kf (t)kdt
≤
a
Demostración. Sea C =
Rb
f (t)dt por lo que se tiene
a
Z
2
kCk = C · C = C ·
∴
Z
kCk ≤
b
Z
b
Z
C · f (t)dt ≤
f (t)dt =
a
2
a
a
b
Z
|C · f (t)|dt ≤
a
Z
kCkkf (t)kdt ⇒ kCk ≤
a
b
a
3
b
b
kCkkf (t)kdt
a
Z b
Z b
kf (t)kdt ⇒ f (t)dt
kf (t)kdt
≤
a
a